电力生产问题求解1

1、电力生产问题求解摘要本文讨论了发电机的合理安排问题，是优化模型中的单目标整数规划问题。我们根据原始数据，运用数学规划的方法建立了两个非线性的动态规划模型。 模型一：考虑稳定工作状态下的情况，运用线型规划的方法确定了三个指标函数即固定成本，边际成本和启动成本，将三者求和得到目标函数。通过lingo编程得到发电机的工作安排（见表三（3）。由运行成本与发电机的台数和时间的线型关系确立了线性函数，得到发电机的实际输出功率和运行成本为148.218万元。 模型二：此时发电机的输出功率变为原来的80%即可，分析方法和模型一类似。最终求得发电机的工作安排（见表四（3），运行成本为156.943万元。关键字：

2、 动态规划 单目标整数规划1.问题重述 为满足每日电力需求（单位为兆瓦（MW），可以选用四种不同类型的发电机。每日电力需求如下表1。 每日用电需求（兆瓦）时段（0-24）0-66-99-1212-1414-1818-2222-24需求12000320002500036000250003000018000每种发电机都有一个最大发电能力，当接入电网时，其输出功率不应低于某一最小输出功率。所有发电机都存在一个启动成本，以及工作于最小功率状态时的固定的每小时成本，并且如果功率高于最小功率，则超出部分的功率每兆瓦每小时还存在一个成本，即边际成本。这些数据均列于表2中。发电机情况可用数量最小输出功率（MW

3、）最大输出功率（MW）固定成本（元/小时）每兆瓦边际成本（元/小时）启动成本型号110750175022502.75000型号241000150018002.21600型号381200200037501.82400型号431800350048003.81200只有在每个时段开始时才允许启动或关闭发电机。与启动发电机不同，关闭发电机不需要付出任何代价。 问题（1） 在每个时段应分别使用哪些发电机才能使每天的总成本最小，最小总成本为多少？问题（2） 如果在任何时刻，正在工作的发电机组必须留出20%的发电能力余量，以防用电量突然上升。那么每个时段又应分别使用哪些发电机才能使每天的总成本最小，此时最小

4、总成本又为多少？2.问题分析 对问题一;要对发电机进行安排使得发电机的发电量满足用电需要，同时运行成本达到最低，我们考虑运行成本最低时发电机型号台数的选择，这样就可以建立一个以费用最低为目标的目标方程。 结合发电机的实际工作情况，最终求解的成本是启动成本、固定成本和边际成本这三者之和。固定成本、边际成本和启动成本均由发电机的型号，台数以及该时间段的运行时间决定。 考虑稳定工作状态下的情况，为使问题简单 ，我们假设所用的发电机均是输出最大功率并且只有在某一型号的发电机输出最大功率时才会启动同一型号的发电机。首先，在假设条件下，固定成本和边际成本均与运行时间及运行台数线性相关，启动成本和第一时间段

5、内启动的台数及下一个时间开始时新启动的发电机台数有关而与关闭的发电机无关，这样三者求和结合约束条件得到目标方程。通过编程求解目标方程，可以得到最优解。 反向对结果进行调试，发电机的型号和台数的安排已经确定，即固定成本和启动成本确定，实际工作节约的成本即为边际成本，这样得到一个使得节约成本最大的线型方程求解。 问题二：对于此问的分析和问题一基本相似，按题目要求即在假设条件下发电机发出的最大功率为原来发出最大功率的80%时，满足问题一所列的约束条件即可。3.模型假设假设发电机在瞬间达到实际输出功率。假设当某一发电机输出最大功率时才会启动同型号的下一台发电机。假设各个型号的发电机运行过程中不出现故障

