第十章试验误差的控制与分析

1、第十章 试验误差的控制与分析 主要内容一、误差的分类二、误差的计算与传递三、误差的检验四、动态测试的误差控制第十章 试验误差的控制与分析概念引入概念引入 结构实验中所测量的物理量总会有一个客观存在的量值，称为真值 ，由于测试方法、测量仪表、周围环境（如温度、湿度等）、测试人员的熟练程度以及感官条件等因素的影响，使被测量（如应力、应变和位移等）的测定值 与其真值之间总会存在一定的差异，这种由多种因素影响造成的测量值与其真值不一致的矛盾，在数值上表现为误差：误差=测定值-真值 。xXXxx研究误差的意义研究误差的意义1、正确认识误差的性质，分析误差产生的原因，以消除或减小误差。2、正确处理测量和试

2、验数据，合理计算所得结果，以便在一定条件下得到更接近于真值的数据。3、正确组织实验过程，合理设计仪器或选用仪器和测量方法，以便在最经济条件下，得到理想的结果。误差分析的目的在于解决两个方面的问题解决两个方面的问题：1、已知个别测定值的误差，如何估计最终实验结果的误差。2、根据实验目的和要求，如何确定个别测量时所需要的精度，也即采用何种精度等级的仪器才能达到测试的要求。误差来源误差来源1、测量装置误差 标准量具误差：以固定形式复现标准量值的器具，如标准量块、标准砝码、标准电阻等，他们本身体现的量值，不可避免地都含有误差。 仪器误差：直接或间接将被测量和已知量进行比较的器具设备，如天平、压力计、温

3、度计等，他们本身都具有误差。 附件误差：仪器的附件及附属工具，如千分尺的调整量棒等的误差，也会引起测量误差。2、环境误差 由于各种环境因素与规定的标准状态不一致而引起的测量装置和被测量本身的变化所造成的误差，如温度、湿度、振动外界条件及测量人员引起的振动）、电磁场等引起的误差。3、方法误差 由于测量方法不完善所引起的误差，如采用近似的测量方法而造成的误差。 例如用钢卷尺测量大轴的圆周长 ，再通过计算求出大轴的直径 ，因近似数 取值的不同，将会引进误差。4、人员误差 由于测量者受分辨能力的限制，因工作疲劳引起的视觉器官的生理变化，固有习惯引起的读数误差，以及精神上的因素产生的一时疏忽等引起的误差

4、。 s/sd 对概念引入先做一个总结：误差是测量值与真实值之间的差值，误差不代表错误，它存在于任何试验测量中，产生原因主要有仪器误差、环境误差、方法误差和人员误差；分析误差的意义是了解误差的来源和规律，通过控制误差，使得试验测量结果更接近于真实情况。主要内容一、误差的分类一、误差的分类二、误差的计算与传递三、误差的检验四、动态测试的误差控制第十章 试验误差的控制与分析一、误差的分类一、误差的分类 根据误差的性质、特点和产生原因分类：系统误差 偶然误差 过失误差1、系统误差 系统误差是由某些固定不变的因素所引起的误差，它的出现具有一定的规律性，例如误差的大小和符号保持不变或按某一规律变化。系统误

5、差又可按下列方法分类：（1）按对误差掌握的程度分已定系统误差：指误差绝对值和符号已经确定的系统误差。未定系统误差：指误差绝对值和符号未能确定的系统误差，但通常可估计出误差的范围。（2）按误差出现规律分不变系统误差：指误差绝对值和符号固定的系统误差。变化系统误差：指误差绝对值和符号变化的系统误差。按其变化规律，又可分为线性系统误差、周期性系统误差和复杂规律系统误差等。2、偶然误差 又称为随机误差，是由预先难以确定或不易控制的多种因素造成的，它的特点是有时大、有时小，有正、有负，没有固定的大小和偏向，具有随机性，因此无法在测量数据中予以修正或将其消除。 在大量重复量测中，随机误差的数值分布服从一定

