材料力学答案48632

1、第二章 轴向拉压应力与材料的力学性能2-1 试画图示各杆的轴力图。3k k八 匚千3 kN2k NkN题2-1图解：各杆的轴力图如图 2-1所示。1J112-2 试画图示各杆的轴力图,并指出轴力的最大值。 图a与b所示分布载荷均沿杆轴均匀分布，集度为q。题2-2图Fn(x) =2qa-qx(a)解：由图2-2a(1)可知,轴力图如图2-2a(2)所示，FN ,max =2qaJ,蚩ya卜a(1(b)解：由图2-2b(2)可知,图 2-2aFr = qaFN (X1)= Fr = qaF n(X2) = Fr q(x2 a) =2qa _qx2轴力图如图2-2b(2)所示，Fn, max - q

2、a图 2-2b23 图示轴向受拉等截面杆，横截面面积A=500mm2,载荷F=50kN。试求图示斜截面m-m上的正应力与切应力，以及杆内的最大正应力与最大切应力。FFm题2-3图解：该拉杆横截面上的正应力为=1.00 108Pa=100MPa_F _50 103NA 500 10一6m2斜截面m-m的方位角 a -50 ,故有2 2-e 二 £os a lOOMPa cos (-50 )=41.3MPaT=2in2a = 50MPa sin（100=/9.2MPa 2杆内的最大正应力与最大切应力分别为omax elOOMPaTax 二 £ = 50MPa22-5某材料的应力

3、-应变曲线如图所示，图中还同时画出了低应变区的详图。试确定材料的弹性模量 E、比例极限Cp、屈服极限；二、强度极限 6与伸长率:,并判断该材料属 于何种类型（塑性或脆性材料）。题2-5解：由题图可以近似确定所求各量。6E =220 10 Pa=220 109 Pa =220GPaA£0.001op : 220MPa , o : 240MPao ： 440MPa, P 29.7%该材料属于塑性材料。2-7 一圆截面杆，材料的应力-应变曲线如题 2-6图所示。若杆径 d =10mm，杆长l =200mm,杆端承受轴向拉力 F = 20kN作用，试计算拉力作用时与卸去后杆的轴向变形。400

4、00.20,40.6 O.it 1.01.2eA2(题2-6图3解：比F 二4 20 乎 豊 显55 108Pa=255MPaA n 0.0102m2查上述c- &曲线，知此时的轴向应变为z 0.0039 二0.39%轴向变形为4 =| & = (0200m) 0.0039 = 7.8 10°m=0.78mm拉力卸去后，有卄 0.00364 ,=0.00026故残留轴向变形为54| =| Z =(0.200m) 0.00026 =5.2 10 m=0.052mm2-9 图示含圆孔板件，承受轴向载荷 F作用。已知载荷F =32kN，板宽b =100mm ,板厚：=15m

5、m，孔径d =20mm。试求板件横截面上的最大拉应力(考虑应力集中)。题2-9图解：根据d/b=0.020m/(0.100m)=0.2查应力集中因数曲线，得K 2.42根据cn 二Cmax(b-d) V2.42 32 103NKF2.42 32 10N _ =6.45 107Pa = 64.5MPamax n (b_d)3 (0.100-0.020) 0.015m22-10 图示板件，承受轴向载荷F作用。已知载荷F=36kN，板宽bi=90mm , b2=60mm , 板厚=10mm，孔径d =10mm ,圆角半径 R =12mm。试求板件横截面上的最大拉应力（考虑 应力集中）。£F

6、题2-10图解：1.在圆孔处 根据d 二 0.010m = 01111b10.090m查圆孔应力集中因数曲线，得°nax = K112.6 36 103NK1F(0 d) 3 (0.0900.010) 0.010m2 =1.17 108Pa=117MPa故有2 .在圆角处 根据D _ 0.090m _1 5 d b2 0.060mR 二 R0.012m _0 2 d b20.060m查圆角应力集中因数曲线，得K21.74故有K2F 1 74X36><103N8irnax = K2 %21.74 36 10 目=1.04 108Pa = 104MPa6 30.060 0.0

