工程计算基础第6章2

1、工程计算基础第7讲1901年龙格(Runge) 给出一个例子: 定义在区间-1，1上，这是一个光滑函数，它的任意阶导数都存在，对它在-1，1上作等距节点插值时，插值多项式情况，见图:-1-0.500.51-1.00-0.500.000.501.00f(x)n=8n=4从图中，可见，在靠近-1或1时，余项会随n值增大而增大，如P12(0.96)=36!但f(0.96)=0.25 22511xxf )(从图中，还可看见，在0附近插值效果是好的，即余项较小，另一种现象是插值多项式随节点增多而振动更多。 这种插值多项式当节点增加时反而不能更好地接近被插之数的现象，称为龙格现象龙格现象。 Lagrang

2、e InterpolationCubic Spline Interpolation这个任意阶可导的光滑函数之所以出现这种现象，跟它在复平面上有x=1/5是奇点有关。俄罗斯数学家伯恩斯坦在1916年还给出如下定理：定理1：函数f(x)=|x|在-1，1上取n+1个等距节点x0=-1, xn=1,构造n次插值多项式Pn (x)，当n增大时，除了-1，0，1，三点外，在-1，1中任何点处Pn(x)都不收敛于|x|。 上述现象和定理，告诉我们用高次插值多项式是不妥当的，从数值计算上可解释为高次插值多项式的计算会带来舍入误差的增大，从而引起计算失真。因此，实践上作插值时一般只用一次、二次最多用三次插值多

3、项式。 那么如何提高插值精度呢？采用分段插值是一种办法。定义 设f(x)是定义在a,b上的函数，在节点 a= x0 x1x2xn-1xn=b,的函数值为 y0 , y1 ,y2 ,yn-1 ,yn ,若函数(x)满足条件 (1) (x)在每个子区间xi , xi+1(i=0,1,2,n-1)上是线性插值多项式; (2) (xi )= yi , i=0,1,2,n (3) (x)在区间a , b上连续; 则称(x)是f(x)在a ,b上的分段线性插值多项式。1.问题的提法 分段线性插值问题的解存在唯一.一、分段线性插值多项式一、分段线性插值多项式2.分段线性插值函数的表达式 由定义， (x)在每

4、个子区间xi ,xi+1(i=0,1,2,n-1)上是一次插值多项式;111111( )( ),iiiiiiiiiixxxxxL xyyxxxxxxx 分段线性插值曲线图：y=f(x)x0 x1x2xnXY0101.()inintx xxxy yyyf x已已知知数数据据表表用用线线性性插插值值求求例例: :的的近近似似值值。34012345012345:.tnntxxxxxxx xxxyyyyyyyx解解 设设34(1)(1)133441( )( )( ),()()ttxxL xlx ylx yf xL x 、, ,构构造造插插值值多多式式取取项项两两点点0( )( )njnjjL xx y

5、l n n次次L La ag gr ra an ng ge e插插值值多多项项式式为为1110( ),( )( )( )( )hhnhhiiihiL xL xL xlx ylx 将将分分段段线线性性插插值值函函数数记记为为将将表表为为其其中中为为分分段段线线性性插插值值基基函函数数. . ( )1( )12()0hihiijijhllxijlxjxi （）为为分分分分段段线线性性插插值值基基函函数数应应满满足足段段线线性性 函函数数，（ ）101001(),)(hihlxxxxx xlxxx 分分段段线线性性0 0 插插值值基基函函数数的的具具 其其余余体体形形式式为为 x0 x1 xi xi

6、+1 , xn0( )hlx111111,( ),1,2,.,10iiiiihiiiiiixxxxxxxxxlxxx xinxx 其余其余x0 xi-1 xi xi+1 xn( )hilx1110( ),hnnnnnnxxlxxxxxx 其其余余x0 x1 xi xn-1 xn( )hnlx11110,( )( )( )( )0,1,2,.,1iinhhhhiiiiiiixx xL xlxlx ylx yyin 分段线性插值函数可分段表示为:分段线性插值函数可分段表示为:对，对，3.分段线性插值函数的余项注意: h随分段增多而减少，因此用分段插值提高精 度是很好的途径.定理：设f(x)在a,b

7、上有二阶连续导数f(x) ， 且| f(x)| m2, 记： h = max |xi+1-xi|,就有估计： |R(x)| =|f(x)- (x) |m2h2/ 8 , xa, b。0.02.h最最大大步步长长 应应取取4( )cos1102f xx 考考虑虑构构造造一一个个函函数数的的等等距距节节点点函函数数表表，要要使使分分例例：段段线线性性插插值值的的误误差差不不大大于于，最最大大步步长长h h应应取取多多大大？2max( )8a x bhRfx 解解：( )cos ,|( )| 1fxxfx 2421|102 1082hRh0101.()inintx xxxy yyyf x已已知知等等