6、的统计规律，即可以按概率论的方法给以合理处理。在实际操作中，可以通过增加量测次数来加以控制，以减少其对测量结果的影响。3、过失误差 主要由人为的过失引起的，如实验中粗心大意，精神不集中，读错刻度，记录或计算错误，操作方法不正确等。过失误差数值一般较大，很容易被发现，为此当发现出现很大误差时应分析原因及时纠正或计算时予以消除，采取措施以防再次出现。 虽然将误差分为三类，但必须注意各类误差之间在一定条件下可以相互转化。对某项具体误差，在此条件下为系统误差，而在另一条件下可为偶然误差，反之亦然。系统误差和偶然误差之间并不存在绝对的界限。第一节内容总结：这一节主要讲误差的分类，误差分为三类：系统误差、

7、偶然误差和过失误差。系统误差是由某些固定不变的因素引起的，是系统本身或测量方法本身带来的，这种误差是不能消除的；偶然误差是随机性误差，由不易控制的因素造成的，在测量数据中是无法消除的；过失误差是由于人为原因造成的，一般这种误差是可以消除的。主要内容一、误差的分类二、误差的计算与传递二、误差的计算与传递三、误差的检验四、动态测试的误差控制第十章 试验误差的控制与分析二、误差的计算及传递 由于各种条件的限制，真值一般都是无法测得的，通常将在无系统误差和过失误差的条件下，对于有限次观测值的平均值称为近似真值或最佳值，即最佳平均值。 常用的平均值有算术平均值和加权平均值，其中算术平均值为最佳值。算术平

8、均值 设 代表各次的观测值， 表示观测次数，则算术平均值为： 算术平均值表达了观测值的集中趋势，也越接近真值。当观测值符合正态分布时，可以证明，在有限次测定中，算术平均值 是真值的最佳近似值。观测次数 越大， 的精度越高nxxx,21ninxnnxxxx121xnx加权平均值 设对同一物理量用不同方法测定，或对同一物理量由不同人测定，计算平均值时常对比较可靠的数值予以加重平均，称为加权平均。 如 为各次的观测值， 代表各观测值对应的权重，则加权平均值为： 各观测值的权重，在很多情况下是根据经验来确定的，权重越大则说明对应的测定值越可信；反之，权重越小则说明该测定值越不可信。nxxx,21nWW

9、W,21，nnnWWWxWxWxWW2122111、误差的计算算术平均误差、 如进行了 次测量，得到个测量值 ， 为其算术平均值,采用算术平均值为近似真值，则算术平均误差为： 式中： -观测次数； -观测值与平均值的偏差，即误差。 在一组观测值中，观测值与平均值的偏差 按如下计算，且偏差 代数和为零。即：nxxx,21nxninxi, 2 , 1nixixix 其中 ， 算术平均误差是表示误差的一种较好的方法，但这个方法对于大的偏差和小的偏差同样进行平均，这就不能反映各观测值之间重复性的好坏。;2211xxxxxxxxxnnixnx10 xnxxii标准误差 也称为均方根误差，它是衡量测定精度

10、的一个数值，标准误差越小说明测定的精度越高。在有限次观测情况下，标准误差为：或 反映了观测值在算术平均误差附近的分散和偏离程度，它对于较大或较小的误差反应比较敏感，所以能很好地反映观测值的集中程度（精确度），因而也是一种重要的误差表示方法。12nxi12nxxi变异系数 变异系数通常是用来衡量数据的相对偏差程度。标准差与平均数的比值称为变异系数： 变异系数可以消除单位或平均数不同对两个或多个数据指标变异程度比较的影响。xc2、误差的传递 实践中有些参量不能直接测定，称为间接测定值，由直接测量值导出，由于直接测量值存在误差，由其导出的间接值也必然带有误差。因此必须对这类误差的传递结果作出估计。