7、10m23.结论omaxT17MPa （在圆孔边缘处）F作用。设各杆的横截面面积均为A,许用应力均为2-14 图示桁架，承受铅垂载荷刁，试确定载荷F的许用值F。题2-14图解：先后以节点 C与B为研究对象，求得各杆的轴力分别为FN1 = . 2 F.2FA斗根据强度条件，要求由此得F二A_ 22-15图示桁架，承受载荷F作用,已知杆的许用应力为二。若在节点B和C的位置保持不变的条件下，试确定使结构重量最轻的.工值（即确定节点 A的最佳位置）题2-15图解：1.求各杆轴力设杆AB和BC的轴力分别为Fn1和Fn2，由节点B的平衡条件求得F - F1sin aFN2 = Feta n a2.求重量最

8、轻的：值由强度条件得F ,A? ctan acjsina司结构的总体积为V =A1l1 A2I2FqjsinICOS aFlctan a ctan aadV=o23COS a1 =0由此得使结构体积最小或重量最轻的a值为apt =54 442-16 图示桁架，承受载荷F作用，已知杆的许用应力为二。若节点A和C间的指 定距离为I，为使结构重量最轻，试确定 二的最佳值。解：1.求各杆轴力由于结构及受载左右对称，故有Fn1 =Fn2F2sin e2.求的最佳值由强度条件可得结构总体积为由得由此得二的最佳值为V 2A1I1A =a2F2 qsin eF |_ _ Flqsin e 2cose 一 qs

9、in2 ed ecos2 e =0讪=452-17 图示杆件，承受轴向载荷 F作用。已知许用应力田=120MPa，许用切应力可 =90MPa，许用挤压应力:bs = 240MPa,试从强度方面考虑，建立杆径 d、墩头直径 D及其 高度h间的合理比值。题2-17图解：根据杆件拉伸、挤压与剪切强度，得载荷 F的许用值分别为F-齐4Fhn(D2 d2)46s(b)Fs= nh可（c）理想的情况下，Ft 二Fb 二Fs在上述条件下，由式（a）与（c）以及式（玄）与（b）,分别得hWd4D = -1 + <T d二bs于是得D:h:d 二 1匚:1：1Qbs 4可由此得D :h:d =1.225:

10、0.333:1F1=50kN , F2=35.4kN，许用切2-18 图示摇臂，承受载荷F1与F2作用。已知载荷B的直径d。b6D-D题2-18图解：1.求轴销处的支反力由平衡方程Fx =0与a Fy =0 ,分别得FBx = h - F2cos45 = 25kNFBy =F2si n45 =25kN由此得轴销处的总支反力为2.确定轴销的直径由轴销的剪切强度条件FB = 一252252kN =35.4kN(这里是双面剪)_ J込 <TT 2 TA nd2d -彳：100 102FB2 35.4 10：m=0.015m由轴销的挤压强度条件3d Wr 晟阳 m=001475m结论：取轴销直径

11、 d亠0.015m =15mm。2-19 图示木榫接头，承受轴向载荷 F = 50 kN作用，试求接头的剪切与挤压应力。100 100o题2-19图解：剪应力与挤压应力分别为bs50 103N(0.100m)(0.100m)=5 MPa50 103N(0.040m)(0.100m)=12.5 MPa2-20 图示铆接接头，铆钉与板件的材料相同，许用应力同=160MPa ,许用切应力=120 MPa，许用挤压应力6s = 340 MPa，载荷F = 230 kN。试校核接头的强度。题2-20图解：最大拉应力为max230x103N(0.170 0.020)(0.010)(m2)= 153.3 M

12、Pa最大挤压与剪切应力则分别为3230 103N5(0.020m)(0.010m)=230 MPa=4 230 103绡=146.4 MPa5 n (0.020mi)2-21 图示两根矩形截面木杆，用两块钢板连接在一起，承受轴向载荷F = 45kN作用。已知木杆的截面宽度b =250mm，沿木纹方向的许用拉应力匚=6MPa，许用挤压应力6s=10MPa，许用切应力.=1MPa。试确定钢板的尺寸 ：与I以及木杆的高度 h。题2-21图解：由拉伸强度条件得由挤压强度条件Fb a45 1030.250 6 106m = 0.030m(a)10由剪切强度条件F2b屜45<1032 0.250 1

