概率论第二章21

1、1 1 随机变量随机变量2 2 离散型随机变量及其分布律离散型随机变量及其分布律3 3 随机变量的分布函数随机变量的分布函数4 4 连续型随机变量及其概率密度连续型随机变量及其概率密度5 5 随机变量函数的分布随机变量函数的分布第二章第二章 随机变量及其分布随机变量及其分布11 1 随机变量随机变量一一 随机变量的概念随机变量的概念为了更深入地研究随机现象，就要建立数学为了更深入地研究随机现象，就要建立数学模型，随机变量是随机现象的最基本的数学模型，随机变量是随机现象的最基本的数学模型。引入了随机变量，我们就可以用随机模型。引入了随机变量，我们就可以用随机变量的值表示随机试验的结果。变量的值表

2、示随机试验的结果。2在实际问题中，随机试验的结果可以用数量来在实际问题中，随机试验的结果可以用数量来表示，由此引入了随机变量的概念表示，由此引入了随机变量的概念 1 1、有些试验结果本身与数值有关（本身就是、有些试验结果本身与数值有关（本身就是 一个数）一个数）例如例如 掷一颗骰子，观察出现的点数；掷一颗骰子，观察出现的点数； 观察某天从北京下火车的人数；观察某天从北京下火车的人数； 观察昆虫的产卵数观察昆虫的产卵数3 2 2、此外，还有些试验结果看来与数值无关，、此外，还有些试验结果看来与数值无关， 但我们可以引进一个变量来表示它的各种但我们可以引进一个变量来表示它的各种 结果。也就是说，可

3、以结果。也就是说，可以将试验结果数值化将试验结果数值化。正如正如裁判员在运动场上裁判员在运动场上不叫运动员的名字而叫不叫运动员的名字而叫运动员的运动员的号码一样，二号码一样，二者之间建立了一种对应者之间建立了一种对应关系。这种对应关系在关系。这种对应关系在数学上理解为定义了一数学上理解为定义了一种实值函数。种实值函数。 4例例1 1 袋中有袋中有 3只黑球，只黑球，2只白球，从中任意取出只白球，从中任意取出 3只只 球，观察球，观察取出的取出的3只球中的黑球的个数只球中的黑球的个数。我们将。我们将 3只黑球分别记作只黑球分别记作1，2，3号，号，2只白球分别记作只白球分别记作 4，5号，则该试

4、验的样本空间为号，则该试验的样本空间为123124125134135145=234235245345， ， ， ， ， ， ， ， ， ， ，S分析分析样本空间样本空间5记记取出的黑球数为取出的黑球数为 X，则则 X 的可能取值为的可能取值为1，2，3显然，显然， X 是一个是一个变量变量。而且，而且， X 取什么值依赖于试验结果，取什么值依赖于试验结果，即，即， X 的取值带有随机性，的取值带有随机性，所以，我们称所以，我们称X 为为随机变量随机变量。6X 的取值情况可由下表给出：的取值情况可由下表给出：7由上表可以看出：由上表可以看出：1 1、该随机试验的每一个结果都对应着变量该随机试验的

5、每一个结果都对应着变量 X 的一个确定的取值的一个确定的取值 因此，因此，变量变量 X 是样本空间是样本空间S上的函数：上的函数： X = X eeS 2 2、定义了随机变量后，就定义了随机变量后，就可以用随机变量的可以用随机变量的 取值情况来刻划随机事件取值情况来刻划随机事件。X2 表示表示至少取出至少取出2个黑球个黑球这一事件，等等。这一事件，等等。 ：eX e= 2 = X = 2表示表示取出取出2个黑球个黑球这一事件；这一事件；例如例如8设随机试验的样本空间设随机试验的样本空间 S = e ，X = X (e)是定义在样本空间是定义在样本空间S上的实值上的实值单值函数，称单值函数，称