11、若将间接测定值的误差看作是各有关的直接测量值的函数，它们之间的关系可以用下面的函数形式表示：式中 为直接测量值，为所要计算物理量的值。mxxxfy,21m21,xxxy 令 分别为直接测量值 的误差， 为 引起的 的误差，则有：将上式右边按多元函数泰勒级数展开，得： mxxx,21mxxx,21ymxxx,21ymxxxxxxfyym,2211mmmmmmmxxfxxfxxfxxxfxxxxfxxfxxfxxfxxfxxfxxfxxxfxxxxxxfmmm2211212121222222221212211212211,2212121,得： 相对误差为： 若直接测量值 的最大绝对误差为 ，则 的

12、最大绝对误差 和最大相对误差 分别为：yxxfyxxfyxxfyyymm2211yxxfyxxfyxxfyyyxxfxxfxxfymmmm2211max2211maxmmxxfxxfxxfy2211xmixi, 3 , 2 , 1ymaxymaxy 对一些常用的函数形式，可以得到以下关于误差估计的实用公式：代数和乘法 mmmmxxxxxxyyyxxxyxxxy2121max21max212211max2112max21xxxxyyyxxxxyxxyyxxfyxxfyxxfyyyxxfxxfxxfymmmm2211max2211max除法幂级数2211max12112max2121xxxxyyy

13、xxxxxyxxyxxyyyxxyxymax1max为任意实数yxxfyxxfyxxfyyyxxfxxfxxfymmmm2211max2211max对数xxxyyyxxyxyln11lnmaxmaxyxxfyxxfyxxfyyyxxfxxfxxfymmmm2211max2211max 如 为随机变量，他们各自的标准误差为 仍令为随机变量的函数，有： 如果量测的总数 为，对于第 次则有： 将上式两边平方，得： mxxx,21,21,mmmxxfxxfxxfy2211niimmiiixxfxxfxxfy22112121222222212221iiiimxxxfxfxxfxxfxxfyimiiimx

14、xxfy,21 将上式由1到 求和，考虑到偶然误差的正态分布，正负误差出现的概率相等，交叉相乘项相互抵消，则有：两边同乘以 并开方，得 的标准误差 为：22222221221imiiixxfxxfxxfym11ny2222222121mmxfxfxfn主要内容一、误差的分类二、误差的计算与传递三、误差的检验三、误差的检验四、动态测试的误差控制第十章 试验误差的控制与分析三、误差的检验 实际实验中，系统误差、偶然误差、过失误差是同时存在的。试验误差是这三种误差的组合。通过对误差进行检验，剔除过失误差，尽可能地消除系统误差，使试验数据反映事实。以下针对三个方面进行检验：1、系统误差 由于系统误差产

15、生的原因较多、较复杂，所以系统误差不容易被发现。它的规律难以掌握，也难以全部消除它的影响。系统误差的变化可分为积累变化、周期性变化和按复杂规律变化等三种。 当测量次数相当多时，如率定传感器时，可从偏差的频率直方图来判别； 如偏差的频率直方图和正太分布曲线相差甚远，即可判断测量数据中存在着系统误差，因为随机误差的分布规律服从正太分布。 当测量次数不够多时，可将测量数据的偏差按测量先后顺序依次排列，如其数值大小基本上作有规律地向一个方向变化（增大或减小），即可判断测量数据是有积累的系统误差； 如将前一半的偏差之和与后一半的偏差之和相减，若两者之差不为零或不近似为零，也可判断测量数据是有积累的系统误

16、差； 将测量数据的偏差按测量的先后次序依次排列，如其符号基本有规律的交替变化，即可认为测量数中有周期性变化的系统误差； 对变化规律复杂的系统误差，可按其变化的现象，进行各种试探性的修正，来寻找其规律和原因；也可改变或调整测量方法，改用其他测量工具，来减少或消除这一类的系统误差。2、偶然误差 偶然误差的特点：分散性、不确定性、有规律性。 偶然误差是随机变量，需要用概率的方法来确定，即对随机变量进行大量的测定，常将随机变量定义为具有一定概率分布的量，对其进行统计分析，从中演绎归纳出随机变量的统计规律及概率分布。 由测量值的频率分布图来估计概率分布。绘制频率分布图的步骤如下：按观测次序记录数据；按由

