随机数学课件：1-2节 随机事件的概率（1）

1、一、频率的定义与性质一、频率的定义与性质二、概率的定义与性质二、概率的定义与性质三、小结三、小结第二节第二节 随机事件的概率随机事件的概率即即成成并并记记发发生生的的频频率率称称为为事事件件比比值值生生的的频频数数发发称称为为事事件件发发生生的的次次数数事事件件次次试试验验中中在在这这次次试试验验进进行行了了在在相相同同的的条条件件下下),(,. , ,AfAnnAnAnnnAA1. 定义定义 一、频率的定义与性质一、频率的定义与性质 nnAfAn )(2. 性质性质设设 A 是随机试验是随机试验 E 的任一事件的任一事件, 则则; 1)(0)1( Afn; 0)(, 1)()2( ff).(

2、)()()(,)3(212121knnnkkAfAfAfAAAfAAA 则则是两两互不相容的事件是两两互不相容的事件若若试验试验序号序号5 nHnf1 2 3 4 5 6 7231 5 1 2 4Hnf50 n22252125241827Hn500 n2512492562472512622580.40.60.21.00.20.40.80.440.500.420.480.360.54f0.5020.4980.5120.4940.5240.5160.500.502实例实例 将一枚硬币抛掷将一枚硬币抛掷 5 次、次、50 次、次、500 次次, 各做各做 7 遍遍, 观察正面出现的次数及频率观察正面

3、出现的次数及频率.处处波波动动较较大大在在21波动最小波动最小随随n的增大的增大, 频率频率 f 呈现出稳定性呈现出稳定性处处波波动动较较小小在在21从从上述数据可得：上述数据可得：(2) 抛硬币次数抛硬币次数 n 较小时较小时, 频率频率 f 的随机波动幅的随机波动幅度较大度较大, 但但随随 n 的增大的增大 , 频率频率 f 呈现出稳定性呈现出稳定性.即即当当 n 逐渐增大时频率逐渐增大时频率 f 总是在总是在 0.5 附近摆动附近摆动, 且且逐渐稳定于逐渐稳定于 0.5.(1) 频率有频率有随机波动性随机波动性,即对于同样的即对于同样的 n, 所得的所得的 f 不一定相同不一定相同;实验

4、者实验者德德 摩根摩根蒲蒲 丰丰nHnf皮尔逊皮尔逊 K皮尔逊皮尔逊 K 204810610.5181404020480.50691200060190.501624000120120.5005)(Hf的增大的增大n.21重要结论：重要结论：频率当频率当 n n 较小时波动幅度比较大，当较小时波动幅度比较大，当 n n 逐渐逐渐增大时增大时 ， 频率趋于稳定值，这个稳定值从本质上频率趋于稳定值，这个稳定值从本质上反映了事件在试验中出现可能性的大小它就是事反映了事件在试验中出现可能性的大小它就是事件的件的概率概率概率的统计定义概率的统计定义 根据这一定义，可以把由大量重复试验所得到根据这一定义，可

5、以把由大量重复试验所得到的事件的频率作为事件概率的近似值的事件的频率作为事件概率的近似值 医生在检查完病人的时候摇摇头：医生在检查完病人的时候摇摇头：“你的你的病很重，在十个得这种病的人中只有一个能救活病很重，在十个得这种病的人中只有一个能救活.” 当病人被这个消息吓得够呛时，医生继续说：当病人被这个消息吓得够呛时，医生继续说：“但你是幸运的因为你找到了我，我已经看过但你是幸运的因为你找到了我，我已经看过九个病人了，他们都死于此病九个病人了，他们都死于此病.”医生的说法对吗医生的说法对吗?请请同学们思考：同学们思考： 1933年年 ，苏联数学家柯尔莫哥洛夫提出了概，苏联数学家柯尔莫哥洛夫提出了

