模块四测量分析正弦交流稳态电路

1、电路基础分析主编 何碧贵中国水利水电出版社模块四模块四模块四模块四 测量分析正弦交流稳态电路测量分析正弦交流稳态电路v教学要求教学要求1、理解正弦稳态电路的基本内容。、理解正弦稳态电路的基本内容。2、掌握正弦量的相量表示方法。、掌握正弦量的相量表示方法。3、掌握电阻、电容、电感元件的伏安相、掌握电阻、电容、电感元件的伏安相量表示方法。量表示方法。4、理解瞬时功率、有功功率、无功功率、理解瞬时功率、有功功率、无功功率及视在功率的不同及联系。及视在功率的不同及联系。5、应用相量法分析电路。、应用相量法分析电路。6、了解非正弦周期信号的表示、分解等、了解非正弦周期信号的表示、分解等基本内容。基本内容

2、。 任务一任务一 分析测量正弦交流信号分析测量正弦交流信号 4.1.1测量正弦交流电的三要素测量正弦交流电的三要素 依据正弦量的概念，设某支路中正弦电流i在选定参考方向下的瞬时值表达式为)sin(imtIi（4.1-1） 式（4.1-1）中的Im、i分别称为振幅、角频率和初相，即为正弦量的三要素。 1.振幅、有效值与瞬时值振幅、有效值与瞬时值正弦量在一个周期内的最大值称为振幅。式（4.1-1）中Im是电流i在一个周期内所达到的最大值，因此，Im称为电流i的振幅。同样，称 中的Um为电压u的振幅。)sin(umtUu交流电流或电压的瞬时值是随时间而变化的 。 在电工技术中，往往不需要知道它们每一

3、瞬间的大小（即瞬时值），此时就需要为它们规定一个能表征其大小的特定值。因为正弦波在一个周期内的平均值为零，作为这一特定值是不合适的；用它们的最大值也不合适，因为最大值只能表明某一瞬时的大小；为此提出了有效值的概念：一个周期量和一个直流量，分别作用于同一个电阻时，如果经过一个周期（或者其任意整数倍）的时间产生了相同的能量，则这个直流量的值即为这个周期量的有效值。 正弦波的有效值等于其振幅的0.707倍。 即mmUUU707. 021mI707. 021mII（4.1-5） （4.1-4） 2.频率与周期频率与周期正弦量变化一次所需的时间（秒）称为周期T。每秒内变化的次数称为频率f，它的单位是赫兹

4、（Hz），简称赫。频率是周期的倒数，即 Tf1Tf22在我国和大多数国家都采用50 Hz作为电力标准频率，习惯上称为工频。角频率是指交流电在1秒钟内变化的电角度。若交流电1秒钟内变化了f次，则可得角频率为（4.1-6） （4.1-6） 3初相与相位差初相与相位差 正弦交流电表达式 中称为相位。正弦量在t = 0时的相位称为正弦电的初相，用i表示。即 初相的正负与大小与计时起点的选择有关。通常在 的主值范围内取值。 两正弦量间的相位之差称为相位差，即与的相位差表示为 推出两个同频率正弦量的相位差在任何时刻都是常数，即为它们的初相之差。规定的取值范围是 。it0tiitiuiutt)()( 如图4

5、.1-3所示为电压u和电流i相位关系图。 图4.1-3 正弦交流电压、电流的初相 1、如果，如图4.1-4（a）所示，称i超前u 角度，简称i超前u。从波形图上看i比u先到达正最大值，即u滞后i 角度。2、如果，如图4.1-4（b)所示，称u与i同相位，简称同相。其特点是：两正弦量同时达到正最大值，或同时过零点。3、如果，如图4.1-4（c)所示，称u与i正交。其特点是：当一正弦量的值达到最大时，另一正弦量的值刚好是零。4、如果，如图4.1-4（d)所示，称u与i反相。其特点是：当一正弦量为正最大值时，另一正弦量刚好是负最大值。(a) (b)(a) (b)图4.1-4 正弦交流电的相位差例4.

