附录002-统计知识基础

1、附录2 计量经济学的统计学基础复习数理统计学2022-6-61问题的提出u首先，假定现在开始选学计量经济学课程的同学们都已经学习过数理统计学了。即便通过了数理统计的学分考试，也意识到数理统计学在大学的数学基础课教学中，属于比较困难的一部分。况且，同学们对数理统计的掌握可能不是很完备的。u其次，大多数人对数学公式、数学符号的健忘，也提醒我们在进一步讨论计量经济学内容之前，必须对数理统计学的基本内容进行一些温习与回顾。2022-6-62解决问题的思路u1请同学们将数理统计学的书籍拿出来进行复习。u2在老师讲授的内容的同时，加强回顾，多思考，多提问。一边听课一边在教科书上进行批注，并把教科书上的印刷

2、错误（忒多）改正。u3恳请同学们到图书馆借阅计量经济学的参考书。计量经济学的分类号是“F224”，计量经济学理论基础统计学的分类号是“O212”。u4在大三下以前掌握Windows 9x以及Office97及其以上的应用，为毕业论文和大四谋业面试打下坚实的基础。u4熟悉Internet的使用。，逐步养成通过网络了解世界与世界同步。2022-6-63主要内容u第一节 总体、样本和随机函数u第二节 对总体的描述随机变量的数字特征u第三节 对样本的描述样本分布的数字特征u第四节 随机变量的分布总体和样本的连接点2022-6-64为什么要复习数理统计学u假设同学们都已经学习过数理统计学。u即便如此，数

3、理统计学在大学数学教学中，属于比较难的部分，而且是研修高级课程必不可少的准备。u而且许多同学或许对于大部分同学，他们对于数学公式与数学符号的健忘，也提醒我们有必要在展开计量经济学讨论之前，对本课程中经常使用到的数理统计学基本内容事先进行一些温习和回顾。2022-6-65数理统计学在计量经济学中的地位u事实上不懂得数理统计学就不可能学习和研究计量经济学。u数理统计学是计量经济学的基础，它为计量经济学提供了唯一而有效的方法。u此外，从某种意义上来说，计量经济学就是使数理统计学在建立经济模型中得以应用的一门科学。2022-6-66复习数理统计学必须注意u建议同学们将已经学过的西方经济学、 数理统计学

4、、线性代数和Windows 95进行一次认真地复习。u复习时，注重西方经济学的宏观部分，注重数理统计学学科体系的逻辑结构分析、注重数理统计方法的阐述、注重数理统计公式、定义和定理的内在涵义及其相互关系，注重线性代数的求逆和相似形部分，注重Windows 95的基本操作部分。u在今后的学习中，注意经济学基本理论及其应用，注意数理统计学基础与计量经济学的联系与活用，注意线性代数与统计量的计量与检验。2022-6-67第一节 总体、样本和随机函数u四个基本定义与数理统计学的逻辑结构u一、随机变量的分布u二、二元随机变量u三、独立性u四、随机变量函数和分布2022-6-68四个基本定义与数理统计学的逻

5、辑结构u总体和个体u样本和样本容量u随机变量u统计量u数理统计学的逻辑结构2022-6-69总体（集合）和个体（构成集合的元素）u研究对象的全体称为总体或母体，组成总体的每个基本单位称为个体。注意：u（1）按组成总体个体的多寡分为：有限总体和无限总体；u（2）总体具有同质性：每个个体具有共同的观察特征，而与其它总体相区别；u（3）度量同一对象得到的数据也构成总体，数据之间的差异是绝对的，因为存在不可消除的随机测量误差；u（4）个体表现为某个数值是随机的，但是，它们取得某个数值的机会是不同的，即它们按一定的规律取值，即它们的取值与确定的概率相对应。2022-6-610样本和样本容量u总体中抽出若

6、干个个体组成的集体称为样本。样本中包含的个体的个数称为样本的容量，又称为样本的大小。u注意：抽样是按随机原则选取的，即总体中每个个体有同样的机会被选入样本。2022-6-611随机变量u根据概率不同而取不同数值的变量称为随机变量（Random Variable）。u注意：u（1）一个随机变量具有下列特性：RV可以取许多不同的数值，取这些数值的概率为p，p满足：0=p=1。u（2）随机变量以一定的概率取到各种可能值，按其取值情况随机变量可分为两类：离散型随机变量和连续型随机变量。离散型随机变量的取值最多可列多个；连续型随机变量的取值充满整个数轴或者某个区间。u（3）本书中，随机变量用x、y、等符

