吉珠线性代数期末考复习讲义

1、1 吉林大学珠海学院考试题型 1. 选择题 5*3分 =15分 2. 填空题 5*3分 =15分 3. 计算题 4*15分=60分 4. 证明题 1*10分=10分3第一讲 行列式一 排列与逆序数 级排列，逆序，逆序数的概念；二 行列式概念 定义 NoImagennnnnpppppppppnnnnnnaaaaaaaaaaaa21212121)(212222111211)1( 三 余子式，代数余子式的概念 4 三 行列式的性质 计算行列式的理论依据。四 展开定理 jijiDAaAaAajninjiji, 0,2211tstsDAaAaAantnststs, 0,22115 五 方阵的行列式 设A

2、,B是阶n方阵，k为实数，则有下列结论： |AkkAn|BAAB1|nAA6 六 行列式的计算计算依据：1.行列式性质 2.展开定理注意事项： 要在审题方面多花工夫，根据行列式元素的规律确定计算方法，切忌拿到题匆匆忙忙地盲目计算。7第二讲 矩阵一 矩阵的概念 矩阵的概念，以及三角矩阵，对角矩阵，数量矩阵，单位矩阵，对称矩阵 ，反对称阵 ，正交矩阵 ，伴随矩阵，分块矩阵等特殊矩阵的概念。相关结论： 1.对称矩阵的行列式等于其转置矩阵的行列式。 2.奇数阶反对称矩阵的行列式为零。AATAATEAAT8 二 矩阵的运算 加法，减法，数乘，乘法，转置三 运算律：重点记忆以下算律 1. 2. 3.BAA

3、B ）BABABA)(222222BABABA）（nnnBAAB）（000BAAB或不能推出TTTABAB)(9 四 逆矩阵 1.定义 2.性质 3.计算方法： （1）初等变换法: （2）公式法: （3）定义法:对于矩阵A,寻找矩阵B,使得 AB=E或BA=E111)(ABABAAA|11）（行初等变换1)(AEEA10 五 矩阵的初等变换与初等矩阵1.初等变换（三类）2.初等矩阵（三类）3.初等矩阵与初等变换之间的关系11第三讲 向量组一 若干概念1.n维行向量， n维列向量。2.向量内积:3.向量长度:4.向量正交:5.正交向量组和规范正交向量组6.Schmidt正交化方法：P140nnT

4、bababa221122221|nTaaa0T12 二 向量组线性相关性的概念与原理1.线性相关和线性无关的定义2.线性组合或线性表示的定义3.判断 是否线性相关的方法： （1） 最简梯矩阵 （2）若 线性相关（无关），则 也线性相关（无关）。4.向量组线性相关性的若干结论；定理1-4及其推论。例如： 包含零向量的向量组线性相关； 线性无关向量组的扩展组线性无关； 分量对应成比例的两个向量线性相关；s,21）（）（行ss,2121s,21s,2113 三 向量组的极大无关组和秩1.极大无关组和秩的概念2.求极大无关组和秩的方法： （1） 最简梯矩阵 （2） 的极大无关组所对应的 的部分组即为

5、的极大无关组。 （3）极大无关组所包含的向量个数即为向量组的秩。）（）（行ss,2121s,21s,21s,2114第四讲 线性方程组一 线性方程组的解的判定1.对于齐次方程组 ，有 当 时，方程组仅有零解。 当 时，方程组有非零解。2.对于非齐次方程组 ，有 当 时，方程组有解。 当 时，方程组无解。01nnmXA)(bARAR）nARnm）(bXAnnm1)(bARAR）nARnm）(15 二 线性方程组解的性质 三 线性方程组解的结构 16第五讲 方阵的对角化一 矩阵的特征值和特征向量1.特征值和特征向量的定义2.特征值和特征向量的求法： （1）解特征方程 ，得到 的全部特征根。 （2）

6、解方程组 ，得到其基础解系，即为 的属于 的线性无关特征向量，而它们的线性组合即为 的属于 的全部特征向量。3.结论：设 ， 为其特征根，则 0| AEA0)(XAEiAiAinnijaA)(n,21)(221121Atrnnn|21An17 二 相似矩阵 1.定义 2.性质三 方阵可对角化的条件：18 四 一般矩阵 对角化的方法: (1)求出 的全部特征根和全部线性无关的 特征向量。 (2)以全部线性无关特征向量为列向量构造可逆矩阵 ,以全部特征值为主对角元构造对角阵 ，则AAP APP119 五 实对称矩阵的对角化方法 (1)求出 的全部特征根和全部线性无关的特征向量。 (2)把特征向量分别规范正交化。 (3)以全部规范正交化过的线性无关特征向量为列向量构造正交矩阵 ,以全部特征值为主对角元构造对角阵 ，则APAPPAPPT120第六讲 二次型一 二次型1.二次型与其系数矩阵:P1532.线性变换：P15421 二 化二次型为标准形的方法 1.找到正交矩阵 和对角阵 ，使得2.令正交变换 ，则二次型 在此变换 下化