线性代数习题课1

1、nnnnnnaaaaaaaaaD212222111211nnjia并且规定其值为：并且规定其值为： 1 1）当）当 n = 1时，时， D = 1111aa叫做叫做 n 阶行列式阶行列式（Determinant）， 2 2）当）当 n 2时，时， D = nnAaAaAa1112121111其中其中 jjjMA111) 1(jM1nnjnjnnnjjnjjaaaaaaaaaaaa11131313312121221jA1为为行列式行列式 D 的元素的元素 ja1的的为行列式为行列式 D 的元素的元素 并称并称 jM1ja1的的 余子式余子式， 代数余子式代数余子式。 = njjjAa111 行列

2、式与它的转置行列式相等。行列式与它的转置行列式相等。 性质性质1 互换行列式中两行互换行列式中两行( (列列) )，行列式值变号。，行列式值变号。 性质性质2 行列式中的某一行行列式中的某一行(列列)中所有的元素都乘中所有的元素都乘以同一数以同一数k，等于用数，等于用数 k 乘此行列式，即乘此行列式，即性质性质3nnnnniiinnnnnniiinaaaaaaaaakaaakakakaaaa212111211212112111 如果行列式中某行如果行列式中某行(列列)的各元素都是两的各元素都是两数之和，则这个行列式等于两个行列式之和。数之和，则这个行列式等于两个行列式之和。性质性质4nnnnn

3、nnnnnnnnnnnnnnaaacccaaaaaabbbaaaaaacbcbcbaaa21211121121211121121221111211即即 把行列式的某一行把行列式的某一行(列列)的元素的的元素的 k (kR)倍加到另一行倍加到另一行(列列)上去，行列式的值不变。上去，行列式的值不变。 性质性质5 即即jnjjjninjijiaaakaakaakaa212211jnjjiniiaaaaaa2121K 行列式的行列式的某一行某一行(列列)的元素的元素与另一行与另一行(列列)对应元素的代数余子式乘积之和对应元素的代数余子式乘积之和等于零，等于零，nkkjkiAa102211njniji

4、jiAaAaAaji 性质性质6即即DAajinkkjki1其中其中, 0, 1jijiji当当对行列式的对行列式的列列来说也有同样的性质。来说也有同样的性质。定理定理1 （克莱姆法则）（克莱姆法则） 如果线性方程组如果线性方程组的系数行列式的系数行列式 ，0D 则方程组有则方程组有唯一解唯一解11DxD22DxD nnDxD11112211211222221122nnnnnnnnnna xa xa xba xaxaxba xaxaxb推论推论 齐次线性方程组有非零解的齐次线性方程组有非零解的充分必要条件充分必要条件：0D 其系数行列式其系数行列式 。一、计算（证明）行列式一、计算（证明）行列

5、式二、二、克莱姆法则及其应用克莱姆法则及其应用. 用定义计算用定义计算例例1 1 用行列式定义计算用行列式定义计算000000000535243423534333231252423222113125aaaaaaaaaaaaaaaaD 若用行列式定义计算展开该行列式，则其若用行列式定义计算展开该行列式，则其每一项为都由来自于不同行、不同列的每一项为都由来自于不同行、不同列的 5 个元素个元素的乘积。而该行列式中，只有两行与两列的元素的乘积。而该行列式中，只有两行与两列的元素不是零，所以展开式的每一项至少包含有一个零不是零，所以展开式的每一项至少包含有一个零元素，从而行列式的值等于零。元素，从而行

6、列式的值等于零。 解解 若将函数定义式中的若将函数定义式中的4阶行列式阶行列式按行列式定按行列式定 已知已知 4 次多项式函数次多项式函数 xxxxxxf21123232101 )(试求试求多项式函数中多项式函数中 项项的系数；的系数； 3x例例2解解 义展开义展开，则第一行第一个元素则第一行第一个元素 的代数余子式的代数余子式xxxx212332是是 的三次式，而且这个代数余子式的展开式中的三次式，而且这个代数余子式的展开式中x 而行列式第一行第二个元素而行列式第一行第二个元素 的代数余子式的代数余子式x没有没有 的二次项；的二次项；xxx2122321代数余子式中显然均不含代数余子式中显然

