曲面及其方程

1、6.3a 曲面及其方程一、曲面方程的概念一、曲面方程的概念平面解析几何：平面解析几何：如果平面曲线L与坐标x,y的方程F(x,y)=0有下列关系：（1）凡是L上的点M(x,y)的坐标都满足F(x,y)=0;则称则称F(x,y)=0是曲线是曲线L的方程，称的方程，称L是是F(x,y)=0的图形的图形.（2）凡不是L上的点N(x,y)的坐标都不满足F(x,y)=0.在空间解析几何空间解析几何中把曲面S看作动点M(x,y)的轨迹，如果曲面S与坐标x,y,z的方程F(x,y,z)=0有以下关系：（1）凡是曲面S上的点M(x,y,z)的坐标x,y,z都满足F(x,y,z)=0;则称则称F(x,y,z)=

2、0是曲面是曲面S的方程，的方程，S是是F(x,y,z)=0的图形的图形.（2）凡不是曲面S上的点N(x,y,z)的坐标x,y,z都不满足F(x,y,z)=0;例例 1 1 建建立立球球心心在在),(0000zyxM、半半径径为为 R的的球球面面方方程程. 解解设设),(zyxM是是空空间间中中的的任任一一点点， 在在球球面面上上M根据题意根据题意, ,有有 ,Rzzyyxx 202020 ,Rzzyyxx2202020 所求方程为所求方程为特殊地：球心在原点时方程为特殊地：球心在原点时方程为.Rzyx2222 ，R|MM| 0即即解解 经过配方后，得经过配方后，得222(21)(44)1 4x

3、xyyz 222(1)(2)5xyz例例2 方程： 是怎样的曲面S ？222240 xyzxy与与例例1对照可知：对照可知：0(1, 2,0)M方程的图形方程的图形S S是球面，球心是球面，球心5R 半径半径二、旋转曲面二、旋转曲面定义定义 以一条平以一条平面曲线绕其平面面曲线绕其平面上的一条直线旋上的一条直线旋转一周所成的曲转一周所成的曲面称为面称为旋转曲面旋转曲面. .旋转曲线称为旋旋转曲线称为旋转曲面的母线，转曲面的母线，这条定直线叫旋这条定直线叫旋转曲面的转曲面的轴轴二、旋转曲面二、旋转曲面定义定义 以一条平面以一条平面曲线绕其平面上的曲线绕其平面上的一条直线旋转一周一条直线旋转一周所

4、成的曲面称为旋所成的曲面称为旋转曲面转曲面. .这条定直线叫旋转这条定直线叫旋转曲面的曲面的轴轴二、旋转曲面二、旋转曲面定义定义 以一条平面以一条平面曲线绕其平面上的曲线绕其平面上的一条直线旋转一周一条直线旋转一周所成的曲面称为所成的曲面称为旋旋转曲面转曲面. .这条定直线叫旋转这条定直线叫旋转曲面的曲面的轴轴二、旋转曲面二、旋转曲面定义定义 以一条平面以一条平面曲线绕其平面上的曲线绕其平面上的一条直线旋转一周一条直线旋转一周所成的曲面称为所成的曲面称为旋旋转曲面转曲面. .这条定直线叫旋转这条定直线叫旋转曲面的曲面的轴轴二、旋转曲面二、旋转曲面定义定义 以一条平面以一条平面曲线绕其平面上的曲

5、线绕其平面上的一条直线旋转一周一条直线旋转一周所成的曲面称为所成的曲面称为旋旋转曲面转曲面. .这条定直线叫旋转这条定直线叫旋转曲面的曲面的轴轴二、旋转曲面二、旋转曲面定义定义 以一条平面以一条平面曲线绕其平面上的曲线绕其平面上的一条直线旋转一周一条直线旋转一周所成的曲面称为所成的曲面称为旋旋转曲面转曲面. .这条定直线叫旋转这条定直线叫旋转曲面的曲面的轴轴二、旋转曲面二、旋转曲面定义定义 以一条平面以一条平面曲线绕其平面上的曲线绕其平面上的一条直线旋转一周一条直线旋转一周所成的曲面称为所成的曲面称为旋旋转曲面转曲面. .这条定直线叫旋转这条定直线叫旋转曲面的曲面的轴轴二、旋转曲面二、旋转曲面