17、小到大的次序重新排列数据；划分区间，将数据分组；计算各区间数据出现的次数、频率和累积频率；绘制频率直方图和累积频率图。如下所示： 频率分布直方图 累积频率图 将频率分布近似作为概率分布（概率是当测定次数趋于无穷大的各组频率），并由此推断试验结果服从何种概率分布。 a b 正态分布函数是最常用的描述随机变量的概率分布函数，正态分布 的概率密度分布函数为：其分布函数为：式中， 为均值、 为方差，是正态分布的两个特征参数。2,N xexfx22221dxexFxx222212 对于满足正态分布的曲线族，只要参数 和 已知，曲线就可以确定。下图所示为不同参数的正态分布密度函数：从图可以看出：在 处达到

18、最大值， 表示随机变量分布的集中位置。 在 处曲线有拐点。 值越小 曲线 的最大值就越大，并且下降得越快，所以 表示随机变量分布的分散程度。若把 称作偏差，可得到小偏差出现的概率较大，很大的偏差很少出现。曲线 关于 对称，即大小相同的正负偏差出现的概率相同。正态分布密度函数图xx xfx xfx 通常认为偶然误差服从正太分布。它的概率密度分布函数（即正太分布密度函数）为：式中 为偶然误差， 为实测值（减去其他误差）， 为真值。实际试验时，常用 代替 ， 为算术平均值或其他近似的真值。22221xxieyxxiixxxxixxix误差落在某一区间内的概率 如表所示： 某一误差范围对应的概率表 一

19、般情况下，99.7%的概率可以认为代表多测量的全体，所以把 当作“极限误差”；当某一测量数据的误差绝对值大于 时（可能性只有0.3%），即可认为其误差不属于偶然误差范围，该测量数据已经属于不正常数据。iiaxxP333、过失误差 在对某一量进行多次重复测定时，往往会遇到个别的观测值和其他多数观测值相差较大的情况，并且难以合理解释，这些个别的数据即为“异常数据”。 根据误差的统计规律，绝对值越大的偶然误差，其出现的概率越小，且偶然误差的绝对值不会超过某一范围。因此可以选择一个范围来对各个数据进行鉴别，如果某个数据的偏差超出此范围，则认为该数据中包含有过失误差，应予以剔除。常用的判别范围和鉴别方法

20、如下:莱维（Wright）方法，也称 方法 由于偶然误差服从正态分布，在进行多次量测中，误差在 与 之间的概率为99.7%，在此范围之外的误差出现的概率只有0.3%，也就是测量300多次才可能出现一次。而对于通常只进行有限次的测量，就可以认为超出的误差已经不属于偶然误差，应剔除该数据。333肖维纳（Chauvenet)方法 由于数据数据较大出现的误差概率很小，则在n次观测中，某数据的剩余误差可能出现的次数小于半次时，可剔除此数据。具体方法为：当 时，其中 ， （其中 可以直接根据试验次数n查表4得到，s为标准差），则认为xi为过失误差，应该剔除。表格拉布斯（Grubbs）方法把试验所得的数据从

21、小到大排列：选定显著水平 （一般为 ），根据 及 从表 （即格拉布斯表）中求得 值计算统计量 值 为一小概率事件，即当 时，则可判断其为可疑数据，即应剔除该数据。nxxx,2105. 0n, nT0T0T为子样标准差sTsxx0,0nTTP,0nTT 表如下：, nT主要内容一、误差的分类二、误差的计算与传递三、误差的检验四、动态测试的误差控制四、动态测试的误差控制第十章 试验误差的控制与分析四、动态测试的误差控制 动态测量数据与静态测量数据一样，不可避免地存在误差，因此动态测量数据的处理结果也必然存在误差。 为了可靠地给出动态测量数据处理结果的精度，必须对动态测量误差及其评定进行分析研究。

