第三节圆轴剪切与扭转变形

1、10-3 章章 剪切与圆轴的扭转剪切与圆轴的扭转2一、剪切的工程实例一、剪切的工程实例0-3-1 剪切剪切30-3-1 剪切剪切4螺栓连接螺栓连接铆钉连接铆钉连接销轴连接销轴连接0-3-1 剪切剪切5平键连接平键连接0-3-1 剪切剪切678简单典型简单典型 1个螺栓、个螺栓、2个被联接的构件个被联接的构件螺栓的受力情况分析螺栓的受力情况分析FSFS9螺栓受力特点螺栓受力特点 1、 横截面横截面 mnmn, , pq pq 上上 有作用力有作用力 FS 象剪刀一样，试图把螺栓从该象剪刀一样，试图把螺栓从该截面截面处剪开处剪开 称称FS为剪力为剪力 (Shear force)，引起，引起剪剪应力

2、应力（ Shear stress) 2、杆段杆段、 受到被联接构件的挤压受到被联接构件的挤压（Bearing) 引起挤压应力引起挤压应力（Bearing stress) FSFS10 预测出螺栓可能的失效形式预测出螺栓可能的失效形式: (1) 在截面在截面 mn, pq 处被剪断处被剪断 (2) 受挤压部分的半圆被受挤压部分的半圆被“挤扁挤扁” （近似半椭圆）（近似半椭圆） 11被联接构件被联接构件受力特点受力特点 1、没有受没有受剪力作用剪力作用 2、同螺栓杆段、同螺栓杆段、 对应半圆孔对应半圆孔受到螺栓挤压，受到螺栓挤压， 有可能导致变形过大而失效（变成近似椭圆孔）有可能导致变形过大而失效

3、（变成近似椭圆孔） 3、螺栓挤压，有可能把、螺栓挤压，有可能把被联接构件端部豁开（一般将端被联接构件端部豁开（一般将端部设计得充分长，抵御豁开力，因而对此不计算）部设计得充分长，抵御豁开力，因而对此不计算）1213 为保证设计的安全为保证设计的安全, 必须对联接件、被联接构必须对联接件、被联接构件进行强度计算：件进行强度计算： 联接件联接件 剪应力，挤压应力剪应力，挤压应力 被联接构件被联接构件 挤压应力挤压应力 剪应力、挤压应力的分布函数很复杂，需用有剪应力、挤压应力的分布函数很复杂，需用有限元等数值方法计算限元等数值方法计算(如挤压应力属于接触问题如挤压应力属于接触问题) 为了方便工程，提

4、出实用计算为了方便工程，提出实用计算 假定应力均匀分布，得到假定应力均匀分布，得到名义应力名义应力(平均平均应力应力)。14剪切受力特点：剪切受力特点：作用在构件两侧作用在构件两侧面上的外力合力大小相等、方向面上的外力合力大小相等、方向相反且作用线很近。相反且作用线很近。变形特点：变形特点：位于两力之间的截面位于两力之间的截面发生相对错动。发生相对错动。二、剪切的实用计算二、剪切的实用计算P PP P得剪应力计算公式：得剪应力计算公式：AFS剪应力强度条件：剪应力强度条件： AFS常由实验方法确定常由实验方法确定 假设剪应力在剪切面（假设剪应力在剪切面（m-mm-m截面）上是均匀分布的截面）上

5、是均匀分布的PPmmPSFmmSFmmP15bsFbsF三、挤压的实用计算三、挤压的实用计算bsbsbsAF 假设应力在挤压面上是均匀假设应力在挤压面上是均匀分布的：分布的：得实用挤压应力公式得实用挤压应力公式bsbsbsbsAF挤压强度条件：挤压强度条件：bs常由实验方法确定常由实验方法确定dAbs* *注意挤压面面积的计算注意挤压面面积的计算P PP P16bsbsbsbsAF挤压强度条件：挤压强度条件： 8 . 06 . 0剪应力强度条件：剪应力强度条件： AFS脆性材料：脆性材料：塑性材料：塑性材料： 27 . 1bs 0 . 18 . 0 5 . 19 . 0bs17AB剪力剪力FS

6、挤压力挤压力FbsA向向剪力作用剪力作用面面 积积B向向挤压力计算挤压力计算 面积面积 Abs 剪应力剪应力 1 1、计算面积是剪力的计算面积是剪力的真实作用区真实作用区 2 2、名义剪应力是真实的名义剪应力是真实的平均剪应力平均剪应力 挤压应力挤压应力 1、计算面积计算面积不一定是挤压力不一定是挤压力真实作用区真实作用区 2 2、名义挤压应力不一定是、名义挤压应力不一定是平均挤压应力平均挤压应力 注意：实际挤压面是半圆注意：实际挤压面是半圆柱柱18cbFAFbsbsbslbFAFS19dhFAFbsbsbs24dFAFS 为充分利用材料，剪应力和挤压应力应满足为充分利用材料，剪应力和挤压应力

