同济大学信号与系统第三章第2讲_傅立叶变换

1、 一个非周期信号，可以看作是重复周期一个非周期信号，可以看作是重复周期T为无穷大为无穷大的周期信号的周期信号,当当T T时，以周期矩形脉冲为例时，以周期矩形脉冲为例周期信号就转化为非周期信号周期信号就转化为非周期信号谱线间隔谱线间隔 1=2 /T趋于无穷小。这时，离散频谱就变趋于无穷小。这时，离散频谱就变成了连续频谱。成了连续频谱。n 1 cn 01 2 4TE 2 3.4 非周期信号的频谱分析非周期信号的频谱分析傅立叶变换傅立叶变换谱线间隔谱线间隔 1=2 /T趋于无穷小。这时，离散频谱就变趋于无穷小。这时，离散频谱就变成了连续频谱。成了连续频谱。n 1 各个谱线的幅度谱也趋于无穷小，即各个

2、谱线的幅度谱也趋于无穷小，即F Fn n0 0无法用傅立叶级数描述非周期信号的频域特性无法用傅立叶级数描述非周期信号的频域特性,因此，因此，需要引入频谱密度的概念需要引入频谱密度的概念cn 01 2 4TE 2 非周期信号的频谱分析非周期信号的频谱分析傅立叶变换傅立叶变换一、频谱密度函数的概念一、频谱密度函数的概念周期信号周期信号f(t)展开成指数傅立叶级数展开成指数傅立叶级数：221)(1)(11TTdtetfTnFtjn其复频谱：其复频谱：ntjnenFtf1)()(111)(2nF当当T时时0)(1nF 为有限值为有限值221)()(11TTdtetfTnFtjn即即可望为有限值，且变为

3、连续函数可望为有限值，且变为连续函数引入引入F(F( )频谱密度函数频谱密度函数TnFFT)()(1lim110)(2lim1nFF(F( )f(t)的的频谱密度函数频谱密度函数具有单位频带的频谱值，是具有单位频带的频谱值，是 的连续函数的连续函数一、频谱密度函数的概念一、频谱密度函数的概念二、非周期信号的傅立叶变换二、非周期信号的傅立叶变换1 1、正变换、正变换满足狄利克雷条件：满足狄利克雷条件： dttf)(的信号的信号f(t)存在傅立叶变换。存在傅立叶变换。另外，狄利克雷条件是充分条件，而非必要条件另外，狄利克雷条件是充分条件，而非必要条件通过对周期信号的傅立叶级数取极限的方法求频谱密通

4、过对周期信号的傅立叶级数取极限的方法求频谱密度，即度，即 221)()(limTTdtetfFtjnT ,1 dT 1n 221)()(limTTdtetfFtjnT 由由 dtetfFtj )()(得：得：二、非周期信号的傅立叶变换二、非周期信号的傅立叶变换2 2、反变换、反变换tjnnenFtf1)()(1得：得：)()()(11111nenFtftjnn,)(1dnT12)()(,111nFnFn当当二、非周期信号的傅立叶变换二、非周期信号的傅立叶变换 deFtftj)(21)(即：即：二、非周期信号的傅立叶变换二、非周期信号的傅立叶变换 deFtftj)(21)( dtetfFtj )

5、()(傅立叶正变换傅立叶正变换傅立叶逆变换傅立叶逆变换3 3、频谱密度函数、频谱密度函数F( )通常是复函数，可写成：通常是复函数，可写成：)()()()()(jXReFFj其中：其中：是是)( F的幅度函数；的幅度函数；)( F是频率的连续函数，且为是频率的连续函数，且为 的的偶函数偶函数二、非周期信号的傅立叶变换二、非周期信号的傅立叶变换 )(F称为信号的幅度频谱称为信号的幅度频谱)()()( RXarctg 是是F( )的相位频谱；的相位频谱；是频率的连续函数，且为奇函数；是频率的连续函数，且为奇函数； )(称为信号的相位频谱称为信号的相位频谱代表信号中各频率分量的相对大小。各频率分量的

6、代表信号中各频率分量的相对大小。各频率分量的实际振幅为无穷小量实际振幅为无穷小量（一）、矩形脉冲信号（一）、矩形脉冲信号 0)(Etf2 t2 t)(tft2 2 E22)()(dtEedtetfFtjtj3.5 典型非周期信号的频谱典型非周期信号的频谱|22)(tjejEF 22 jjeejE 2sin2 E )2( SaE )( F)2( SaE即：即：矩形脉冲信号矩形脉冲信号矩形脉冲的幅度频谱和相位频谱为：矩形脉冲的幅度频谱和相位频谱为：)()()( jeFF )( F E 2 2 与周期矩形脉冲比较与周期矩形脉冲比较cn 01 2 4TE 2 不同：不同：1、 Fn的值比的值比F( )