6、X = X (e) 为为随机变量随机变量。由此看到，随机试验的结果可以用数量来示，由此看到，随机试验的结果可以用数量来示，因此引入因此引入随机变量随机变量的概念的概念定义定义9e.X(e)sR以上定义了样本空间到实数域上的一个以上定义了样本空间到实数域上的一个对应关系对应关系X10 而表示随机变量所取的值而表示随机变量所取的值时时, ,一般采用小写字母一般采用小写字母x,y,z等等随机变量通常用大写字母随机变量通常用大写字母X,Y,Z或希腊字母或希腊字母,等表示等表示111 1、随机变量随机变量X 随试验结果的不同而取不同的值，随试验结果的不同而取不同的值， 因而在试验之前只知道它可能取值的范

7、围，因而在试验之前只知道它可能取值的范围， 而不能预先肯定它将取哪个值。而不能预先肯定它将取哪个值。2 2、由于试验结果的出现具有一定的概率，于是由于试验结果的出现具有一定的概率，于是 这种实值函数取每个值和每个确定范围内的这种实值函数取每个值和每个确定范围内的 值也有一定的概率。值也有一定的概率。说明说明123 3、对于任意的实数对于任意的实数 x ，集合，集合都是都是随机事件随机事件。 ：eX ex = Xx一般地，若一般地，若 L是一个实数集合，是一个实数集合， X L = e : X(e) L 都是都是随机事件随机事件。134 4、在许多实际问题中，一个随机变量在许多实际问题中，一个随

8、机变量X 的含义的含义 是十分清楚的，所以一般不再关心随机变量是十分清楚的，所以一般不再关心随机变量 X 在样本空间在样本空间上是如何定义的。可以认为上是如何定义的。可以认为X 的所有取值就是我们的样本空间。只是在必的所有取值就是我们的样本空间。只是在必 要的时候才将自变元要的时候才将自变元 e 写出来。写出来。14引入了随机变量，随机试验中的各种事件，就引入了随机变量，随机试验中的各种事件，就可以通过随机变量的关系式表达出来。可以通过随机变量的关系式表达出来。可见，随机事件这个概念实际上是包容在随机可见，随机事件这个概念实际上是包容在随机变量这个更广的概念内。也可以说，变量这个更广的概念内。

9、也可以说，随机事件随机事件是从静态的观点来研究随机现象，而随机变量是从静态的观点来研究随机现象，而随机变量则是一种动态的观点。则是一种动态的观点。就象数学分析中常量与就象数学分析中常量与变量的区别那样。变量的区别那样。二二 随机变量的意义随机变量的意义15随机变量概念的产生是概率论发展史上的随机变量概念的产生是概率论发展史上的重大事件。引入随机变量后，对随机现象重大事件。引入随机变量后，对随机现象统计规律的研究，就由对事件及事件概率统计规律的研究，就由对事件及事件概率的研究扩大为对随机变量及其取值规律的的研究扩大为对随机变量及其取值规律的研究。研究。16例例2 2 一批产品有一批产品有50 件

10、，其中有件，其中有8件次品，件次品，42 件正品，件正品， 现从中取出现从中取出 6 件件 X 表示表示取出取出6 件产品中的次品数件产品中的次品数 则则X 就是一个随机变量就是一个随机变量 它的取值为它的取值为 0，1，2，6 0X 表示取出的表示取出的产品全是正品产品全是正品这一随机事件这一随机事件 1X 表示取出的表示取出的产品至少有一件是次品产品至少有一件是次品这一随机事件这一随机事件注意注意 X 的取值是有限个！的取值是有限个！17 例例3 3 上午上午 8:009:00 在某路口观察在某路口观察 Y 表示表示该时间间隔内通过的汽车数该时间间隔内通过的汽车数 则则Y 就是一个随机变量

11、就是一个随机变量 它的取值为它的取值为 0，1， 100Y 表示表示通过的汽车数小于通过的汽车数小于100辆辆这一随机事件这一随机事件 50100Y注意注意 Y 的取值是的取值是可列无限可列无限个！个！表示表示通过的汽车数大于通过的汽车数大于50 辆但不超过辆但不超过100辆辆这一随机事件这一随机事件18 例例4 4 观察某生物的寿命（单位：小时）观察某生物的寿命（单位：小时） Z 表示表示该生物的寿命该生物的寿命 则则Z 就是一个随机变量就是一个随机变量 它的取值为所有非负实数它的取值为所有非负实数 1500Z 3000Z 表示该生物的表示该生物的寿命大于寿命大于 3000小时小时这一随机事