7、应满足242dFdhFhd82bs20 图示接头，受轴向力图示接头，受轴向力F 作用。已知作用。已知F=50kN，b=150mm,=10mm, d=17mm, a=80mm, =160MPa, =120MPa, bs=320MPa, 铆钉和板的材料相同，试校核其强铆钉和板的材料相同，试校核其强度。度。 MPa1 .43101 .4301. 0)017. 0215. 0(1050)2(63dbFAFN解：解：1.1.板的拉伸强度板的拉伸强度dbaQQ212.2.铆钉的剪切强度铆钉的剪切强度 MPa11010110017. 01050222462322dFdFAFS3.3.板和铆钉的挤压强度板和铆

8、钉的挤压强度MPa1471014701. 0017. 021050263bsbsbsbsdFAF 结论：强度足够。结论：强度足够。dbaFSFS22 焊缝剪切计算焊缝剪切计算有效剪切面有效剪切面其它连接件的实用计算方法其它连接件的实用计算方法45hlL23四四. .剪应变剪应变 剪切胡克定律剪切胡克定律 其中，比其中，比例常数例常数G 称称为剪切弹性为剪切弹性模量。常用模量。常用单位单位GPa。G24)1 (2EG 对各向同性材料可以证明，弹性常数对各向同性材料可以证明，弹性常数E、G、存在关系：存在关系：3 3个常数只有个常数只有2 2个是独立的。个是独立的。25小小 结结1. 剪切变形的特

9、点剪切变形的特点2. 剪切实用计算剪切实用计算3. 挤压实用计算挤压实用计算4. 剪切胡克定理剪切胡克定理26一、概一、概述述汽车传动轴汽车传动轴0-3-2 扭转的概念扭转的概念27汽车方向盘汽车方向盘0-3-2 扭转的概念扭转的概念2829TT30 扭转变形是指杆件受到大小相等扭转变形是指杆件受到大小相等, ,方方向相反且向相反且作用平面垂直于杆件轴线的力作用平面垂直于杆件轴线的力偶作用偶作用, ,使杆件的横截面绕轴线产生转使杆件的横截面绕轴线产生转动。动。 受扭转变形杆件通常为轴类零件，其受扭转变形杆件通常为轴类零件，其横截面大都是圆形的。所以本章主要介横截面大都是圆形的。所以本章主要介绍

10、圆轴扭转。绍圆轴扭转。0-3-2 扭转的概念扭转的概念31直接计算直接计算一、外力偶矩的计算一、外力偶矩的计算二、外力偶矩二、外力偶矩 扭矩和扭矩图扭矩和扭矩图0-3-3 扭转时外力和内力的计算扭转时外力和内力的计算32按输入功率和转速计算按输入功率和转速计算电机每秒输入功：电机每秒输入功：外力偶作功完成：外力偶作功完成：)N.m(1000 PW602nTWPP已知轴转速已知轴转速n n 转转/ /分钟分钟输出功率输出功率P P 千瓦千瓦求：力偶矩求：力偶矩MeMe。0-3-3 扭转时外力和内力的计算扭转时外力和内力的计算33342. 扭矩和扭矩图扭矩和扭矩图0-3-3 扭转时外力和内力的计算

11、扭转时外力和内力的计算350-3-3 扭转时外力和内力的计算扭转时外力和内力的计算36T = Me0-3-3 扭转时外力和内力的计算扭转时外力和内力的计算37T = Me0-3-3 扭转时外力和内力的计算扭转时外力和内力的计算38扭矩正负规定扭矩正负规定右手螺旋法则右手螺旋法则右手拇指指向外法线方向为右手拇指指向外法线方向为正正(+),(+),反之为反之为负负(-)(-)。0-3-3 扭转时外力和内力的计算扭转时外力和内力的计算39扭矩图扭矩图 0-3-3 扭转时外力和内力的计算扭转时外力和内力的计算40解解: :(1)(1)计算外力偶矩计算外力偶矩公式：公式：41(2)(2)计算扭矩计算扭矩

12、(3)(3) 扭矩图扭矩图T1T2T30-3-3 扭转时外力和内力的计算扭转时外力和内力的计算420-3-3 扭转时外力和内力的计算扭转时外力和内力的计算430-3-4 圆轴扭转时的应力圆轴扭转时的应力一、利用几何关系求剪应变分布规律一、利用几何关系求剪应变分布规律1 1、实验观察和假设推论、实验观察和假设推论 分析圆轴扭转时的应力需要考虑三方面的关系：一是分析圆轴扭转时的应力需要考虑三方面的关系：一是变形几何关系变形几何关系；二是；二是应力应变关系应力应变关系；三是；三是静力学关系静力学关系。4445实验现象：实验现象： (1) 各圆周线的形状、大小以及两圆周线间的距离均无变各圆周线的形状、

