机械控制工程基础课后答案廉自生

1、2-1什么是线性系统？其最重要特性是什么？答：如果系统的数学模型是线性的， 这种系统就叫做线性系统。 线性系统最重要的特性,是适用于叠加原理。叠加原理说明，两个不同的作用函数（输入），同时作用于系统所产生的响应（输出），等于两个作用函数单独作用的响应之和因此，线性系统对几个输入量同时作用而产生的响应，可以一个一个地处理，然后对它们的响应结果进行叠加。2-2分别求出图（题2-2）所示各系统的微分方程。y (t)f (t) m ,(a)y(t)(b)xixiXo(a)(b)解：(a) my(t) ky(t)二 f (t)(b) my(t)(kik2)y(t)二 f (t)(C)(Xi -Xo)Ci

2、 二 mxo C2 Xog) Xo(s) _KiesXi(s) _c(K1 K2)s K1K2-n及阻尼比的(e)(x -Xo)Ki (Xi-Xo)c 二心沧2-3求图（题2-3）所示的传递函数，并写出两系统的无阻尼固有频率表达式。xiXoui解：图（a）有:G(s)=2s1Vj =Lj +R + Jidt 图(b)有：C1V。二 idtG(s)=/LCR 1+ s +L LC2-4求图（题2-4）所示机械系统的传递函数。图中M为输入转矩，Cm为圆周阻尼，J为转动惯量。（应注意消去日6及6）题2-4解：由已知可知输入量M与输出量二之间的关系为：J 牯 k M经拉氏变换后为:Js2 *s)Cms

3、*s) kM (s)1/J2nM (s)2Js Cms k J2-5已知滑阀节流口流量方程式为2、JkQ = c xC 2 p /），式中，Q为通过节流阀流口的流量；p为节流阀流口的前后油压差；xv为节流阀的位移量；c为流量系数；为节流口面积梯度；亍为油密度。p,Q，那么方程Q二cXv(, 2p/“可以在(p,Q)试以Q与p为变量(即将 Q作为p的函数)将节流阀量方程线性化。解：如果系统的平衡工作状态相应于点附近展开成Taylor级数：W廿)冷(P-P)22! : p1式中 df ,d ， 均在P = P点进行计算。因为假定P-p很小，我们可以忽略p-P的 dp dp2高阶项。因此，方程可以写

4、成Q = Q k(P - P)或 Q-Q = k(p - p)式中 Q=f(p) k=fP = P dp因此，方程 Q 二c，Xv( 2p/ r) 2c，Xv(；2p/ J/. 2p(p - p)就是由方程Q ，XvC. 2p/ )定义的非线性系统的线性化数学模型。2-6试分析当反馈环节 H(s)=1,前向通道传递函数 G(s)分别为惯性环节，微分环节, 积分环节时，输入，输出的闭环传递函数。解5鬆惯性环节:G(s)kTs 1Gb(s)k /(Ts 1)1 k/(Ts 1)kTs 1 k微分环节：G2(s)二TsGb (s)Ts1 Ts1积分环节：G3(s)=TsGb(s)1 Ts2-7证明图

5、(题2-7)所示两系统是相似系统(即证明两系统的传递函数具有相同形式)xi1R1R2-J UoXoC2(b)解：根据图（a）的已知内容可得:V。二 R2iidt由有：Vi -Vo iR1 一R1求导：- iV。=R2i C2求导：i CVj 二 R1iR1 Vo匕 V。s =(Vi -v)gi =iV -VoR1(Vi V)G-Vi_V。丄-丄1Vi V。丄-V。= R2+ (Vi V)G+讪V)C1I R1丿C2I R1丿R1Vo(s)C1C2R1R2S R1C1S R2C2S 1Vi(s)C1C2RR2S (R1C2 R2C2RCJs 1根据图b)可得:C2(x： x；) +k(x X。)