12、件这一随机事件表示该生物的表示该生物的寿命不超过寿命不超过1500小时小时这一随机事件这一随机事件注意注意 Z 的取值是的取值是不可列无限个不可列无限个！19例例5 5 掷一枚硬币，令掷一枚硬币，令掷硬币出现反面掷硬币出现正面01X则则X 是一个随机变量是一个随机变量请问：请问：X 表示什么含义？表示什么含义？20例例6 6 掷一枚骰子，令掷一枚骰子，令出现奇数点出现偶数点01Y6061点数不为点数为Z等等等等注意注意 在同一个样本空间上可以定义不同的在同一个样本空间上可以定义不同的 随机变量随机变量21一一 离散型随机变量的概念与性质离散型随机变量的概念与性质2 2 离散型随机变量及其分布律

13、离散型随机变量及其分布律有些随机变量只能取有些随机变量只能取有限个有限个或或可列个可列个值值。例如。例如被访问者的性别、年龄、职业；一批产品中次被访问者的性别、年龄、职业；一批产品中次品个数；一个医学试样中白细胞个数；掷两个品个数；一个医学试样中白细胞个数；掷两个骰子第一次得到骰子第一次得到12点的次数；等等点的次数；等等。2212,nxxx 12,xx定义定义 如果随机变量如果随机变量 X 只取有限个值只取有限个值或可列个值或可列个值则称则称 X 是是离散型随机变量离散型随机变量。离散型随机变量的定义离散型随机变量的定义23定义定义 设设 X 是是离散型随机变量，称离散型随机变量，称 ,1k

14、kP Xxpk 离散型随机变量的分布律离散型随机变量的分布律为为 X 的的分布律分布律。离散型随机变量的离散型随机变量的分布律分布律也常常用如下方式也常常用如下方式表达表达X 1x 2x ， nx P 1p 2p ， np 24说明说明 离散型随机变量可完全由其分布列来刻划。离散型随机变量可完全由其分布列来刻划。 即即离散型随机变量可完全由其可能取值以离散型随机变量可完全由其可能取值以 及取这些值的概率唯一确定。及取这些值的概率唯一确定。分布列的性质分布列的性质 10;1kjjapbp 用这两条性质判断用这两条性质判断一个函数是否是一个函数是否是概率分布律概率分布律25例例1 1 从从110这

15、这10个数字中随机取出个数字中随机取出5个数字，个数字，X 表示表示取出的取出的5个数字中的最大值。试求个数字中的最大值。试求 X 的的 分布列分布列 415105610kCP XkkC ，即即 X 的分布列为的分布列为解解 X 的取值为的取值为5，6，7，8，9，10. 并且并且26例例2 2 将将 1枚硬币掷枚硬币掷 3次，次，X 表示表示出现的正面次数出现的正面次数 与反面次数之差。与反面次数之差。 试求试求X 的分布列的分布列。解解 X 的取值为的取值为-3，-1，1，3则则 X 的分布列为的分布列为27例例3 3 设离散型随机变量设离散型随机变量 X 的分布列为的分布列为 则则 20

16、12P XP XP XP X 131161616 516 28 345P XP XP X 341616 716 0.5312PXP XP X 311616 416 29例例4 4 设随机变量设随机变量 X 的分布列为的分布列为 1124nP Xncn，解解 由分布列的性质，得由分布列的性质，得 11114nnnP Xnc该级数为等比级数，故有该级数为等比级数，故有 11114nnnP Xnc 14114c 所以所以3c 试求试求常数常数c30例例5 5 设一汽车在开往目的地的道路上需经过四盏信设一汽车在开往目的地的道路上需经过四盏信 号灯，每盏信号灯以号灯，每盏信号灯以1/2的概率允许或禁止汽