13、大小以及两圆周线间的距离均无变化，只是绕轴线转了不同的角度；化，只是绕轴线转了不同的角度； (2) 所有纵向线仍近似地为一条直线，只是都倾斜了同一所有纵向线仍近似地为一条直线，只是都倾斜了同一个角度，使原来的矩形变成平行四边形。个角度，使原来的矩形变成平行四边形。平面假设：平面假设： 圆轴受扭前的横截面，变形后仍保持为平面，且大小圆轴受扭前的横截面，变形后仍保持为平面，且大小与形状不变，半径仍保持为直线。与形状不变，半径仍保持为直线。46推论：推论：（1 1）横截面上各点均发生剪应变，因而必然有剪应力存在，）横截面上各点均发生剪应变，因而必然有剪应力存在，且为与半径方向垂直的圆周方向的剪应力；

14、且为与半径方向垂直的圆周方向的剪应力；（2 2）变形时相邻横截面间距离不变，圆轴没有伸长或缩短，）变形时相邻横截面间距离不变，圆轴没有伸长或缩短，线应变等于零，所以正应力为零。线应变等于零，所以正应力为零。变形几何关系：变形几何关系：dxRddxAAdxddxEEdxd单位长度扭转角，用单位长度扭转角，用 表示。对于表示。对于同一截面各点，同一截面各点， 是常量。是常量。E EEE47圆轴扭转时横截面上各点的剪应变变化规律：圆轴扭转时横截面上各点的剪应变变化规律： 圆轴横截面上某一点的剪应变与该点到圆心的距圆轴横截面上某一点的剪应变与该点到圆心的距离成正比，圆心处为零，圆轴表面最大，在半径为离

15、成正比，圆心处为零，圆轴表面最大，在半径为 的同一圆周上各点的剪应变相等。的同一圆周上各点的剪应变相等。二、利用物理关系求剪应力分布规律二、利用物理关系求剪应力分布规律 GdxdGG 剪切虎克定律剪切虎克定律圆轴扭转时横截面上各点的剪应力变化规律：圆轴扭转时横截面上各点的剪应力变化规律： 圆轴横截面上某一点的剪应力大小与该点到圆心的距离圆轴横截面上某一点的剪应力大小与该点到圆心的距离成正比，圆心处为零，圆轴表面最大，在半径为成正比，圆心处为零，圆轴表面最大，在半径为 的同一的同一圆周上各点的剪应力均相等，其方向与半径相垂直。圆周上各点的剪应力均相等，其方向与半径相垂直。48三、利用静力学关系求

16、剪应力的大小三、利用静力学关系求剪应力的大小( ( 剪应力对圆心的合力矩即截面上的扭矩剪应力对圆心的合力矩即截面上的扭矩) )dAdTTAAdAdxdGdATAA2dAdxdGTA2dAA 2 式中的积分式中的积分 是一个是一个只决定于横截面的形状和大小只决定于横截面的形状和大小的几何量，称为的几何量，称为横截面对形心横截面对形心的的，用，用IpIp表示。表示。T TT T49dAAp 2 PGITdxdppITGITGdxdG应力计算式应力计算式：pIT GIP 反映了圆轴抵抗扭转变形的能力，称为反映了圆轴抵抗扭转变形的能力，称为圆轴的圆轴的。pITRmax令令抗扭截面模量抗扭截面模量WpT

17、max50四、圆截面的四、圆截面的I p 与与 W p 的计算的计算实心轴实心轴51空心轴空心轴令令则则52实心轴与空心轴实心轴与空心轴 Ip Ip 与与 W Wp p 对比对比530-3-5 圆轴扭转时的变形圆轴扭转时的变形PGITdxddxGITdPdxGITlP0*若为等扭矩、等截面若为等扭矩、等截面PGITl*若为阶梯扭矩、阶梯截面若为阶梯扭矩、阶梯截面PiiiiIGlTGIpGIp：抗扭刚度单位长度扭转角：单位长度扭转角：PGITl540-3-6 圆轴扭转时的强度和刚度计算圆轴扭转时的强度和刚度计算一、圆轴扭转时的强度条件一、圆轴扭转时的强度条件 PWTmax等截面圆轴等截面圆轴阶梯