6、1-1已知某正弦交流电压为，求该电压的最大值、频率、角频率和周期各为多少？例4.1-2一个正弦电流的初相角为600 ， 在T/ 4时电流的值为5 A， 试求该电流的有效值。例4.1-3求两个正弦电流i1(t) =14.1sin(t1200 ) A，i2(t) =7.05cos(t300 ) A的相位差。 为了摆脱正弦函数运算的繁琐和微分方程求解的困难，用复数表示正弦量，从而将求解电路的微积分方程问题转化为求解相量的代数方程问题，简化了正弦稳态电路的分析和计算，这种方法就称为相量法。 如果设正弦电流为 4.1.2 正弦量的相量表示正弦量的相量表示 )sin(imtIi则有其有效值和最大值相量形式

7、为：umjmmIeIIiiII则有效值相量与最大值相量的关系为2mII（4.1-13） （4.1-14） （4.1-15） 注意： 正弦量和相量之间具有很简单的一一对应的关系。相量只是表征或代表正弦波，并不等于正弦波。同理，我们可以知道电压的相量形式 电压振幅相量，记为 有效值相量记为mUU 相量可以在复平面上用矢量表示，这种表示相量的图，称为相量图把相量表示在平面上就可得出相量图，如图4.1-5所示。为了表示方便，可以省掉实轴和虚轴，如图4.1-6所示。 图4.1-5 复平面上的相量表示 图4.1-6 相量图任务二任务二 分析分析KVL、KCL的相量形式和基本元件的相量形式和基本元件VCR的

8、相量形式的相量形式1.基尔霍夫电压定律的相量形式由前面学过的知识已知，时域内的KVL为正弦交流电路中，各段电压是与电源电压同频率的正弦量。同频率三角函数式的运算可以用对应的相量运算替代，把这些同频率的正弦量用相量表示，有 （4.2-1）其中为第i条支路的电压相量。4.2.1分析基尔霍夫定律的相量形式分析基尔霍夫定律的相量形式 01niiu01niiU例如图4.2-1，回路的电压方程为：04321uuuu其KVL相量表达式为： 04321UUUU (a) (b) (c) 图4.2-1 相量形式KVL 在正弦交流电路中，一个回路的各支路电压的相量组成一个闭合多边形。2.基尔霍夫电流定律的相量形式

9、时域内的KCL为正弦交流电路中，各电流同样是与电源电压同频率的正弦量。对各节点，同频率三角函数式的运算同样可以用对应的相量运算替代，把这些同频率的正弦量用相量表示，有 （4.2-2）其中为第k条支路的电流相量。由相量形式的KCL可知，正弦交流电路中连接在一个节点的各支路电流的相量组成一个闭合多边形。 01nkki01.nkkI如图4.2-2，节点0的KCL相量表达式为 ：04.3.2.1.IIII (a) (b) (c) 图4.2-2 相量形式KCL因此，在正弦稳态电路中，基尔霍夫定律可直接用电压相量因此，在正弦稳态电路中，基尔霍夫定律可直接用电压相量和电流相量写出。也可直接用电压振幅相量和电

10、流振幅相量和电流相量写出。也可直接用电压振幅相量和电流振幅相量写出。写出。 在正弦稳态电路中，电阻、电容、电感两端的电压和流过元件的电流都是同频率的正弦波。假设元件两端电压和流过的电流表示为4.2.2 分析基本元件的电压与电流的相量形式分析基本元件的电压与电流的相量形式 )sin(2)sin()(uumtUtUtu )sin(2siniimtItIti相量形式分别为：uUUiII1.电阻元件电阻元件 如图4.2-3（a）所示。由欧姆定律 可知，当电阻上的电流随时间呈正弦变化，即如果Riu )sin(2itRIu相量形式为： IRU（4.2-5） iuRIU即由（4.2-5）可得：（1）电阻元件