7、号表示2022-6-612离散型随机变量与连续型随机变量 10 20 30 40 501.0概率概率xx1.0离散型随机变量连续型随机变量2022-6-613总体与随机变量的关系u表示总体状况的数量特征，在总体中是参差不齐的，往往以一定的概率取不同的数值，显然对于这样的数值我们采用一般的变量是无法加以描述的。但是。可以采用一种特殊的变量来表示它们。这个特殊变量就是随机变量。因为，根据随机变量的定义，随机变量以一定的概率取许多不同的值，而且概率p满足：0=p=1。例如，一批灯泡的寿命可以取许多不同的数值，每个灯泡的取值不一定完全相同，但它们是按一定概率进行分布的，但它们却是以一定的概率取某个寿命

8、值。由此看来，随机变量并不是一个随便变的量。u由于我们主要研究总体的数量特征，可以直接用随机变量来表示所研究的总体。2022-6-614总体、随机变量、样本间的联系u总体就是一个随机变量，所谓样本就是n个（样本容量n）相互独立且与总体有相同分布的随机变量x1，xn。u每一次具体抽样所得的数据，就是n元随机变量的一个观察值，记为（X1，Xn）。u通过总体的分布可以把总体和样本连接起来。2022-6-615从两个角度来描述总体（随机变量）中个体的取值u（1）动态概率随机地选取一个个体取某个具体数值的可能性；u（2）静态分布个体取某个数值，从全局来看这个具体的数值（可能不只一个个体取这同一个数值）出

9、现的次数占全体个体个数的比例，形象地说就是这个具体的数值在数轴的这个位置上分布了多少。u分布也好、概率也好它们在度量上是一致的。u这只是就离散型随机变量的通俗示意。2022-6-616总体分布是总体和样本的连接点u所谓分布，它是从全局而言的。通俗地说，分布就是某个对象在什么地方，堆积了多少。u任何一个随机变量都有自己的分布，这个什么地方就是在数轴上取什么值，堆积多少就是在那里占有的比例是多少或者概率有多大。u总体可以表示为随机变量，并具有自身的分布。u样本则是相互独立与总体具有相同分布的n元随机变量。因此，总体分布是总体和样本的连接点。从而，可以通过对样本特征的研究达到对总体进行研究的目的。因

10、为它们具有相同的分布。u须知，如果对于一个随机变量完全掌握了它的分布规律，就完全明白无误了。2022-6-617为什么样本是与所来自的总体具有相同的分布的随机变量u因为样本具有二重性：u一是指某一次具体的抽样的具体的数值（X1，Xn）；u二是指一次抽样的可能结果，它的每一次观察都是随机地从总体中（每一个个体有同样的机会被选入）抽取一个，所以它是一组随机变量（x1，x2，xn） u而且，每一次抽样都来自同一总体（分布），也就是每一次抽样都带来了与总体一样的分布信息。所以，样本与所来自的总体分布相同。u由于总体分布完整的描述了总体的信息，有时我们也直呼总体为分布，不加区别地使用总体或分布。2022

11、-6-618统计量u设（x1，x2，xn）为一组样本观察值，函数f（ x1，x2，xn ）若不含有未知参数，则称为统计量。u统计量一般是连续函数。由于样本是随机变量，因而它的函数也是随机变量，所以，统计量也是随机变量。u统计量一般用它来提取或压榨由样本带来的总体信息。就是统计量。样本方差1122ninixxs2022-6-619样本与总体之间的关系u样本是总体的一部分，是对u总体随机抽样后得到的集合。u对观察者而言，总体是不u了解的，了解的只是样本u的具体情况。我们所要做u的就是通过对这些具体样u本的情况的研究，来推知整u个总体的情况。Xn+1XnX1样本总体2022-6-620数理统计学的逻

12、辑结构u（1）总体和样本u引入一个随机变量来描述总体u（2）对总体的描述：随机变量的数字特征u（3）对样本的描述：样本分布的数字特征u（4）总体与样本的连接点：随机变量的分布u（5）如何用样本的数字特征估计总体的数字特征及数据生成过程中的各种参数 a 估计量的优良性 b 估计方法 c 对估计量的检验假设检验 xVarxExx2方差数学期望，描述样本的离散程度样本方差，描述样本的一般水平样本平均数sX22022-6-621a 估计量的优良性u1、无偏性u2、有效性u3、均方误最小u4、一致性2022-6-622b 估计方法u u u u u u u 矩法最大似然法最小二乘法最小卡平方法总体分布未

