第三章-2(5次)-1

1、本本 次次 课课 主主 要要 内内 容容3.4 3.4 流体运动微分方程流体运动微分方程3.5 3.5 伯努利方程的推导及应用伯努利方程的推导及应用3.3 3.3 流体动力学流体动力学连续性方程连续性方程 在研究流体运动时有个基本的假设，即假设流体是一个连续介质，流体无空隙的充满整个流场。 连续性方程是描述连续流体的基本方程，是质量守恒定律在流体力学中的表达式。 连续性方程的理论基础质量守恒定律质量守恒定律3.3 3.3 流体动力学流体动力学连续性方程连续性方程3.3 连续性方程连续性方程V S 。3-3 连续方程式(质量守恒方程)基本原理基本原理在流场中取任意形状的控制体，如图所示，其体积为

2、V，表面积为A，任意时刻控制体内流体的质量为： vdV在流体穿越控制面的流动过程中，经过单位时间，如果流体质量发生了变化，其质量变化率为 VdVt这个质量变化率是由什么引起的？单位时间从控制体流入或流出的净流量。单位时间从控制体流入或流出的净流量。体积体积0VdVt若（1）流出的大于流入的，则若（2）流出的小于流入的，则0VdVt若（3）流出的等于流入的，则上述两项皆为0不管何种情况，根据质量守恒定律控制体内流体质量变化率与通过控制面的净流量的代数和为0，即0AdAv0AdAvVAdVtdAv0特例特例1、定常流动连续方程、定常流动连续方程AdAv0特例特例2、不可压缩流体流动的连续方程、不可

3、压缩流体流动的连续方程在定常流动中，密度不随时间变化，控制体中的质量不随时间变化在定常流动中，密度不随时间变化，控制体中的质量不随时间变化VdVt0因此所以0VAdVtdAv在定常流动中，从控制体流出的质量流量永远等于流入控制体的质量流量。在定常流动中，从控制体流出的质量流量永远等于流入控制体的质量流量。密度不随空间变化，密度不随空间变化，也不随时间变化。也不随时间变化。0VAdVtdAv,控制体的位置,形状,体积在流动过程中相对于坐标系不变，密度0VVdV0tV0dAvA不可压缩流体流动时任何瞬时流入控制体的流量均等于同一瞬时从控制体流出的流量不可压缩流体流动时任何瞬时流入控制体的流量均等于

4、同一瞬时从控制体流出的流量一、一元流动的连续性方程01122112212AvAvdAvdAvdAvAAA流动随一个、两个、三个空间坐标变化的流动称为一元、二元、三元流动。不但微小流束是一元流动，有固体边界的总流，如果一切流动参数均以过流断面上的平均值计算，也可看作一元流动。如图311，左进口和右出口的质量相等，即一元定常流动的方程式一元定常流动的方程式是： 如果流体不可压缩的话，密度为常数，则得到一元不可压缩流体一元不可压缩流体的连续性方程。1122v Av A公式中的密度和速度是过流断面上的平均值公式中的密度和速度是过流断面上的平均值即平均速度与过流断面的面积成反比vA 常量例:如图水从管口

5、自由向下流，已知v1=1.4m/s, d1=10cm, v2=5.6m/s, 求d2=?1112222212222244101.4 3.145.6 3.14445v Av Addvvddcm解:根据不可压缩流体一维连续方程得二、三元直角坐标下的连续方程为了方便，选取流场中的矩形六面体微元作为控制体。如图所示，其体积为V,表面积为A，流体密度为，其边长为dx、dy、dz，分别平行于x、y、z轴。在dt时间内从左侧ADEH面流入的质量为 ，从右侧BCFG面流出的质量为 。则右侧按左侧面泰勒公式展开并略去高阶项的： 图3.3.1 控制体vdydzdt v dydzdt().vvvdxtx,y,zf(