13、0 106m =0.009m =9mm(b)2blF2bn45汇1032 0.250 1 106m = 0.090 m = 90mm取S= 0.009m代入式(a),得h _(0.030 2 0.009)m = 0.048m =48mm结论：取合二9mm , I 亠90mm , h 丄48mm。2-22 图示接头，承受轴向载荷F作用。已知铆钉直径d=20mm，许用应力；=160MPa，许用切应力.=120MPa，许用挤压应力；飞=340MPa。板件与铆钉的材料相 同。试计算接头的许用载荷。'itJf题2-22图解：1.考虑板件的拉伸强度 由图2-22所示之轴力图可知,Fn1 二 F，

14、Fn2 =3F/41F(b-d) S<oF 乞(b-d) & 0 =(0.200-0.020) 0.015 160 106N =4.32 105N=432kNF N23F4(b-2d) SF_4(b-2d)& 0=4 (0.200 -0.040) 0.015 160 106N=5.12 105N =512kN3 3111F/4 Ar 4<F/4*123图 2-222.考虑铆钉的剪切强度Fs=8T Fs4F2TA 8 nd2F <2 d2彳=2 n 0.0202 120 106N=3.02 105N =302kN3 考虑铆钉的挤压强度Fb #FbF2.d gF_

15、4、dobs=4 0.015 0.020 340 1 06N =4.08 105N=408kN结论：比较以上四个 F值，得F = 302kN2-23 图a所示钢带AB,用三个直径与材料均相同的铆钉与接头相连接，钢带承受 轴向载荷F作用。已知载荷 F= 6kN，带宽b=40mm，带厚-.=2mm，铆钉直径d= 8mm，孔的 边距a=20mm，钢带材料的许用切应力.=100MPa，许用挤压应力二bs=300MPa，许用拉应力 =160MPa。试校核钢带的强度。(b)题2-23图解：1 .钢带受力分析12分析表明，当各铆钉的材料与直径均相同，且外力作用线在铆钉群剪切面上的投影, 过该面的形心时，通常

16、即认为各铆钉剪切面的剪力相同。Fb相同,铆钉孔所受挤压力 Fb等于铆钉剪切面上的剪力，因此，各铆钉孔边所受的挤压力钢带的受力如图b所示，挤压力则为6 103N3= 2.0 103N孔表面的最大挤压应力为bs、d2.0 103N(0.002m)(0.008m)= 1.25 108Pa=125MPa ：二bs在挤压力作用下，钢带左段虚线所示纵截面受剪（图b）,切应力为2、.a2.5 107Pa=25MPa ：2.0 103N2(0.002m)(0.020m)2-2的轴钢带的轴力图如图 c所示。由图b与c可以看出，截面1-1削弱最严重，而截面 力最大，因此，应对此二截面进行拉伸强度校核。截面1-1与

17、2-2的正应力分别为A12F3(b -2d)：32®103N)3(0.040m-2 0.008m)(0.002m)=83.3MPa : L- IFn2A2F(b -d)、.6 103N(0.040m -0.008m)(0.002m)=93.8MPa : L- I13第三章轴向拉压变形3-2 一外径D= 60mm、内径d=20mm的空心圆截面杆，杆长 I = 400mm ,两端承受轴 向拉力F = 200kN作用。若弹性模量 E = 80GPa，泊松比=0.30。试计算该杆外径的改变量 .D及体积改变量。解：1计算.Q由于F AD, 年£ ： , £EADEA故有-

18、吁D44FD4x0.30x200x103x0.060AD = eD22922 mEAE MD2-d2)80x109x n(0.060 -0.0202)-1.79 10 ' m - -0.0179mm2.计算V变形后该杆的体积为V=l A'=(l+总)n(D + &D)2(d + £d)2=AI(1 + £(1+ £2 氐 v(1+ £ 2 £4故有3Fl200 100.400 3AV =V -V =V( £ 2 £(1 -2 p)9 m (1-2 0.3)E80疋109= 4.00 10讣3 =400

19、mm33-4 图示螺栓，拧紧时产生，l =0.10mm的轴向变形。已知：d1 = 8.0mm , d2 = 6.8mm , d3 = 7.0mm ; l1=6.0mm , b=29mm , l3=8mm ; E = 210GPa,二=500MPa。试求预紧力 F，并校 核螺栓的强度。题3-4图解：1.求预紧力F各段轴力数值上均等于 F，因此，EtWd厂 d?由此得14F =4(n ai上d22 At)d2 d2n 210 109 0.10 10- / 0.00600290.008、4 (222)0.00820.006820.0072N =1.865 104N =18.65kN2.校核螺栓的强度