6、定义定义 以一条平面以一条平面曲线绕其平面上的曲线绕其平面上的一条直线旋转一周一条直线旋转一周所成的曲面称为所成的曲面称为旋旋转曲面转曲面. .这条定直线叫旋转这条定直线叫旋转曲面的曲面的轴轴二、旋转曲面二、旋转曲面定义定义 以一条平面以一条平面曲线绕其平面上的曲线绕其平面上的一条直线旋转一周一条直线旋转一周所成的曲面称为所成的曲面称为旋旋转曲面转曲面. .这条定直线叫旋转这条定直线叫旋转曲面的曲面的轴轴二、旋转曲面二、旋转曲面定义定义 以一条平面以一条平面曲线绕其平面上的曲线绕其平面上的一条直线旋转一周一条直线旋转一周所成的曲面称为所成的曲面称为旋旋转曲面转曲面. .这条定直线叫旋转这条定直

7、线叫旋转曲面的曲面的轴轴二、旋转曲面二、旋转曲面定义定义 以一条平面以一条平面曲线绕其平面上的曲线绕其平面上的一条直线旋转一周一条直线旋转一周所成的曲面称为所成的曲面称为旋旋转曲面转曲面. .这条定直线叫旋转这条定直线叫旋转曲面的曲面的轴轴二、旋转曲面二、旋转曲面定义定义 以一条平面以一条平面曲线绕其平面上的曲线绕其平面上的一条直线旋转一周一条直线旋转一周所成的曲面称为所成的曲面称为旋旋转曲面转曲面. .这条定直线叫旋转这条定直线叫旋转曲面的曲面的轴轴二、旋转曲面二、旋转曲面定义定义 以一条平面以一条平面曲线绕其平面上的曲线绕其平面上的一条直线旋转一周一条直线旋转一周所成的曲面称为所成的曲面称

8、为旋旋转曲面转曲面. .这条定直线叫旋转这条定直线叫旋转曲面的曲面的轴轴xozy0),( zyf), 0(111zyM M1)1(zz （2）点点 M 到到 z 轴轴的的距距离离等等于于 M1到到 z 轴轴的的距距离离 , 122|y|yxd 建立旋转曲面建立旋转曲面S的方程：的方程：设点M1(0,y1,z1)在曲线C上，从而有f(y1,z1)=0d. 0),( 0)( 222 zyxfz ,yxf2或或, 12222yxyxy 或或即即设点M(x,y,z),且有yOz上上曲曲线线0),( zyf绕绕 z轴轴旋旋转转的的旋旋转转曲曲面面方方程程 同理：同理：绕绕 y 轴旋转轴旋转的的旋转曲面方

9、程旋转曲面方程 . 0,22 zxyf .z,yxf022 例例3 3 将下列各曲线绕对应的轴旋转一周，将下列各曲线绕对应的轴旋转一周，求生成的旋转曲面的方程求生成的旋转曲面的方程绕绕x轴轴旋旋转转绕绕z轴轴旋旋转转122222 czyax122222 czayx旋转双叶双曲面旋转双叶双曲面旋转单叶双曲面旋转单叶双曲面（2）椭椭圆圆 012222xczay绕绕 y 轴轴和和 z 轴轴； 绕绕 y轴轴旋旋转转 绕绕 z 轴轴旋旋转转 122222 czxay122222 czayx旋转椭球面旋转椭球面（3）抛物线）抛物线 022xpzy绕绕 z 轴；轴； pzyx222 旋转抛物面旋转抛物面解解

