线性系统的频域分析

1、1111)()()( RCsCsRCssUsUsGioR RC CiuouiuouiurcAAA tAtrr sin)( )sin()( tAtcc crACAR，o0tAtrr sin)( )sin()( tAtcc rcrcAAAARCjGo0)()()( jG | )(|)( jGAAArc )()()()()( jQPAjG )(Re)( jGP )( jG )(Im)( jGQ )(cos)()( AP)(sin)()( AQ)()()(22 QPA )()()(1 PQtg 1111)()()( RCsCsRCssUsUsGioR RC Ciuou jssGjG | )()(111

2、1)( RCjCjRCjUUjGrc j js dtds dtdj jssGjG | )()( 0)( jG DecDecDecDec1 2 012. lg01. 001 . 0110100 lg )(lg20)( AL )(lg20 A)lg(20幅值增益 KP )( 0)( QKsG )(KjG )( KA )( 0)( dBL/ )( )( 180 180KA )( 0)( 111000lg20)(KKKKL常常数数 Klg201 K1 KKlg201 KKlg20 0)( 11)( TssG11)( TjjG TtgTA122)(,11)( 22221)(,11)( TTQTP 0)0

3、(1)0(0)0(1)0(0 QPA，时时： 2)1(21)1(45)1(21)1(1KTQTPTTAT ，时时： 0)(0)(90)(0)( QPA，时时： 0 0 T1 2211)( TA 11)( TssG11)( jTjG221lg201lg20)(lg20)( TAL 1 T01lg20)( L1 T TTLlg20lg201lg20)( Ttg1)( Tlg201lg201lg20 T1o o 2211lg20 T o TTlg201lg20222 To1 )( 31lg202o2maxdBT Ttg1)( 。时时，当当时时，当当时时，当当ooo90)(;45)1(1;0) 0(0

4、 TT2111)( ejjjG2)( 1)( A 1)( Q0)( P0 ssG1)( lg201lg20)(lg20)( AL2)( 1)( A1 KdBL/ )()(90204020401101001101000)(1 L时时，当当2)( 12)(1)()(22 TssTsGTssGssG TjTjGjTjGjjG 21)(1)()(22 jjG )(2)(,)( A )(,0)(QPReReImIm02)(lg20)()( LA jjG )( TQP )(, 1)( TtgTA122)(,1)( 0 jTjG 1)(2)(,;4)(,1; 0)(, 0 T2 0)(lg201)(1 AA

5、T，时时，当当 TLTATlg20)()(1 ，时，时，当当22221lg20)(,1)( TLTA Ttg1)( T1 222222222222224)1(2)(,4)1(1)(TTTQTTTP 222222)2()1(1)()()(TTQPA 221112)()()( TTtgPQtg 222222121)(nnnssTssTsG 10 TjTjG 2)1(1)(22 221 nm谐振频率谐振频率2121)( mmAA谐谐振振峰峰值值1 2 . 0 0 1 . 0 1 . 0 3 . 0 4 . 0 5 . 0 6 . 0 7 . 0 8 . 0 2 时时707. 0 10 2222)2(

6、)1(1)(TTA 22112)( TTtg 2222)2()1(lg20)(lg20)(TTAL 0)(1 LT时时， TTLTlg40)(lg20)(1222 时时，To1 22112)( TTtg 。 )(,;2)(,1; 0)(, 0T3 . 0, 1,10 TKTo1 DecdB/4016 . 010)(2 ssjG 222)2()(1 lg20)(nnL 2222)lg(20)2()(1 lg20)(nnnL n n 221222212)(,)2()1()( TTtgTTA 12)(22 TssTsG 0)(1 LT时时， TTTLTlog40)2()1(lg20)(12222 时

7、时，To1 )(,;2)(,1; 0)(0T时时，当当2222)2()1(lg20)(TTL 0 0 sesG )( jejG )(1)( A(deg)3 .57)()( radsesG )( jejG )(1)( A(deg)3 .57)()( rad100-10 1 101 51 21 5 10 2-540-450-360-270-180-900)(dBL )( )()( jQP )()( jeA)(),( QP)(),( A)1)(1()(21 jTjTKjG 5, 1, 121 TTK)()()1)(1()()1)(1()1()1)(1()1)(1()(2222212122222122

