现代控制理论试题(详细答案)

1、现代控制理论试题B卷及答案一、1系统上：小能控的状态变量个数是一， 0 2-1能观测的状态变量个数是O2试从高阶微分方程y + 3； +8y = 5求得系统的状态方程和输出方程(4分/个)解1.能控的状态变量个数是2,能观测的状态变量个数是2。状态变量个数是2。.(4分)2.选取状态变量*=y, x2 = y , x3 = y ,可得 (1分)X = %2=&.（1 分）& = -8* - 3工3 + 5）=玉写成0.(1 分)x= 0-8y = 1 0 0x .（1分）二、1给出线性定常系统x(k +1) = Av(k) + Bi(k), y(k) = Cx(k)能控的定乂。(3分)2 1

2、02己知系统文=0 2 00 0-3y = 0 1 x ,判定该系统是否完全能观（5分）解1.答：若存在控制向量序列,欣）,，9+ N-1）,时系统从第k步的状态武幻开始，在第N步达到零状态，即MN） = O,其中N是大于0的有限数，那么就称此系统在第k步上是能控的。若对每一个0系统的所有状态都是能控的，就称系统是状态完全能控的，简称能控。.（3 分）2.CA = p 121 0000 =0 2 -3一3（1分）CA2 = 0 2 -300一3= 0 4 9.（1分）U。CCACA:1-39.（1 分）rankU。= 2 0 A,=detP = 0 2-4故矩阵P是正定的。因此，系统在原点处的

3、平衡状态是大范围渐近稳定的。六、（10分）己知被控系统的传递函数是G(s) =10(5 + 1)(5 + 2)试设计一个状态反馈控制律，使得闭环系统的极点为； jo解系统的状态空间模型是 0 1 ox =x+ u-2 - 3L1.y = 10 0卜将控制器=-卜。女小 代入到所考虑系统的状态方程中，得到闭环系统状态方程该闭环系统的特征方程是期望的闭环特征方程是通过可得从上式可解出det(AZ - 4)=万 + (3 + 占)2 + (2 + 即)(z + 1-J)(2 + 1 + 7) = 22 + 22 + 2元 + (3 + k )A + (2 + %。)=元 + 24 + 23 + k1

4、 =22 + Z()= 2k = -1 k +0因此，要设计的极点配置状态反馈控制器是=。1广1七、（10分）证明：等价的状态空间模型具有相同的能控性。证明对状态空间模型x = Ax + Buy = Cx + Du它的等价状态空间模型具有形式x = Ax + Buy = Cx + Du其中：A=TAT-l B=TB C =CT-X D=Dr是任意的非奇异变换矩阵。利用以上的关系式，等价状态空间模型 的能控性矩阵是rA,B = |B AB = TB TArTB . （TArYTB= TB AB . AB= TTcA,B由于矩阵r是非奇异的,故矩阵r,区，引,和中AS具有相同的秩,从 而等价的状态

5、空间模型具有相同的能控性。八、（15分）在极点配置是控制系统设计中的一种有效方法，请问这 种方法能改善控制系统的哪些性能对系统性能是否也可能产生不利 影响如何解决解：极点配置可以改善系统的动态性能，如调节时间、峰值时间、 振荡幅度。极点配置也有一些负面的影响，特别的，可能使得一个开环无静差的 系统通过极点配置后，其闭环系统产生稳态误差，从而使得系统的稳 态性能变差。改善的方法：针对阶跃输入的系统，通过引进一个积分器来消除跟踪 误差，其结构图是构建增广系统，通过极点配置方法来设计增广系统的状态反馈控制 器，从而使得闭环系统不仅保持期望的动态性能，而且避免了稳态误 差的出现。现代控制理论复习题2