6、=G(Xj X。)Ci(xo _Xi)=匕为Xo(s)GC2s2(Gk2 C2kjsG(s八 Xi(s) - C.C2s2 (C.k2 C2kCK)s k.k2ClC2s2 (C1_)s 1k. k?k k?C2 k C.1 )s 1k22-8若系统方框图如图(题 2-8)所示,以R(s)为输入，当N(s)=0时，分别以C(s),Y(s),E(s)为 输出的闭环传递C1C2 2C1 C2s + (+krk?kt k?求:(1)(2)函数。以N(s)为输入，当R(s)=0时，分别以C(s) ,Y(s) ,E(s)为 输出的闭环传递函数。G(s)1 G(s)H(s)以C(s)为输出：解：(1)由已

7、知得:Gb(s)以Y(s)为输出:Gb(s细R(s)G1 g1g2h以E(s)为输出：Gb(s)二旦1R(s) 1+G1G2H(2)以C(s)为输出：G (s)二 C(s)G2G2N (s)1 _G2(_H )G11 + G1G2H以Y(s)为输出：0(s)- G2HG1-G1G2HG b (s) _N (s)1 (G|G2H )1 + G1G2H以E(s)为输出:Gb(S)Eo(s)-G?H1 _(-GG2H)-G2H1GG2H2-9求出图(题2-9)所示系统的传递函数X(S)/Xj(S)。解：系统的传递函数为Xo(s)Gc(s)G(s)X(i1 Gc(s)G(s)3-1时间响应由哪两个部分

8、组成？各部分的定义是什么？答：根据工作状态的不同，把系统的时间响应分为瞬态响应和稳态响应。系统稳定时，它的自由响应称为瞬态响应，即系统在某一输入信号的作用下其输出量从初始状态到稳定状态的响应过程。而稳态响应一般就是指强迫响应，即当某一信号输入时，系统在时间趋于无穷大时的输出状态。3-2设温度计能在1分钟内指示出实际温度值的98%，并且假设温度计为一阶系统，求时间常数。如果将温度计放在澡盆内，澡盆的温度依10C/min的速度线性变化，求温度计示值的误差是多大？解1:依题意可得已知条件为 t =1分，C(t) =0.98而一阶系统的传递函数为c(t) 1R(t)_Ts 1即1C(s)R(s)Ts

9、+1在上述第一 一个单位阶跃。问中，要求温度计在1分钟内指示出响应值的 98%这相当于对温度计输入亦即r(t) =1(t)则1R(s)：s、111TC(s)=Ts+1 s s Ts + 1即11 1Tc(tHLJC(t)HLJ-s Ts+1上二円ss 1T将t =1分及C(t) =0.98代入上式可得10.98=1 -e丁1即e 亍=1 一 0.98 =0.02将上式两端取自然对数化简后得11T = 二一L =0.256分二 15.36 秒2.3lg0.02-3.9解2：在第二问中已知澡盆温度以10 /分线性变化，说明输入函数r(tH At =10t，为斜坡函数，此时温度计的误差为而当e(t)

10、 = r(t) -c(t) = At -c(t)r(t)=At 时AR(s) 2s2Ts Ts 111 a 1 T TC(sR(s苛齐營；Ts 1Ts 1 sTs 1C(t) =L，C(s) =ALp - L4 L4s st=ALJ 12 -TLa- TL=A（t -T Te讦）ss s 1Ttt即e（t）二 At - A（tT Te）二 AT（1e亍）将已知和已求得之值数 t = 1分、t二0.256分、A = 10代入上式即可求得温度计的误差为e（t） -10 0.256 0.98 =2.53（上式为近似计算）。3-3已知系统的单位阶跃响应为x0（t1 0.2e-1.2e0t，试求：（1）

11、该系统的闭环传递函数；（2）系统的阻尼比和无阻尼固有频率 .n。解：（1）求解闭环传递函数 （S）由已知条件，当输入为单位阶跃信号时x（s）儿（s）- x（t） 10.2e0t -1.2e0ts1 1 10.2 1.2 -ss 十 60s + 10贝U(s) sX (s)0.2s I% (s 60)(s 10)0.2s(s 10) -1.2s(s 60) ) 0( ) _ s 60 s 10 一(s 60)(s 10)600s270s 6002 2 2s 70s 6000.2s 2s -1.2s -72s2s270s 600（2）求解阻尼比和无阻尼固有频率-.n将闭环传递函数化为二阶振荡环节的