18、形圆轴阶梯形圆轴五、圆轴扭转时的强五、圆轴扭转时的强 刚度设计刚度设计 PWTmaxmax maxmax)(PWT55二、圆轴扭转时的刚度条件二、圆轴扭转时的刚度条件 米单位为弧度最大单位长度扭转角/, - rad/m maxmaxPGIT180pGIT若若 的单位用的单位用 /m/m，则刚度条件式为：，则刚度条件式为： 许用单位扭转角是根据载荷性质和工作条件等因素决定，许用单位扭转角是根据载荷性质和工作条件等因素决定，具体数值可从机械设计手册查得。具体数值可从机械设计手册查得。 应用扭转的强度和刚度条件同样可以解决校应用扭转的强度和刚度条件同样可以解决校核、设计和确定许用载荷三大类问题核、设

19、计和确定许用载荷三大类问题/m/m0-3-6 圆轴扭转时的强度和刚度计算圆轴扭转时的强度和刚度计算56扭转强度条件扭转强度条件扭转刚度条件扭转刚度条件已知已知T 、D 和和，校核强度校核强度已知已知T 和和， 设计截面设计截面已知已知D 和和，确定许可载荷确定许可载荷已知已知T 、D 和和 ，校核刚度校核刚度已知已知T 和和 ，设计截面设计截面已知已知D 和和 ， 确定许可载荷确定许可载荷 PWTmax180pGIT0-3-6 圆轴扭转时的强度和刚度计算圆轴扭转时的强度和刚度计算57已知：已知：P7.5kW， n=100r/min，最大，最大剪应力剪应力不得超过不得超过40MPa，空心圆轴的内

20、，空心圆轴的内外直径之比外直径之比 = 0.5。二轴长度相同。二轴长度相同。求求: 实心轴的直径实心轴的直径d1和空心轴的外直径和空心轴的外直径D2；确定二轴的重量之比。；确定二轴的重量之比。解：解： 首先由轴所传递的功率计算作用在轴上的扭矩首先由轴所传递的功率计算作用在轴上的扭矩实心轴实心轴31616 716 20 045m=45mm40 10.dmNnPT2 .7161005 . 795499549MPadTWTp40163111max0-3-6 圆轴扭转时的强度和刚度计算圆轴扭转时的强度和刚度计算58已知：已知：P7.5kW, n=100r/min，最大切，最大切应力应力不得超过不得超过

21、40MPa，空心圆轴的内外，空心圆轴的内外直径之比直径之比 = 0.5。二轴长度相同。二轴长度相同。求求: 实心轴的直径实心轴的直径d1和空心轴的外直和空心轴的外直径径D2；确定二轴的重量之比。；确定二轴的重量之比。空心轴空心轴d20.5D2=23 mm324616 716 20 046m=46mm 1-40 10.Dmax234221640MPa1xxPMMWDTTT16T0-3-6 圆轴扭转时的强度和刚度计算圆轴扭转时的强度和刚度计算59确定实心轴与空心轴的重量之比确定实心轴与空心轴的重量之比空心轴空心轴D D2 246 mm46 mmd d2 223 mm23 mm 实心轴实心轴d d1

22、 1=45 mm=45 mm 长度相同的情形下，二轴的重量之比即为长度相同的情形下，二轴的重量之比即为横截面面积之比：横截面面积之比：28. 15 . 01110461045122332222121DdAA0-3-6 圆轴扭转时的强度和刚度计算圆轴扭转时的强度和刚度计算60P1=14kW, P2= P3= P1/2=7 kWn1=n2= 120r/min360r/minr/min12361203113zznn解：解：1、计算各轴的功率与转速、计算各轴的功率与转速T1= m1=1114 N.mT2= m2=557 N.mT3= m3=185.7 N.m2、计算各轴的扭矩、计算各轴的扭矩3已知：已

23、知：P114kW, P2= P3=P1/2，n1=n2=120r/min, z1=36, z3=12; d1=70mm, d 2=50mm, d3=35mm. 求求:各各轴轴横截面上的最大剪应力横截面上的最大剪应力.nPm95490-3-6 圆轴扭转时的强度和刚度计算圆轴扭转时的强度和刚度计算61 16.54MPaPa1070111416E9-31P1maxWT .69MPa22Pa105055716H9-32P2maxWT .98MPa12Pa10537 .18516C9-33P3maxWT3 3、计算各轴横截面上的、计算各轴横截面上的最大剪应力最大剪应力30-3-6 圆轴扭转时的强度和刚度计算圆轴扭转时的强度和刚度计算6257.0180maxmGITP92.15163111maxMPadTWTp0-3-6 圆轴扭转时的强度和刚度计算圆轴扭转时的强度和刚度计算63 传动轴的转速为传动轴的转速为n=500r/min，主动轮，主动轮A 输入功率输入功率P1=400kW，从动轮，从动轮C，B 分别输出功率分别输出功率P2=160kW，P3=240kW。已知。已知=70MPa， =1/m，G=80GPa。 (1)试确定试确定AC 段的直径段的直径d1 和和