13、知正态总体一般总体（大样）已知方差方差未知一般总体（大样）正态总体估计期望单个总体两个总体估计方差（常用小样本下，正态总体估计其它参数）点估计区间估计2022-6-623c 对估计量的检验假设检验u1.对总体分布特征的假设检验u（1）一个正态总体的假设检验a 检验均值：已知方差和未知方差b 检验方差：未知均值（双尾和单尾）u（2）两个正态总体的假设检验a 检验均值：未知方差但可假设其相等b 检验方差：未知均值（双尾和单尾）u（3）总体分布的假设检验a 总体为离散型分布b 总体为连续型分布u2.对各种系数、参数估计值的假设检验2022-6-624一、随机变量的分布2022-6-625（一）离散型

14、随机变量的分布u定义：如果随机变量只取有限个或可列多个可能值，而且以确定的概率取这些值，则称为离散型随机变量。u通常用分布列表示离散型随机变量：u的概率分布也可用一系列等式表示：uP（ =xi）=pi （i=1,2,）称为的概率函数。注意这里xi只出现一次。u显然满足概率的定义：u离散型随机变量的分布就是指它的分布列或概率函数。1110iiippXx1x2.xi.pp1p2.pi.2022-6-626离散型随机变量举例1u例1 一批产品的废品率为5%，从中任取一个进行检验，以随机变量来描述这一试验并写出的分布。u以X=0表示“产品为合格产品”，X=1表示“产品为废品”，那么分布列如下：u其概率

15、函数p（X=0）=0.95， p（X=1）=0.05，或up（X=i）=（0.05）i（0.95）1-i （ i = 0, 1）X0（合格品）1（废品）P0.950.052022-6-627离散型随机变量举例2u用随机变量X描述掷一颗骰子的试验。u分布的概率函数为：uP（X=i）= 1/6（i=1，2，3，4，5，6）X123456P1/61/61/61/61/61/62022-6-628（二）随机变量的分布函数u定义：若X是一个随机变量（可以是离散的，也可以是非离散的），对任何实数x，令F（x）=P（X=x），称F（x）为随机变量X的分布函数。uF（x），即事件“X=x”的概率，是一个实函数

16、。u对任意实数x1x2，有uP（x1Xx2）=P（X=x2）- P（X=x1）=F（x2）- F（x1）u由此可知，若已知X的分布函数，就知道X在任何区间上取值的概率。所以，分布函数完整的描述了随机变量的变化情况。x2x2f(x)F(x)Xx1x12022-6-629分布函数F（x）的性质 xixxxxFxFxFFxFFxFxFxip足关系：分布函数与概率函数满。且在间断点上右连续至多有可列多个间断点）（）（为不减函数）（，）对一切（4103210,1limlim2022-6-630分布函数举例u例3 求例1中的分布函数u例4 求例2中的分布函数 111095. 000 xxxxXPxF 61

17、656/5546/4436/3326/2216/110 xxxxxxxxXPxF01F(x)x xxiipxF2022-6-631（三）连续型随机变量的分布u定义：对于任何实数x，如果随机变量X的分布函数uF（x）可以写成u概率分布密度函数的性质： 。常写成概率分布密度函数，也的为为连续型随机变量，称，则称其中xXXxXxdttxFx0 。有的连续点上，并且在显然）（）（xxFxdxxbXaPdxxxba12012022-6-632为什么(x)称为概率分布密度函数 的概率大小。附近取值在能够反映分布的密集程度。但是点概率在值的概率，而是取不是表明xXxxXxXxxxxXxPxxFxxFxxxF

18、xxlimlim002022-6-633连续型随机变量分布函数举例 bxbxaabaxaxxFdttxFababdxdxxxFbaXbxaxXx1011,05又因为解。上的均匀分布。试求服从区间则称其它有密度函数若例a x ba x bF(x)(x)2022-6-634（四）分布函数、概率函数、密度函数三者的关系u分布函数既适用于离散型也适用于连续型，是描述各种类型随机变量最一般的共同形式。但是，它不够直观。u概率函数对于离散型的描述很直观。u概率密度函数的大小能够反映X在x附近取值的概率的大小，从而比分布函数更直观。u所以，在实际应用中我们分别用概率函数和密度函数对离散型和连续型随机变量进行