10、 此此锥锥面面可可看看成成 yOz 面面上上直直线线 cotyz 圆锥面方程圆锥面方程.cot22 yxz 轴轴生生成成的的旋旋转转曲曲面面绕绕z).(cot 2222yxz 即即xozyoxzy ）表示什么曲面？）表示什么曲面？其中其中问：问：0( )(222 kzykx定义定义三、柱面三、柱面观察柱面的观察柱面的形成过程形成过程: :平行于定直线并沿定曲线平行于定直线并沿定曲线 移动的移动的直线直线 所形成的曲面称为所形成的曲面称为柱面柱面. .CL这条定曲线这条定曲线 叫柱面的叫柱面的准线准线，动直线，动直线 叫柱面的叫柱面的母线母线CL定义定义三、柱面三、柱面观察柱面的形观察柱面的形成

11、过程成过程:平行于定直线并沿定曲线平行于定直线并沿定曲线 移动的直线移动的直线 所形成的曲面称为所形成的曲面称为柱面柱面. .CL这条定曲线这条定曲线 叫柱面的叫柱面的准线准线，动直线，动直线 叫叫柱面的柱面的母线母线.CL定义定义三、柱面三、柱面观察柱面的形观察柱面的形成过程成过程:平行于定直线并沿定曲线平行于定直线并沿定曲线 移动的直线移动的直线 所形成的曲面称为所形成的曲面称为柱面柱面. .CL这条定曲线这条定曲线 叫柱面的叫柱面的准线准线，动直线，动直线 叫叫柱面的柱面的母线母线.CL定义定义三、柱面三、柱面观察柱面的形观察柱面的形成过程成过程:平行于定直线并沿定曲线平行于定直线并沿定

12、曲线 移动的直线移动的直线 所形成的曲面称为所形成的曲面称为柱面柱面. .CL这条定曲线这条定曲线 叫柱面的叫柱面的准线准线，动直线，动直线 叫叫柱面的柱面的母线母线.CL定义定义三、柱面三、柱面观察柱面的形观察柱面的形成过程成过程:平行于定直线并沿定曲线平行于定直线并沿定曲线 移动的直线移动的直线 所形成的曲面称为所形成的曲面称为柱面柱面. .CL这条定曲线这条定曲线 叫柱面的叫柱面的准线准线，动直线，动直线 叫叫柱面的柱面的母线母线.CL定义定义三、柱面三、柱面观察柱面的形观察柱面的形成过程成过程:平行于定直线并沿定曲线平行于定直线并沿定曲线 移动的直线移动的直线 所形成的曲面称为所形成的

13、曲面称为柱面柱面. .CL这条定曲线这条定曲线 叫柱面的叫柱面的准线准线，动直线，动直线 叫叫柱面的柱面的母线母线.CL定义定义三、柱面三、柱面观察柱面的形观察柱面的形成过程成过程:平行于定直线并沿定曲线平行于定直线并沿定曲线 移动的直线移动的直线 所形成的曲面称为所形成的曲面称为柱面柱面. .CL这条定曲线这条定曲线 叫柱面的叫柱面的准线准线，动直线，动直线 叫叫柱面的柱面的母线母线.CL定义定义三、柱面三、柱面观察柱面的形观察柱面的形成过程成过程:平行于定直线并沿定曲线平行于定直线并沿定曲线 移动的直线移动的直线 所形成的曲面称为所形成的曲面称为柱面柱面. .CL这条定曲线这条定曲线 叫柱