6、一、(10分，每小题2分)试判断以下结论的正确性，若结论是正确 的，则在其左边的括号里打反之打X。(X ) 1.对一个系统，只能选取一组状态变量;(7)2.由状态转移矩阵可以决定系统状态方程的状态矩阵，进而决定系统的动态特性；(X ) 3.若传递函数G(s) = C(s/-A)T8存在零极相消，则对应的状 态空间模型描述的系统是不能控不能观的；(义)4.若一个系统是李雅普诺夫意义下稳定的，则该系统在任 意平衡状态处都是稳定的；(7)5.状态反馈不改变系统的能控性。二、（20分）已知系统的传递函数为、 2s+ 5G(s)=(s + 3)(5 + 5)（1）采用串联分解方式，给出其状态空间模型，并

7、画出对应的状态变量图;（2）采用并联分解方式，给出其状态空间模型，并画出对应的状态变量图。答：（1）将G（s）写成以下形式:一、1 2s+ 5G（s）=5+3 5+5这相当于两个环节一I和”串连，它们的状态空间模型分别为: s + 35 + 5再=-32+和)l = Mx2 = -5x2 + u y = -5x2 + z/|由于乃=外,故可得给定传递函数的状态空间实现是:工=-3占 + uU2 =工-5x2v = 2/-5、2将其写成矩阵向量的形式，可得：对应的状态变量图为:串连分解所得状态空间实现的状态变量图(2)将G(s)写成以下形式:、 -0.52.5G（S） =1s+3 s+5它可以看

8、成是两个环节-”和真的并联，每一个环节的状态空间 5+35+5模型分别为:x1二一3演-0.51/x2 = - 5叫 +2.5% =x. 由此可得原传递函数的状态空间实现:I 芯=-3x -0.5mx. =-5x2 +2.5进一步写成状态向量的形式，可得：-0.52.5对应的状态变量图为:0.5并连分解所得状态空间实现的状态变量图三、(20分)试介绍求解线性定常系统状态转移矩阵的方法，并以一 种方法和一个数值例子为例，求解线性定常系统的状态转移矩阵； 答：求解状态转移矩阵的方法有：方法一直接计算法：根据状态转移矩阵的定义(f) = ei: = I + At + A2t2 4f Atn +2!n

9、l来直接计算，只适合一些特殊矩阵4方法二通过线性变换计算状态转移矩阵，设法通过线性变换，将矩 阵力变换成对角矩阵或约当矩阵,进而利用方法得到要求的状态转移 矩阵。方法三 拉普拉斯变换法：*=L(s/-方法四凯莱-哈密尔顿方法根据凯莱-哈密尔顿定理和，可导出*具有以下形式：其中的4() %(6 - %-均是时间t的标量函数。根据矩阵公有 个不同特征值和有重特征值的情况，可以分别确定这些系数。举例：利用拉普拉斯变换法计算由状态矩阵非奇异，则系统完全能观。& 举例：对于系统1 0-0一X= X4- II .1 1J 1 y = 0 lx其能观性矩阵 。 一01 C =LM _i i_的秩为2,即是列

10、满秩的，故系统是能观的。五、（20分）对一个由状态空间模型描述的系统，试回答：（1）能够通过状态反馈实现任意极点配置的条件是什么（2）简单叙述两种极点配置状态反馈控制器的设计方法；（3）试通过数值例子说明极点配置状态反馈控制器的设计。答：（1）能够通过状态反馈实现任意极点配置的条件：系统是能控 的。（2）极点配置状态反馈控制器的设计方法有直接法、变换法、爱克 曼公式法。直接法验证系统的能控性，若系统能控，则进行以下设计。设状态反馈控制器U二十X,相应的闭环矩阵是八七七 闭环系统的特征 多项式为dci/tZ 一(2 5K) 0由期望极点4,，4可得期望的闭环特征多项式(% - 4)-)=储十%犷

11、十如乃-2十十%通过让以上两个特征多项式相等，可以列出一组以控制器参数为变量 的线性方程组，由这组线性方程可以求出极点配置状态反馈的增益矩 阵K。%变换法验证系统的能控性，若系统能控，则进行以下设计。将状态空间模型转化为能控标准型，相应的状态变换矩阵T = YcAj(TcA.By1设期望的特征多项式为/+%21+上2乃-2+ %而能控标准型的特征多项式为丸十4一/T+为.2产2 +十的所以，状态反馈控制器增益矩阵是K 二四-(3)采用直接法来说明极点配置状态反馈控制器的设计考虑以下系统一0 1 1-0一x= x+ u设计一个状态反馈控制器，使闭环系统极点为2iriT。 该状态空间模型的能控性矩

