电力系统暂态分析第二章稳定性

1、 2.0 2.0 动态系统稳定性概述动态系统稳定性概述 稳定性是控制系统最重要的特性。稳定性是控制系统最重要的特性。 早在早在1717世纪托里斯利（世纪托里斯利（TorricelliTorricelli）就对系统运动的稳定性）就对系统运动的稳定性概念进行过描述。之后概念进行过描述。之后, ,拉普拉斯、拉格朗日、麦克斯威尔拉普拉斯、拉格朗日、麦克斯威尔等都提出过稳定性的概念。但都没有给出过严格的数学定等都提出过稳定性的概念。但都没有给出过严格的数学定义和证明。义和证明。 李亚普诺夫奠定了稳定性理论的基础。李亚普诺夫奠定了稳定性理论的基础。 直到直到18921892年，俄国数学力学家李亚普诺夫在他

2、的博士论文年，俄国数学力学家李亚普诺夫在他的博士论文“ 运动稳定性的一般问题运动稳定性的一般问题”才给出了运动稳定性的严格的才给出了运动稳定性的严格的精确的数学定义和一般方法，从而奠定了稳定性理论的基础精确的数学定义和一般方法，从而奠定了稳定性理论的基础。 2.0 2.0 动态系统稳定性概述动态系统稳定性概述 李亚普诺夫稳定性理论是研究系统稳定性的普遍方法。李亚普诺夫稳定性理论是研究系统稳定性的普遍方法。经典控制理论中的劳斯赫尔维茨判据、奈奎斯特判据只适用经典控制理论中的劳斯赫尔维茨判据、奈奎斯特判据只适用于研究线性定常系统，李亚普诺夫稳定性理论对于线性和非线于研究线性定常系统，李亚普诺夫稳定

3、性理论对于线性和非线性系统都适用。性系统都适用。 系统的稳定性是相对系统的平衡状态而言的。系统的稳定性是相对系统的平衡状态而言的。 2.0 2.0 动态系统稳定性概述动态系统稳定性概述一一. .系统的平衡状态系统的平衡状态 对于一个不受外部作用的系统对于一个不受外部作用的系统 成立，则称成立，则称 为系统的一个平衡状态。为系统的一个平衡状态。 如果存在某个状态如果存在某个状态 ，使，使 l 对于线性系统：对于线性系统： 当当A A非奇异，系统只有唯一的一个平衡状态，非奇异，系统只有唯一的一个平衡状态， 。 当当A A奇异，则存在无穷多个平衡状态。奇异，则存在无穷多个平衡状态。 2.0 2.0

4、动态系统稳定性概述动态系统稳定性概述l 对于非线性系统通常存在多个平衡状态。对于非线性系统通常存在多个平衡状态。 例如：对于非线性系统例如：对于非线性系统 其平衡状态为：其平衡状态为： 的解。的解。 即为：即为：2.0 2.0 动态系统稳定性概述动态系统稳定性概述l 孤立的平衡状态：如果平衡状态是彼此孤立的，即在某一平孤立的平衡状态：如果平衡状态是彼此孤立的，即在某一平衡状态的任意小的邻域内不存在其它平衡状态，则称该平衡状衡状态的任意小的邻域内不存在其它平衡状态，则称该平衡状态为孤立的平衡状态。态为孤立的平衡状态。 2.0 2.0 动态系统稳定性概述动态系统稳定性概述二二. . 稳定性的几个定

5、义稳定性的几个定义1. 1.李亚普诺夫意义下的稳定李亚普诺夫意义下的稳定 若一不受外力作用的系统（自治系统）若一不受外力作用的系统（自治系统） 对任意选定的实数对任意选定的实数 ，都存在另一实数，都存在另一实数 ，使得，使得由满足不等式由满足不等式 的任一初始状态出发的受扰运动都满足不等式的任一初始状态出发的受扰运动都满足不等式 则称平衡状态则称平衡状态 为李亚普诺夫意义下的稳定状态。为李亚普诺夫意义下的稳定状态。 若若 与与 无关，则称这种平衡状态是一致稳定的无关，则称这种平衡状态是一致稳定的 2.0 2.0 动态系统稳定性概述动态系统稳定性概述图图1 1 李亚普诺夫意义下的稳定李亚普诺夫意

6、义下的稳定 2.0 2.0 动态系统稳定性概述动态系统稳定性概述2. 2. 渐近稳定渐近稳定 若平衡状态若平衡状态 是李亚普诺夫意义下的稳定状态，且满足是李亚普诺夫意义下的稳定状态，且满足 则称平衡状态则称平衡状态 为渐近稳定。为渐近稳定。 2.0 2.0 动态系统稳定性概述动态系统稳定性概述图图2 2 渐进稳定渐进稳定 2.0 2.0 动态系统稳定性概述动态系统稳定性概述3 3大范围渐近稳定大范围渐近稳定 若平衡状态若平衡状态 是李亚普诺夫意义下的稳定状态，且对是李亚普诺夫意义下的稳定状态，且对任一系统的初始状态均满足任一系统的初始状态均满足 则称平衡状态则称平衡状态 为大范围渐近稳定。为大