20、4FFaxnl24 18.65 103N"n 0.00682m2= 5.14 108Pa = 514MPa此值虽然超过c，但超过的百分数仅为 2.6%，在5%以内，故仍符合强度要求。3-5 图示桁架，在节点 A处承受载荷F作用。从试验中测得杆1与杆2的纵向正应变分别为&_! = 4.0X 10-4与&2 = 2.0X 10-4。已知杆1与杆2的横截面面积A1= A2=200mm2，弹性模量E1= E2=200GPa。试确定载荷F及其方位角二之值。题3-5图解：1.求各杆轴力FN1=E1gA =2001094.010200 10N=1.6104N=16kNFN2 =E2

21、=200 109 2.0 10* 200 10N =8 103N =8kN2.确定F及B之值由节点A的平衡方程v Fx=0和v Fy =0得FN2si n30Fsi nB- FN1si n30 =0FN1 cos30FN2 cos30 - F cos B = 0Fn1 _ Fn2 =2Fsin B化简后，成为及15(b)- 3(Fni Fn2 ) =2Fcos 0联立求解方程（a）与（b），得3tan 0= _ N1V3（Fni +Fn2）厉（16+8）灯03由此得0 =10.89 ： 10.9 ”（168） 1032.12 104 N = 21.2kN 2si n02si n10.893-6

22、图示变宽度平板，承受轴向载荷f作用。已知板的厚度为长度为I，左、右端的宽度分别为b1与b2,弹性模量为E。试计算板的轴向变形。Ai十!丁题3-6图解：对于常轴力变截面的拉压平板，其轴向变形的一般公式为由图可知，若自左向右取坐标代入式（a），于是得AlF dx F dxEA(x)b(x)x，则该截面的宽度为b(x)"1 心1E 0Fllnb2b137图示杆件，长为I，横截面面积为A,材料密度为，弹性模量为E,试求自重 下杆端截面B的位移。16题3-7图解：自截面B向上取坐标y , y处的轴力为Fn "Ay该处微段dy的轴向变形为于是得截面B的位移为沁dy=凹dyr EAE_

23、_ 2 二诰()3-8图示为打入土中的混凝土地桩，顶端承受载荷f，并由作用于地桩的摩擦力所支A,持。设沿地桩单位长度的摩擦力为f，且f = ky2,式中，k为常数。已知地桩的横截面面积为弹性模量为E,埋入土中的长度为I。试求地桩的缩短量、：。题3-8图解：1.轴力分析摩擦力的合力为根据地桩的轴向平衡，由此得FyIi| 3=7 fdy= 0ky2dy 盲(a)3FI3截面y处的轴力为Fn= .0fdy=0ky2dy =ky-2.地桩缩短量计算截面y处微段dy的缩短量为17积分得Ndy0 EA将式（a）代入上式，于是得FzdyEAk l3EA0y3dy =ki412EAFl4EA3-9 图示刚性横

24、梁 AB,由钢丝绳并经无摩擦滑轮所支持。设钢丝绳的轴向刚度（即 产生单位轴向变形所需之力）为k,试求当载荷F作用时端点B的铅垂位移。解：载荷F作用后,题3-9图/?刚性梁AB倾斜如图（见图3-9）。设钢丝绳中的轴力为Fn，其总伸长为Al。图3-9以刚性梁为研究对象，由平衡方程x Ma =0得FNa FN(a b) =F(2a b)由此得Fn =F由图3-9可以看出，."(2a b)A = AA - ：a Ma - b) - v(2a b)可见，A = A(b)根据k的定义，有18于是得Fn3-10 图示各桁架，各杆各截面的拉压刚度均为EA，试计算节点A的水平与铅垂位移。题3-10图（

25、a）解：利用截面法，求得各杆的轴力分别为Fni = Fn2 - F （拉力）Fn4=、2F （压力）Fn3 =0于是得各杆的变形分别为 :l.:l2 Fl （伸长）1 2 EA221 =2Fl （伸长）EA EA=l3 =0如图3- 10（1）所示，根据变形 冷与厶-确定节点B的新位置B',然后，过该点作长为1+2 的垂线，并过其下端点作水平直线，与过A点的铅垂线相交于 A',此即结构变形后节点 A的新于是可以看出，节点 A的水平与铅垂位移分别为AAx =0Ay =习1显儿宀2二旦 . 22FI 旦=212 旦EA EA EAEA19FNi = F （拉力）Fn2 =0于是由图

