梁桥考试计算题

1、主讲：徐略勤主讲：徐略勤土木建筑学院桥梁工程系土木建筑学院桥梁工程系E-mail：第一节第一节 实用空间理论的基本原理实用空间理论的基本原理第二节第二节 刚性横梁法刚性横梁法第三节第三节 铰接板（梁）法铰接板（梁）法第四节第四节 剪力荷载横向分布系数计算剪力荷载横向分布系数计算第五节第五节 边梁和内梁刚度不等的荷载横向分布计算边梁和内梁刚度不等的荷载横向分布计算第六节第六节 各种体系变截面梁桥的荷载横向分布计算各种体系变截面梁桥的荷载横向分布计算第七节第七节 横梁计算横梁计算梁桥由承重结构（主梁）及传力构件（横梁、桥面板等）组成。多片主梁依靠横梁和桥面板连成空间整体结构。当桥上作用荷载P时，各

2、片主梁共同参与工作，形成了各片主梁之间的内力分布。每片主梁分布到的 内力大小，与桥梁 横断面形式、荷载 类型及荷载位置有 关，属于空间受力 范畴。空间结构的精确分析需采用有限元理论，将整体结构离散为板、壳或其他单元。（SAP2000、ANSYS、ADINA、ALGOR、LUSAS、Bridge等） 梁桥的受力具有空间特性，各主梁的最大设计内力计算属于空间问题。精确计算时，需要求解结构的内力影响面内力影响面并进行最不利加载，但过程较难。早期桥梁中，桥面板仅简支在大梁上，或搁在横梁上，横梁在搁在主梁上。桥面板和横梁是传递荷载的局部构件，不与主梁牢固连续共同承载。因此，通用的方法是引入横横向分布系数

3、向分布系数，将复杂的空间问题合理地简化为平面问题来求解。采用杠杆原理法求解早期桥梁：采用杠杆原理法求解早期桥梁：将作用在板上的轮重按简支梁反力的方式分配给左右相邻两片主梁；若主梁所支承的相邻两块板上都有荷载，则该梁所受的荷载时两个支承反力之和，如图中的梁。基本假定：忽略主梁 之间横向结构的联系 作用；适用场合：计算荷载 位于靠近主梁支点时 的荷载横向分布系数； 双主梁桥；横向联系 很弱的无中间横隔梁 的桥梁。为了求得主梁在横向分配到的最大荷载，首先需要求得各片主梁的荷载横向影响线，即简支梁反力影响线，然后按照活载最不利位置进行布载，求出各片主梁分配得到的横向荷载最大值，该值表示主梁在横向分配得

4、到的最大荷载的比例，称为横向分布系数横向分布系数。杠杆原理的计算步骤：杠杆原理的计算步骤：判断计算方法绘出横向分布影响线按最不利荷载位置布载计算荷载横向分布系数 。由于横向传力系统 的构造在全跨是相 同的，因此对于某 一片主梁来说，其 荷载横向分布系数 在全跨是个常值。一、示例某钢筋混凝土简支梁桥跨径l =16m，桥面宽度为净4.6m+20.5m，单车道，三片主梁，跨中和两端都设置横隔梁。求1号梁跨中截面的最大设计弯矩Mmax。按梁格法求解按梁格法求解1号梁内力影响面：号梁内力影响面：假定横梁的抗弯刚度相对主梁视作无穷大。进行影响面加载：1号梁的跨中弯矩影响面号梁的跨中弯矩影响面1111max

5、0.3850.2290.8330.3332222MMMMPPPPMyyyy701300.614 41.166 4389()22kN m若采用简化分析方法计算（即横向分布系数概念）若采用简化分析方法计算（即横向分布系数概念）：先求荷载横向分布影响线，然后求解荷载横向分布系数，再求1号梁跨中弯矩。max120.5837021304385()2McMyMmPPykN m对比精确值的对比精确值的389kN-m二、计算原理1、实用计算方法的原理、实用计算方法的原理近似内力影响面在x方向和单梁跨中弯矩影响线1(x)相似，都呈三角形；在y向和荷载横向分布影响线2(y)相似。用两个单值函数1(x) 、 2(y