8、122222121 jQPTTTTKjTTTTKTTjTjTKjG 5, 1, 121 TTK)251)(1(6)(,)251)(1(51)(22222 QP , 0 )( P)( Q 5165 5)(11 tgtg )( 51)51)(1(1)(sssG 5, 1, 121TTk5, 1, 121TTk0)51)(1(1)(ssssG 5, 1,1021TTk0)51)(1(10)(ssssG njjmiijTjjKjG11)1()1()()( njjmiiTtgtg11112)(0 ,2)0( ,2)(2)(22)( mnnm 00|)(| )( jKjG)( , 0| )(mnjG 若若

9、 00pKKG | )0(| , 0)0(0 型型：0 ,2)0( 00|)(| )( jKjG | )0(| ,2)0(G 型：型： | )0(| ,)0(G 0pKK ,2)(2)(22)( mnnm )( , 0| )(mnjG 若若 2)(1 时时，mn23)(3 时时，mn )(2时时，mn)()()()(21 jGjGjGjGn 设设开开环环频频率率特特性性)()()()(lg20)(lg20)(lg20)()()(lg20)(lg20)(212121 nnnLLLjGjGjGjGjGjGjGL )()()()(21 n 2121,)1)(1()(TTsTsTsKsG 204060

10、11T21T2040608011T21T4590135180)(270 ,KjjiiT11 ， lg20lg20)( KL)/(20decdB )( j)14 . 025. 0)(125. 0(10)(2 ssssGk5 . 0,25. 0,10, 021 TTK dBKTT20lg20, 21, 412211 decdB/01012420 )( L4060244060)05. 01)(125. 01)(101()1001(10)(223ssssssG 2005. 01, 8125. 01, 1 . 0101,01. 01001; 2;1043213 KdecdB/40 1 )(6010lg2

11、0lg203dBK )60, 1 ( 21231211 s171 s)121()171(6 . 5)( ssssG )( L0)()(1 sHsG)()(1sHsG )()( jHjG niinjjpszsKsF111)()()(设设 niinjjpszssF11)()()(sC 1z j平面平面s2z 2p 1p FC平平面面)(sFeRmI0 niinjjpszssF11)()()(sC 1z j平面平面s2z 2p 1p FC平平面面)(sFeRmI0 )()()()()(sNsMKsHsGsGgk )()()()()(1)()(1)(sNsMKsNsNsMKsHsGsFgg )()()

12、()()(sNsMKsHsGsGgk )()()()(1)()(sFsGsHsGsGs )()(1)(sHsGsF 闭环系统右半极点数开环系统右半极点数 右右半半零零点点数数右右半半极极点点数数| )(| )(sFsFN)( jGK 0 22, 从从ReRsj0 je 0 j常常数数 )()(1 lim)(limsHsGsFss j)(1)()(1)( jGjHjGjFk j j j j j1)()( jFjGk)( jGk)01(j， )(jF)(jGk)( jGk)( jF)01(j， )( jGk）（0 NPZ)01(j， )( jGk)( jGk）（0 NPZ)( jGk 0从从 0

13、从从 2PN )01(j， )( jGk)1)(1()(21 sTsTKsGk)52)(1(52)(2 ssssGk21j 0 P1 2)2(0 NPZ1 sK)(sR)(sC2/K)0 , 2/( K 1 sK)(sR)(sC1 P njjmiiksTssKsG11)1()1()( 0 22, ReRsj 0 22, 0, jes jejeR 0 0 jejeR 0 0 jjesniimjieskeeKsTssKsGjj )lim()1()1()(0lim11lim00 jes0lim 2 )(sGk2 2 2 jejeR 0 0 2 2 2 0 0 eRmI jejeR 0 0 0 0 e

14、RmI0w-=10w+=0 P1 000 P2)2(0 NPZ0ReIm)( )( L o00o180 dBL0)( 若系统开环传递函数有若系统开环传递函数有P P个位于个位于s s右半右半平面的特征根，则系统闭环稳定的充要条平面的特征根，则系统闭环稳定的充要条件是：在件是：在L()0 的所有频率范围内，相频的所有频率范围内，相频特性曲线特性曲线 ()与与-180线的正负穿越次数线的正负穿越次数之差等于之差等于P/2。 )14 . 025. 0)(125. 0(10)(2 ssssGk)05. 01)(125. 01)(101()1001(10)(223ssssssG )( jGkBA两两点点