26、3- 10(2)可以看出，节点 A的水平与铅垂位移分别为FlEA旦EAE,3-11 图示桁架ABC,在节点B承受集中载荷F作用。杆1与杆2的弹性模量均为 横截面面积分别为 A1=320mm2与A2 =2 580mm2。试问在节点B和C的位置保持不变的条件下,为使节点B的铅垂位移最小,v应取何值(即确定节点 A的最佳位置)解：1.求各杆轴力由图3-11a得sin 0F n2 = F eta n 020_ FDctan 0一 EA20=创 + J2in 0 tan 0解此三次方程，舍去增根，得由此得0的最佳值为cos 0 = 0 564967(a)图 3-112.求变形和位移由图3-11b得_ F

27、niIi2FI2EAEA|Si n2B2Fl 2(2+ctan 0)E Asin2 0in 0A23.求0的最佳值由 d4y/d0 = 0 ,得22 (2cos2 0in 0 cos 0in2 0) 2ctan 0 csc 0,0Asin 2 0sin 0A由此得322RCOS 0 -A2(1-3cos 0) =0将A与A的已知数据代入并化简，得cos3 0 12.09375cos2 0-4.03125 =00pt =55.63-12 图示桁架，承受载荷 F作用。设各杆的长度为I,横截面面积均为 A,材料的 应力应变关系为；=B :，其中n与B为由试验测定的已知常数。试求节点 C的铅垂位移。2

28、1解：两杆的轴力均为轴向变形则均为于是得节点C的铅垂位移为F2 cos 二n2Acos:BFnl* cosa 2n An B cosn 十 ot3-13 图示结构，梁BD为刚体，杆1、杆2与杆3的横截面面积与材料均相同。在 梁的中点C承受集中载荷F作用。已知载荷F = 20kN，各杆的横截面面积均为 A=100mm2, 弹性模量E = 200GPa,梁长I = 1 000mm。试计算该点的水平与铅垂位移。题3-13图解：1.求各杆轴力由Fx =0，得由- F y - 0，得2 .求各杆变形2242=03AlFniI10x10 :<1.000uc 仆-4 cueA|Al1N-m =5.0

29、10 m =0.50mm = Al3EA 200 1 09 1 00 1 0-63 .求中点C的位移由图3-13易知，A = Al0.50mm (r ), A = A =0.50mm (0)3-14 图a所示桁架，承受载荷 F作用。设各杆各截面的拉压刚度均为 EA，试求节 点B与C间的相对位移 舄/c。Q(町(b)题3-14图解：1.内力与变形分析利用截面法，求得各杆的轴力分别为Fn1 = Fn2 = Fn3 = Fn4f（拉力）Fn5 二 F (压力)于是得各杆得变形分别为23FI2EA（伸长）宀/雹（缩短）2.位移分析如图b 所示,过d与g分别作杆2与杆3的平行线，并分别与节点 C的铅垂线

30、相交于 e与h，然后，在de与gh延长线取线段厶13与J2，并在其端点m与n分别作垂线，得交点 C' 即为节点C的新位置。可以看出,A/c=2Ci 心二2 于 s 二2 參 2、塞FN12F,fn3 兮 FV=2FiNili"EA2EA(!F2护占亠）2EA(4图 3-15依据能量守恒定律,243-15 如图所示桁架，设各杆各截面的拉压刚度均为EA,试用能量法求载荷作用点沿载荷作用方向的位移。-迈F F -N2 一该桁架的应变能为最后得A 2 F2| /2、2(2 2 1)FI ( 丿 - F 2EA 44EA(b)解：各杆编号示如图 b列表计算如下：iF NiliFNih1

31、FIF2I20I03FIF2I4FIF2I5迈F<2I2逅F2IZ(3 + 2V2)F2l于是,V_FNk _(3 2、2)F2I'一 y2EA 2EA依据能量守恒定律,可得 -(3 2、2)FI_ EA(>)EA，试用能量法F作用。设各杆各截面的拉压刚度均为解：依据题意，列表计算如下:3-16 图示桁架，承受载荷 求节点iF NiIiFNiIi1V2f/2IF2I /22应F/2IF2I /2253V2F/2IF| /24盪F/2IF2| /2:5-F屈V2f2i(2十忑)F2I由表中结果可得V 皿（2 *2）F2Il i 4 2EA 一 2EA依据W=V .得2 （2