6、)的乘积所组成的近似内力影响面 代替精确的内力影响面 （可用变量分离的方法得到），使得桥梁空间结构的受力分析可以用荷载横向分布影响线2(y)结合主梁平面内力影响线1(x)来近似替换，把空间问题转成了平面问题。主梁平面内力影响线主梁平面内力影响线荷载横向分布影响线荷载横向分布影响线( , )x y( , )x y12( , )( , )( )( )x yx yxy前提：前提： 精确的内力影响面在纵、横向各自有相似的特征。精确的内力影响面在纵、横向各自有相似的特征。 在桥梁设计中，当桥面荷载确定后，具体分布至各片主梁在桥梁设计中，当桥面荷载确定后，具体分布至各片主梁或各板条的荷载就为定值，该定值可

7、以用车辆轴重与一个表征或各板条的荷载就为定值，该定值可以用车辆轴重与一个表征荷载分布程度的系数之积，这个系数就称为荷载分布程度的系数之积，这个系数就称为荷载横向分布系数荷载横向分布系数。 实质应是实质应是“内力内力”横向分布，只是在变量分离后在计算式横向分布，只是在变量分离后在计算式的表现形式上成了的表现形式上成了“荷载荷载”横向分布。横向分布。 对于横隔梁刚度不同的情况，各主梁的横向分布系数分对于横隔梁刚度不同的情况，各主梁的横向分布系数分析。析。 在实际工程中，梁桥可能采用不同类型的横向结构。荷载在实际工程中，梁桥可能采用不同类型的横向结构。荷载横向分布系数的计算方法必须考虑这些结构特点法

8、。目前常用横向分布系数的计算方法必须考虑这些结构特点法。目前常用的横向分布计算方法如下：的横向分布计算方法如下： 杠杆原理法杠杆原理法把横向结构把横向结构( (桥面板和横隔梁桥面板和横隔梁) )视作在主梁视作在主梁上断开而简支在主梁上的简支梁；上断开而简支在主梁上的简支梁； 偏心压力法偏心压力法把横隔梁视作刚性极大的梁，当计及主梁把横隔梁视作刚性极大的梁，当计及主梁抗扭刚度影响时抗扭刚度影响时, ,此法又称为修正偏心压力法；此法又称为修正偏心压力法； 横向铰接板横向铰接板( (梁梁) )法法把相邻板把相邻板( (梁梁) )之间视为铰接，只传之间视为铰接，只传递剪力；递剪力； 横向刚接梁法横向刚

9、接梁法把相邻主梁之间视为刚性连接，即同时把相邻主梁之间视为刚性连接，即同时传递剪力和弯矩；传递剪力和弯矩； 比拟正交异性板法比拟正交异性板法将主梁和横隔梁的刚度换算成两个将主梁和横隔梁的刚度换算成两个方向刚度不同的比拟弹性平板来求解，并由实用的曲线图表进方向刚度不同的比拟弹性平板来求解，并由实用的曲线图表进行荷载横向分布计算。行荷载横向分布计算。(1)绘横向分布影响线绘横向分布影响线(2)按最不利位置排列荷载按最不利位置排列荷载（荷载的横向排布）（荷载的横向排布）(3)求算求算i(4)求横向分布系数求横向分布系数 对于梁对于梁 对于、对于、 梁梁 对于、对于、 梁梁422. 1438. 000

10、rqmm000. 0500. 000rqmml 基本前提：基本前提：1. 汽车荷载作用下，中间横隔梁可近似地看作一根汽车荷载作用下，中间横隔梁可近似地看作一根刚度为无穷刚度为无穷大大的刚性梁，横隔梁仅发生的刚性梁，横隔梁仅发生刚体位移刚体位移；2. 忽略忽略主梁的主梁的抗扭刚度抗扭刚度，即不计入主梁扭矩抵抗活载的影响。，即不计入主梁扭矩抵抗活载的影响。l 适用场合：适用场合： 桥上具有可靠的横向联结，桥上具有可靠的横向联结，且桥的且桥的宽跨比宽跨比B / l小于或接小于或接近近0.5的情况时（一般称为的情况时（一般称为窄桥）的跨中截面荷载横向窄桥）的跨中截面荷载横向分布系数计算。分布系数计算。