14、面的叫柱面的准线准线，动直线，动直线 叫叫柱面的柱面的母线母线.CL定义定义三、柱面三、柱面观察柱面的形观察柱面的形成过程成过程:平行于定直线并沿定曲线平行于定直线并沿定曲线 移动的直线移动的直线 所形成的曲面称为所形成的曲面称为柱面柱面. .CL这条定曲线这条定曲线 叫柱面的叫柱面的准线准线，动直线，动直线 叫叫柱面的柱面的母线母线.CL定义定义三、柱面三、柱面观察柱面的形观察柱面的形成过程成过程:平行于定直线并沿定曲线平行于定直线并沿定曲线 移动的直线移动的直线 所形成的曲面称为所形成的曲面称为柱面柱面. .CL这条定曲线这条定曲线 叫柱面的叫柱面的准线准线，动直线，动直线 叫叫柱面的柱面

15、的母线母线.CL定义定义三、柱面三、柱面观察柱面的形观察柱面的形成过程成过程:平行于定直线并沿定曲线平行于定直线并沿定曲线 移动的直线移动的直线 所形成的曲面称为所形成的曲面称为柱面柱面. .CL这条定曲线这条定曲线 叫柱面的叫柱面的准线准线，动直线，动直线 叫叫柱面的柱面的母线母线.CL定义定义三、柱面三、柱面观察柱面的形观察柱面的形成过程成过程:平行于定直线并沿定曲线平行于定直线并沿定曲线 移动的直线移动的直线 所形成的曲面称为柱面所形成的曲面称为柱面. .CL定义定义三、柱面三、柱面观察柱面的形观察柱面的形成过程成过程:平行于定直线并沿定曲线平行于定直线并沿定曲线 移动的直线移动的直线

16、所形成的曲面称为所形成的曲面称为柱面柱面. .CL这条定曲线这条定曲线 叫柱面的叫柱面的准线准线，动直线，动直线 叫叫柱面的柱面的母线母线.CL柱面举例柱面举例xozyxozyxy22 抛物柱面抛物柱面xy 平面平面二元方程二元方程F(x,y)=0 在空间表示的曲面在空间表示的曲面S是什么？是什么？ SzyxM),( 0),(:)0 ,(yxFCxOyyxM曲曲线线面面上上的的 的的直直线线上上面面上上的的曲曲线线过过轴轴平平行行、在在与与0),(:),(yxFCxOyzzyxMxyzOS)z , y,x(M C),y,x(M 0。的的面面上上的的曲曲线线准准线线为为面面）、轴轴（即即表表示示

17、母母线线柱柱面面 0),(: / 0),(: yxFCxOyxOyzyxFS 例例12222 czby椭圆柱面椭圆柱面 / 轴轴x12222 byax双曲柱面双曲柱面 / 轴轴zpzx22 抛物柱面抛物柱面 / 轴轴y1 z平面平面 / 轴轴x、/ 轴轴y( , )0 / :( , )0 F x yzxOyxOyC F x y表示母线轴（即面）、准线为面上的曲线的。柱柱面面三元三元二次二次方程的图形曲面称为方程的图形曲面称为二次曲面二次曲面了解了解( (画画) )曲面的形状的一种方法：曲面的形状的一种方法： 用坐标面和平行于坐标面的平面与曲用坐标面和平行于坐标面的平面与曲面相截，通过考察其交线

18、（即面相截，通过考察其交线（即截痕截痕）的形）的形状来了解曲面的形状状来了解曲面的形状几种特殊的二次方程的曲面：几种特殊的二次方程的曲面：四、二次曲面四、二次曲面截痕法。截痕法。1、方程、方程1222222 czbyax 曲面与坐标面的交线：曲面与坐标面的交线：,012222 yczax.012222 xczby,012222 zbyax椭圆曲面与平面曲面与平面 的交线的交线1zz 12122222122221)()(zzzccbyzccax椭球面椭球面2、方程、方程1222222 czbyax 曲面与坐标面的交线：曲面与坐标面的交线：,yczax 012222.xczby 012222,012222 zbyax椭圆曲面与平面曲面与平面 的交线的交线1zz 12122222122221zz)zc(cby)zc(cax单叶双曲面单叶双曲面