32、2）FI （）4/cea（）3-17 图示变宽度平板，承受轴向载荷 F作用。已知板的厚度为6,长度为I，左、右端的宽度分别为bi与b2,弹性模量为E，试用能量法计算板的轴向变形。题3-17图解：对于变截面拉压板件，应变能的表达式为V；2 2£dx0点产由图可知，若自左向右取坐标x ,则该截面的宽度为b( x)二 d b2_bl x将上式代入式（a）,并考虑到Fn-F ,于是得dx 巴店2ES(b2 -b1) b1F2I2f2iZEgbi)1唔26邛10F22E S g 6 一叭1 I设板的轴向变形为'：l，则根据能量守恒定律可知,由此得内F1inb2E S(b2 - b|)b

33、|3-19 图示各杆，承受集中载荷 F或均布载荷q作用。各杆各截面的的拉压刚度均为EA，试求支反力与最大轴力。A% Faaa KirAV月u题3-19图解：杆的受力如图3-19a(1)所示，平衡方程为图 3-19aAC, CD与DB段的轴力分别为FN1 = FAx， Fn2 二 Fax 一 F , Fn 3 二 FAx - 2F由于杆的总长不变，故补充方程为再=注 +(Fax _F 月 +(Fax _2F )a =0EA EAEA得FaxF =0由此得Fax =FFbx =2F -Fax =F杆的轴力图如3-19a(2)所示，最大轴力为27FN,max = F(b)解：杆的受力如图3-19b(

34、1)所示，平衡方程为二 Fx = 0, qa ax Fbx = 0一个平衡方程，两个未知支反力，故为一度静不定。cXq且匸 * " - ba0图 3-19bCI)AC与CB段的轴力分别为Ax ,Fn1 = FAx,Fn2 = FAx - qx由于杆的总长不变，故补充方程为1 aEA EA。FAxqxdxNFax a1 :eagq2=0由此得qaFAx4Fbx =qa Fax3qa4杆的轴力图如3-19b(2)所示,最大轴力为Fn3-20 图示结构，杆1与杆2的横截面面积相同，弹性模量均为 E,梁BC为刚体, 载荷F=20kN，许用拉应力G=160MPa,许用压应力二c=110MPa，

35、试确定各杆的横截面面积。28题3-20图故Fn2为拉力，解：容易看出，在载荷F作用下，杆2伸长，杆1缩短，且轴向变形相同,Fni为压力，且大小相同，即F N2 =Fni以刚性梁BC为研究对象，铰支点为矩心，由平衡方程M =0, FN2 a Fn1 aF 2a =0由上述二方程，解得FN2 = Fni根据强度条件,A2F N2Fti20 103N110 106Pa42= 1.818 10 m220 103N160 1 06 Pa42= 1.25 10 m22A = A2 =182mm力。3-21 图示桁架,承受铅垂载荷f作用。设各杆各截面的拉压刚度相同,试求各杆轴题3-21图(a)解：此为一度静

36、不定桁架。设Fn,ab以压为正，其余各段轴力以拉力为正。先取杆AB为研究对象，由FN,BC Fn, ab = F、Fy =0 ,得(a)后取节点A为研究对象，由V Fx =0和V Fy =0依次得到29Fn,AD = F N, AG及2Fn,adCOs45 = Fn,ab在节点A处有变形协调关系(节点 A铅垂向下)AIbC - AB2 ADcos45(b)(c)(d)Al- Fn，bc1A1bcea，Fn,ab1Al ab ea，a1adFn ,ad 21ea将式(e)代入式(d)，化简后得FN,BC'FN,AB - 2Fn ,ad(e)(d)物理关系为联解方程(a), (c)和(d)

37、:得L 运 L " LFn,bc(拉)，Fn ,ab =(b)解：此为一度静不定问题。2-22 F (压)，Fn ,ad =Fn,ag2 -12(拉)考虑小轮A的平衡，由V Fy =0，得FN1si n4 5 八F =0由此得Fn1 = 2F在F作用下，小轮 A沿刚性墙面向下有一微小位移，在小变形条件下，A2 : 0，故有FN2 二0Fn1的水平分量由刚性墙面提供的约束反力来平衡。3-22 图示桁架，杆 1、杆2与杆3分别用铸铁、铜和钢制成，许用应力分别为F =40MPa ,匚2 =60MPa , ；3 =120MPa，弹性模量分别为E1=160GPa, E2=100GPa,E3=2