6、。假设发电机都是输出的最大功率。假设七个时间段是一个整体，考虑稳定工作后的情况。 4. 符号说明所用的发电机的固定成本所用发电机机的边际成本所用发电机的启动成本发电机工作时的总运行成本发电机实际工作时所节约的成本型号为的发电机在时间段的运用台数。各个时间段的时间长短每台型号j 的发电机的启动成本。每台型号j 的发电机的固定成本每台型号j 的发电机的边际成本型号为j的发电机的最大输出功率j 型号的发电机的最小输出功率i时间段的用电需求j型号发电机的可用台数发电机实际工作时在i 时段j 型号的发电机的输出功率5.数据处理现将题目中表一所列的时间段整理为7个阶段，结合各个时间段的用电量整理表一：时间

7、功率表时间段i1234567时间ti6332442需求功率Pi12000320002500036000250003000018000从上表可以看出，需求功率在第二，四，六这三个偶数时段相对较多，而在第一时段需求功率最小，第三时间段和第五时间段相等。对表二中的不同型号的发电机的可用数量，每小时工作的固定成本和边际成本以及每台发电机的启动成本整理的下表：型号j1234台数10483最小功率pminj750100012001800最大功率pmaxj1750150020003500固定成本W2j2250180037504800边际成本W3j2.72.21.83.8启动成本W1j500400300400

8、表二：发电机情况表 由上表可以知道，一型号的发电机可用台数最多，四型号的发电机输出功率最大，三型号发电机每小时边际成本费和启动成本最少，二型号发电机的固定成本费最低。6.对问题一的解答6.1确定目标函数 6.1.1固定成本与时间和台数线性相关： 6.1.2 边际成本是输出最大功率发电机的边际成本和没有发出最大功率的发电机边际成本之和，即：6.1.3 启动成本是第一时间段内启动的发电机的启动成本和后阶段新启动的发电机的启动成本构成，即：（其中新启动的发电机的启动成本取决于新启动的发电机与关闭的发电机无关，令 时） = 6.1.4 结合问题的分析，将固定成本、边际成本和启动成本求和就得到使得运行成

9、本最少的目标函数： Min 6.2 约束条件的建立 6.2.1在每个时间段内，发电机输出的总功率要满足该时间段内的用电量，即：6.2.2 各种型号的发电机台数不会超过该种型号的发电机的总台数，即：其中6.3问题一的优化模型 发电机的工作安排，结合约束条件和目标方程，即：目标方程如下：W=+ 约束条件6.4结果表达6.4.1 通过lingo编程对问题一的模型进行求解，得到发电机各个时段的工作情况见下表 。表三（1）：发电机工作安排表：（发电机以最大输出功率输出）型号台数时段型号一型号二型号三型号四各时段成本运行台 数输出功 率台数平均功 率台数平均功 率台数平均功 率0-600415003200

10、00016.302万6-96175041500820000029.046万9-122175041500820000018.906万12-142175041500820003350019.720万12-182175041500820000024.608万18-225175041500820000032.648万22-24004150062000008.548万总成本150.378万元6.4.2 根据用电量和假设，所有的发电机均输出最大功率，而实际生产中，为节约成本，发电机不一定输出最大功率。根据运行成本与发电机台数和工作时间的线型关系确定发电机的实际输出功率，目标函数如下：通过lingo编程得到

11、结果表三（2）：发电机实际工作节约成本表功数台号型型号一型号二型号三型号四各时段节约的成本运行台 数实际 功 率台数实际功 率台数实际功 率台数实际功 率0-6004150032000000万6-961666.674150082000000.405万9-12215004150082000000.405万12-14215004150082000335000万12-18216004150082000000.540万18-22517504150082000000.810万22-24004150062000000万总节约成本2.160万元6.4.3 综合以上结果对发电实际工作情况总结如下：表三（3）：

12、发电机实际工作情况表型号台数时段型号一型号二型号三型号四各时段最终成本运行台 数实际功 率台数实际功 率台数实际功 率台数实际功 率0-60041500320000016.302万6-961666.6741500820000028.641万9-122150041500820000018.501万12-142150041500820003350019.720万12-182160041500820000024.068万18-225175041500820000031.838万22-24004150062000008.548万总成本148.218万元6.4.4 结果分析在这种安排方案下，我们发现启动