7、范围渐近稳定。 2.0 2.0 动态系统稳定性概述动态系统稳定性概述 若对于不管取多么大的有限实数若对于不管取多么大的有限实数 ，都不可能找到相应的，都不可能找到相应的实数实数 ， ，使得由满足不等式，使得由满足不等式 4 4不稳定不稳定 对于一个不受外力作用的系统对于一个不受外力作用的系统 的任一初始状态出发的受扰运动都不满足不等式的任一初始状态出发的受扰运动都不满足不等式 则称平衡状态则称平衡状态 为李亚普诺夫意义下的不稳定状态。为李亚普诺夫意义下的不稳定状态。 2.0 2.0 动态系统稳定性概述动态系统稳定性概述不稳定不稳定 2.0 2.0 动态系统稳定性概述动态系统稳定性概述 李亚普诺

8、夫第一法的基本思想是通过系统状态方程的解来判李亚普诺夫第一法的基本思想是通过系统状态方程的解来判断系统的稳定性，因此这种方法又称为间接方法。断系统的稳定性，因此这种方法又称为间接方法。1. 1. 外部稳定（输出稳定）外部稳定（输出稳定） 给定系统一个有界输入（扰动），判断系统的输出是否有给定系统一个有界输入（扰动），判断系统的输出是否有界，若系统的输出是有界的，则称系统在该输入（扰动）界，若系统的输出是有界的，则称系统在该输入（扰动）下是稳定的。下是稳定的。 2.2.内部稳定（状态稳定）内部稳定（状态稳定） 只需求出系统矩阵只需求出系统矩阵A A的所有特征值（对于非线性系统，在平的所有特征值（

9、对于非线性系统，在平衡状态附近一次线性化），若系统所有特征值均有负实部，衡状态附近一次线性化），若系统所有特征值均有负实部，则系统是稳定，否则系统是不稳定的。则系统是稳定，否则系统是不稳定的。 三三. . 判断系统稳定性的李亚普诺夫第一法判断系统稳定性的李亚普诺夫第一法 2. 1 2. 1 电力系统稳定性概述电力系统稳定性概述同步运行是指所有并联运行的发电机都有相同的电角速度；同步运行是指所有并联运行的发电机都有相同的电角速度；1. 1. 功角稳定性（同步稳定性）功角稳定性（同步稳定性）: : 是指电力系统中同步发电机是指电力系统中同步发电机 受到扰动后保持同步运行的能力；受到扰动后保持同步运

10、行的能力；以单机无穷大系统为例，说明功角稳定性：以单机无穷大系统为例，说明功角稳定性： 2. 1 2. 1 电力系统稳定性概述电力系统稳定性概述 稳态运行相量图稳态运行相量图 2. 1 2. 1 电力系统稳定性概述电力系统稳定性概述稳态运行：发电机电势稳态运行：发电机电势 与无穷大电源母线电压与无穷大电源母线电压 以同一以同一角速度角速度旋转，旋转，它们之间的相角差它们之间的相角差 （功角）为常数。各相（功角）为常数。各相量的幅值维持不变，各相量之间的关系维持不变。量的幅值维持不变，各相量之间的关系维持不变。 2. 1 2. 1 电力系统稳定性概述电力系统稳定性概述 暂态运行相量图暂态运行相量

11、图 2. 1 2. 1 电力系统稳定性概述电力系统稳定性概述暂态运行：若发电机电势暂态运行：若发电机电势 与无穷大电源母线电压与无穷大电源母线电压 以不同的以不同的角速度旋转，它们之间的相角差角速度旋转，它们之间的相角差 （功角）不断变化。各相量（功角）不断变化。各相量的幅值也不断变化、振荡，输送功率也不断振荡，以致系统的幅值也不断变化、振荡，输送功率也不断振荡，以致系统不能正常工作。不能正常工作。 2. 1 2. 1 电力系统稳定性概述电力系统稳定性概述1 1）静态稳定：指系统受到小干扰后，不发生非周期性失步，）静态稳定：指系统受到小干扰后，不发生非周期性失步， 自动恢复到初始运行状态的能力