6、x)在x0点展开泰泰 勒勒 展展 开开 式式 高数上册高数上册P176()().()vvvxdxxtvvdxt)()(!)()(2)()()()(00)(200000 xRxxnxfxxxfxxxfxfxfnnn 图3.3.1 控制体x方向 dt时间内流入的流体质量tzyvxddd流出的流体质量tzyxxvvxxddd)d(X方向质量的净流入量d d d dxvx y z tx同理：同理：Y方向质量的净方向质量的净流入量流入量d d d dyvx y z tyZ方向质量的净流入量方向质量的净流入量d d d dzvx y z tz则dt时间内，在整个控制体流体质量的变化为：同样，假设ADEH面

7、t时刻的密度为，右侧BCFG面t+dt时刻的密度为dtt则dt时间内由于密度的变化导致六面体内质量的变化为：tzyxtdddd由质量守恒定理得：()()()0yxzvvvtxyz三元直角坐标连续性方程。()0vt写成哈密顿算子形式为:dxdydzdtzvyvxvzyx)()()(0)()()(tzvyvxvzyx定常流动 0)()()(zvyvxvzyx不可压缩流动 0)()()(zvyvxvzyx如何改为二元流动？三元流动连续方程式 直直角角坐坐标标系系 输水管道经三通管分流已知管径d1d2200mm，d3=100mm断面平均流速v13ms ，v22ms。试求断面的平均流速v3图3193.4

8、 理想流体运动微分方程理想流体运动微分方程（动力学方程）（动力学方程）图2.4.1控制体牛顿第二运动定律在X方向的合力dtvxpfdtvzyxzyxfzydxxppzypxxxxd1ddddddddddd同理可得tvzpftvypfzzyydd1dd1maF 表面力质量力单位质量m加速度欧拉运动微分方程010101zpfypfxpfzyx欧拉平衡微分方程P56这就是理想理想流体的运动微分方程，早在1755年由欧拉推出。对于平衡的流体，相对于坐标系来说v=0，可以直接得出流体平衡微分方程，平衡微分方程，即欧拉平衡微分方程式。因此欧拉平衡微分方程只是欧拉运动微分方程的一个特例。zvvyvvxvvt

9、vdtdvzpfzvvyvvxvvtvdtdvypfzvvyvvxvvtvdtdvxpfzzzyzxzzzyzyyyxyyyxzxyxxxxx111*粘性流体运动微的分方程粘性流体运动微的分方程 纳维、斯托克斯方程纳维、斯托克斯方程(N-S(N-S方程方程) )2222zyx拉普拉斯算子，或标性微分算子拉普拉斯算子，或标性微分算子dtdvvzpfdtdvvypfdtdvvxpfzzzyyyxxx222111zkyjxi哈密顿算子，或矢性微分算子哈密顿算子，或矢性微分算子zvvyvvxvvtvdtdvzvyvxvzpfzvvyvvxvvtvdtdvzvyvxvypfzvvyvvxvvtvdtdv

10、zvyvxvxpfzzzyzxzzzzzzyzyyyxyyyyyyxzxyxxxxxxxx111222222222222222222010101zpfypfxpfzyxzvvyvvxvvtvzpfzvvyvvxvvtvypfzvvyvvxvvtvxpfzzzyzxzzyzyyyxyyxzxyxxxx111Cgvgpz22dtdvzvyvxvzpfdtdvzvyvxvypfdtdvzvyvxvxpfzzzzzyyyyyxxxxx111222222222222222222欧拉方程欧拉运动微分方程（理想流体）粘性流体运动微分方程，实际流体的运动微分方程fdsggvgpzgvgpz1222222211

11、1Cgpz静力学3.5 伯努利方程伯努利方程伯努利（瑞士），伯努利（瑞士），17381738，流体动力学流体动力学“流速增加，压强降低流速增加，压强降低” kvjvivvzyx在dt时间位移为ds=dxi+dyj+dzk。为了求出单位质量流体运动时外力做功的能量关系式。将三个坐标上的投影dx=vxdt, dy=vydt， dz=vzdt，与N-S方程的三个式子相乘，再相加的。则得到： Cgvgpz22假如单位质量的流体质点某瞬时的速度为：一、一、流线上流线上的伯努力方程的伯努力方程dtdvvzpfdtdvvypfdtdvvxpfzzzyyyxxx222111可以看出公式有四部分，对各部分进行简