11、电压电流大小关系为： U = RI （4.2-6） 或 I = GU (G=1/R) （4.2-7）（2）电阻元件电压电流的相位关系为： （4.2-8） 即电压电流同相。电阻电压电流的波形关系如图4.2-3（b）所示。电压电流的相量图4.2-3（a）所示。 iu (a) (b) (c) 图4.2-3 电阻元件的相量形式 2.电容元件电容元件 如图4.2-4（a）所示。在电压、电流关联参考方向下，电容元件两端电压为 （4.2-9） 把式（4.2-3）、（4.2-4）带入（4.2-9）得 用相量表示电压与电流的关系为： dttduCti)()()sin()2sin()()(imumtItCUdtt

12、duCti.IjXCjIUC（4 .2-10） （a） (b) (c) 图4.2-3 电阻元件的相量形式 电容具有对交流电流起阻碍作用的物理性质，称为容抗，用 表示，即CXfCCXC211 (4.2-13) 容抗的倒数称为容纳，用表示，即CCXB1(4.2-14) 它的单位是西门子（S）。显然容纳表示电容对正弦电流的导通能力。 电容具有“通交隔直，通高阻低”作用。 3.电感元件 如图4.2-5（a）所示。在电压、电流关联参考方向下，电感元件两端电压为 dttdiLtu)()(4.2-14) 把式（4.2-3）、（4.2-4）带入（4.2-14）得 umimtUtLIdttdiLtusin)2s

13、in(用相量表示电压与电流的关系为 .ILjIjXUL（4.2-16） (a) (b) (c) 图4.2-.5 电感元件的相量形式电压与电流在数值上满足关系式 U=LI （4.2-17） 相位关系为 2iu(4.2-18) 比较电压和电流的关系式可见：电感两端电压u和电流i也是同频率的正弦量，电压的相位超前电流。电感元件电压与电流的波形如图4.2-5（b）所示。电感电路相量图如图4.2-5(c)所示。 与电容类似， 反映电感对正弦电流的阻碍作用，称为电感电抗，简称感抗，用 表示LLXfLLXL2(4.2-19) 电感元件具有“通直隔交，通低阻高”的作用。在实际工作中常常利用电感元件的这一特性，

14、例如在无线电设备中的高频扼流圈和在滤波电路中的电感线圈。 感抗的倒数称为感纳，用 表示，即LLXB1LB (4.2-20) 它的单位也是西门子（S）,显然，感纳表示电感对正弦电流的导通能力。 例4.2-1把电容量为40F的电容器接到交流电源上，通过电容器的电流 试求电容器两端的电压u瞬时值表达式。 Ati30314sin275. 2例4.2-2 的电感元件两端电压为求流过电感的电流 。Vttu)30sin(218)(0srad /100)(ti任务三任务三 正弦电路的相量分析正弦电路的相量分析在关联参考方向时，电阻、电容、电感元件的伏安相量关系为： .IRU CjIIjXUC.ILjIjXUL

15、把元件在正弦稳态时电压相量与电流相量之比定义为该元件的阻抗，用Z表示，即ZIU.（4.3-1） 则三种基本元件的相量关系式可归纳为 .IZU （4.3-2） 式（4.3-2）为正弦稳态时电压相量与电流相量普遍形式，称为欧姆定律的相量形式。电压相量和电流相量的参考方向一致时，元件的阻抗也可定义为电压振幅相量与电流振幅相量之比。则电阻、电容、电感的阻抗则分别为 RZRCjCjZC11LjZL（4.3-3） （4.3-4） （4.3-5） 若把阻抗的倒数定义为导纳，记为Y，即ZY1（4.3-6） 导纳的单位为西门子S 。电阻、电容和电感的导纳分别为GRYR1CjYCLjLjY11L L（4.3-8）

16、 （4.3-9） （4.3-10） 这样，基本元件的相量关系式还可以归结为另一形式，即 .UYI （4.3-11） 式（4.3-11）也常称为欧姆定律的相量形式 4. 3.1 正弦信号的向量法分析正弦信号的向量法分析 运用相量并引用阻抗和导纳，正弦稳态电路的计算可以仿照电阻电路的处理方法来进行。这样，在分析正弦稳态电路时，就可以省略了列微分方程的步骤，同时还能利用电阻电路的分析方法进行分析。阻抗及导纳概念的引入对正弦稳态分析理论的发展起着重要的作用。 运用相量分析正弦稳态电路时，可分为三个步骤：（1）写出已知正弦量的相量。（2）作出原电路的相量模型，从而得出电路中各相量间的关系。（3）根据所求