11、一、刚性横梁法一、刚性横梁法如图所示，一座由4片主梁组成的梁桥，各片主梁的抗弯刚度Ii，主梁间距ai都各不相等，集中荷载P作用在离截面扭转中心o的距离为e处，计算荷载P在各片主梁的横向分布情况。变形分解为两部分： 1）纯竖向位移 2）纯转动12nwww iiwa tg（1）在竖向荷载P作用下，由于作用力通过扭转中心，而且横向刚性，因此各片梁的挠度相同：12nwww 由材料力学可知，简支梁跨中荷载与挠度的关系为： 248iiiRlwEIiiiRI w或改写为：R1w1由静力平衡条件：11nniiiiiRwIP11iniiwI把上式代入可得：1iiniiIRPI11iniiwIiiiRI w（2）

12、在偏心力矩M=Pe作用下，横梁绕扭转中心o转动一微小的角度，因此各片主梁产生的竖向挠度可表示为：taniiwaiiiRI wtaniiiiiiiRI wI aa I根据力矩平衡条件可知：把代入：211nniiiiiiR aa IP e21niiiPea ItaniiiiiiiRI wI aa I21iiiniiiPea IRa I（3）偏心荷载P对各主梁产生的总的作用力，等于上述两项之和：211iiiiiinniiiiiIa IRRRPPeIa I若，主梁是等间距、等刚度的话，则有：21iiiiniiPPeRRRana竖向力平衡竖向力平衡可得：可得：故有：故有：于是各主梁荷载分于是各主梁荷载分

13、布为：布为：21n348iiiiiiaIREIlR或111111nniiiiiiniiiiniiRaIaIIRI力矩平衡力矩平衡可得：可得：因此：因此：tgaii 348iiiiiiiRaIa tga Ia IEa tgal，211211nniiiiiiniiiR aa Ieea I 21iiiniiiea IRa I同样可得其余的式子同样可得其余的式子211iikiiknniiiiiIa a IRIa IiikkikIRRI=eka211111211nniiiiiIa IRIa I2111111151221111()nnnniiiiiiiiiiIaa IIa IRIa IIa I221 22

14、1211nniiiiiIa a IRIa I2212221 225221111()nnnniiiiiiiiiiIaa IIa a IRIa IIa I当各主梁截面相同时当各主梁截面相同时211111211nniiiiiIa IIa I211115211nniiiiiIa IIa I2111211niiana2115211niiana二、考虑主梁抗扭刚度的修正刚性横梁法二、考虑主梁抗扭刚度的修正刚性横梁法1）偏心压力法中存在的问题）偏心压力法中存在的问题 51251iiiikiiiiikIaIaaIIR2）修正偏心压力法原理）修正偏心压力法原理主梁根数1.06741.04251.02861.02

15、17t/b0.1c0.141 0.155 0.171 0.189 0.209 0.229 0.250 0.270 0.291 0.312t/3第三节第三节 铰接板铰接板( (梁梁) )法法适用情况：适用情况： 现浇砼纵向企口缝连结的装配式板桥；仅在翼板间现浇砼纵向企口缝连结的装配式板桥；仅在翼板间用钢板或钢筋连接的无中间横隔梁的装配式桥。用钢板或钢筋连接的无中间横隔梁的装配式桥。 块间横向有一定连结构造，但刚性弱，这类结构的块间横向有一定连结构造，但刚性弱，这类结构的受力状态实际接近于数根并列而相互间横向铰接的狭受力状态实际接近于数根并列

16、而相互间横向铰接的狭长板长板( (梁梁) )，对于跨中荷载横向分布计算，不能用，对于跨中荷载横向分布计算，不能用“偏压偏压法法”计算。计算。一般情况下结合缝上可能引起的内力为：一般情况下结合缝上可能引起的内力为：竖向剪力竖向剪力g(x)横向弯矩横向弯矩m(x) 纵向剪力纵向剪力t(x)法向力法向力n(x)受力特点受力特点基本假定基本假定 1： 在竖向荷载作用下，接缝内只传在竖向荷载作用下，接缝内只传递竖向剪力递竖向剪力常数常数 )()()()()()()()(21212121xPxPxQxQxMxMxx )()( EIxQEIxM 和和q注意：把一个空间计算问题，借助按横向挠注意：把一个空间计