17、车的概率允许或禁止汽车 通过，以通过，以X 表示汽车首次停下时，它已通过的表示汽车首次停下时，它已通过的 信号灯的盏数，求信号灯的盏数，求 X 的分布列的分布列。( (信号灯的工信号灯的工 作是相互独立的作是相互独立的) )PX=3=(1-p)3p31解解 以以 p 表示每盏信号灯禁止汽车通过的概率，表示每盏信号灯禁止汽车通过的概率， 则则 X 的分布列为的分布列为 0 1 2 3 4 Xpk p (1-p)p (1-p)2p (1-p)3p (1-p)4 或写成或写成 PX= k = (1- p)k p， k = 0,1,2,3 PX= 4 = (1-p)4 32以以 p = 1/2 代入，

18、得代入，得Xpk 0 1 2 3 4 0.5 0.25 0.125 0.0625 0.062533二二 几种常用的离散型随机变量几种常用的离散型随机变量设随机变量设随机变量X 只取只取 0或或 1两个值，它的分布律为两个值，它的分布律为 110, 101kkP Xkppkp ，或或 则称随机变量则称随机变量 X 服从参数为服从参数为 p的的（0 1）分）分布布或或两点分布，两点分布， 1 1、（0 1）分布）分布 1,Xbp记作记作 34两点分布的两点分布的应用应用 1P ApP Apq ，X 表示在一次试验中事件表示在一次试验中事件A 发生的次数发生的次数令令不发生若事件发生若事件AAX01

19、 1,Xbp记记则则任何一次试验，当只考虑任何一次试验，当只考虑两个互逆的结果两个互逆的结果A与与 时，时，或者形象地把两个互逆结果叫做或者形象地把两个互逆结果叫做“成功成功”和和“失败失败”。就可以用就可以用两点分布来描述两点分布来描述A35例例6 6 15件产品中有件产品中有4件次品，件次品，11件正品，从中任取件正品，从中任取1件。件。 X 表示取出的一件产品中的次品数。表示取出的一件产品中的次品数。 则则X 的取值为的取值为 0 或者或者 1，并且，并且 114011515P XP X ，4115Xb 即即，362 2、伯努利试验、二项分布、伯努利试验、二项分布（1 1）n 重伯努利试

20、验重伯努利试验一般地，设在一次试验中我们只考虑两个互逆一般地，设在一次试验中我们只考虑两个互逆的结果的结果 A或或 ， 或者形象地把两个互逆结果或者形象地把两个互逆结果叫做叫做“成功成功”和和“失败失败”。A再设我们重复地进行再设我们重复地进行 n 次独立试验次独立试验 ： “重复重复” 是指这个试验中各次试验条件相同是指这个试验中各次试验条件相同，每次试验成功的概率都是每次试验成功的概率都是 p，失败的概率都是，失败的概率都是 q = 1- p；这样的这样的n次独立重复试验次独立重复试验称作称作 n 重伯努利试验，重伯努利试验，或称或称伯努利概型。它是一种很重要的数学模型。伯努利概型。它是一

21、种很重要的数学模型。“独立独立”是指各次试验的结果互不影响。是指各次试验的结果互不影响。37对同一目标进行对同一目标进行 n 次射击，若每次射击只关心次射击，若每次射击只关心“击中目标击中目标”与与“未击中目标未击中目标” 两种情况。两种情况。n重伯努利试验的例子重伯努利试验的例子掷掷 n次硬币，只关心次硬币，只关心“出现正面出现正面”与与“出现反面出现反面”这两种情况；这两种情况；掷掷 n 颗骰子，如果我们对每颗骰子只关心颗骰子，如果我们对每颗骰子只关心“出现出现六点六点”与与“不出现六点不出现六点”这两种情况；这两种情况；38分析分析 设在设在n重贝努里试验中重贝努里试验中 1P ApP

22、Apq ， 12,neee每一个样本点可记作每一个样本点可记作其中每一个其中每一个 只取只取 A 或或 ，ieA2n共共有有个。个。 12,kn knPeeep q 且对于每一个基本事件，有且对于每一个基本事件，有 n 次试验中，次试验中，k 次次A出现，出现，n-k 次次A不出现不出现就是一个基本事件，就是一个基本事件，k= 0, 1, 2, , n。39现考虑事件现考虑事件n 重伯努利试验中事件重伯努利试验中事件A 恰好发生恰好发生k 次次，Bkn 现求概率现求概率 ,n kP BknC在在 n 次试验中，指定次试验中，指定 k 次出现次出现 A ( (成功成功) )，其余其余 n k 次