17、得的相量，写出相应的正弦时间函数。 4. 3.2 用向量法分析用向量法分析RLC串联电路串联电路 如图4.3-1所示R、L、C串联电路，做出RLC串联电路的相量模型如图4.3-2。 图4.3-1 原电路 图4.3-2 相量模型 其阻抗为 )1(1CLjRCjLjRZZZZCLRRCLarctgCLR1122（4.3-12） 由相量模型可知 iIZUI则写出对应的正弦电流为 )sin(2itIi电压与电流的相位差为 RCLarctgiu1（4.3-13） 令 ， 为RLC串联电路的电抗 XCL1X根据电抗的取值特性可以判断电流与电压的相位关系。（1）当 时，即电抗取值为正，这说明 ，电流滞后电压

18、。电路呈现电感特性，简称感性。（2）当 时，即电抗取值为负，这说明 ，电流超前电压。电路呈现容性。（3）当 时，即电抗取值为0，这说明 ，电压与电流同相。电路呈现阻性。CL1CL1CL1例4.3-1如图4.3-2所示RLC串联相量模型，已知 R=15欧 ，L=12mH，C=15微法，端电压求电路的电流及各元件上的电压瞬时值表达式。tVtu5000sin2100)(4. 3.3用向量法分析用向量法分析RLC并联电路并联电路 如图4.3-3所示。用导纳来表征较为方便，在此我们用实例讲解一下本知识点。 图4.3-3 RLC并联相量模型 例4.3-2已知图4.3-3 RLC并联相量模型所示,已知 端电

19、压求电路的支路总电流及各元件上流经的电流瞬时值表达式。 ，5 . 2R，mHL1 . 0FC4tVtu510sin23)(任务四任务四 测量分析正弦稳态电路的功率测量分析正弦稳态电路的功率无源二端网络N： 设其端口电压和电流分别为u、i，如图4.4-1所示： N+u-i图4.4-1 无源单口网络4. 4.1瞬时功率瞬时功率 瞬时功率p定义为能量对时间的导数，是由同一时刻的电压与电流的乘积来确定的。即 设无源单口网络的电压电流参考方向一致，如图4.4-1所示。在正弦交流电路中，设u、i分别为iup(4.4-1)utUusin2itIisin2无源单口网络的瞬时功率为 iuttUIuipsinsi

20、n2iuiutUI2cos)cos(4.4-2) 其中，令 = u i瞬时功率由两部分组成：一部分为U Icos，是与时间无关的恒定分量；另一部分为 UIcos(2t+u+i)，是随时间按2变化的余弦函数。 其波形如图4.4-2所示，电阻元件的瞬时功率随时间按2变化，且0，即电阻始终在吸收功率。对于电阻元件，u、i同相，=0，式（4.4-2）成为uRtUIp22cos1（4.4-3） 对于电容元件， = 900，式（4.4-2）成为)2sin()222cos(iictUItUIP（4.4-4） 从图4.4-3中可以看出， u 增长期间，Pc0，电容元件吸收功率，能量流入电容其贮能增长； u 减

21、少期间，Pc 0，电感元件吸收功率，能量流入电感其贮能增长； i 减少的期间，PL0时，Q 0，此时，无功功率称为感性无功功率；sin0时，Q0，此时，无功功率成为容性无功功率。虽然无功功率不象平均功率那样，是消耗能量而做功，但是在电力系统中，凡是依靠磁场能量和电场能量工作的设备及元件都是靠电源提供的无功功率维持这两种场能，它是保证这些设备和元件正常工作必不可少的条件。 例4.4-2流过0.1H电感的电流为，试求关联参考方向下电感两端的电压u及无功功率QL。 Ati)10200sin(2150例4.4-1有一电阻R=100，通过电流，试求：（1）电阻R两端的电压U和u；（2）R消耗的功率P。A