17、算问题，借助按横向挠度分布规律来确定荷载横向分布的原理，简化度分布规律来确定荷载横向分布的原理，简化为一个平面问题来处理，应严格满足为一个平面问题来处理，应严格满足(以以1、2号号板梁为例板梁为例)：此式表明，在桥上荷载作用下，任意两根板梁此式表明，在桥上荷载作用下，任意两根板梁所分配到的荷载的比值，与挠度的比值以及截所分配到的荷载的比值，与挠度的比值以及截面内力的比值都相同。面内力的比值都相同。对于每条板梁，有：对于每条板梁，有：实际上对于集中轮重或分布荷载的作用情况，实际上对于集中轮重或分布荷载的作用情况，都不能满足此条件。假如采用具有峰值都不能满足此条件。假如采用具有峰值p0 的半的半波

18、正弦荷载：波正弦荷载：根据其积分和求导的性质，就能够满足上式，根据其积分和求导的性质，就能够满足上式，这样就使得荷载、挠度、内力变化规律协调。这样就使得荷载、挠度、内力变化规律协调。lxpxp sin)(0 常数常数 )()()()()()()()(21 2 1 2 121xPxPxxxxxx 则：则：基本假定基本假定2： 采用半波正弦荷载来分析跨中荷采用半波正弦荷载来分析跨中荷载横向分布的规律载横向分布的规律q由此严格来说，荷载横向分布的处理办法，由此严格来说，荷载横向分布的处理办法，理论上仅对理论上仅对常截面的简支梁常截面的简支梁(为正弦函数时满为正弦函数时满足简支的边界条件足简支的边界条

19、件)作用半波正弦荷载作用半波正弦荷载时，才属时，才属正确。鉴于用正弦荷载代替跨中的集中荷载，正确。鉴于用正弦荷载代替跨中的集中荷载，在计算各梁跨中挠度时的误差很小，而且，计在计算各梁跨中挠度时的误差很小，而且，计算内力时虽有较大误差，但考虑到实际计算时算内力时虽有较大误差，但考虑到实际计算时有许多车轮沿桥跨分布，这样又进一步使误差有许多车轮沿桥跨分布，这样又进一步使误差减小，故在铰接板减小，故在铰接板(梁梁)法中，作为一个基本假法中，作为一个基本假定，也就采用半波正弦荷载来分析跨中荷载横定，也就采用半波正弦荷载来分析跨中荷载横向分布的规律。向分布的规律。1、铰接板桥的荷载横向分布、铰接板桥的荷

20、载横向分布根据以上所作的基本假定，铰接板桥的受力根据以上所作的基本假定，铰接板桥的受力图式如下图所示。图式如下图所示。正弦荷载 作用下，铰缝产生正弦分布的铰接力取跨中单位长度分析，铰接力用峰值gi表示：( )sinxp xpl( )siniixg xgl铰接板桥的计算图式：铰接板桥的计算图式：求单位正弦荷载作用在求单位正弦荷载作用在1号梁上时号梁上时(n-1)条条铰缝的铰接力峰值铰缝的铰接力峰值gi各板分配的竖向荷载峰值各板分配的竖向荷载峰值Pi1为：为：1号板号板 P11=1-g12号板号板 P21=g1-g23号板号板 P31=g2-g34号板号板 P41=g3-g45号板号板 P51=g

21、4用“力法”求解gi，变形协调条件相邻板块在铰缝处竖向相对位移为零： 式中，式中， 铰缝铰缝k内作用单位正弦铰接力，在内作用单位正弦铰接力，在铰缝铰缝i处引起的竖向相对位移；处引起的竖向相对位移； 外荷载外荷载P在铰缝在铰缝i处引起的竖向位移。处引起的竖向位移。11112213314412112222332442311322333344341142243344440000ppppggggggggggggggggikip为了确定为了确定 和和 ，考察任意板梁在左边铰缝，考察任意板梁在左边铰缝内作用单位正弦铰接力的典型情况。内作用单位正弦铰接力的典型情况。ikipgi1gi1i+1号板i号板b/2

22、b/2b/2b/2mi1b/2gi1gi1i号板b/2b/2b/2b/2mi+11b/2gi1i+1号板gi1掌握了这一典型的变形规律，参照上图所示的掌握了这一典型的变形规律，参照上图所示的基本体系，就不难确定以基本体系，就不难确定以和和表示的全部表示的全部 和和 。计算中应遵循下述符号：当计算中应遵循下述符号：当 与与gi的方向一致的方向一致时取正号，也就是说，使某一铰缝增大相对位时取正号，也就是说，使某一铰缝增大相对位移的挠度取正号，反之取负号。移的挠度取正号，反之取负号。ikipik至此，方程中的常系数为：至此，方程中的常系数为：代入方程，使全式除以代入方程，使全式除以，并令：并令：11