23、出现次出现 ( (失败失败) )，这种指定的方，这种指定的方法有法有 种，即该事件含有种，即该事件含有 个样本点。个样本点。AknC 1kkn knknP BC p qqp ，0 ,1,kn 因此因此40 用用X 表示表示 n重伯努利试验中事件重伯努利试验中事件 A出现的次数出现的次数，则则()(1)0 ,1,kkn knP XkC ppkn 这就是我们下面要介绍的这就是我们下面要介绍的二项分布二项分布41设随机变量设随机变量X 的所有可能值为的所有可能值为0, 1, 2， ，n, 其分布律为其分布律为则称则称X 服从服从参数为参数为 n和和 p的的二项分布二项分布， 0,1,0,1kkn k

24、nP XkC p qknp qqp ,Xbnp 记作记作 （2 2）二项分布）二项分布42说明说明1 1、显然，当显然，当 n = 1 时时 1Xbp，此时，此时，X 服从两点分布服从两点分布这说明，这说明，两点分布是二项分布的一个特例两点分布是二项分布的一个特例 0nnkkn knkpqC p q 第第 k+1 项项 kkn knC p q 2 2、称为二项分布的原因是称为二项分布的原因是 为二项为二项 展开式展开式433、二项分布的特性、二项分布的特性对于二项分布，当对于二项分布，当 k 增加时，概率增加时，概率 P X = k 先是随之增加，直至达到最大值，随后单调先是随之增加，直至达到

25、最大值，随后单调减少。减少。(见见 p35 例例2)如下图所示：如下图所示：44二项分布的二项分布的概率分布示意图概率分布示意图45二项二项分布的分布的应用应用进行进行n重重伯努利伯努利试验，设在每次试验中试验，设在每次试验中 1P ApP Apq ，X 表示表示在在 n 重重伯努利伯努利试验中事件试验中事件 A 发生的次数发生的次数 ,Xb np则则46例例7 7 一张考卷上有一张考卷上有5 道选择题，每道题列出道选择题，每道题列出4个可能个可能 答案，其中只有一个答案是正确的。答案，其中只有一个答案是正确的。 某学生靠某学生靠 猜测至少能答对猜测至少能答对4 道题道题的概率是多少？的概率是

26、多少？则则答答 5 道题相当于做道题相当于做 5 重伯努利试验重伯努利试验解解 每答一道题相当于做一次试验每答一道题相当于做一次试验则则15 ,4Xb若若 X 表示该学生靠猜测能答对的题数表示该学生靠猜测能答对的题数令令 A= 答对一道题答对一道题 ，则，则 P(A) = 1/447 45P XP X因此因此 P 至少能答对至少能答对4 道题道题 4P X 4545131444C 0.016 550.250.750,1, 5kkkP XkCk X 的的分布律为分布律为48例例8 8 某人进行射击，设每次射击的命中率为某人进行射击，设每次射击的命中率为0.02， 独立射击独立射击400次，试求至

27、少击中两次的概率。次，试求至少击中两次的概率。解解 射击一次相当于做一次试验射击一次相当于做一次试验令令 X 表示击中的次数表示击中的次数，则，则 X b(400, 0.02)则则射击射击 400次次相当于做相当于做 400重伯努利试验重伯努利试验 4004000.020.980 ,1, 400kkkP XkCk X 的的分布律为分布律为49因此因此 400399210110.98400 0.020.980.9972P XP XP X 50分析分析 1 1、P X 2 0.003 很小。很小。 如果射手如果射手 在在400次射击中，击中目标的次数的确次射击中，击中目标的次数的确 不到不到2次，

28、则根据次，则根据实际推断原理实际推断原理，有理有理 由怀疑由怀疑 “每次射击的命中率为每次射击的命中率为0.02”这一这一 假设有问题假设有问题，即，即认为每次射击的命中率认为每次射击的命中率 达不到达不到0.02。 2 2、P X 2 0.9972 很接近于很接近于1。虽然。虽然 每次射击的命中率很小，但如果射击每次射击的命中率很小，但如果射击400 次，则击中目标至少次，则击中目标至少2次几乎是肯定的。次几乎是肯定的。 正如我们第一章讲的，正如我们第一章讲的，当试验次数足够当试验次数足够 大时，小概率事件迟早要发生。大时，小概率事件迟早要发生。513 3、泊松分布泊松分布(Poisson