7、的值多乘了系数的值多乘了系数T12、 Fn式中为不连续的变量式中为不连续的变量n 1 ,F( )为连续变量为连续变量 相同：相同：1、周期矩形脉冲信号的频谱包络线与非周期周期矩形脉冲信号的频谱包络线与非周期 矩形脉冲信号的频谱函数曲线形状相同矩形脉冲信号的频谱函数曲线形状相同2、频谱都具有收敛性频谱都具有收敛性3、占有频带宽度为、占有频带宽度为 0)()(tuetft)(tft10由傅立叶变换公式得由傅立叶变换公式得 dtetfFtj )()( 0dteetjt j 1单边指数信号单边指数信号其幅度频谱和相位频谱分别为其幅度频谱和相位频谱分别为221)( F arctg )()( F 0 1

8、)( 2 2 2)()( tEetf E eE)(tft其频谱函数为其频谱函数为 dteEeFtjt 2)()(dteeeeEjjttj22222)()()( dteEejtj2222)()( 钟形脉冲信号钟形脉冲信号dteEeFjtj2222)()()( )2(2222)()( jtdeEejtj422 eE其幅度频谱和相位频谱为其幅度频谱和相位频谱为)()( FF 0)( 钟形脉冲的频谱函数也是钟形钟形脉冲的频谱函数也是钟形单位冲激函数单位冲激函数 (t)其傅立叶变换：其傅立叶变换： dtetFtj )()(1 相位：相位：0)( (1) (t)t1F( ) 单位冲激函数的频谱在整个频率范

9、围内均匀分布。单位冲激函数的频谱在整个频率范围内均匀分布。这种频谱常称作这种频谱常称作“均匀频谱均匀频谱”或或“白色频谱白色频谱”3.6 奇异函数的傅立叶变换奇异函数的傅立叶变换0)()(dtedtetuFtjtj当当T时，时，tje 不存在不存在，不能直接用傅立叶变换式，不能直接用傅立叶变换式改用间接法改用间接法u(t)可以看作单边指数函数在可以看作单边指数函数在0时的情况时的情况)()()(limlim00tuetftute 单边指数函数的频谱：单边指数函数的频谱：)()(1)(eeejXRjF单位阶跃函数单位阶跃函数u(t)令令0，分别求上式中的实部和虚部的极限，分别求上式中的实部和虚部

10、的极限R( )和和X( )，即，即00lim)(lim)(2200eRR并且：并且：20)(1lim)(ddR|)(lim0arctg这说明这说明R( )是一个冲激函数，冲激点位于是一个冲激函数，冲激点位于 =0处，处， 冲激强度为冲激强度为 ，即，即)()(R又有：又有：1lim)(lim)(2200eXX所以，单位阶跃函数的频谱为：所以，单位阶跃函数的频谱为：jjXRF1)()()()(1)()(F2)( 0101)sgn(ttt或或)()()sgn(tutut 利用阶跃函数的傅立叶变换思想利用阶跃函数的傅立叶变换思想 000lim)(tjttjteeeeF jjj211lim0设设)()

11、(lim)sgn(0tuetuettt符号函数符号函数sgn(t) ttf1)(可以看作双边指数函数可以看作双边指数函数tetf )(1中中0的极限情况的极限情况)(2)( F)( F)2( )(tf1t可见：在时域是直流（直线），在频域是冲激可见：在时域是直流（直线），在频域是冲激对照冲激函数的傅立叶变换：在时域是冲激，在频对照冲激函数的傅立叶变换：在时域是冲激，在频域是直线域是直线直流信号直流信号（一）（一） 线性（齐次性和迭加性）线性（齐次性和迭加性）若若)()(11 Ftf)()(,22 Ftf则有则有)()()()(22112211 FaFatfatfa 3.7 傅立叶变换的性质傅立