12、化分析如下 1、第部分是有势的质量力，可用质量力的势函数表示2、第部分是压强对坐标的全微分，记为dp,则1()pppdpdxdydzxyz3、第部分是粘性力所做的功，由于粘性力方向与流体沿流线的运动方向相反，所以为负值，于是写出：222xyzv dxv dyv dzfds dWdzzWdyyWdxxWdzfdyfdxfzyx4、将部分导数化为微分，则得到：2222()()22yxyzxzxyzxyzdvvvvdvdvvv dtv dtv dtv dxv dyv dzdddtdtdt将以上4部分的化简结果代回原式，就会得到：22()2()02dpvdWfdsddpvd Wfds或者下面看看不同流

13、动下，对上式积分后出现什么状况。1、非定常流动的情况下，括号中对坐标的全微分同时为0，所以积分常数只与时间有关，所以积分得到)(22tCfdsvdpW2、在定常流动的情况下，积分常数与时间无关，则 CfdsvdpW223、在重力场，不可压缩流体的条件下：CfdsggvgpzCfdsvpgz122222()02dpvd Wfds4、重力场，不可压缩流体流线上任意两点，可以写成2221122121122pvpvzzfdsggggg这就是实际流体，在定常流动、重力场、不可压缩条件下，在流线上任意两点间的伯努利方程伯努利方程。 5、如果是理想流体，没有粘性力作用，则 Cgvgpz22gvgpzgvgp

14、z22222221116、如果速度为零 ，即流体静止，则Cgpz或平衡流体的流体平衡流体的流体静力学基本方程静力学基本方程zpg2gv2gpgvz22理想流体理想流体 伯努利方程伯努利方程的意义（非常重要）的意义（非常重要）Cgpgvz22单位均为m物理意义物理意义几何意义几何意义单位重量流体的单位重量流体的位置势能位置势能位置水头位置水头单位重量流体的单位重量流体的压强势能压强势能压强水头压强水头单位重量流体的单位重量流体的动能动能速度水头速度水头总机械能总机械能总水头总水头物理意义为：当理想不可压缩流体在重力场中作恒定流动时，沿同一元流（沿同一流线）单位重量流体的位置势能、压强势能和位置势

15、能、压强势能和动能动能在流动过程中可以相互转化，但它们的总和保持不变，即单位重量流体的机械能守恒，故伯努利方程又称为能量方程。伯努利方程的意义图水头线几何意义为：几何意义为：当当理想不可压缩流体理想不可压缩流体在重力场中作恒定流动时，沿同一元在重力场中作恒定流动时，沿同一元流（沿同一流线）流体的位置水头、压强水头和速度水头在流动过程中流（沿同一流线）流体的位置水头、压强水头和速度水头在流动过程中可以互相转化，但各断面的总水头保持不变，即总水头线是与基准面相可以互相转化，但各断面的总水头保持不变，即总水头线是与基准面相平行的水平线平行的水平线 平面流场平面流场（忽略重力作用）Cpv22思考1.

16、碗中，放了一个球，怎样才能把球从碗中吹起来？2. 轿车高速行驶时，为何感觉车身变轻？1、总流上总流上的伯努力方程 工程计算上一般并不观测哪一条流线上的流动，而是着眼于总流在过流断面上的平均值，因此伯努力式中各项如以过流断面上的平均值表示，则更有实用价值。 在过流断面上单位重力流体的平均动能为3.5.2 3.5.2 总流上的伯努利方程总流上的伯努利方程22vg已经学过动能修正系数平均流速真实流速如何利用平均流速建立总流上的伯努利公式？222121vAvvvdAA图 理想流体总流假设 A1、A2是过流截面，对于微元流束的伯努利方程2211221222pupuzzgggg2211dAudAu对于总流

17、，通过断面1和2的能量，可以通过积分得到，积分结果用平均流速表示：1211111111112222222222()d()()d()AAppzuAzu AggppzuAzu Agg12221111 1111122222222222d22d22AAuuu Au Agguuu Au Agg121122u Au A动能位置势能与压强势能理想流体总流上的伯努利方程式理想流体总流上的伯努利方程式由动能修正系数221211221222pvpvzzgggg22pvzCgg或这就是在不考虑能量损失时（沿程损失和局部损失）理想理想流体总流上的伯努利方程式。流体总流上的伯努利方程式。3.5.3.3.5.3.实际流体