7、均不含 项。项。3x 所以所以多项式函数中多项式函数中 项项的系数是的系数是 11。 3x是是 的二次式，的二次式， 项的系数为项的系数为 -1-1； x2x 又行列式第一行的其它两个元素（为常数）的又行列式第一行的其它两个元素（为常数）的. 利用行列式性质与相关结论利用行列式性质与相关结论例例3 3 计算计算maaaaamaaaaamaaaaamaDnnnn 321321321321 对这个行列式，我们下面将用对这个行列式，我们下面将用多种不同的方法多种不同的方法来来计算它的值。计算它的值。再将上述行列式第一列的再将上述行列式第一列的-a-a2 2到到-a-an n倍加到从第倍加到从第2 2

8、列列到第到第 n n 列的各列上去，有列的各列上去，有 解法一（解法一（相加法相加法） 注意到行列式各行所有元注意到行列式各行所有元素之和是相等的，我们首先把原行列式的所有各素之和是相等的，我们首先把原行列式的所有各列加到第一列上去，并提取公因式，即有列加到第一列上去，并提取公因式，即有 maaaamaaaamaaaamaDnnnni 323232321111)( 这样就化成了这样就化成了上三角行列式上三角行列式。 易得易得mmmmaDi0010010010001 )(1 nimmaD)(第第2 2列到第列到第 n n 列每一列的列每一列的1 1倍都加到第一列上去，倍都加到第一列上去，就有就有

9、 解法二（解法二（相减法相减法） 我们再将原行列式的第一我们再将原行列式的第一行的行的-1-1倍加到其它各行上去，即有倍加到其它各行上去，即有 mmmmmmaaamaDn000000321 这样就化成了这样就化成了爪型行列式爪型行列式。再将上述行列式从再将上述行列式从结论相同。结论相同。mmmaaaamDnnii000000000321 11 nniimam)(并将它按行列式并将它按行列式性质性质4 4进行进行分解分解，可得下列，可得下列递推递推式式 解法三（解法三（分解与递推法分解与递推法） 我们把原行列式的我们把原行列式的作如下变形作如下变形 maaaaamaaaaamaaaaamaDnn

10、nnn 321321321321000nnnnnaaaaamaaaaamaaaaamaD321321321321 maaamaaaamaaaama321321321321000 11 nnnmaDm反复使用反复使用这个这个递推式，就有递推式，就有11 nnnnmaDmD1212 nnnnnmamaDmm1122 nnnnmaaDm)( 11211 nnnnmaaaDm)(11211 nnnnmaaamam)()(11 nniimam)(用所增加的第一行的用所增加的第一行的-1-1倍加到其它各行，有倍加到其它各行，有 解法四（解法四（加边法加边法） 我们再将原行列式增加我们再将原行列式增加1 1

11、行行1 1列，得列，得 maaaamaaaamaaaaDnnnn 212121210001 当当 m=0m=0时，显然行列式时，显然行列式 D=0D=0；而当；而当m0m0时，再时，再 这样同样就化成了这样同样就化成了爪型行列式爪型行列式。mmmaaaDn001001001121 加到第一列上去，就有加到第一列上去，就有将上述行列式从第二列到第将上述行列式从第二列到第n n列每一列的列每一列的 倍都倍都m1也得到相同的结论。也得到相同的结论。11 nniimam)(mmmaaaamDnnii00000000011211 本题利用行列式的性质，采用本题利用行列式的性质，采用 1 1）相加法；）相

12、加法； 2 2）相减法；）相减法； 3 3）分解与递推法；）分解与递推法； 4 4）加边法。）加边法。 等等将原行列式化为了等等将原行列式化为了上三角行列式上三角行列式或或爪型行爪型行列式列式，然后再通过适当变形去计算行列式的值。，然后再通过适当变形去计算行列式的值。虽然问题本身相对比较简单，但这些求行列式值虽然问题本身相对比较简单，但这些求行列式值的方法是常用的，因而值得去研究它。的方法是常用的，因而值得去研究它。 评注：评注： 例例4 4 计算计算abcdbadccdabdcbaD 解解 把行列式的各行加到第一行上去，并提取把行列式的各行加到第一行上去，并提取出公因式，则有出公因式，则有a