12、阵为1L1 - 3_ 该能控性矩阵是行满秩的，所以系统能控。 设状态反馈控制器u = -Kx = -kQ 尢卜 将其代入系统状态方程中，得到闭环系统状态方程 .01x= , x2-%3-左其特征多项式为det 卬-（A-BK） = 42 + （3 +- 2 + .由期望的闭环极点-2和T,可得闭环特征多项式（兑 + 2）（幺+3）=+ 6通过十（3+才）彳一2十0 = A十5z + 6可得3 + 尢=5-2 +人=6由此方程组得到勺二8%二2因此，要设计的极点配置状态反馈控制器u = -K=-S 2x六、（20分）给定系统状态空间模型 =从（1）试问如何判断该系统在李雅普诺夫意义下的稳定性（2

13、）试通过一个例子说明您给出的方法；（3）给出李雅普诺夫稳定性定理的物理解释。答：（1）给定的系统状态空间模型x = Ax是一个线性时不变系统，根据线 性时不变系统稳定性的李雅普诺夫定理，该系统渐近稳定的充分必要 条件是：对任意给定的对称正定矩阵Q,矩阵方程A7P + PA = -Q有一个 对称正定解矩阵P。因此，通过求解矩阵方程= -Q,若能得到 一个对称正定解矩阵P,则系统是稳定的；若得不到对称正定解矩阵P, 则系统是不稳定的。一般的，可以选取Q二/。（2）举例：考虑由以下状态方程描述的二阶线性时不变系统：原点是该系统的惟一平衡状态。求解李雅普诺夫方程：47P + PA = -0, 其中的未

14、知矩阵1%将矩阵人和P的表示式代入李雅普诺夫方程中，可得为了计算简单，选取Q=2/,则从以上矩阵方程可得:-2%=-22P12 = 0*=-2求解该线性方程组，可得：小二夕及二1, 4二即1 0p = _0 1_ 判断可得矩阵P是正定的。因此该系统是渐近稳定的。（3）李雅普诺夫稳定性定理的物理意义：针对一个动态系统和确定 的平衡状态，通过分析该系统运动过程中能量的变化来判断系统的稳 定性。具体地说，就是构造一个反映系统运动过程中能量变化的虚拟 能量函数，沿系统的运动轨迹，通过该能量函数关于时间导数的取值 来判断系统能量在运动过程中是否减少，若该导数值都是小于零的， 则表明系统能量随着时间的增长

15、是减少的，直至消耗殆尽，表明在系 统运动上，就是系统运动逐步趋向平缓，直至在平衡状态处稳定下来, 这就是李雅普诺夫意义下的稳定性现代控制理论复习题3一、（10分，每小题2分）试判断以下结论的正确性，若结论是正确 的，则在其左边的括号里打J,反之打X。（X ） 1.具有对角型状态矩阵的状态空间模型描述的系统可以看 成是由多个一阶环节串联组成的系统；（X ） 2.要使得观测器估计的状态尽可能快地逼近系统的实际状态，观测器的极点应该比系统极点快10倍以上；（X ） 3.若传递函数G（s） = C3-存在零极相消，则对应状态 空间模型描述的系统是不能控的；（7）4,若线性系统是李雅普诺夫意义下稳定的，

16、则它是大范围 渐近稳定的；（7）5.若线性二次型最优控制问题有解，则可以得到一个稳定 化状态反馈控制器。二、（20分）（1）如何由一个传递函数来给出其对应的状态空间模型，试简述其解决思路（2）给出一个二阶传递函数G（s） = 的两种状态空间实现。（5+ 3）（5+ 5）解：（1）单输入单输出线性时不变系统传递函数的一般形式是G(s) =X1-1s +怎_” . + +若“工。，则通过长除法，传递函数G（s）总可以转化成G=二+”了 +d=回+ ds十%+所5+(s)将分解成等效的两个特殊环节的串联:可得一个状态空间实现00一0 一%.V = h q串联法其思想是将一个，阶的传递函数分解成若干低