18、的实际流体的伯努伯努利方程利方程fhgvgpzgvgpz222222221111能量损失或水头损失伯努利方程应用举例伯努利方程应用举例h01p0p0小孔出流20010112ppVzzggg1101zzhgvgpzgpz22110100ghv21能量损失将在第五章中介绍。能量损失将在第五章中介绍。如果初始速度为如果初始速度为0 当水流受到迎面物体的阻碍，被迫向两边（或四周）分流，在物体表面上受水流顶冲的A点流速等于零，称为驻点。在驻点处水流的动能全部转化为压能。毕托管就是利用这个原理制成的一种测量流速的仪器。 皮托管是广泛用于测量流场各点流速的仪器，故又称测速管。皮托管弯成 90 ，顶端开有一小

19、孔A。伯努利方程在工程中的应用伯努利方程在工程中的应用B A gpgpgvABB220gHpB)(0hHgpAghppvBAB2)(2 2/2gpHB0gphHA0静压水头总水头静压强ABpvp22动压强总压强ghCvv2管道中的皮托管，如图3-24所示，皮托管皮托管 静压管静压管工程实际中常将静压管和皮托管组合在一起，称为皮托静压管。它是一根工程实际中常将静压管和皮托管组合在一起，称为皮托静压管。它是一根弯成弯成 90 ，顶端开有一小孔，顶端开有一小孔A 且侧表面开有若干小孔且侧表面开有若干小孔B 的套管，测量时，将小的套管，测量时，将小孔孔A 对准来流方向，则对准来流方向，则A 点速度为零

20、。由于毕托管的直径很小，它对流场的扰点速度为零。由于毕托管的直径很小，它对流场的扰动可以忽略，故侧表面动可以忽略，故侧表面B 点处的速度可以认为就是等于来流速度点处的速度可以认为就是等于来流速度u。因此将伯。因此将伯努利方程用于努利方程用于A、B 两点，可得两点，可得原理原理测量时将静压孔和总压孔感受到的压强分别和差压计的两个入口测量时将静压孔和总压孔感受到的压强分别和差压计的两个入口相连，在差压计上可以读出总压和静压之差，从而求得被测点的流速。相连，在差压计上可以读出总压和静压之差，从而求得被测点的流速。A点静水头B点静水头皮托-静压管。使用中必须严格的校准安装方法，安装后稍有偏差，则测量出

21、来的速度就不会准确。 水流经喷嘴流入大气，已知管道直径为150mm，喷嘴出口直径为75mm，U形管水银差压计的读数如图所示。试求在管道上的压力表的读数。节流式流量计节流式流量计：在管道中安装一个过流断面略小些的节流元件，使节流式流量计：在管道中安装一个过流断面略小些的节流元件，使流体流过时，速度增大，压强降低。利用节流元件前后的压强差来流体流过时，速度增大，压强降低。利用节流元件前后的压强差来测定流量的仪器。测定流量的仪器。在工程上常用的有在工程上常用的有孔板流量计、喷嘴流量计、文丘里流量计孔板流量计、喷嘴流量计、文丘里流量计。它们。它们的节流元件不同，性能稍有差异，但其基本原理是完全一样的。

22、的节流元件不同，性能稍有差异，但其基本原理是完全一样的。 文丘里流量计文丘里流量计文丘里流量计文丘里流量计2121vAAv22212122pvpv联立求解：联立求解：)(1 )2212212AAppv（)(1 )221221222AAppAvAqV（b b 修正系数修正系数，0.950.98 )(1 )2212212AAppAqVb（ghpp)(121)(1 )221212AAghAqVb（gvgpzgvgpz2222222111由连续性方程， 221121122211)(ddvAAvvAvAv)()(1)(222114211zgpzgpddgv 根据测压仪器的不同，可有下列三种情况。 (1)如果用上部的测压管测定压强，则：hddgv1)(24211理论流量为：hkddghdvdqT1)(244