22、动态测试误差评定的内容是：在采用分析方法，或由动态测试数据中分离出动态测试误差的基础上，给出表征这一误差的数学模型和评定指标，从而对动态测试误差有一个定量的评价。1、动态测试误差的基本概念 动态测量误差是指动态测量中被测量任一时刻的测得值减去被测量同一时刻的真值所得的代数差，即： 式中： 被测量的测得值； 被测量的真值； 动态测量误差； 一个参变量，一般是测量时间或与测量时间有确定关系的其他物理量。 txtxte0 tx tx0t te举例： 用光栅式齿轮单啮仪可测得齿轮转角误差曲线1，用更高精度的齿轮整体误差测量仪测量同一个齿轮的转角误差曲线2作为实际值来代替真值(见图1)，则差值就是齿轮转

23、角误差的动态测量误差，见图2。 图 1 齿轮转角误差的动态测量误差 图 2 构成齿轮转角误差的动态测量误差主要成分是测量仪器各组成部分的误差，这些误差可能是确定性的，也可能是随机的。l动态测试误差评定指标的选择 实际上，直接使用动态测试中被测量测得值的时间历程并不方便，常需要把测得的一个时间历程（一个样本）或多个时间历程（多个样本）在时域、频域及幅域中进行处理，得到若干评定指标来表征被测量测得值的主要特征。这些指标可能不是时变量，但却是来自以时间历程表示的测得值，所以这些指标的误差也与动态测试误差密切相关。因此，可以把评定指标也看作广义的测得值。2、动态测试误差评定的基本方法 动态测量误差评定

24、的方法基本上可归纳成两大类：先验分析法和数据处理法。 先验分析法先验分析法是在对测量系统和测量方法作全面细致分析的基础上，分析测量误差的各种来源，估计各自的误差(系统或随机的)的指标，再根据测量方程合成为最终的测量结果的误差估计值。此外，一些事先分析不周全而遗漏、重复的误差因素或无法事先分析的误差因素（如许多微小因素共同造成的误差）不适用于先验分析法。u先验分析法可以在测量之前评定误差，与静态测量误的评定方法没有本质区别。 数据处理法只能在测量后评定误差，这是因为必须先有动态测量数据，才能进行处理所以数据处理法是一种后验法。 数据处理法求得的是误差的时间历程或时间序列，而不仅仅是评定指标，有时

25、还可以进一步求出本次动态测试的系统误差和随机误差的数学模型，并据以此修正和抑制本次测量或与本次类似的下次动态测试误差。 数据处理法常辅以一定的先验手段，例如在正式测量前先对系统误差进行分析和测定，甚至用高精度的测量方案测得数据作为待评定测量数据的真值(实际值)，再用误差定义来求得误差数值，揭示本次动态测量误差的规律。 3、动态测试误差的处理动态测量误差处理包含三方面内容3.1数据预处理3.2误差分离3.3误差修正 3.1动态测试误差预处理 对于动态测量的原始数据一般应首先进行截取、离散化、剔除异常数据、初辩统计特性及所含数学成分等，为拟定误差分离及修正的处理方案提供必要的信息，也是进行动态测试

26、误差评定的依据。预处理包含以下内容：数据截断和采样剔点处理动态测试数据检验与初辨数据截断和采样 为避免原始数据太多，也为避免引入过失误差，经分析后截取原始数据中的一部分进行处理，称为截断。为了充分反映动态测量误差的各种统计特性和满足各态历经性的要求裁断长度应足够长，并需重复动态测量全过程足够多次，例如尽可能取连续五次以上。 动态测试数据常常是时间的连续函数，但为了数据处理上的方便，往往只按一定的时间间隔离散化取值，称为采样。采样一般是等间隔的。剔点处理 在动态测试原始数据中会混入一些虚假数据，称为异点，异点是过失误差引起的，必须首先将这些异常数据剔除。 检测异点的基本思想是认为正常数据是“平滑