19、描述。2022-6-635二、二元随机变量un元随机变量的定义：每次试验同时处理n个随机变量（X1，X2，Xn），它们的取值随试验的进行而变化。如果对任何一组实数（x1，x2，xn），事件“X1x1，X2x2， Xnxn”有着确定的概率，则称n个随机变量（X1，X2，Xn）总体为一个n元随机变量。un元随机变量分布函数的定义： n元函数uF（ x1，x2，xn ）= P(X1x1，X2x2， Xnxn)u（x1，x2，xn）属Rn，为n元随机变量分布函数。u离散二元随机变量的定义：如果二元随机变量（X,Y）所有可能取值为有限或可列多个，并且以确定的概率取各个不同数值，则称（X,Y）为二元随机变

20、量。2022-6-636(X，Y)的联合分布表和联合分布函数u(X，Y)为离散型的二元随机变量，通常用联合分布函数与联合分布表表示。(X,Y)的概率分布表X Yy1y2yjX的边际分布x1p11p12p1jp1.x2p21p22p2jp2.xipi1pi2pijpi.Y的边际分布p.1p.2p.j1称 p(X=xi,Y=yj)=pij (i,j=1,2,.)为(X,Y)的概率分布上式也称为(X,Y)的联合分布。2022-6-637离散二元分布函数的示例u例6 同一品种的5个产品中，有2个正品，3个次品，每次从中抽取一个进行质量检查，不放回的抽取，连续两次。令“Xi=0”表示第i次抽取到正品，而

21、“Xi=1”表示第i次抽取到次品，写出(X1,X2)的分布。u解 p(X1=0,X2=0)= p(X1=0)P(X2=0)=(2/5)(1/4)=1/10u p(X1=0,X2=1)=p(X1=0)P(X2=1)=(2/5)(3/4)=3/10u p(X1=1,X2=0)=p(X1=1)P(X2=0)=(3/5)(2/4)=3/10u p(X1=1,X2=1)=p(X1=1)P(X2=1)=(3/5)(2/4)=3/10(X1,X2)的概率分布表X1 X201X1边际分布01/103/102/513/103/103/5X2边际分布2/53/512022-6-638连续二元随机变量的定义 bad

22、cxydxdyyxdYcbXapdcbadsdttsyxyxyxYXyxYXdsdttsyxFyxyxFYXyx,1,20,1,),(,),(,有显然，对于任意实数）（，）对于一切实数（的性质：的联合密度函数。与为称。是二元连续型随机变量则称都有：，对于任意实数的分布函数，使得二元变量如果存在一个非负函数2022-6-639三、独立性u（一）事件的独立性u（二）随机变量的独立性2022-6-640（一）事件的独立性u定义1.12事件的独立性的定义u如果事件A发生的可能性不受事件B发生与否的的影响，即P(A/B)=P(A)，则称事件A对于事件B独立。u显然，若事件A对于事件B独立，事件B对于事件

23、A也一定独立，我们称事件A与事件B相互独立。uA与B独立的充分必要条件是：u P（AB）=P（A）P（B）2022-6-641（二）随机变量的独立性u定义1.13随机变量相互独立的定义u 对于任何实数x,y，如果二元随机变量(X,Y)的联合分布函数F(x,y)等于X和Y的边际分布的乘积，即u F(x,y) = FX(x) . FY(y)u则称X与Y相互独立。u定义1.14边际分布的定义u离散型二元随机变量(X,Y)中，分量X（或Y）的概率分布称为(X,Y)的关于X（或Y）的边际分布，边际分布又称边缘分布。2022-6-642四、随机变量函数的概念和分布u定义1.15 随机变量函数的定义u 设f

24、(x)是定义在随机变量X的一切可能取值集合上的函数。如果对于X的每一个可能值x，都有另一个随机变量Y的取值y=f(x)与之相对应，则称Y为X的函数，记作Y=f(X)。u 我们常常遇到一些随机变量，它们的分布往往难于直接得到（例如滚珠体积的测量值等），但与它们有关系的另一个随机变量的分布却是容易知道的（如滚珠直径的测量值）。因此，就要研究两个随机变量之间的关系，然后通过它们之间的关系，由已知随机变量的分布求出与之有关的其它随机变量的分布。其间的关系通常用函数关系表示。2022-6-643第二节 对总体的描述随机变量的数字特征u一、数学期望u二、方差u三、数学期望与方差的图示2022-6-644一