8、距距节节点点数数据据表表用用分分段段三三次次插插值值求求例例: :的的近近似似值值。34012345012345:.tnntxxxxxxx xxxyyyyyyyx解解 设设23453,( )xxxxLx，构构造造取取四四点点4429|()| |()()|16 4!tttMR xf xL xh误差误差3()()ttf xL x 二二. .分段二次插值与分段三次插值分段二次插值与分段三次插值0101.()inintx xxxy yyyf x已已知知等等距距节节点点数数据据表表用用分分段段二二次次插插值值求求例例: :的的近近似似值值。34012345012345:.tnntxxxxxxx xxxy

9、yyyyyyx解解 设设4332342433345,2( ),2ttxxxxxxxLxxxxxxxx ，当当时时，取取当当时时，取取取取三三点点2()()ttf xL x 3233|()| |()()|27tttR xf xL xM h 误误差差例: 在-4,4上给出等距节点函数表，若用分段二次插值计算ex的近似值，要使截断误差不超过10-6,问使用函数表的步长h 应为多少?解：解：设设 xi-1xxi+1, 则有则有 xi-1=xi-h, xi+1=xi+h, x=xi+th (-1t1)过三点过三点 xi-1，xi，xi+1的二次插值误差为：的二次插值误差为：22112323441143(

10、 )( )()()()6max(1)max (1)662 369xiiixxteRxepxxxxxxxeet tht theh 4362362 33110100.0065693ehhee 13t 上面介绍的分段低次插值，虽然具有计算简便，收敛性有保证，数值稳定性又好且易在计算机上实现等优点，但它却不能保证整条曲线的光滑性，从而不能满足某些工程技术上的要求，从六十年代开始，首先由于航空、造船等工程设计的需要而发展起来的样条插值（spline)方法，既保留了分段低次插值的各种优点，又提高了插值函数的光滑性，在许多领域有越来越广泛的应用。q 物理样条的性质为了利用多项式插值而克服高次插值的缺陷，引入

11、分段插值方法样条插值的基本原理样条插值的基本原理样条(spline)是富有弹性的细木条或有机玻璃条。早期船舶、汽车、飞机放样时用压铁压在样条上的一系列型值点上，调整压铁达到设计要求后绘制其曲线，称为样条曲线y(x)。若函数S(x)C2a,b,且在每个小区间xj,xj+1上是三次多项式，其中a =x0 x1 xn=b是给定节点，则称S(x)是节点x0，x1， ，xn上的三次样条函数。1.三次样条的定义a.S(x)C2a,bb.S(x)在xj,xj+1上是三次多项式即：三次样条函数2.三次样条插值函数的定义+ S(xi) = yi3.求解三次样条插值函数的已知条件数和未知条件数未知参数个数4n已知

12、条件个数插值条件： n+1S(x)C2a,b ：3(n-1)共 计： 4n-2缺少条件，通常在插值区间的端点给出，称为边界条件。4.常用的三种边界条件1已知两端的一阶导数值，即：nnfxSfxS )(,)(002已知两端的二阶导数值，即：nnfxSfxS )(,)(003当f(x)是以xn-x0为周期的周期函数时，则要求S(x)也是周期函数，即)0()0()0()0()0()0(000 nnnxSxSxSxSxSxS周期样条三、 求解方法之一：三转角方程设在a,b上给出插值条件：1.条件xjx0 x1x2xnf(xj)f0f1f2fnjjmxf )(0mnm求三次样条插值函数 S(x)xjf2

13、x2fnxnf1f0f(xj)x1x0jjmxf )(0mnm思路: (1)首先要补条件：每个区间上构造三次多项式需要四个条件，但现在最多有三个，故要补充条件，形成四个；1m2m)(3xH)(3xH)(3xHx1处:)()(1313 xHxH得到与m0,m1,m2有关的等式x2处:)()(2323 xHxH得到与m1,m2,m3有关的等式共n-1个等式(2)补什么条件：这里选一阶导数较合适；(3)如何补？若随意给，则只能保证构造出的插值函数的函数值和一阶导数值连续，但不一定能保证二阶导数值连续，故只能选那组使二阶导数连续的一阶导数值。设在a,b上给出插值条件：1.条件xjx0 x1x2xnf(

14、xj)f0f1f2fnjjmxf )(0m1mnm2m求三次样条插值函数 S(x)设法求出求解过程具体如下：12122211312321)()()()()(2)()(2)()( jjjjjjjjjjjjjjjjjjjmhxxxxmhxxxxyhxxhxxyhxxhxxxs2.求解 mj 的思路由内部节点上的二阶导数连续求出考虑S(x)在xj , xj+1上的表达式hj=xj+1-xj对S(x)求二阶导数得：)()2(6246426)(13112121jjjjjjjjjjjjjyyhxxxmhxxxmhxxxxS 于是)(624)0(121jjjjjjjjyyhmhmhxS 同理可得S(x)在区间xj-1 , xj上的二阶导数：)()2(6246426)jjjjjjjjjjjjjyyhxxxmhxxxmhxxxxS于是)(642)0(121111 jjjjjjjjyyhmhmhxS由条件)1,.,1()0()0( njxSxSjj可得)1,.,1()(31)11(21211211111 njhyyhyymhmhhmhjjjjjjjjjjjjj进一步简化为)1,.1(211 njgmmmjjjjjj nnnnnnnnnfggggfgmmmmm1