17、阶传递函数的 乘积，然后写出这些低阶传递函数的状态空间实现，最后利用串联关 系，写出原来系统的状态空间模型。并联法其的思路是把一个复杂的传递函数分解成若干低阶传递函数 的和，然后对每个低阶传递函数确定其状态空间实现，最后根据并联 关系给出原来传递函数的状态空间实现。G(s)=2s+ 5(2)方法一：将G(s)重新写成下述形式：每一个环节的状态空间模型分别为:X2 = -5.丫2 + y = -5.r2 + 2u1又因为凹=%，所以心=-3,1+ u2 = X -5x2y = 2x1 - 5x2因此，若采用串联分解方式，则系统的状态空间模型为:-3 01 一 5v = 2 -5方法二：将G重新写

18、成下述形式:G(s) =-0.5 2.5$+3 5+5每一个环节的状态空间模型分别为:又由于司-3.Vj-O.5i/X, = -5.%2 + 2.52 =5x1 = 一3占 一05 1 - 2-1 A1-43-41-21-4一 t le-2A故矩阵P是正定的。因此，系统在原点处的平衡状态是大范围渐近稳 定的。评分标准：问题（1）完整叙述线性时不变系统的李雅普诺夫稳定性 定理5分；问题（2）稳定性判断方法和结果正确5分。现代控制理论复习题4一、（10分，每小题1分）试判断以下结论的正确性，若结论是正确 的，则在其左边的括号里打J,反之打义。（7）1.相比于经典控制理论，现代控制理论的一个显著优点

19、是 可以用时域法直接进行系统的分析和设计。（J ） 2.传递函数的状态空间实现不唯一的一个主要原因是状态 变量选取不唯一。（X ） 3.状态变量是用于完全描述系统动态行为的一组变量，因 此都是具有物理意义。（X ） 4.输出变量是状态变量的部分信息，因此一个系统状态能 控意味着系统输出能控。（V ） 5.等价的状态空间模型具有相同的传递函数。（义）6.互为对偶的状态空间模型具有相同的能控性。（X ） 7. 一个系统的平衡状态可能有多个，因此系统的李雅普诺夫稳定性与系统受扰前所处的平衡位置无关。（7）8.若一线性定常系统的平衡状态是渐近稳定的，则从系统 的任意一个状态出发的状态轨迹随着时间的推移

20、都将收敛到该平衡 状态。（X ） 9.反馈控制可改变系统的稳定性、动态性能，但不改变系 统的能控性和能观性。（X ） 10.如果一个系统的李雅普诺夫函数确实不存在，那么我们 就可以断定该系统是不稳定的。二、（15分）建立一个合理的系统模型是进行系统分析和设计的基础。己知一单输入单输出线性定常系统的微分方程为：y（t） + 4y（r） + 3y（f） = ii（t） + 8M（f）（1）采用串联分解方式，给出其状态空间模型，并画出对应的状态变量图；（7分+ 3分）（2）归纳总结上述的实现过程，试简述由一个系统的阶微分方程建立系统状态空间模型的思路。（5分） 解：（1）方法一: 由微分方程可得G(

21、$)=+ 6s + 8 ” 4 4s 4 32s+ 5s-2 +4s + 3GG)=2s十5? +4s + 32s+ 55 + 3每一个环节的状态空间模型分别为：二-xL + u fx2 = -3x2 + %Vi = AI和 jy =十 2%又因为yl二ul,所以因此，采用串联分解方式可得系统的状态空间模型为:对应的状态变量图为:方法二: 由微分方程可得、s：+65+ 8 s + 4 s + 2G(s)=-=s+4$+ 3 s + 1 s + 3每一个环节的状态空间模型分别为：上1 - +11 yx = 3M + uI x2 = -3x2 +又因为yl二ul,所以 = xi + u B = (