25、、数学期望u研究数字特征的必要性u两个最重要的数字特征u（1）数学期望u（2）方差2022-6-645研究数字特征的必要性u总体就是一个随机变量。对总体的描述就是对随机变量的描述。随机变量的分布就是对随机变量最完整的描述。但是，u（1）求出总体的分布往往不是一件容易的事情；u（2）而且，在很多情况下，我们并不需要全面考察随机变量的变化情况，只需要了解总体的一些综合指标。一般说来，常常需要了解总体的一般水平和它的离散程度；u（3）如果了解总体的一般水平和离散程度，就已经对总体有了粗略的了解了；u（4）在很多情况下，了解这两个数字特征还是深入求出总体分布的基础和关键。u由此看来，研究随机变量的数字

26、特征是十分必要的。2022-6-646数学期望的定义u定义2.1离散型随机变量数学期望的定义u假定有一个离散型随机变量X有n个不同的可能取值x1,x2,xn，而p1,p2,pn是X取这些值相应的概率，则这个随机变量X的数学期望定义如下：u数学期望描述的是随机变量（总体）的一般水平。u定义2.2连续型随机变量数学期望的定义 的数学期望。称为绝对收敛，则，若积分有分布密度函数若连续型随机变量XdxxxxEdxxxxX 平均数。的所有可能取值的加权是随机变量实际上，XXExEniiinnxpxpxpxp122112022-6-647u数学期望是最容易发生的，因而是可以期待的。它反映数据集中的趋势。数

27、量概率10.10.120.10.230.41.240.20.850.213.3父亲钓鱼的试验数学期望2022-6-648数学期望的性质u（1）如果a、b为常数，则u E(aX+b)=aE(X)+bu（2）如果X、Y为两个随机变量，则u E(X+Y)=E(X)+E(Y)u（3）如果g(x)和f(x)分别为X的两个函数，则 u Eg(X)+f(X)=Eg(X)+Ef(X)u（4）如果X、Y是两个独立的随机变量，则u E(X.Y)=E(X).E(Y) 2022-6-649求离散型随机变量数学期望举例u例1 甲、乙两射手在一次射击中的得分（分别用X、Y表示）的分布率如下：u试比较两射手的射击技术水平，

28、并计算如果二人各发一弹，他们得分和的估计值。u解 EX=1 0.4+2 0.1+3 0.5=2.1u EY=1 0.1+2 0.6+3 0.3=2.2u E(X+Y)=2.1+2.2=4.3u EXEY 乙射手射击水平比较高u 二人各发一弹，得分总和最可能在4.3分左右（即4分或5分）X123P0.40.10.5Y123P0.10.60.32022-6-650二、方差u定义2.4 离均差的定义u 如果随机变量X的数学期望E(X)存在，称uX-E(X) 为随机变量X的离均差。显然，随机变量离均差的数学期望是0，即u E X-E(X) = 0u定义2.3 连续型随机变量的方差u定义2.5 随机变量

29、离均差平方的数学期望，叫随机变量的方差，记作Var(x),或D(x)。方差的算术平方根叫标准差。 dxxXVXXxEx2的方差以下式给出：为连续型随机变量，则若 xEExVarxVxxExx2222022-6-651方差的意义u（1）离均差和方差都是用来描述离散程度的，即描述X对于它的期望的偏离程度，这种偏差越大，表明变量的取值越分散。u（2）一般情况下，我们采用方差来描述离散程度。因为离均差的和为0，无法体现随机变量的总离散程度。事实上正偏差大亦或负偏差大，同样是离散程度大。方差中由于有平方，从而消除了正负号的影响，并易于加总，也易于强调大的偏离程度的突出作用。2022-6-652方差的性质

30、u（1）Var(c )=0u（2）Var(c+x)=Var(x )u（3）Var(cx)=c2Var(x)u（4）x,y为相互独立的随机变量，则uVar(x+y)=Var(x )+Var(y )=Var(x-y)u（5）Var(a+bx)=b2Var(x)u（6）a,b为常数，x,y为两个相互独立的随机变量，则(ax+by)=a2Var(x)+b2Var(y)u（7）Var(x)=E(x2)-(E(x)22022-6-653例2 计算本节例1中甲射手的方差u例1 甲、乙两射手在一次射击中的得分（分别用X、Y表示）的分布率如下：uE(X)=2.1uVar(X)=（- 1.1） 2 0.4+（-0