13、成本对结果的影响相对较小，这样就使得固定成本和边际成本费用较少的型号二，型号三发电机在各个时段基本以最大输出功率输出且运行台数达到最大，而型号四发电机，在有些时段没有运行。对表三（2）分析知，发电机以最大功率输出的假设比较合理，可以进行推广。 对表三（3）发电机的工作情况可知，发电机基本达到最大输出功率，没有留出20%的发电能力。7问题二的解答7.1确定目标方程7.1.1固定成本与时间和台数线性相关： 7.1.2 边际成本是输出最大功率发电机的边际成本和没有发出最大功率的发电机边际成本之和，即：7.1.3 启动成本是第一时间段内启动的发电机的启动成本和后阶段新启动的发电机的启动成本构成，即：（

14、其中新启动的发电机的启动成本取决于新启动的发电机与关闭的发电机无关，令 时） = 7.1.4 结合问题的分析，将固定成本、边际成本和启动成本求和就得到使得运行成本最少的目标函数：Min 7.2约束条件的建立 7.2.1在每个时间段内，发电机输出的功率要满足该时间段内的用电量，即： 7.2.2 各种型号的发电机台数不会超过该种型号的发电机的总台数，即：其中7.3问题二的优化模型 发电机的工作安排，结合约束条件和目标方程，即：目标方程如下：W=+ 约束条件如下：7.4 结果表达7.4.1利用lingo编程对问题二的模型进行求解，得到发电机以最大功率输出时的安排表如下：台数时段型号一型号二型号三型号

15、四各时段成本(万)运行台 数平均 功 率台数平均功 率台数平均功 率台数平均功 率0-64140041200116000017.6706-97140041200816002280030.5279-127140021200816000020.34612-148140031200816003280020.90412-188140041200616000027.28818-228140041200716001280032.71622-24614004120031600009.280总成本158.731万元表四（1）：发电机工作安排表（发电机以最大功率输出）7.4.2根据用电量和假设，所有的发电机均输

16、出最大功率，而实际生产中，为节约成本，发电机不一定输出最大功率。根据运行成本与发电机台数和工作时间的线型关系确定发电机的实际输出功率，目标函数如下：Max 通过求解该线性模型得发电机实际工作节约成本。台数时段型号一型号二型号三型号四各时段节约的成本（万）运行台 数实际功 率台数实际功 率台数实际功 率台数实际功 率0-64140041200116000006-9714004120081600223001.149-1271400212008160000012-1481400312008160032800012-18813254120061600000.64818-2281400412007160

17、012800022-24614004120031600000总节约成本1.788万元表四（2）发电机实际工作节约成本表7.4.3 综合以上结果，得到发电机此时实际工作情况。表四（3）发电机实际工作情况表数台号型型号一型号二型号三型号四各时段最终的成本（万）运行台 数实际功 率台数实际功 率台数实际功 率台数平均功 率0-64100041500120000017.6706-97914.28641500820002180029.3879-127857.14321500820000020.34612-1481262.5031500820003180020.90412-1888754150062000

18、0026.6418-228102541500720001180032.71622-24610004150032000009.28总成本156.943万元7.4.4 结果分析 从以上三个表中可以看到发电机的运行情况有所改变。比较模型一和模型二不难发现模型二中型号一与型号四的运行数目有所增多，这可能与他们的最大 最小输出功率的差值较大有关，这样型号一与型号四的发电机可余留的发电量较多。8.模型分析（1） 用lingo编程得到的结果较为准确。（2） 模型的建立和假设是忽略了一些次要因素，使得结果有一定的偏差。（3） 通过对结果的进一步调试，使得结果接近理想。9.参考文献 （1） 薛毅 ，数学建模基础

