第4章平行四边形442由对角线的关系判定平行四边形

1、第第2 2课时课时 由对角线的关系由对角线的关系判定平行四边形判定平行四边形4.4 4.4 平行四边形的判定定理平行四边形的判定定理第第4 4章章 平行四边形平行四边形1课堂讲解课堂讲解由对角线的关系判定平行四边形由对角线的关系判定平行四边形平行四边形判定方法的综合应用平行四边形判定方法的综合应用2课时流程课时流程逐点逐点导讲练导讲练课堂课堂小结小结作业作业提升提升 小红找了两根笔直的木棍，利用圆规找出两根木棍小红找了两根笔直的木棍，利用圆规找出两根木棍的中点，然后把两根木棍的中点钉在一起，小红说：的中点，然后把两根木棍的中点钉在一起，小红说：“利利用这个工具就可做平行四边形用这个工具就可做平

2、行四边形”，你信吗？，你信吗？1知识点知识点由对角线的关系判定平行四边形由对角线的关系判定平行四边形知知1 1导导判定一个四边形是平行四边形，还有以下的定理：判定一个四边形是平行四边形，还有以下的定理： 对角线互相平分的四边形是平行四边形对角线互相平分的四边形是平行四边形.（来自（来自教材教材）知知1 1讲讲判定定理判定定理3：对角线互相平分的四边形是平行四边形对角线互相平分的四边形是平行四边形符号语言：符号语言：如图所示，如图所示，AOCO，BODO，四边形四边形ABCD是平行四边形是平行四边形知知1 1讲讲（来自（来自教材教材）已知：如图，在四边形已知：如图，在四边形ABCD中，对角线中，

3、对角线AC与与BD相交于相交于点点O，且，且AOCO，BODO.求证：四边形求证：四边形ABCD是平行四边形是平行四边形.证明：证明：在在AOD与与COB中，中，AOCO，DOBO, AODCOB.AOD COB. ADCB.同理，同理，ABCD.四边形四边形ABCD是平行四边形是平行四边形(两组对边分别相等的四边两组对边分别相等的四边形形是平行四边形是平行四边形).例例1 知知1 1讲讲已知：如图，在已知：如图，在 中，中，E，F是对角线是对角线BD上的上的两点，且两点，且BAEDCF.求证：四边形求证：四边形AECF是平行四边形是平行四边形.例例2 分析：分析： 不难发现，四边形不难发现，

4、四边形AECF与与 有相同的对角线有相同的对角线AC.连结连结AC，交，交BD于点于点O，则则AOCO，BODO.因此只要证明因此只要证明BEDF就能证就能证明明EOFO.根据定理根据定理“对角线互相平分的四边形是对角线互相平分的四边形是平行四边形平行四边形”就能证明四边形就能证明四边形AECF是平行四边形是平行四边形.（来自（来自教材教材）ABCDYABCDY知知1 1讲讲证明：证明： 如图，连结如图，连结AC，交，交BD于点于点O.在在 中，中，BODO，AOCO(平行四边形的对角线平行四边形的对角线互相平分互相平分).ABCD(平行四边形的定义平行四边形的定义)，ABECDF.又又BAE

5、DCF，ABCD(平行四边形的对边相平行四边形的对边相等等)，ABE CDF.BEDF.BOBEDODF，即，即EOFO.四边形四边形AECF是平行四边形是平行四边形(对角线互相平分的四边对角线互相平分的四边形形是平行四边形是平行四边形).（来自（来自教材教材）ABCDY知知1 1讲讲 从对角线的角度判定平行四边形，一般结合已从对角线的角度判定平行四边形，一般结合已知平行四边形的性质，利用已知平行四边形的对角知平行四边形的性质，利用已知平行四边形的对角线的性质去判定未知四边形是平行四边形线的性质去判定未知四边形是平行四边形总总 结结知知1 1练练1 如图，四边形如图，四边形ABCD中，中，对角

6、线对角线AC，BD相交于点相交于点O，下列条件能判定这个四边下列条件能判定这个四边形是平行四边形的是形是平行四边形的是()AOA2，OB2，OC2.5，OD1.5BOA2，OB2，OC2.5，OD2.5COA2，OB1.5，OC2，OD1.5DOA1.5，OB2，OC2.5，OD2知知1 1练练3如果四边形如果四边形ABCD的对角线相交于点的对角线相交于点O，且，且AOCO，那么下列条件中不能判定四边形那么下列条件中不能判定四边形ABCD为平行四边形为平行四边形的是的是()AOBOD BABCDCABCD DADBDBC2知识点知识点平行四边形判定方法的综合应用平行四边形判定方法的综合应用知知

7、2 2讲讲如图，已知四边形如图，已知四边形ABCD为平行四边形，为平行四边形，AEBD于于E，CFBD于于F.(1)求证：求证：BEDF；(2)若若M、N分别为边分别为边AD、BC上的点，且上的点，且DMBN，试判断四边形试判断四边形MENF的形状的形状例例3 知知2 2讲讲(1)四边形四边形ABCD是平行四边形，是平行四边形，ABCD，ABCD，ABDCDB，AEBD于于E，CFBD于于F，AEBCFD90，ABE CDF(AAS)，BEDF.证明：证明：(1)根据平行四边形的性质和已知条件证明根据平行四边形的性质和已知条件证明ABE CDF，从而可得到从而可得到BEDF；(2)根据平行四边