38、00GPa。若载荷F=160kN , A1= A2= 2A3,试确定各杆的横截面面积。 题3-22图解：此为一度静不定结构。节点C处的受力图和变形图分别示如图3-22a和b。图 3-22由图b得变形协调方程为根据胡克定律，有(b)(c)由图a可得平衡方程Fx =0, Fni' Fn221Fy =0,二Fn2Fn3 二 F2Al2Alicta n30-4 3sin 30Al1FN1 l1EiAF n-1-F N- l1Al -E-A-、3E2A3'Al3F N3l3F N3l13E3A3(d)(c')将式(d)代入式(c)，化简后得补充方程为15FN1 32F N- =8

39、FN3联解方程(a) , (b)和(c '，并代入数据，得FN1 =22.6kN (压),Fn- =26.1kN (拉)，FN3 =146.9kN (拉)根据强度要求，计算各杆横截面面积如下：F ni 22.6 1024-A 6 m 5.65 10 m 565mm引 40 106A-F N2326.1 103 - 厂m60 106=4.35 10“m-=435mm-313民 _电 J46.9 10 mi? =1.224 10m2 =1224mm2 "o3120106根据题意要求，最后取2A =民=2民 _ 2450mm3-23 图a所示支架，由刚体ABC并经由铰链A、杆1与杆

40、2固定在墙上，刚体在C 点处承受铅垂载荷 F作用。杆1与杆2的长度、横截面面积与弹性模量均相同，分别为 1=100 mm， A=100 mm2， E=200 GPa。设由千分表测得 C点的铅垂位移mm,试确定载荷F 与各杆轴力。(b)(c)(d)题3-23图解：1.求解静不定在载荷F作用下，刚体ABC将绕节点A沿顺时针方向作微小转动，刚体的位移、杆件的 变形与受力如图b所示。显然，本问题具有一度静不定。由平衡方程7 M A =0，得,Fn2Fn1一F=02由变形图中可以看出，变形协调条件为.讪=2打2根据胡克定律，3二皿，Ab二血EAEA将上述关系式代入式（b）,得补充方程为Fn1 =2Fn2

41、联立求解平衡方程（a）与上述补充方程，得Fn1 =¥，Fn25 52.由位移、y确定载荷F与各杆轴力变形后，C点位移至C'CC _LAC）（图b）,且直线AC与AB具有相同的角位移 日，因此,32C点的总位移为:.二CC'二竺1 =.J2.AB又由于- =. 2j.y由此得 ：l 1 = y将式(6与(d)的第一式代入上式，于是得F _5EA® _5(200x109Pa)(100x10”m2)(0.075x10，m)_1 875><104“ 一 41 一4(100 10m)一 .并从而得FN1 =1.5 104N,FN2 =7.5 103N3-2

42、4 图示钢杆，横截面面积 A=2500mm2，弹性模量E=210GPa，轴向载荷F=200kN。试在下列两种情况下确定杆端的支反力。(a) 间隙=0.6 mm ；(b) 间隙=0.3 mm。c题3-24图解：当杆右端不存在约束时，在载荷F作用下，杆右端截面的轴向位移为史(200 103N)(1.5rn)2 = 0.57mmEA (210 109Pa)(2500 10 m2)当间隙&0.6 mm时，由于dF <d，仅在杆C端存在支反力，其值则为Fcx =F =200kN当间隙=0.3 mm时，由于，杆两端将存在支反力，杆的受力如图3-24所示。杆的平衡方程为图 3-2433补充方程

43、为由此得f、EAFbx :2-2a200 103N_ 2而C端的支反力则为F -Fbx-Fcx=°Fa Fbx 2aEA 一 EA(0.0003m)(210 109Pa)(2500 10 m2)2(1.5m)=47.5 kNFCx =F -FBx =200 kN -47.5 kN =152.5 kN3-25 图示两端固定的等截面杆 AB,杆长为I。在非均匀加热的条件下，距 A端x 处的温度增量为汀 YTBx2/I2，式中的八心为杆件B端的温度增量。材料的弹性模量与线膨 胀系数分别为E与：-l o试求杆件横截面上的应力。题3-25图解：1 求温度增高引起的杆件伸长此为一度静不定问题。假