12、叶变换的性质一般情况下一般情况下，F( )是复函数是复函数因此可以将因此可以将F( )分成模与相位或实部与虚部两部分，分成模与相位或实部与虚部两部分， dtetfFtj )()()()(jeF)()( jXR 无论无论f(t)f(t)是实数还是复数，根据傅立叶变换可证明：是实数还是复数，根据傅立叶变换可证明：)()()()()()(*FtfFtfFtf（二）（二） 奇偶虚实性奇偶虚实性1、f(t)是实函数是实函数一般情况下，信号一般情况下，信号f(t)是实函数，是实函数，F( )是复函数是复函数,因此因此可以将可以将F( )分成模与相位或实部与虚部两部分，分成模与相位或实部与虚部两部分，)()

13、(sin)(cos)()sin)(cos()()(jXRtdttfjtdttfdttjttfdtetfFtj其中其中 tdttfR cos)()( tdttfX sin)()( )()()()()()( FFXXRR同时，可得如下关系式：同时，可得如下关系式： 的偶函数的偶函数 的奇函数的奇函数于是，于是，22)()()( XRF )()()( RXarctg 的偶函数的偶函数 的奇函数的奇函数（二）、奇偶虚实性（二）、奇偶虚实性即：即：f(t)是实函数是实函数)( F)( R和和是是 的偶函数的偶函数)( X是是 的奇函数的奇函数和和)( 2、f(t)是实偶函数是实偶函数即即)()(tftf

14、 0sin)()( tdttfX 0cos)(2)()(tdttfRF f(t)是实偶函数，是实偶函数，F( )必为必为 的实偶函数的实偶函数0cos)()( tdttfR 3、f(t)是实奇函数是实奇函数即即)()(tftf 0sin)(2)()(tdttfjjXF f(t)是实奇函数，是实奇函数，F( )必为必为 的虚奇函数的虚奇函数（二）、奇偶虚实性（二）、奇偶虚实性4、f(t)是虚函数时，是虚函数时，此时此时)()()()(XXRR设设)()(tjgtf代入傅立叶变换式代入傅立叶变换式)( F是是 的偶函数的偶函数)( 是是 的奇函数的奇函数若若f(t)f(t)是虚奇函数，则是虚奇函数

15、，则若若)()( Ftf则则)()(00 Fettftj )()(00 Fettftj 可见：可见：信号在时域中沿时间轴右移信号在时域中沿时间轴右移t0 （延时（延时t0），等效），等效于在频域中乘以因子于在频域中乘以因子0tje 00)()()(tjtjeFFe （三）（三） 时移特性时移特性结论：结论：1 1、信号的幅度频谱是由信号的波形形状决定的，、信号的幅度频谱是由信号的波形形状决定的， 与信号在时间轴上出现的位置无关；与信号在时间轴上出现的位置无关；2、信号的相位频谱则是由信号的波形形状和在时、信号的相位频谱则是由信号的波形形状和在时 间轴上出现的位置共同决定的间轴上出现的位置共同决

16、定的 00)()()(tjtjeFFe 信号延时后，其幅度频谱不变，相位频谱产生附加信号延时后，其幅度频谱不变，相位频谱产生附加相位值相位值(- t0)例例已知矩形脉冲已知矩形脉冲f1(t)的频谱函数的频谱函数)2/()(1 SaEF 试画出试画出)2()(12 tftf的相位频谱的相位频谱解：根据时移特性，解：根据时移特性，212)()( jeFF 2)2( jeSaE )(1tft2 2 E)(2tft E可见，幅度频谱不变，相位频谱比原来滞后可见，幅度频谱不变，相位频谱比原来滞后2)(1tft2 2 E)(2tft E)(1 2 4 )(2 2 2)(2)2()( jeSaEF即即若若)

17、()( Ftf则则)()(00 Fetftj)()(00 Fetftj把时域信号把时域信号f(t)乘以因子乘以因子tje0 等效于频谱等效于频谱F( )沿沿频率轴右移频率轴右移 0这种技术称频谱搬移这种技术称频谱搬移课堂练习：求课堂练习：求tjce的傅立叶变换的傅立叶变换)(21)(21ctjce（四）（四） 频移特性频移特性将信号将信号f(t)乘以乘以t0cos 或或t0sin 就可以就可以引起信号的频谱搬移。这个过程如下：引起信号的频谱搬移。这个过程如下：频谱搬移也称为信号的调制，广泛应用于通信技术中频谱搬移也称为信号的调制，广泛应用于通信技术中时域：时域：f(t)改变正弦（或余弦）信号的