8、形的判定方法：有一组对边平行且相等根据平行四边形的判定方法：有一组对边平行且相等的的四边形为平行四边形判定四边形四边形为平行四边形判定四边形MENF为平行四边形为平行四边形导引：导引：知知2 2讲讲由由(1)可知：可知：BEDF，四边形四边形ABCD为平行四边形，为平行四边形，ADBC，MDBNBD，DMBN，DMF BNE(SAS)，MFNE，MFDNEB，MFENEF，MFNE，四边形四边形MENF是平行四边形是平行四边形解：解：(2)若若M、N分别为边分别为边AD、BC上的点，且上的点，且DMBN，试试判断四边形判断四边形MENF的形状的形状知知2 2讲讲 本题考查了平行四边形的性质和平

9、行四边形判定的本题考查了平行四边形的性质和平行四边形判定的综合应用，解答这类题应明确前提和结论，避免出错综合应用，解答这类题应明确前提和结论，避免出错总总 结结如图，已知如图，已知AD为为ABC的中线，点的中线，点E为为AC上一点，上一点，连结连结BE交交AD于点于点F，且，且AEFE.求证：求证：BFAC.例例4 知知2 2讲讲要证明要证明BF与与AC相等，可转相等，可转化为证角相等，但边、角关化为证角相等，但边、角关系联系不到一块，这就需要系联系不到一块，这就需要构造图形构造图形把已知条件联系起来由点把已知条件联系起来由点D是是BC的中点，的中点，可把点可把点D看成平行四边形一条对角线的中

10、点，因此看成平行四边形一条对角线的中点，因此只要把另一条对角线作出来，就能构成平行四边形，只要把另一条对角线作出来，就能构成平行四边形，由此该题便得以解决由此该题便得以解决导引：导引：知知2 2讲讲如图，延长如图，延长AD到点到点G，使，使DGAD，连结，连结BG，CG.DGAD，BDDC，四边形四边形ABGC是平行四边形，是平行四边形，AC BG，12.又又AEFE，13.23BFG，BGBF.又又BGAC，BFAC.证明：证明：知知2 2讲讲(1)证明两条线段证明两条线段(或两角或两角)相等的常用方法相等的常用方法：线段垂直平分线的判定和性质；线段垂直平分线的判定和性质；角平分线的判定和性

11、质；角平分线的判定和性质；等腰三角形的判定和性质；等腰三角形的判定和性质；全等三角形的判定和性质；全等三角形的判定和性质；平行四边形的判定和性质平行四边形的判定和性质(2)当题中有三角形中线时，常用当题中有三角形中线时，常用倍长中线法构造平行四倍长中线法构造平行四边边形形，然后利用平行四边形的性质推出线段相等或平行以，然后利用平行四边形的性质推出线段相等或平行以及角相等及角相等总总 结结知知2 2练练1已知已知:如图，在如图，在 中，中，E，F是对角线是对角线AC上的上的两个点，两个点，G，H是对角线是对角线BD上的两点，上的两点，AECF，DGBH. 求证：四边形求证：四边形EHFG是平行四

12、边形是平行四边形.（来自（来自教材教材）ABCDY知知2 2练练2(中考中考广州广州)下列命题中，真命题的个数是下列命题中，真命题的个数是()对角线互相平分的四边形是平行四边形；对角线互相平分的四边形是平行四边形；两组对角分别相等的四边形是平行四边形；两组对角分别相等的四边形是平行四边形；一组对边平行，另一组对边相等的四边形是平行一组对边平行，另一组对边相等的四边形是平行四边形四边形A3个个B2个个C1个个D0个个知知2 2练练3(中考中考荆门荆门)四边形四边形ABCD中，对角线中，对角线AC，BD相交于相交于点点O，给出下列四个条件：，给出下列四个条件：ADBC；ADBC；OAOC；OBOD

13、.从中任选两个条件，能使四边形从中任选两个条件，能使四边形ABCD为平行四边形的为平行四边形的选法有选法有()A3种种 B4种种 C5种种 D6种种证明一个四边形是平行四边形的方法：证明一个四边形是平行四边形的方法：1.如果已知一组对边平行，则可通过证明另一组对如果已知一组对边平行，则可通过证明另一组对 边平行边平行, 或证明这组对边相等的方法判定该四边或证明这组对边相等的方法判定该四边 形是平行四边形；形是平行四边形；2.如果已知一组对边相等，则可通过证明另一组对如果已知一组对边相等，则可通过证明另一组对 边相等，或证明这组对边平行的方法判定该四边边相等，或证明这组对边平行的方法判定该四边 形是平行四边形；形是平行四边形；3.如果已知一组对角相等，则可通过证明另一组对如果已知一组对角相