22、A2- ABK - BKA + BKBK)B= B- AB(KB) - B(KAB - KBKB) 以此类推，(4-总可以写成ABA”E8.A8,8的线性组合。因此,存在一个适当非奇异的矩阵U,使得rcK(A-BKlB = rcA.BU由此可得：若rank(r；A,8)=，即有个线性无关的列向量，则 KA-8K）也有“个线性无关的列向量，ife rank（rc J（ A - BK B） = n , 命题得证。六、（20分）双足直立机器人可以近似为一个倒立摆装置，如图所示。 假设倒立摆系统的一个平衡点线性化状态空间模型如下：0000=1100000-10110 ox其中，状态变量工=Uy 6网丁

23、，y是小车的位移，。是摆杆的偏移角，U是作用在小车上的动力。试回答（1）双足直立机器人在行走过程中被人推了一把而偏离垂直面，那么根据倒立摆原理，请问双足直立机器人在该扰动推力消失后还能回 到垂直而位置吗（2分）（2）如果不能，那么请你从控制学的角度，给出两种能够使双足直立机器人在扰动推力消失后回到垂直面位置的方法。（4分）（3）请结合倒立摆模型，简单叙述双足直立机器人能控性的含义。（4分）（4）在状态反馈控制器设计中，需要用到系统的所有状态信息，但根据倒立摆原理，可测量的状态信息只有水平移动的位移y,那么你 有什么方法可以实现这个状态反馈控制器的设计你所用方法的条件 是什么依据是什么请结合倒立

24、摆模型，给出你使用方法的实现过程。（10 分） 答：（1）不能，因为倒立摆是一个开环不稳定系统；（2）对于给定的倒立摆模型，是一线性时不变系统，因此可以用如 下方法使双足直立机器人在扰动推力消失后回到垂直面位置（即稳定 化控制器设计）：极点配置方法；基于李雅普诺夫稳定性理论的直接 设计法；线性二次型最优控制器设计方法。（3）当双足直立机器人由于受初始扰动而稍稍偏离垂直面位置时， 总可以通过对其施加一个适当的外力，使得将它推回到垂直面位置（将非零的初始状态转移到零状态）。（4）如果被控系统是状态能观的，那么通过设计（降维）状态观测 器将不可测量状态变量观测输出，再应用线性定常系统的分离性原 理，

25、实现状态反馈控制器设计。结合倒立摆模型，则检验上述状态空 间模型的能观性；系统完全能观，则对系统设计状态观测器（或对不 可测量子系统S，,e和8设计降维状态观测器）；应用线性定常系统的 分离性原理，将状态反馈控制器“二-6中的状态x替换为观测状态从 实现基于状态观测器的状态反馈控制器设计。使用方法的条件是：系统完全能观或不可观子系统是渐进稳定的； 使用方法的依据是：线性定常系统的分离性原理。七、（15分）考虑线性定常系统和性能指标如下：/其中实数。为性能指标可调参数。试回答（1）当参数厂固定时，求使得性能指标，最小化的最优状态反馈控制器。（10分）(2)当参数增大时，分析闭环系统性能的变化。（

26、5分）解:（1）系统性能指标J等价为厂1I令正定对称矩阵c cc0T 1 0卜 + rudt = x1 Ox + ir Rudt代入黎卡提矩阵方程pa+atp - pbbtbf+0 = 0=0可得: I通过矩阵计算，得到:一昂格一月2 耳2-鸟211 r昂舄2Pnr 42g2=0进一步，可得下面三个代数方程:- 2耳2 +1 = 0-舄2 + %-，召262=0r1320 %2=。厂据此，可解得：P|2=T + E不（这里取正值，若取负值，则相应的矩阵P不是正定的），P22 = -2r2 4- 2rfj 2 + r , 召=-2r2 +2jyJr +r 使得性能指标J最小化的最优状态反馈控制器为:u = -RxBtPx =yj-2r2 + Iryjr2 +r（2）将上述最优控制律代入系统，得最优闭环系统状态矩阵0 1-1 0A = A-BRBtP-1-51则闭环系统特征多项式为Z -1a1-A = r、 p、=A2 +-/l + l + 可得最优闭环极点为;_ 一吕2,士川仍2）2 -4（1 + W） _ 72 2 _ . j2z + 212 9-0 上 J