12、标准形式600s2 70s 600(2根据对应关系可得% =6002n =70解得 n =24.5rad /s，- =1.43。3-4图（题3-4 （a）是一个机械系统，当有20 N的力作用于该系统时，其质块m作如图（题3-4 （b）所示的振动，试根据曲线上的x0（tp）-x0（：） =0.0095m,tp =2s，确定wwxw(b)图题3-4解：由图(a)可知，x(t)是阶跃力输入，Xj(t) = 20N , Xo(t)是输出位移。由图(b)可知系统的稳态输出 xJO.Im，x0(tp)-x0(：) =0.0095m,tp=2s,此系统的传递函数显然为:式中,Xo(s)G(s) _ Xi(s

13、) _ ms2 cs k，Xi(s)邱s(1)求 kX( ：) =im x(t) = IX(s) pi ms2ms cs k20N20N而 Xo(：) =0.1m，因此 k = 200N / m。(2)求 m+100%丿00195 100%皿%求得.=0.06。将 tp = 2s, - = 0.6 代入 tp =中，得 n = 1.96s 。, 2 再由 k /m 二-n，求得 m = 77.3kg。(3)求 c 由 2-c/m，求得 c =181.8N s/m。3-5试求下面系统在单位斜坡函数r(t)二t (t -0)输入下的响应，并求出单位斜坡函数输入时的误差函数O(1)G(sTTH的系统

14、;2 G(s)二二 n2 的系统(0 ： 1)。S +2-国 nS+n2解: (1 )由题意知r(t)二t，其拉氏变换R(s) =1/s ,得稳态误差为Ts +1 1 Ts +1esS = lim s ST0 Ts + 2 s s(Ts + 2)2(2)由题意知r(t)二t，其拉氏变换 R(s) =1/s，得稳态误差为=lim ss_02s2 - 2 ns - 2 n212s2时ns(s22 ns 2 n2)3-6已知单位反馈系统的开环传递函数Gk(S)：Ts+1(1) K =20，T =0.2 ；( 2)K =1.6，T =0.1；(3)K =2.5，T = 1 三种情况时的单 位阶跃响应，

15、并分析开环增益K与时间常数T对系统性能的影响。K解：由已知开环传递函数为Gk(s)二 K ，且是单位负反馈，Ts + 1则系统闭环传递函数为G(s)Gk(s)1 Gk(s)KTs K 1(1)当单位阶跃信号输入时,下的输出的拉氏变换为x(t) =1(t), Xi(s) =1/s，则系统在单位阶跃信号作用Xo(s) =G(s)Xj(s)二20s(0.2s 21)20/21 _ 20/21s s 105将上式进行拉氏反变换，得出系统的单位阶跃响应为Xo(t)二 LXo(s)】 = (20/21) -(2O/21)e05t(2)当单位阶跃信号输入时，x(t) =1(t), Xj(s) =1/s，则系

16、统在单位阶跃信号作用下的输出的拉氏变换为Xo(s)二G(s)Xg1.6s(0.1s 2.6)8/13s8/13s 26将上式进行拉氏反变换，得出系统的单位阶跃响应为冷二 LX(s)丄(8/13) -(8/13归如（3）当单位阶跃信号输入时，x（t） =1（t）, Xi（s） =1/S，则系统在单位阶跃信号作用下的输出的拉氏变换为Xo(s) =G(s)Xj(s)二2.5s(s 3.5)5/7s5/7s 3.5将上式进行拉氏反变换，得出系统的单位阶跃响应为冷=LIXo(s) 4(5/7) -(5/7)e时间常数T越小，开环增益K越大，xo（t）上升速度越快，达到稳态所用的时间越短,也就是系统惯性越