15、。、交交与与实实轴轴曲曲线线分分别别与与单单位位圆圆和和负负设设系系统统的的开开环环频频率率特特性性BAjGk)( 称称为为相相角角穿穿越越频频率率点点处处的的频频率率也也称称剪剪切切频频率率称称为为幅幅值值穿穿越越频频率率点点处处的的频频率率gcBA ,表表示示。用用裕裕度度，的的幅幅值值的的倒倒数数称称为为幅幅值值处处在在相相角角穿穿越越频频率率gkgKjG)( )(1ggAK 即即ReIm)(180co 两两点点。、交交与与实实轴轴曲曲线线分分别别与与单单位位圆圆和和负负设设系系统统的的开开环环频频率率特特性性BAjGk)( BAReIm称称为为相相角角穿穿越越频频率率点点处处的的频频率

16、率也也称称剪剪切切频频率率称称为为幅幅值值穿穿越越频频率率点点处处的的频频率率gcBA ,0ReImc g c g 0 0 gK/1 gL)( )( L o00o180 )(180c 0 gL0 0 gL0 )(lg20)(1lg20lg20ggggAAKL )( )( L o00o180 c g 0ReIm)( )( L o00o180 c g 0ReIm)( )( L o00o180 c g 0ReImc g c g c g )5( )1( sssK)(sR)(sC c g 104. 0112)(22 ccccA c 112)(2 cccA o114 .1552 . 090)( ccctg

17、tg )(180c )12 . 0( )1(2)( jjjjGsradc/25. 1 解解得得：ooo6 .2438.155180 c o111802 . 090)( gggtgtg sradg/24. 2 33216. 004. 0112)(22 ggggA )(6 . 9)(lg20dBALgg g )12 . 0( )1(2)( jjjjGK=10K=1001c c g c 1 .00cc 101 .0c 10 的的值值。，并并且且要要尽尽可可能能提提高高附附近近的的斜斜率率为为在在曲曲线线望望稳稳定定性性能能和和快快速速性性，希希为为了了使使系系统统具具有有较较好好的的ccdecdBL

18、 /20)( )2()(2nnksssG )2()(2nnkjjjG 22224)(nnA nntgtg2180290)(1010 c 14)(2222 nccncA 由由24214 nc得得cnst 24214)43(43 调调整整时时间间。越越大大，系系统统快快速速性性越越好好反反映映了了系系统统的的快快速速性性。幅幅值值穿穿越越频频率率cc cntg 2)(18010 2412142 tg越越大大。越越大大，有有关关，只只和和阻阻尼尼比比相相角角裕裕度度 性性越越好好。最最大大超超调调量量越越小小，稳稳定定越越大大，相相角角裕裕量量反反映映了了系系统统的的稳稳定定性性，相相角角裕裕度度

19、21% e2412142 tg % cst 24214)43( stc 2222)(nnnsss 222)(2)()(nnnjjj 22222)2()()( nnnM )( M：谐振峰值：谐振峰值rM带宽频率带宽频率：截止频率：截止频率b ：谐振频率：谐振频率r 得得由由0)( ddM)707. 00(212 nr谐谐振振频频率率)707. 00(1212 rM谐振峰值谐振峰值。越越大大，系系统统快快速速性性越越好好反反映映了了系系统统的的快快速速性性。谐谐振振频频率率rr rM性性越越差差。最最大大超超调调量量越越大大，稳稳定定越越大大，谐谐振振峰峰值值反反映映了了系系统统的的稳稳定定性性，

20、谐谐振振峰峰值值rrMM)( M)0(22M, 0b b 42244221 nb由由定定义义求求得得。越越大大，系系统统快快速速性性越越好好反反映映了了系系统统的的快快速速性性。带带宽宽频频率率bb 21)( MdBM3)(lg20 b )( M5.6 基于基于MATLAB频率特性频率特性5.6.1 频率响应计算函数nMATLAB提供了用于计算线性时不变系统的频率响应的函数，其调用格式为nh = freqs (b, a, w) 指定正实角频率向量，返回响应值。nfreqs (b, a, w) 绘制对指定角频率向量的幅频和相频特性曲线.其中b、a均为系统传递函数的分子、分母的系数向量。在返回指令

21、值的指令中，需调用abs（）和angle（）求取幅频和相频特性。第2种调用可直接绘制系统的幅频和相频特性曲线，其中幅频特性曲线为全对数坐标，而相频特性曲线为半对数坐标，并且可以不指定频率向量。 【例1】频率响应演示频率响应演示：绘制系统 频率响应曲线。2( )11(1)(154)G sss ss=+num=11 11;den=1 15 4 0;w=0.05:0.01:0.5*pi; %产生频率向量freqs(num,den,w) %指定频率向量freqs(num,den,w) %不指定频率向量指定频率向量不指定频率向量5.6.2 频率特性图示法nNyquist图nnyquist (sys )