31、.1）2 0.1+0.92 0.5u = 0.89X123P0.40.10.5Y123P0.10.60.32022-6-654三、数学期望与方差的图示u数学期望描述随机变量的集中程度，方差描述随机变量的分散程度。u1方差同、期望变大 2期望同、方差变小510552022-6-655第三节 对样本的描述样本分布的数字特征u一、样本分布函数u二、样本平均数u三、样本方差2022-6-656一、样本分布函数 数。，称它们为样本分布函本容量的个数除以样个观察值中不超过等于样本的这里，令排列为按大小的一组观察值，把它们为总体设nxnxxxnkxnxxFxxxxxxFxxxxxxnnkknnn*1*2*1

32、*1*2*121110,2022-6-657样本分布函数举例随机观察总体X10个数据如下及其排序X*X3.22.5-42.5023.22.542X*-40222.52.52.53.23.24求样本分布函数。 4142 . 310/92 . 3310/835 . 210/75 . 2210/42010/20410/14010 xxxxxxxxxF2022-6-658二、样本平均数u总体的数字特征是一个固定不变的数，称为参数；样本的数字特征是随抽样而变化的数，是一个随机变量，称为统计量。u定义3.1样本平均数的定义u样本平均数用来描述样本的平均水平（一般Common）水平。为样本平均数。，称对于样

33、本niinxxxxnx1211,2022-6-659三、样本方差和标准差u定义3.2 样本方差和标准差的定义xxsxxxxxxxxsxxxnnniinsinniiniinininin2122212121212221111111,。来描述样本离散程度的样本方差和标准差是用差。分别为样本方差和标准以及，称对于样本2022-6-660第四节 随机变量的分布总体和样本的连接点u一、几种重要的分布u二、各种分布之间的联系u三、分布是总体和样本之间的连接点u学习的重点应放在确定X服从什么分布，和各种分布的联系上。2022-6-661一、几种重要的分布u如果一个随机变量的分布已经确定，那么这个随机变量的一切

34、性质对于我们便都是已知的。因为随机变量的分布是对随机变量最完整的描述。u例如X是广西十万大山中树木的高度， 它的分布函数为F(x)=P(X=x)。此时，你对任意给定的高度x，都确知不超过这个高度的树木在整个十万大山中所占的比例，你还会说整个十万大山树木高度的情况不清楚吗？u再如，已知X服从数学期望和方差已知的正态分布，那么你便了解这个X自身的一切性质。可以通过查正态分布表确定研究中所需的一切数据。u分布的数学形式和图形属“技术问题”，精力应集中于X究竟属于何种分布上。2022-6-6621.分布u（1） 分布的定义u（2）定理4.1 分布的数学期望和方差 。这个积分收敛，且有当。这里，分布，记

35、作服从则称具有密度函数如果连续型随机变量1, 0000, 0, 0011dxxrrdxrrxrxrxexexxrxrr2rVarrE2022-6-6632. 指数分布u（1）指数分布的定义u（2）定理4.2 指数分布的数学期望和方差 00011 . 4xxxxre：指数分布的密度函数为分布称为指数分布，此时的中如果在定义211VarE2022-6-6643. 2 分布u（1）定义4.3 2 分布的定义u（2）定理4.3分布的和仍然服从分布 0002121,22122222xxnxnnnnrexxn。密度函数为分布，记作的个自由度分布称为具有的为正整数分布。的，服从参数为则它们的和，相互独立，且

36、若rrxxxrxxxnniinni1211, 2 , 1,2022-6-665定理4.3推论： 2 分布的和仍然服从 2 分布u 若X1,X2,Xn相互独立，且Xi服从具有ni（i=1,2,，n）个自由度的 2 分布，则它们的和X1+X2+Xn 服从具有 ni 个自由度的 2 分布。2022-6-6664. 正态分布u定义4.4正态分布的定义u定理4.4 正态分布的数学期望和方差u定义4.5 标准正态分布 。服从正态分布，简记为则称为常数，、的概率密度为若连续型随机变量22,02122Nxxe2,VarE方差，正态分布的数学期望 exxN222211 , 010。密度函数为记作正态分布，的正态分布，称为标准，当2022-6-667