18、幅度改变正弦（或余弦）信号的幅度频域：频域：f(t)的频谱产生平移的频谱产生平移调制调制)()(21cos)(000tjtjetfetfttf根据欧拉公式，有根据欧拉公式，有)()(21sin)(设设f(t)的频谱为的频谱为F( )，利用频移特性可知，利用频移特性可知)()(21cos)(000 FFttf)()(21sin)(000 FFjttf可见，将信号可见，将信号f(t)乘以乘以t0cos 或或t0sin 等效于等效于将将f(t)的频谱为的频谱为F( )一分为二，即幅度减小一半，沿一分为二，即幅度减小一半，沿频率轴向左和向右各平移频率轴向左和向右各平移 0。例例求矩形调幅信号求矩形调幅

19、信号ttGtf0cos)()( 的频谱函数的频谱函数解：已知门函数解：已知门函数)(tG 的频谱函数为的频谱函数为)(tG t2 2 E)2()( SaEG 又有又有21)()(00tjtjeetGtf 根据频移特性根据频移特性)(21)(21)(00 GGF)(221)(22100 SaESaE)(tG t2 2 E)( G E 2 2 0)(tft2 2 E)( F 2 E00 0 若若)()( Ftf则则0)(1)( aaFaatf 特例：当特例：当a=-1时时)()( Ftf结论：结论：、信号在时域中压缩（、信号在时域中压缩（a1)，等效于在频域中扩展，等效于在频域中扩展、信号在时域中

20、扩展（、信号在时域中扩展（0a1)，等效于在频域中压缩，等效于在频域中压缩3、当当a=-1时，时，f(-t)F(- )，信号在时域中沿纵轴反褶，信号在时域中沿纵轴反褶，等效于在频域中也沿纵轴反褶等效于在频域中也沿纵轴反褶（五）（五） 尺度变换特性尺度变换特性dtetfFtj)()(deFtftj)(21)(dttfF)()0(dFf)(21)0(所以：所以：所以：所以：所覆盖的面积等于所覆盖的面积等于f(t)所覆盖的面积等于所覆盖的面积等于)(F)(F在零点的数值在零点的数值)(2tf在零点的数值在零点的数值如果f(0)与F(0)各各自等于f(t)与F()曲线的最大值，定义和B分别为f(t)与

21、F()的等效宽度，如下图所示：可以写出：2)0(2)0()0()0(BfBFFf可以看出：信号的等效脉冲宽度与等效带宽成反比，要压缩信号的持续时间，则不得不以展宽频带为代价，因此在通信系统中，通信速度和占有频带宽度是一对矛盾。若若)()( Ftf则则)(2)( ftF若若 f(t)为偶函数，且为偶函数，且 )()( Ftf则则)(2)(ftF（六）（六） 对称特性对称特性证明：证明： deFtftj)(21)(于是可知于是可知 deFtftj)(21)( deFtftj)()(2将式中的变量将式中的变量t和和变量变量 互换，可以得到互换，可以得到 )(2 f dtetFtj )(即即F(t)的

22、傅立叶变换为的傅立叶变换为2 f(- )(2)( ftF若若f(t)为偶函数，且为偶函数，且)()( Ftf)(2)( ftF则则或或)()()21( ftF对称特性表明：当对称特性表明：当f(t)为偶函数，时域与频域完全对称为偶函数，时域与频域完全对称例：求抽样函数例：求抽样函数Sa(t)Sa(t)的频谱的频谱)(tft2 2 1)( F 2 2 0)2()( SaF )(tFt 2 2 0)2()(tSatF )(2 f 2 2 )(tFt 2 2 0)2()(tSatF )(2 f 2 2 2当当 =2，)(2)2()(tSatSatF)(tFt20)(2 f 11 2所以，所以，Sa(

23、t)的频谱为的频谱为、时域微分特性、时域微分特性若若)()( Ftf则则)()( Fjdttdf)()()( Fjdttfdnnn说明：在时域中说明：在时域中f(t)对对t取取n阶导数，等效于在频域中阶导数，等效于在频域中频谱频谱F( )乘以因子乘以因子(j )n （七）（七） 微分特性微分特性、频域微分特性、频域微分特性若若)()( Ftf则则)()()(tfjtddF )()()(tfjtdFdnnn 例求如图所示梯形脉例求如图所示梯形脉冲的傅立叶变换冲的傅立叶变换)(tftba Eab 解：解：f(t)的一次导数的一次导数f(t) 是幅值为是幅值为abE 的两个脉冲的两个脉冲其二阶导数是四个正负其二阶导数是四个正负冲激函数冲激函数)(tf tba abE ab )(tf tba )(abE ab )(tf tba )(abE ab )()()()()(btatatbtabEtf )()()(2bjajajbjeeee