23、22334412233421324313142431414212342()2()200ppppbb 2b方程调整为：方程调整为：代入方程组代入方程组,ig（1个）外荷载个）外荷载P作用下作用下各块板分配到的竖向荷各块板分配到的竖向荷载值，横向多个车轮荷载值，横向多个车轮荷载？载？（1）1ip12123234342(1)(1)1(1)2(1)(1)0(1)2(1)(1)0(1)2(1)0gggggggggg1112112312341345141pgpggpggpggpg 2、铰接板桥的荷载横向影响线和横向分布系数、铰接板桥的荷载横向影响线和横向分布系数荷载作用在荷载作用在1号板梁上，各块板梁的挠

24、度号板梁上，各块板梁的挠度和所分配的荷载图式如图所示和所分配的荷载图式如图所示弹性板梁，荷载挠度呈正比弹性板梁，荷载挠度呈正比iipp11 由变位互等定理，且每块板梁截面相同，由变位互等定理，且每块板梁截面相同， 得：得：含义：单位荷载作用在1号板梁轴线上时任一板梁所分配的荷载，等于单位荷载作用于任意板梁轴线上时1号板梁所分配到的荷载。这就是1号板梁荷载横向影响线的竖标值，通常用 。111121iiiipp 1i表示则则1号板梁荷载横向影响线的各个竖标值为：号板梁荷载横向影响线的各个竖标值为：在实际设计时，可以利用对于板块数目在实际设计时，可以利用对于板块数目 n = 3 10所编制的各号板的

25、横向影响线竖标计算表格。所编制的各号板的横向影响线竖标计算表格。值值可查表可查表铰接板荷载横向分布影响线竖标表铰接板荷载横向分布影响线竖标表4514341323121211111gpggpggpggpgp 45115434114323113212112111111gpggpggpggpgp 2b 刚度参数：刚度参数：7007575100100100100100100100100100a)8387388609977198 19b)c)sd/2ds=0.2122dI0=0.00686d4(1)计算空心板截面的抗弯惯矩计算空心板截面的抗弯惯矩I板是上下对称截面，形心轴位于高度中央，故其抗弯惯为板是上

26、下对称截面，形心轴位于高度中央，故其抗弯惯为(参见图参见图2-4-36c所示半圆的几何性质所示半圆的几何性质)：(2)计算空心板截面的抗扭惯矩计算空心板截面的抗扭惯矩 (3)计算刚度参数计算刚度参数 (4)计算跨中荷载横向分布影响线计算跨中荷载横向分布影响线4、铰接、铰接T形梁桥的计算特点形梁桥的计算特点计算荷载横向分布的表达式一样计算荷载横向分布的表达式一样不同之处：不同之处： 利用正则方程求铰接力时，所有的主系利用正则方程求铰接力时，所有的主系数中除了考虑数中除了考虑 的影响之外，还应的影响之外，还应计入计入T形梁翼板悬臂端的弹性挠度形梁翼板悬臂端的弹性挠度 f, (1) (1) 适用范围

27、：适用范围：小跨径的钢筋砼小跨径的钢筋砼T T形梁桥：为便于预制施工，往往形梁桥：为便于预制施工，往往不设中间横隔梁不设中间横隔梁，仅对翼板边适当连结；或仅通，仅对翼板边适当连结；或仅通过现浇的桥面板连结各梁。过现浇的桥面板连结各梁。无横隔梁无横隔梁的组合式梁桥的组合式梁桥 共同点：横向连结刚度较弱，受力特点近似横向铰共同点：横向连结刚度较弱，受力特点近似横向铰接。接。(2) (2) 基本假定基本假定假定假定1：竖向荷载作用下结合缝内只传递竖：竖向荷载作用下结合缝内只传递竖向剪力向剪力 g(x) 假定假定2：采用半波正弦荷载分析跨中荷载横：采用半波正弦荷载分析跨中荷载横向分布的规律向分布的规律