29、分布分布) !0 ,1,kP Xkekk 0 其中其中 是常数。是常数。则称则称X 服从参数为服从参数为 的的泊松泊松分布分布， 设随机变量设随机变量X 的所有可能值为的所有可能值为0, 1, 2， ，其分布律为其分布律为 X 记作记作 52泊松泊松分布的应用分布的应用电话总机在电话总机在某一时间间隔内某一时间间隔内收到的呼叫次数；收到的呼叫次数；放射物在放射物在某一时间间隔内某一时间间隔内发射的粒子数；发射的粒子数；容器在容器在某一时间间隔内某一时间间隔内产生的细菌数，等等。产生的细菌数，等等。在一定条件下，都是服从在一定条件下，都是服从Poisson分布的分布的 Poisson分布是概率论

30、中重要的分布之一。分布是概率论中重要的分布之一。 自然界及工程技术中的许多随机指标都服从自然界及工程技术中的许多随机指标都服从 Poisson分布，例如分布，例如53 12P XP X 解解 随机变量随机变量 X 的分布律为的分布律为 ,0 ,1,!kP Xkekk 由已知由已知 12P XP X 4P X 试求试求 例例9 9 设随机变量设随机变量X 服从参数为服从参数为 的的Poisson分布，分布， 且已知且已知54得得121!2!ee 由此得方程由此得方程220 得解得解2 （另一个解（另一个解 不合题意，舍去）不合题意，舍去） 0 因此因此223e- -= =0.09022= = 4

31、2244!P Xe 55Poisson定理定理lim0nnnp 设在设在n重贝努里试验中，以重贝努里试验中，以 代表事件代表事件A在一次在一次 试验中发生的概率，它与试验总数试验中发生的概率，它与试验总数n 有关。若有关。若 np则则 lim1!kn kkknnnnC ppek 56Poisson定理的应用定理的应用 二项分布与泊松分布关系二项分布与泊松分布关系 由由 Poisson 定理，可知定理，可知( () )Xb np若若， 1!n kkknkP XkC ppek 有有np 令令则当则当 n比较大，比较大，p 比较小时比较小时说明说明 当当 n 20, p 0.05 时，时，近似效果很

32、好近似效果很好。57例例1010 设有设有 80 台同类型的设备，各台工作是相互独立台同类型的设备，各台工作是相互独立 的，发生故障的概率都是的，发生故障的概率都是0.01，且一台设备的故，且一台设备的故 障能由一个人处理。考虑两种配备维修工人的方障能由一个人处理。考虑两种配备维修工人的方 法：法： 其一，由其一，由 4 人维护，每人负责人维护，每人负责 20 台；台； 其二，由其二，由 3 人，共同维护人，共同维护 80 台台 试比较这两种方法试比较这两种方法在设备发生故障时不能及时维在设备发生故障时不能及时维 修修的概率的概率的大小。的大小。58 020119012020210110.01

33、0.990.010.990.0169P AP XP XP XCC 解解 第一种方法：第一种方法： 以以 X 记记“第第1人负责的人负责的20台中同一时刻发生故障台中同一时刻发生故障 的台数的台数”，则则 X b ( 20，0.01）以以Ai 表示事件表示事件 “第第 i人负责的人负责的20台中发生故障不台中发生故障不能及时维修能及时维修”则则 80 台中发生故障而不能及时维修的概率为台中发生故障而不能及时维修的概率为12341()()P AAAAP A 故故1234()0.0169P AAAA 59 010.20.221010.20.210!1!0.0175P AP XP XP Xee 本问还可以本问还可以用用Poisson 定理所得的近似公式计算定理所得的近似公式计算：由于由于 n = 20, p = 0.01, 则则 = n p = 20 0.01= 0.2因此因此故故1234()0.0175P AAAA 60第二种方法：第二种方法： 以以 Y 记记“80 台中同一时刻发生故