27、”的，而异点是“突变”的。如果首先作原始数据的平滑估计，并设定系数k，表示正常数据偏离平滑估计范围。若原始数据中有的数值超出此范围，则判断该数是异点。此法的关键在于产生平滑估计和选取k。动态测试数据检验与初辨 为了进行动态测量误差分离与评定，在分离前必须对测量数据有一个基本了解有必要初步辫识随机数据的统计特性(独立性、平稳性、正态性、各态历经性等等)和确定性成分(数据真实值和系统误差)的变化规律(线性、周期性等等)。 对统计特性的初辨是对数据进行各种数学运算来构造某些统计量，并通过统计检验来实现的。 动态测量数据所含成分的初辨可通过对数据探测、拟合模型的特征判别等多种方法来进行。3.2误差分离

28、 动态测量误差处理与评定的关键是必须首先从动态测量数据中将动态测量误差分离出来。 为了分离动态测量误差，一般都得要通过分析测量方案，了解数据中各种成分的组成和特性。因此，必须首先建立表示数据构成的组合模型，然后根据数据组成分析与特征，分离出动态测量误差。动态测试数据的组合模型 一般情况下，动态测量数据X(t)可由确定性函数f(t)和偶然函数Y(t)组成。而f(t)可进一步划分成非周期函数d(t)和周期函数p(t)两类，即 ： 而动态测量数据X(t)又是由被测变量真实值X0(t)及其测量误差e(t)组成(以下均用下标0表示真实值)，真实值X0(t)由确定性真实值f0(t)和随机性真实值Y0(t)

29、组成；误差e(t)由系统误差es(t)和偶然误差er(t)e(t)es(t)组成，即 ：上式称为动态测试数据的组合模型，可从中分离出es(t)和er(t)。系统误差分离 重复测量数据误差曲线的均值可作为系统误差，即Ee(t)=es(t),然而许多已定系统误差可以用先验分析法事先计算出来。 将原始数据X(t)减去系统误差es(t)后得到实测数据真实值X0(t)与偶然误差er(t)之和，它是进一步分离动态测量偶然误差的基础。统计处理法 统计处理法是对具有某种统计特性的动态测试数据进行求均值、方差、协方差、谱密度等统计处理，最后分离出随机误差的一种方法。 这种方法必须事前对测量数据中各种组成成分的特

30、性有所判断，如先验性分析、初辨等，且对动态测量数据进行统计处理后，依据统计特性不同，能够分离出动态测量随机误差。 例如当动态测量数据只包含随机误差，而系统误差为零均值的平稳随机过程 ，被测量的真实值仅为确定性 tn函数X0(t)时，动态测量误差及其评定指标方差2(t)可通过对测量数据直接进行统计运算求得。动态测量数据可表示为：上式两边求期望就能得到被测量的真实值，即：动态测试偶然误差为：偶然误差的方差为：通过前面的介绍，动态测试误差的处理流程图如下：3.3动态测试误差的修正系统误差修正可按如下步骤进行：采用误差分离技术，分离出系统误差；建立相应地系统误差数学模型；制成误差修正板，或存入计算机中

31、，在测量时对测量结果进行修正。 在系统误差修正的过程中，利用数字采样技术所获得的测量结果和测量误差都是离散值。为了能够在整个量程范围内对被测量结果的值进行修正，必须根据离散采样获得的有限误差值建立误差修正数学模型，即拟合为一定的误差曲线，以满足对任意测量值进行误差修正。系统误差修正有如下方法： 插值法l线性插值法 线性插值法是最简单的一种插值方法。线性插值法是用已知测得的误差点为拟合直线的端点，相邻两误差点拟合成一条误差直线，由此形成数条端点相连的误差直线。 对 和 两点之间的任意位置进行线性内插，即：ktktYYYYYYtYkkkkk1);()(1111kYkYl分段多项式插值法 分段多项式插值法是取测量值左右若干点，（常取总点数不大于6个，以避免发生“振荡”），拟合成一个代数多项式，再用内插的方法求出要修正的误差值。 常用的有：拉格朗日插值多项式。l样条插值法 样条插值法是用已知误差点为节点，相邻两节点间用多项式拟合，在每个节点处的拟合曲线连续光滑，整个拟合曲线为由分段多项式组成的连续函数，并准确地通过每