17、小，反之，T越大，K越小，系统对信号的响应越缓慢，惯性越大。3-7试分别画出二阶系统在下列不同阻尼比取值范围内，系统特征根在s平面上的分布及单位阶跃响应曲线。（1）0 ：1 （ 2）=1（ 3）.1 （ 4） 一 1 :：: 0 （ 5）= -1解：（1）0 (s)=anS * ansn - a1sn 1 - an- annn _12s - as川 an/San .1s anG(s)1 G(s)所以开环传递函数为G(s)=as + a*nm2s qs 亠 亠 an /Snnd2saisan san/S2 / n _273-S(SaiSan则其静态误差系数为:静态位置误差系数静态误差静态速度误差

18、系数静态误差K -lim G(s)H(s)二：S 01 Kp=0KV =lim SG(s)H (s)=:0=0静态误差静态加速度误差系数2anKa =lim S2G(s)H (s)-s Qan/1_ an /Ka a n故当斜坡输入时，系统静态误差系数为无穷大，其静态误差为零。54-1某单位反馈系统的开环传递函数为G（沪R，试求下列输入时，输出的稳态响应表达式。(1) Xi(t)二 Sin(t 30 )Xi(t) =3cos(2t60 )解：上述控制系统的闭环传递函数为Xo(s)(s)=Xi(s)G(s)1 G(s)其频率特性为(j)X0(j )Xi(j )| (j )|=乙(j ) n-tg

19、当输入信号为片(t) =sin(t 30 )可令为(t)二 si nt此时55=5 =丄=0.822.376.08=-tg 0.167 = -9.46 = -9 28(t) =| (j )|sin(t -9.46)将变量t换成t1QQx(t) H*(j) |sin(t +30 9.46 )=0.822sin(t 20.54 )= 0.822sin(t 20 32)当输入信号为片(t) = 3cos(2t - 60 )时可令t 二 t -30Xj(t) = 3cos2t =3sin(90 - 2t)此时MTU555=0.791-406.32(j.) = _tg 二一 tg0.333 =-18.4

20、3 = -18 26 6即xdt) =R| (j J|sin(902t) 18.43=3 0.791cos(2t -18.43 )= 2.373cos(2t -18 26)将变量t换成tXi (t) = 2.373cos(2t - 60 -18.43 )= 2.373cos(2t - 78.43)=2.373cos(2t - 78 26)当; 0时，G j 一 ：-904-2(1)试画出具有下列传递函数的极坐标图。10.01s 1 2(0.3s 1)二 2s2(5s 1)_(0.2s 1)(0.025s 1)-s2 (0.005s 1)(0.001sG(s)G(s)G(s)G(s)G(s) -

21、八(6)G(s) =5e_0.1s_ 1-s(0.1s 1)7.5(0.3s 1)(s 1) s(s2 12s -100)解:(1)G(s)二10.01s 111 jT 11 T2 2e-j arctan 人(2)G(s)=1s(0.1s 1)午 j (o2t f +2当；，)：时，G j = 0/180Re G j 丨-T = 0.1lim -当;；：一时，Gj川 1=0-180(3)G(s)=2(0.3s 1)s2(5s 1)21 Tj 22、1t22,2eg80 _arctan时-larctanT?时)2 1 T1T2 2 j2h -T2 co2(1+T2%2 )当r 0 时，G j -

22、 ：-180当；时，G Z 1=0三 180Im 1G(s)二7.5(0.3s 1)(s 1)s(s212s 100)G(j )=7.5(j 兀 1)(j T3 1)22戶( T1 ) j2T1当=；0时，G j - ：-180Im 10(5) G(s)(2S 1)(0.025S s2(0.005s+1)(0.001s+1)G(r (厂1)(D尬(joT +1)(jcoT2 +1)当; 0时，G j - ： -180当&时，G j小=0. -360(6) G(s)=5eG=5e14-3aTs +1试画出传递函数g（s）=e的极坐标图。其中十2。解:i2G( )j02 +1 寸1 +0.04灼j