12、。自动恢复到初始运行状态的能力。2 2）暂态稳定：指系统受到大扰动后，各同步电机保持同步运）暂态稳定：指系统受到大扰动后，各同步电机保持同步运 并过渡到新的或恢复到原来稳态运行方式的能力。通常指并过渡到新的或恢复到原来稳态运行方式的能力。通常指 保持第一或第二个振荡周期不失步的功角稳定。保持第一或第二个振荡周期不失步的功角稳定。3 3）动态稳定：指系统受到小的或大扰动后，在自动调节和控）动态稳定：指系统受到小的或大扰动后，在自动调节和控 装置作用下，保持长过程运行稳定性的能力。装置作用下，保持长过程运行稳定性的能力。2. 2. 电压稳定：是指电力系统受到小的或大的扰动后，系统电电压稳定：是指电

13、力系统受到小的或大的扰动后，系统电 压能够保持或恢复到允许的范围内，不发生电压崩溃的能压能够保持或恢复到允许的范围内，不发生电压崩溃的能 力。根据受到扰动的大小，电压稳定分为静态电压稳定和力。根据受到扰动的大小，电压稳定分为静态电压稳定和 大干扰电压稳定。大干扰电压稳定。 2. 1 2. 1 电力系统稳定性概述电力系统稳定性概述3. 3. 频率稳定：频率稳定：频率稳定是指电力系统发生突然的有功功率扰频率稳定是指电力系统发生突然的有功功率扰 动后，系统频率能够保持或恢复到允许的范围内不发生频动后，系统频率能够保持或恢复到允许的范围内不发生频 率崩溃的能力。率崩溃的能力。 2. 1.1 2. 1.

14、1 电力系统静态稳定的初步概念电力系统静态稳定的初步概念以单机无穷大系统为例说明：以单机无穷大系统为例说明： 2. 1.1 2. 1.1 电力系统静态稳定的初步概念电力系统静态稳定的初步概念发电机的电磁功率：发电机的电磁功率：故发电机输出的电磁功率为：故发电机输出的电磁功率为： 2. 1.1 2. 1.1 电力系统静态稳定的初步概念电力系统静态稳定的初步概念电力系统的功率特性：电力系统的功率特性：发电机电势和受端母线电压幅值恒定时，发电机功角与发电机发电机电势和受端母线电压幅值恒定时，发电机功角与发电机有功功率的关系曲线。有功功率的关系曲线。 2. 1.1 2. 1.1 电力系统静态稳定的初步

15、概念电力系统静态稳定的初步概念简单电力系统的静态稳定条件：简单电力系统的静态稳定条件：由：由：可知：当可知：当时，时，系统稳定；系统稳定； 当当时，时，系统处于临界稳定状态；系统处于临界稳定状态； 当当时，时，系统不稳定；系统不稳定；静态稳定极限功率：当静态稳定极限功率：当 传输功率达到极限值称为。传输功率达到极限值称为。 2. 1.2 2. 1.2 电力系统暂态稳定的初步概念电力系统暂态稳定的初步概念电力系统大扰动的基本形式：电力系统大扰动的基本形式： 1 1）电力系统的结构或参数突然变化；）电力系统的结构或参数突然变化； 2 2）突然增加或减少发电机出力；）突然增加或减少发电机出力； 3

16、3）突然增加或减少大量负荷；）突然增加或减少大量负荷；以单机无穷大系统为例说明：以单机无穷大系统为例说明：切除一回输电线路，系统阻抗由：切除一回输电线路，系统阻抗由：突变为：突变为： 2. 1.2 2. 1.2 电力系统暂态稳定的初步概念电力系统暂态稳定的初步概念简单系统暂态过程简单系统暂态过程 （稳定）（稳定） 2. 1.2 2. 1.2 电力系统暂态稳定的初步概念电力系统暂态稳定的初步概念简单系统暂态过程简单系统暂态过程 （不稳定）（不稳定） 2. 2 2. 2 同步发电机的机电模型同步发电机的机电模型 2. 2.1 2. 2.1 同步发电机的转子运动方程同步发电机的转子运动方程由力学定律

17、：由力学定律： 转子的转动惯量，单位：转子的转动惯量，单位： 转子的机械角加速度，单位：转子的机械角加速度，单位： 转子的机械角速度，单位：转子的机械角速度，单位： 作用在转子上的不平衡转矩，单位：作用在转子上的不平衡转矩，单位：机械角速度和电角速度的关系为：机械角速度和电角速度的关系为：转子转子q q轴与固定参考轴间的角度：轴与固定参考轴间的角度：2. 2.1 2. 2.1 同步发电机的转子运动方程同步发电机的转子运动方程空间固定参考轴空间固定参考轴a a同步参考轴同步参考轴转子转子q q轴轴同步参考轴与固定参考轴间的角度：同步参考轴与固定参考轴间的角度：2. 2.1 2. 2.1 同步发电