6、概率论的公理化结构率论的公理化结构 ，给出了概率的严格定义，给出了概率的严格定义 ，使，使概率论有了迅速的发展概率论有了迅速的发展.二、概率的定义与性质二、概率的定义与性质:)(, )(,.,满足下列条件满足下列条件如果集合函数如果集合函数的概率的概率件件称为事称为事记为记为赋予一个实数赋予一个实数的每一事件的每一事件对于对于是它的样本空间是它的样本空间是随机试验是随机试验设设 PAAPAEE; 0)(,: (1) APA 有有对于每一个事件对于每一个事件非负性非负性; 1)(,: (2) P有有对于必然事件对于必然事件规范性规范性则则有有即即对对于于事事件件是是两两两两互互不不相相容容的的设

7、设, 2, 1,: (3)21 jiAAjiAAji可可列列可可加加性性 )()()(2121APAPAAP概率的可列可加性概率的可列可加性1. 概率的定义概率的定义. 0)()1( P证明证明), 2 , 1( nAn.,1jiAAAjinn 且且则则 由概率的可列可加性得由概率的可列可加性得 nnAPP1)( 1)(nnAP 1)(nP0)( P. 0)( P2. 性质性质概率的有限可加性概率的有限可加性证明证明,21 nnAA令令., 2 , 1, jijiAAji由概率的可列可加性得由概率的可列可加性得)(21nAAAP)(1kkAP 1)(kkAP0)(1 nkkAP).()()(2

8、1nAPAPAP 则则有有是是两两两两互互不不相相容容的的事事件件若若,)2(21nAAA).()()()(2121nnAPAPAPAAAP ).()()(),()(,)3(APBPABPBPAPBABA 则则且且为两个事件为两个事件设设证明证明BA,BA 因为因为).(ABAB 所以所以,)( AAB又又. )()()(ABPAPBP 得得, 0)( ABP又又因因).()(BPAP 故故).()()(APBPABP 于是于是（4）对任意两个事件）对任意两个事件A与与B，都有，都有)()()(ABPBPABP 证明证明:)()()()( 3,ABPBPABBPABPBABABBAB 可得可得

9、由性质由性质而而由于由于这就是概率的这就是概率的减法公式减法公式.).(1)(,)6(APA PAA 则则的对立事件的对立事件是是设设证明证明, 1)(, PAAAA因为因为).(1)(APAP . 1)(,)5( APA对于任一事件对于任一事件 A, 1)()( PAP. 1)( AP故故证明证明)()(1AAPP 所以所以. )()(APAP ).()()()(,)()7(ABPBPAPBAPBA 有有对对于于任任意意两两事事件件加加法法公公式式证明证明AB由图可得由图可得),(ABBABA ,)( ABBA且且).()()(ABBPAPBAP 故故又由又由性质性质 3 得得因此得因此得A

10、B),()()(ABPBPABBP ).()()()(ABPBPAPBAP 推广推广 三个事件和的情况三个事件和的情况)(321AAAP).()()()()()()(321313221321AAAPAAPAAPAAPAPAPAP n 个事件和的情况个事件和的情况)(21nAAAP njijiniiAAPAP11)()().()1()(2111nnnkjikjiAAAPAAAP 解解),()()1(BPABP 由图示得由图示得.21)()( BPABP故故)()()()2(APBPABP 由图示得由图示得.613121 .81)()3(;)2(;)1(.)(,2131, ABPBABAABPBA

11、互斥互斥与与的值的值三种情况下三种情况下求在下列求在下列和和的概率分别为的概率分别为设事件设事件BA AB1例例,)3(BAABA 由图示得由图示得),()()()(ABPBPAPBAP 又又),()()(ABPAPBAAP )()()(ABPBPABP 因而因而.838121 , ABA且且ABAB ).()()(),()(,)4(BPAPBAPBPAPBABA 则则且且为两个事件为两个事件设设1. 频率频率 (波动波动) 概率概率(稳定稳定). n2. 概率的主要性质概率的主要性质, 1)(0) 1 ( AP; 0)(, 1)( PP);(1)()2(APAP );()()()() 3(A