23、frctan0.2_arctan时)jo +11 -2；.? r 0 时 I i pG j -10:时 1叫 G j - 0.1/0r1 0TCOIm 14-4试画出具有下列传递函数的Bode 图。(1)G(s)1(2)G(s)G（s） 一0.5s 1G(s)2(s 5)(4)2G(s) 一s (0.5s 1)sG(s)5(s+0.5)s(s2 s 1)(s2 4s 25)解:（1）G(s) -0.5s11 -0.5ss 11) K =1, 20 lg K =02） 1 =1/0.5 = 2，阶惯性环节。G(s)二11 -0.5s-1801) K h, 20lg K = 02） = 1/（一0

24、.5） = -2，一阶惯性环节。00.1 G(s)=s2豐5s)一j10(0.2s+1)化为标注形式Gs %2 0.5s 1K =10, 20lg K =20转折频率。1=2，阶惯性环节；-2 =5，阶微分环节。- =2,低频渐近线为40dB/dec,且其延长线过（1, 20）点系统的相频特性按下式计算 - -180 -arctan0.5, -arctan0.2 毋（a y（）|s_1-90-180s +1 G(ss(s 0.1)(s 20)1）化为标注形式G s二0.5(s+1)s10s 1 (0.05s 1) s1(5)2) K =0.5, 20lg K = -63）转折频率。 = = 0

25、.1, 阶惯性环节；.20 , 一阶惯性环节;4） =1，低频渐近线为20dB/dec,且其延长线过1, -6)点5）系统的相频特性按下式计算二-180 -arctanO.1 y： -arctan20 0q/s-90-180G(s)二1.化为标准形式Gs0士2 春 1 s2s 1二阶振荡环节。2. K =0.2，20lg K = -13.983.转折频率。J =0.1，阶惯性环节；2=0.2，二阶振荡环节；3=5，4. - - 1，低频渐近线为20dB/dec,且其延长线过（1， 13.98）点5(s+0.5)2 2s(s2 s 1)(s24s 25)L , dB 丄20-20-29.9-20

26、0.10.21-40-SJ4-5已知一些元件的对数幅频特性曲线如图题4-5，试写出它们的传递函数。题4-5图解：(a)本环节是由比例和一阶惯性环节组成，所以Gs=1仁(b) 本环节是由一阶微分环节组成，所以G s =10s 12s(c) 本环节是由比例，微分和一阶惯性环节组成，所以G s =20 + s(d) 本环节是由比例和两个一阶惯性环节组成3000001 s 10 s 300 s5-1试用胡尔维茨判据判断具有下列特征方程的系统的稳定性。1. s3 20s2 9s 100 =04322. s +8s +18s +16s+5=04 3 23. 2s +4s +3s +5s+10=0解：1.s

27、3 20s2 9s 100 =0各阶系数均大于零，即=100月1 = 9, a? = 20月3 = 1a： a心2 = a2a1-a3a0 =180-100 = 80 0a3 a1故满足赫尔维茨行列式全部为正的条件，系统稳定。4322. s +8s +18s +16s+5=0各项系数为正，且不为零，满足稳定的必要条件。系统的Hurwitz行列式为=808 16 0i3= 1185=1828 =00 8 16故满足赫尔维茨行列式全部为正的条件，系统稳定。4323. 2s +4s +3s +5s+10=0各项系数为正，且不为零，满足稳定的必要条件。系统的Hurwitz行列式为010-150 ： 0

28、不满足赫尔维茨行列式全部为正的条件，故系统不稳定。5-2系统结构图如下图所示，试确定系统稳定时K的取值范围。Xi解：系统的闭环传递函数其特征方程式为列劳斯表，可得X(s)Xi(s)Ks3 6s2 5s Ks3 6s2 5s K =03 S2 S1 S0 S156 K30 K06K根据劳斯判据，要使系统稳定，应有 0 : K : 30。5-3试确定下图所示各系统的开环放大系数 的影响。K 0，且30-K 0,故K的取值范围为K的稳定域，并说明积分环节数目对系统稳定性解：（a）(b)Xi(c)1 G(s)H (s) =01=0，即即 T2s2 2Ts K 1=0(Ts 1)2 s1 s0 sT22