22、基本调用格式绘制sys的Nyquist图nnyquist (sys, w) 指定频率范围w，绘制sys的Nyquist图nnyquist (sys1, sys2, sysn) 在同一坐标系内绘制多个模型的Nyquist图nnyquist (sys1, sys2 , sysn, w) 在同一坐标系内绘制多个模型对指定频率范围的Nyquist图 【说明】MATLAB中频率范围w除可直接用冒号生成法生成外，还可由两个函数给定：logspace (w1, w2, N) 产生频率在w1和w2之间N个对数分布频率点；linspace (w1, w2, N) 产生频率在w1和w2之间N个线性分布频率点；N可

23、以省略。调用nyquist()指令若指定w，则w仍然必须是正实数组,MATLAB将自动绘制与-w对应的Nyquist轨迹。所绘Nyquist图的横坐标为系统频率响应的实部,纵坐标为虚部.【例2】系统开环传递函数为 ，绘制当K=5、30时系统的开环频率特性Nyquist图，并判断系统的稳定性。( )(1 0.1 )(1 0.5 )kG ssss=+w=linspace(0.5,5,1000)*pi;sys1=zpk( ,0 -10 -2,100); %建立模型1,K=5sys2=zpk( ,0 -10 -2,600); %建立模型2,K=30figure(1), nyquist(sys1,w);

24、 %绘Nyquist图1title(System Nyquist Charts with K=5)figure(2), nyquist(sys2,w) %绘Nyquist图2title(System Nyquist Charts with K=30)K=5K=30 由于系统开环稳定,因此K=5时系统是稳定的(开环Nyquist曲线没有包围(-1,j0)点,即图中的“+”号);而K=30时系统是不稳定的。 5.6.2 频率特性图示法nBode图nbode (sys ) 基本调用格式，绘制Bode图nbode (sys, w) 指定频率范围，绘制Bode图nbode (sys1, sys2,sys

25、n) 在同一图内,绘制多个模型的Bode图nmag,phase,w = bode (sys ) 返回响应的幅值和相位及对应的,不绘制Bode图nbodemag (sys ) 仅绘制幅频bode图说明 当不指定频率范围时，bode()将根据系统零极点自动确定频率范围。 【例3】系统开环传递函数为( )(1 0.1 )(1 0.5 )kG ssss=+sys1=zpk( ,0 -10 -2,100); %建立模型1，K=5sys2=zpk( ,0 -10 -2,600); %建立模型2，K=30figure(1),bode(sys1) %绘Bode图1title(System Bode Chart

26、s with K=5),gridfigure(2),bode(sys2) %绘Bode图2title(System Bode Charts with K=30),grid 绘制当K=5、30时系统的开环频率特性Bode图，并判断系统的稳定性K=5K=30 K=5时,因为cg,所以系统闭环不稳定。5.6.2 频率特性图示法n计算幅值、相位裕度 nmargin (sys ) 为基本调用，用于绘制Bode图，并在图中标出幅值裕度和相位裕度。nGm,Pm,Wcg,Wcp = margin (sys ) 返回幅值裕度Gm，相位裕度Pm，相位穿越频率Wcg 和幅值穿越频率Wcp，不绘制Bode图。nGm,

27、Pm,Wcg,Wcp = margin (mag, phase, w) 根据给定幅频向量mag，相频向量phase和对应的频率向量w，计算并返回Gm，Pm，Wcg和Wcp。说明 Gm=1/|G(jWg)|是Nyquist图对应的幅值裕度，单位不是分贝。sys1=zpk( ,0 -10 -2,100); %建立模型1sys2=zpk( ,0 -10 -2,600); %建立模型2kg1,r1,wg1,wc1=margin(sys1)kg2,r2,wg2,wc2=margin(sys2)【例4】计算例4中K=5和K=30时系统的幅值与相位裕度。由于K=30时，相位裕度小于零，幅值裕度小于1（即小于零分贝），因此系统不稳定。kg1 = 2.4000r1 = 19.9079wg1 = 4.4721wc1 = 2.7992kg2 = 0.4000r2 = -18.3711wg2 = 4.4721wc2 = 6.8885（K=5）（K=30）5.6.3 系统分析图形用户界面nMATLAB控制工具箱提供的线性时不变(LTI)系统仿真的图形用户分析界面LTI Viewer，可更为直观地分析系统的时域、频域响应。其使用也很简单，只需n 在指令窗中建立起要分析的系统模型;n 在指令窗中键入：ltiview;n 即可调出LTI Viewer窗口，进行分析。【例5