12、BPBPAPBAP 三、小结三、小结Born: 25 Apr. 1903 in Tambov, Tambov province,RussiaDied: 20 Oct. 1987 in Moscow, Russia柯尔莫哥洛夫资料Andrey NikolaevichKolmogorov基本计数原理基本计数原理 下面我们先简要复习一下计算古典概率下面我们先简要复习一下计算古典概率所要用到的所要用到的1. 加法原理加法原理设完成一件事有设完成一件事有m种方式，种方式，第一种方式有第一种方式有n1种方法，种方法，第二种方式有第二种方式有n2种方法种方法,； 第第m种方式有种方式有nm种方法种方法,无论

13、通过哪种方法都可以无论通过哪种方法都可以完成这件事，完成这件事，则完成这件事总共则完成这件事总共有有n1 + n2 + + nm 种方法种方法 .例如，某人要从甲地到乙地去例如，某人要从甲地到乙地去,甲地甲地乙地乙地可以乘火车可以乘火车,也可以乘轮船也可以乘轮船.火车有两班火车有两班轮船有三班轮船有三班乘坐不同班次的火车和轮船，共有几种方法乘坐不同班次的火车和轮船，共有几种方法?3 + 2 种方法种方法回答是回答是基本计数原理基本计数原理则完成这件事共有则完成这件事共有种不同的方法种不同的方法 .mnnn212. 乘法原理乘法原理设完成一件事有设完成一件事有m个步骤，个步骤，第一个步骤有第一个

14、步骤有n1种方法，种方法，第二个步骤有第二个步骤有n2种方法种方法,； 第第m个步骤有个步骤有nm种方法种方法,必须通过每一步骤必须通过每一步骤,才算完成这件事，才算完成这件事，例如，若一个男人有三顶帽子和两例如，若一个男人有三顶帽子和两件背心，问他可以有多少种打扮？件背心，问他可以有多少种打扮？可以有可以有 种打扮种打扮23 加法原理和乘法原理是两个很重加法原理和乘法原理是两个很重要计数原理，它们不但可以直接解要计数原理，它们不但可以直接解决不少具体问题，同时也是推导下决不少具体问题，同时也是推导下面常用排列组合公式的基础面常用排列组合公式的基础 .排列和组合的区别：排列和组合的区别：顺序不

15、同是顺序不同是不同的排列不同的排列3把不同的钥匙的把不同的钥匙的6种排列种排列而组合不管而组合不管顺序顺序1、排列排列: 从从n个不同元素取个不同元素取 k个个（1 k n)的不同排列总数为：的不同排列总数为： k = n时称全排列时称全排列!)(nnnnpPnnn1221排列、组合的几个简单公式排列、组合的几个简单公式)!(!)()(knnknnnnpkn121从从n个不同元素取个不同元素取 k个（允许重复）个（允许重复）（1 k n)的不同排列总数为：的不同排列总数为：knnnn 例如：从装有例如：从装有4张卡片的盒中张卡片的盒中有放回地摸取有放回地摸取3张张3241n=4,k =3123

16、第第1张张4123第第2张张4123第第3张张4共有共有4.4.4=43种可能取法种可能取法!)!(!kknnkPCknkn2、组合组合: 从从n个不同元素取个不同元素取 k个个（1 k n)的不同组合总数为：的不同组合总数为： knC常记作常记作kn，称为组合系数。称为组合系数。!kCPknkn组合系数组合系数 又常称为二项式系数，因为又常称为二项式系数，因为它出现在下面的二项式展开的公式中：它出现在下面的二项式展开的公式中：kn3、组合系数与二项式展开的关系、组合系数与二项式展开的关系knknknbaknba0)(令令 a=-1,b=101210nnnnnn)(nnnnnn2210利用该公式，可得到许多有用的组合公式：利用该公式，可得到许多有用的组合公式：令令 a=b=1,得得knknknbaknba0)(4、n个不同元素分为个不同元素分为k组，各组元素数目组，各组元素数目分别为分别为r1,r2,rk的分法总数为的分法总数为nrr