13、bcdbadccdabdcbaD1111)( dadbdcdcbcacdcbcbdbabdcbaD 0001)(再将第二列、第三列、第四列减去第一列，有再将第二列、第三列、第四列减去第一列，有按第按第1 1行展开，得行展开，得dadbdccbcacdbcbdbadcbaD )( 把上面右端行列式把上面右端行列式第第2 2行加到第行加到第1 1行行，再从第，再从第1 1行行)(dcbadcbaD dadbdccbcacd 011中提取公因子中提取公因子 ，得，得dcba)()( )(cbdadcbadcba 22)(dcbadcba dacbcbdadcbadcbaD )(dacbdccbdac

14、d 001)(dcbadcbaD 再将再将第二列减去第一列第二列减去第一列，得，得于是于是)(dcbadcba 本题是利用行列式的性质，将所给行列式的某本题是利用行列式的性质，将所给行列式的某行（列）化成只含有一个非零元素，然后按此行行（列）化成只含有一个非零元素，然后按此行（列）（列）展开展开，每展开一次，行列式的，每展开一次，行列式的阶数可降低阶数可降低 1 1阶阶。如此，直到行列式能直接计算出来为止。如此，直到行列式能直接计算出来为止。这种方法对阶数不高的数字行列式比较适用。这种方法对阶数不高的数字行列式比较适用。 此外，如果你了解此外，如果你了解 Matlab 编程计算的方法，编程计算

15、的方法，求解本题则非常简便。求解本题则非常简便。 评注：评注：例例 5证明证明coscoscoscos21000100000210001210001 Dnncos . . 用数学归纳法证明用数学归纳法证明证证对阶数对阶数 n 用数学归纳法。因为用数学归纳法。因为21221122coscoscoscos D ,cos D1于是对阶数于是对阶数 n=1，2的行列式结论成立；的行列式结论成立； 现在假设对小于现在假设对小于 n 阶的行列式结论成立。下面阶的行列式结论成立。下面证明对证明对 n 阶的行列式结论也成立。事实上，将原阶的行列式结论也成立。事实上，将原行列式行列式按第按第 n 行展开行展开，

16、则有，则有,)cos(11 n Dn)cos()cos(cos212 nnDnDDDnnn212 cos)cos(22 nD n由归纳法假设由归纳法假设所以所以)cos()cos(cos22 nnn;cos n 综上，结论得证。综上，结论得证。 例例 6 6 设已知设已知 n n 行列式行列式nnD00103010021321 求第一行各元素的代数余子式之和，即求第一行各元素的代数余子式之和，即nAAA11211 3. 3. 其它方法其它方法 解解 作下列作下列 n n 行列式行列式nD001030100211111 则由则由行列式行列式定义，第一行各元素的代数余子式之定义，第一行各元素的代数

17、余子式之和，即和，即DAAAn 11211把把行列式第二列的行列式第二列的-1/2-1/2倍，倍，第，第n n列的列的-1/n-1/n倍倍统统加到第一列上去，即得统统加到第一列上去，即得nT00003000020111 DAAAn 11211Tn !)(!nn131211 克莱姆法则最直接的是解决方程个数与未知数克莱姆法则最直接的是解决方程个数与未知数个数相等、且系数行列式不等于零的线性方程组个数相等、且系数行列式不等于零的线性方程组的求解问题，实际上克莱姆法则应用更广泛。的求解问题，实际上克莱姆法则应用更广泛。 例例 7求三次多项式求三次多项式 322130axaxaxaxf )(使得使得

18、， ， ， ，并，并0) 1(f4) 1 (f3)2(f16)3(f作出其图形作出其图形。解解 这样的问题我们一般称之为多项式这样的问题我们一般称之为多项式插值与插值与 03210 aaaa43210 aaaa32483210 aaaa1639273210 aaaa这是一个关于这是一个关于4 4个未知量个未知量 的线性方程的线性方程3210,aaaa组，它的组，它的系数行列式系数行列式拟合拟合问题。由题意，所求多项式满足问题。由题意，所求多项式满足 1333122211111111123223123123)()()( D是是4 4阶范德蒙德行列式阶范德蒙德行列式，因而不等于零，事实上，因而不等于零，事实上0481333122211111111123123123123 )()()(D？又又96133161223111