29、T2T(K 1)2T要使系统稳定，则K 10=K -12T(K 1)0(b)1 G(s)H(s) =0+(Ts 1)2s=0,即 T2s3 2Ts2 s K = 03 s2 sT22Ts1 2T -T2K1K(同乘以2T)s0要使系统稳定，则2T -T2K 0二 0 KTLK 0(C)1 G(s)H(s) =02 2(Ts 1) s=0,即 T2s4 2Ts3 s2 K = 0t22T2s1s0s1-2TKK要使系统稳定，则 K故系统稳定的K值不存在。K v0(或直接由6=0不满足特征方程各阶系数均大于零的条件，从而得知系统不稳定，令其稳定的K值不存在。)可见，增加积分环节，使得系统稳定性变坏

30、，K的稳定域变小。5-4 已知系统开环传递函数为：KG(s)H(s)二 (10s+1)(2s+1)(0.2s+1)(1) K =20时，分析系统稳定性；(2) K =100时，分析系统稳定性；(3) 分析开环放大倍数 K的变化对系统稳定性的影响。解：系统为0型系统，n=3, m=0 ，因此其极坐标图从正实轴出发，以-90 (n -m) =270的方向进入坐标原点。系统的开环频率特性为:G(j，)H(j，)K(1 - j10 -)(1 j2)(1 * j0.2 )23_ K(1 -22.42)j(122，-4 ) 2 2 2(1 100 - )(1 4 )(1 - 0.04 )K (12.2豹一

31、43)(1100 2)(14 2)(10.04 2)=0即 12.2，-4 0得： 1=0，对应极坐标图的起点; 3.05，对应极坐标图与负实轴的交点。2代入PC.)W)厂中(1 +100g/)(1 + 滋 2)(1 +0.0他2)得：P( - -0.015K（1） K =20时：PCJ-q.3，极坐标图如图所示。0而N =0，故Z =0，闭环系统稳定。（2） K JOO时：P，）- _1.5，极坐标图如图（b）所示。；P =0而N =2，故Z =2，闭环系统不稳定，且右半平面有两个闭环极点。（3） 由（1 ）和（2）可见，增大开环放大倍数K，系统的稳定性会下降，甚至会不稳定。当PCJ二0.0

32、15K =1时，即K : 67时，闭环系统处于临界稳定状态。5-5设系统开环频率特性如下图所示，试判别系统的稳定性。其中p为开环右极点数八为开环传递函数中的积分环节数目。解：1（a）由图可知 N,P =12（b）由图可知 N =0, P =0（c）由图可知 N =0,P二01（d ）由图可知 N, P =12（e）由图可知 N - -1, P = 01（f ）由图可知 N , P =12P 、N ，-该闭环系统不稳定。2P、N ， 该闭环系统稳定。2P、N ，.该闭环系统稳定。2PN ，.该闭环系统不稳定。2,P、N ，.该闭环系统不稳定。2PN ，.该闭环系统稳定。2P（g）由图可知 N -

33、1,P=2 N ，.该闭环系统不稳定。2（h）由图可知 N工正穿越次数负穿越次数=1- 1 = 0PP = 0 , N = 2-该闭环系统稳定。5-6Im.A匕amIzrIm iP -j02P -10Im.ImjP -0Imp r0Re0d图示为一负反馈系统的开环奈氏曲线，开环增益K =500,开环没有右极点。试确定使系统稳定的K值范围。解：设系统开环传递函数为G(s) = KG0(s)，当K 0时，叮()与K无关，A)=K,即 A( ) = KA0 (),设负实轴上50、 20、 0.05所对应的角频率分别为WP W2、W3，则W10.0550050 =5OOG0(jwJ , 20 =5OOG0(jw2) , 0.05 = 500 G0(jw3)即 G( jw1) =, G( jw2)=, G( jw3)=500500当系统稳定时应满足:A( i) : 1 或 A( 2) 1, AC 3) : 1 25 ： K : 104(即 KG(jd)1或 KG（j 国 2）1, KG。（血 3）1故K的稳定范围为：0 K :：: 10或25 :：: K :：: 10000Im i1(a1,0.7 1 1f1W J JK7 n n11k25K10000Im丄ReK1 = 0.5,5-7设系统的结构如图所示。试