线性重要代数知识(一)

1、经典例题经典例题(一一) 常规行列式的计算常规行列式的计算111222333111212121313131( )axbxcxf xaxbxcxaxbxcxaxbxcxaabbccaabbccx例1.1三阶行列式作为 的多项式其次数最多是一次.2 3000120003412376045870069812312( 1)045240.34006D例 1.2五 阶 行 列 式1112212221122|()| .123456 .789aaAaaEAaaA例 1.3设,则注 意 :任 何 方 阵 的 特 征 值 之 和 等 于其 迹 , 任 何 方 阵 的 特 征 值 之 积 等 于其 行 列 式 .例

2、 1.4计 算111222 .111| 0,?AE A例1.5 设 若则122232424142434410121103|.11101254(I)?(II)?.AAAAAAAAA例1.6设 |则请记住代数余子式的基本性质*1*|.|2,|3,| 2|? | 2|?TAAA EABA BAB 必须熟知 =|例1.7设|则熟悉克莱姆法则.经典例题经典例题(二二)行列式的概念与性质及一般行列式的概念与性质及一般行列式的计算行列式的计算23 3164 56 15,.ija a a a a ai j例1.8 已知是六阶行列式中的项,试确定的值及该项所带符号12132221 22 23( )033 324

3、5 35443 57 43?xxxxxxxxf xxxxxxxxx例1.9 下述方程有几个根*| 0?(P275)1 2 23 2 317.9 5 417|221,323,459.AD例1.10 等价的两个矩阵秩相同.例1.11意味着例1.11 能被整除这是因为1241224( ).2012136( )01.(0)(1)0,.xxf xxxxxfxff例1.12已知证明有小于 的正根提示首先易证再由罗尔中值定理即得11223312341001 10.01 1001 1111100.100100bbbDbbbaaDaa例1.13计算例1.14计算12222222.223222211111111.

4、11111111DnxxDxx例1.15计算例1.15计算(1)(2)211101111,11010111|2 | 2 | ( 1)2 (1).nnnnAAAn 例1.16 设则44 1431001100110011100010( 1).011011aaaaDaaaaaaDaaaaa 例1.17 四阶行列式431001100110011000101.0110011aaaDaaaaaaaaDaaa 例1.17四阶行列式55 1544100011000110001100011( 1)(1).aaaaDaaaaaDaaD 补充例题 五阶行列式123111000100000001000.nnnnnna

5、axaxDaxaxxDa例1.18阶行列式111122220000|.0000,abcdAbadc例 1 . 1 9计 算 行 列 式提 示对 换 二 、 三 行 后再 对 换 二 、 三 列 .2222|.().TabcdbadcAcdabdcbaAAabcdE例1.20计算行列式提示1233331231231312322222123333312334111()().1111(1).ijjiDxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxD 例 1.21证 明 行 列 式提 示的 展 开 式 中的 系 数 就 是22222122121212122(1).nnnnaaaaaDaaaaaDa

6、Dna例1.22证明行列式11*,|,|,|,|?,0?2()3| (2 )|?abA B CADBCAAA 123123321123例1.23设都是四维列向量.若|则|2 ,例1.24设都是行列式值为 2的三阶矩阵,则行列式例1.25设是行列式值为 2的三阶矩阵,则行列式*210120 ,0012,| ?,(,),(,24,39),| 1,| ?ABABABAEBABAB 123123123123123例1.26设矩阵矩阵满足则 |例1.27设都是三维列向量,矩阵若则11, 2, 2,|?,2, 2,|?001020300|?AAEAAEAEAEAABAE例1.28设三阶矩阵的特征值是则|4

7、-例1.29设是三阶矩阵,且均不可逆则|例1.30设矩阵与相似,则行列式经典例题经典例题(三三)|A|=0 的矩阵之性质与克莱姆法则的矩阵之性质与克莱姆法则| 0|;0;( );.AAAAAxr AnA证明的思路有:1. 设法证2. 反证法, 从 可逆找出矛盾3. 证明齐次线性方程组有非零解4. 设法证矩阵的秩5. 证明0是矩阵 的特征值172721440,?241432210,?42312330,?21kkaaa例1.31 若则例1.32若则例1.33若则22,.,| 0.,| 0.21,| 0.AA AEAAm nBn mmnABAnEA例1.34可逆反对称矩阵必为偶数阶因为奇数阶反对称矩阵的行列式为零例1.35 设,则|例1.36设是矩阵是矩阵.若,则例1.37 设是阶正交矩阵 则111112221111111?().nnnnnnijxaaxaaxaaaaij 例1.38线性方程组的解为其中123123123*20,0