22、ti)30sin(204.4.4 视在功率视在功率在电工技术中，把UI称为视在功率，记做S，即 S = UI （4.4-15） 为与平均功率有所区别，视在功率不用瓦特（W）为单位，而用伏安（VA）为单位。在正弦交流电路中，平均功率P一般并不等于UI，只有在纯电阻电路时才相等。平均功率一般是小于视在功率的，也就是说要在视在功率上打一个折扣才能等于平均功率。这折扣就是功率因数（cos ）。即cosSP（4.4-16） 端口电压与电流之间的相位差角也往往称作功率因数角。 按照定义，有功功率、无功功率和视在功率之间的关系应为22QPS（4.4-17） 视在功率一般不等于平均功率，其反映设备的容量。以发

23、电机为例，发电机是按照一定的额定电压和额定电流值来设计和使用的，在使用时，如电压、电流超过额定值，发电机就可能遭到损坏。因此，电气设备都是以额定视在功率来表示它的容量的。至于一个发电机对负载能提供多大的平均功率，则还要看负载的是多大而定。例如，容量为117500KVA的发电机，在为0.85是能发出100000KW的功率，在为0.6时只能发出70 500KW的功率。负载的太低使发电机的容量不能充分利用。4.4.5 功率因数的提高功率因数的提高1.提高功率因数的实际意义提高功率因数的实际意义在实际用电过程中，提高负载的功率因数是最有效地提高电力资源利用率的方式。具体表现在以下方面：（1) 提高用电

24、质量，改善设备运行条件，可保证设备在正常条件下工作，这就有利于安全生产。（2) 可节约电能，降低生产成本，减少企业的电费开支。例如：当cos=0.5时的损耗是cos=1时的4倍。（3) 能提高企业用电设备的利用率，充分发挥企业的设备潜力。（4) 可减少线路的功率损失，提高电网输电效率。（5) 因发电机的发电容量的限定，故提高cos也就使发电机能多出有功功率。 2.提高功率因数的几种方法功率因数用 表示，其定义为：SPcos功率因数的提高可分为提高自然功率因数和采用人工补尝两种方法： 提高自然因数的具体方法：（1) 恰当选择电动机容量，减少电动机无功消耗，防止“大马拉小车”。（2)对平均负荷小于

25、其额定容量40%左右的轻载电动机，可将线圈改为三角形接法（或自动转换）。（3)避免电机或设备空载运行。 （4)合理配置变压器，恰当地选择其容量。（5)调整生产班次，均衡用电负荷，提高用电负荷率。（6)改善配电线路布局，避免曲折迂回等。 任务五任务五 测量分析非正弦周期信号测量分析非正弦周期信号4.5.1认识非正弦周期信号认识非正弦周期信号常见的非正弦周期信号的波形如图4.5-1所示。非正弦周期信号在各种领域得到了广泛的应用。例如，图4.5-1（a)是电视机行振荡波形（矩形电压）；图4.5-1（b）与图4.5-1（c）是电视机振荡波形（锯齿形和三角形电压）；图4.5-1（d）是电流整流电路产生的全波整流信号。虽然非周期信号的波形与正弦波形有很大的不同，但它们的关系很密切。首先，它们具有一个共同的特点：波形的变化具有周期性；其次，非正弦周期信号可以由一系列不同的正弦信号构成。 （a） （b） （c） （d） 图4.5-1常见的非正弦周期信号4.5.2 非正弦周期信号的分解非正弦周期信号的分解 由于在电路中遇到的非正弦周期信号均能满足傅立叶级数所要求的条件，所以可以用傅立叶级数展开式来表示。设周期信号的周期为T，则傅立叶级数展开式可写成 10)cossin()(KKKtkBtkAAtf（4.5-1） 式（4.5-1）中 TdttfTA00)(2TKtdtktfTA0sin)(2