19、， 高等教育出版社； 2004 （2） 韩中庚 ， 数学建模方法及其运用（第一版）， 北京，高等教育出版社10.附录问题一：各个时段每种型号发电机的运行台数!电力生产问题;sets:!时间段所对应的时间长度和所需功率;time/1.7/:T,demand;!各种型号发电机对应的最大数量、最大输出功率、最小输出功率、固定成本、边际成本、启动成本;xinghao/1.4/:shuliang,Pmin,Pmax,Wg,Wb,Wq;!实际工作的发电机数目、总花费、实际功率;links(time,xinghao):X,cost,P;endsets!目标函数;min=sum(links(i,j):cost

20、);for(links(i,j)|i#ge#2:cost(i,j)=X(i,j)*Wg(j)*T(i)+(P(i,j)-Pmin(j)*X(i,j)*Wb(j)*T(i)+(X(i,j)-X(i-1,j)#ge#0)*(X(i,j)-X(i-1,j)*Wq(j);for(links(i,j)|i#eq#1:cost(i,j)=X(i,j)*Wg(j)*T(i)+(P(i,j)-Pmin(j)*X(i,j)*Wb(j)*T(i)+(X(i,j)-X(7,j)#ge#0)*(X(i,j)-X(7,j)*Wq(j);!发电机实际所用台数的约束;for(links(i,j):X(i,j)<=sh

21、uliang(j);for(links(i,j):gin(X); !发电机实际所产生功率的约束;for(time(i):sum(xinghao(j):P(i,j)*X(i,j)>=demand(i);for(links(i,j):P(i,j)=Pmax(j);!数据部分;data:T=6,3,3,2,4,4,2;demand=12000,32000,25000,36000,25000,30000,18000;shuliang=10,4,8,3;Pmax=1750,1500,2000,3500;Pmin=750,1000,1200,1800;Wg=2250,1800,3750,4800;W

22、b=2.7,2.2,1.8,3.8;Wq=5000,1600,2400,1200;enddataend对问题一调试的源程序如下： sets: A/1,2,3,4,5,6,7/:time,needs; B/1,2,3,4/:pmax,pmin,wb; links(A,B):power,sl,wj;endsetsdata: time=6 3 3 2 4 4 2; needs=12000 32000 25000 36000 25000 30000 18000; pmax=1750 1500 2000 3500; pmin=750 1000 1200 1800; wb=2.7 2.2 1.8 3.8;

23、 sl=0 4 3 0 6 4 8 0 2 4 8 0 2 4 8 3 2 4 8 0 5 4 8 0 0 4 6 0;enddata for(A(i):sum(B(j):power(i,j)*sl(i,j)>=needs(i); max=sum(links:wj); for(links(i,j):power(i,j)>=pmin(j); for(links(i,j):power(i,j)<=pmax(j); for(links(i,j):wj(i,j)=(pmax(j)-power(i,j)*sl(i,j)*wb(j)*time(i);end 问题二的源程序： 电力生产问题

24、;sets:!时间段所对应的时间长度和所需功率;time/1.7/:T,demand;!各种型号发电机对应的最大数量、最大输出功率、最小输出功率、固定成本、边际成本、启动成本;xinghao/1.4/:maxnumber,Pmin,Pmax,Wg,Wb,Wq;!实际工作的发电机数目、总花费、实际功率;links(time,xinghao):X,cost,P;endsets!数据部分;data:T=6,3,3,2,4,4,2;maxnumber=10,4,8,3;demand=12000,32000,25000,36000,25000,30000,18000;Pmax=1750,1500,2000,3500;Pmin=750,1000,1200,1800;Wg=2250,1800,3750,4800;Wb=2.7,2.2,1.8,3.8;Wq=5000,1600,2400,1200;enddata!目标函数;min=sum(links:cost);!发电机实际所用台数的约束; for(links(i,j):X(i,j)<=maxnumber(j); for(links(i,j):gin(X);!发电机实际所产生功率的约束; for(time(i):sum(xinghao(j):P(i,j)*X(i,j)>=demand(i