44、如将B端约束解除掉，则在 X处的杆微段dx就会因温升而有个微伸长a 2Tb xd(AIt)二 a ATdx1 尹 dx全杆伸长为21 a ATbX ia ATb1Alt2dx -0 I232 求约束反力 设固定端的约束反力为F，杆件因F作用而引起的缩短量为A厂尸“1 =F|EA EA由变形协调条件AIF 二 Alt34可得EA ai ATb3EA a TbIF =l 33 求杆件横截面上的应力Fn F E a ATbCT =A A 3厶。如使杆端B与节点EA。3-26 图示桁架，杆BC的实际长度比设计尺寸稍短，误差为G强制地连接在一起，试计算各杆的轴力。设各杆各截面的拉压刚度均为解：此为一度静

45、不定问题。自左向右、自上向下将各杆编号15。杆13受拉，杆4和5受压。装配后节点 G和C的受力图分别示如图(b)根据平衡条件，由图Fn1 = FN2 - FN3由图b可得FN4 二 Fn5，F n3 2 F N4cos3° =、 3F n4变形协调关系为(参看原题图)A-cos60如 如Al3cos30依据胡克定律，有A|i =皿EA(i =15)由强制装配容易判断,3-26a 和 b。(b)(c)(d)将式(d)代入式(c)，得补充方程35A_ 2FN11 2FN4 - 31 FN31一 EA 3EA EA（e）联立求解补充方程（e）、平衡方程（a）与（b），最后得（9 _2 3）

46、EA（3 3 -2）EA AFN3A FN4A23lN4 23lFF F（9_2、3）EAFn,BC 二 Fn,GD 二 Fn,GE23PF F （3、3-2）EA Afn,cd - fn,ce -231 AA （拉）（压）3-27 图a所示钢螺栓，其外套一长度为 I的套管。已知螺栓与套管的横截面面积分别为Ab与At，弹性模量分别为Eb与Et,螺栓的螺距为p。现将螺母旋紧1/5圈，试求螺栓与套管所受之力。螺帽与螺母的变形忽略不计。题3-27图解：首先设想套管未套上，而将螺母由距螺帽 I处旋转1/5圈，即旋进p/5的距离。然 后，再将套管套上。由于螺帽与螺母间的距离小于套管的长度，故套合后的螺栓

47、将受拉，而 套管则受压。设螺栓所受拉力为 FNb，伸长为."lb,套管所受压力为Fm,缩短为厶It,则由图b与c可知, 平衡方程为FNb _'FNt -0而变形协调方程则为二 | b y t =-利用胡克定律，得补充方程为（b）FNbl . FNt I .-：Ab EbAtEt最后，联立求解平衡方程（式中，a）与补充方程（b），得螺栓与套管所受之力即预紧力为Fn。二 FNb 二 FNt 匝l 1 k36AbEb3-28 图示组合杆，由直径为30mm的钢杆套以外径为 50mm、内径为30mm的铜管 组成，二者由两个直径为 10mm的铆钉连接在一起。铆接后，温度升高 40 C，试

48、计算铆钉剪 切面上的切应力。钢与铜的弹性模量分别为Es = 200GPa与Ec=100GPa,线膨胀系数分别为:is =12.5 X 10-6 C-1 与：lc =16 X 10-6 C -1解：设温度升高.T时钢杆和铜管自由伸长量分别为敢和 敢，由于二者被铆钉连在一起,变形要一致，即变形协调条件为泊乂工Ac -凶c或写成Als Ale = Ac - As这里，伸长量 Als和缩短量Alc均设为正值。引入物理关系，得FNs _ FNcl“(ac - asp ATEsAsEcAc将静力平衡条件FNs二FNc二F代入上式，得EsAsEcAcf - - c _ ( ac 一 as) at注意到每个铆钉有两个剪切面，故其切应力为T Fs _ F _EsA；EcAc( ac as)ATT A _2A 一 2A(EsAs EcAc)由此得_200 109 0.0302 100 109(0.0502 -0.0302)(16 -12.5) 10"6 40N29292222 0.010 200 100.030100 10 (0.050 -0.030 )m=5.93 107Pa=59.3MPa3-29 图示结构，杆1与杆2各截面的拉压刚度均为 EA，梁BD为刚体，试在下列两37种情况下，画变形图，建立补充方程。(1) 若杆2的实际尺寸比设计尺寸稍短，