28、 图图a）、）、b）一座铰接）一座铰接 T 梁桥在单位正弦荷载作用下梁桥在单位正弦荷载作用下沿跨中单位长度截割段的铰接力计算图示。单位正沿跨中单位长度截割段的铰接力计算图示。单位正弦荷载作用在弦荷载作用在1号梁轴线上，荷载在各个梁内的横向号梁轴线上，荷载在各个梁内的横向分布：分布：11p21p31p41p51plxxp sin1)( lxfxf sin)( (3) (3) 铰接梁桥的荷载横向分布铰接梁桥的荷载横向分布变形协调条件：相邻板块在铰缝处竖向相对位移为零：变形协调条件：相邻板块在铰缝处竖向相对位移为零：号梁号梁号梁号梁号梁号梁号梁号梁号梁号梁5432145143413231212111

29、11gpggpggpggpgp 1）11p21p31p41p51p00004444343242141343433323213124243232221211414313212111 ppppgggggggggggggggg 2）把翼板视作在梁肋处固定的悬臂板，板端挠度接近于把翼板视作在梁肋处固定的悬臂板，板端挠度接近于正弦分布：正弦分布：式中：式中：sinxf xffl（ ）（ 为挠度峰值）33311113114()312ddhfIEIEh11113dhdI翼板的悬出长度；翼板厚度；翼板变厚度时，取距离梁肋处的板厚；单位宽度翼板的抗弯惯矩方程方程 2）中的系数为：）中的系数为： fb ，2绘制荷

30、载横向影响线绘制荷载横向影响线11iiipg 代入代入2），并令：），并令：1122334412233421324313142431414212342()2()200ppppbfb 12123234342(1)(1)1(1)2(1)(1)0(1)2(1)(1)0(1)2(1)0gggggggggg精确计算：精确计算：简化计算：简化计算：3114390)(hdlI ikikikiiiiii 111)()()(f33113114443(1)ddfEIEhplpEI跨中板端挠度：跨中挠度：0iiik利用的和计算用表，按下式计算：0.70.8m10m(1)5%l对于悬臂不长（）和跨度时，参数一般比 显

31、著要大，因此，在不影响计算精度的条件下，可以忽略 的影响而直接使用铰接板的计算用表，以简化铰接梁桥的计算。横向分布系数。横向分布系数。计算各主梁的汽车荷载计算各主梁的汽车荷载主梁截面尺寸如图。试主梁截面尺寸如图。试根主梁组成。根主梁组成。的的护轮带，由间距护轮带，由间距，桥面净空为净，桥面净空为净形梁桥，计算跨径形梁桥，计算跨径无中横隔梁的横向铰接无中横隔梁的横向铰接5512502710m.m.mT bl150101416xa7031d67.121 h图图 铰接铰接T梁桥横向布置梁桥横向布置 图图 T梁截面尺寸梁截面尺寸例题：例题：解：解： （1）各参数计算）各参数计算计算截面的抗弯惯矩：计算

32、截面的抗弯惯矩：计算截面的抗扭惯矩：计算截面的抗扭惯矩：41031800cm I2840229070163330091013412222111. cbtcbt433315860516702840121343330cm. iiittbcI 和和计算刚度参数计算刚度参数2)(8 . 5lbIIT 849010001501586051031800852.)(. 3114)(390hdlI 059506712671000103180039034.).( 的影响。的影响。因此，可以忽略因此，可以忽略 0322084901059501.2）绘制跨中荷载横向分布影响线）绘制跨中荷载

33、横向分布影响线梁号梁号单位荷载作用位置（单位荷载作用位置（ 号板中心）号板中心）1234510.600.682 0.277 0.035 0.0040.00111.000.750 0.2500000000000.84920.600.277 0.440 0.246 0.0310.00411.000.250 0.500 0.250 0.0000.0000.84930.600.035 0.246 0.437 0.2460.03511.000.000 0.250 0.500 0.2500.0000.849 ki i0.7250.2600.0130.0010.0000.2600.4780.2490.0110.001响线。响线。号梁的荷载横向分布影号梁的荷载横向分布影、的值绘制的值绘制根据表中根据表中321321iii ,iii3218490 ,.的的影影响响线线竖竖标标值值为为得得查查表表，按按直直线线内内插插法法求求 0.0130.2490.4770.2490.013（3 3）进行最不利布