18、机的转子运动方程同步发电机的转子运动方程转子转子q q轴与同步参考轴间的角度：轴与同步参考轴间的角度：故有转子角度为：故有转子角度为：转子的电角速度：转子的电角速度： 即：即：转子的电角加速度：转子的电角加速度：2. 2.1 2. 2.1 同步发电机的转子运动方程同步发电机的转子运动方程转子运动方程：转子运动方程： 取发电机额定转矩为基准转矩：取发电机额定转矩为基准转矩： 其中，其中， 称为惯性时间常数；称为惯性时间常数； 方程两边同除基准转矩：方程两边同除基准转矩：2. 2.1 2. 2.1 同步发电机的转子运动方程同步发电机的转子运动方程转子运动方程可进一步表示为：转子运动方程可进一步表示

19、为： 而转矩可表示为：而转矩可表示为： 省略下标省略下标* *，转子运动方程为：，转子运动方程为：2. 2.1 2. 2.1 同步发电机的转子运动方程同步发电机的转子运动方程在角速度变化不大的情况下：在角速度变化不大的情况下：转子运动方程为：转子运动方程为：2. 2.2 2. 2.2 同步发电机的电磁转矩和电磁功率同步发电机的电磁转矩和电磁功率同步发电机的电磁转矩为：同步发电机的电磁转矩为： 当当 有：有：假设条件：假设条件：2 2）忽略发电机定子绕组电阻，）忽略发电机定子绕组电阻，1 1）机组转速接近同步转速，计算电磁功率时取）机组转速接近同步转速，计算电磁功率时取3 3）忽略定子绕组的电磁

20、暂态过程，即只计及定子电流中正序）忽略定子绕组的电磁暂态过程，即只计及定子电流中正序基频周期分量产生的电磁转矩，相当于只考虑基频周期分量产生的电磁转矩，相当于只考虑d d、q q轴电流轴电流直流分量产生的电磁转矩。从数学上看，相当于直流分量产生的电磁转矩。从数学上看，相当于ParkPark方程中方程中4 4）采用简化分析方法，忽略不计阻尼绕组的影响。采用简化分析方法，忽略不计阻尼绕组的影响。 2. 2.2 2. 2.2 同步发电机的电磁转矩和电磁功率同步发电机的电磁转矩和电磁功率由假定条件由假定条件1 1）可得：）可得：由定子回路电压方程可得：由定子回路电压方程可得： 考虑假定条件考虑假定条件

21、1 1）3 3）可得：）可得： 发电机电磁功率为：发电机电磁功率为：2. 2.2 2. 2.2 同步发电机的电磁转矩和电磁功率同步发电机的电磁转矩和电磁功率以简单系统为例说明：以简单系统为例说明：2. 2.2 2. 2.2 同步发电机的电磁转矩和电磁功率同步发电机的电磁转矩和电磁功率可得忽略定子绕组电阻时的派克方程：可得忽略定子绕组电阻时的派克方程：2. 2.2 2. 2.2 同步发电机的电磁转矩和电磁功率同步发电机的电磁转矩和电磁功率由此可得：由此可得：1. 1. 以空载电势和同步电抗表示：以空载电势和同步电抗表示：由稳态运行时的派克方程可得：由稳态运行时的派克方程可得：式中：式中： 为同步

22、电机空载电势。为同步电机空载电势。2. 2.2 2. 2.2 同步发电机的电磁转矩和电磁功率同步发电机的电磁转矩和电磁功率故发电机输出的电磁功率为：故发电机输出的电磁功率为：对于隐极机：对于隐极机：有：有：2. 2.2 2. 2.2 同步发电机的电磁转矩和电磁功率同步发电机的电磁转矩和电磁功率空载电势表示的发电机电磁功率通常只应用于稳态运行时空载电势表示的发电机电磁功率通常只应用于稳态运行时发电机电磁功率的计算。发电机电磁功率的计算。 当系统发生扰动引起发电机状态突变瞬间，发电机空载电当系统发生扰动引起发电机状态突变瞬间，发电机空载电势势 也会发生突变，这样，在暂态计算时，若以空载电也会发生突

23、变，这样，在暂态计算时，若以空载电势计算的发电机电磁功率会使计算复杂化。势计算的发电机电磁功率会使计算复杂化。 而暂态电势而暂态电势 与励磁绕组的总磁链成正比，在扰动前后励与励磁绕组的总磁链成正比，在扰动前后励磁绕组的总磁链不能突变，因而磁绕组的总磁链不能突变，因而 也不能突变，即扰动也不能突变，即扰动后瞬间它将保持扰动前瞬间的数值。由此，当采用忽略阻后瞬间它将保持扰动前瞬间的数值。由此，当采用忽略阻尼绕组的发电机模型进行暂态稳定计算时，通常以暂态电尼绕组的发电机模型进行暂态稳定计算时，通常以暂态电势势 表示发电机的电磁功率。表示发电机的电磁功率。 2. 2.2 2. 2.2 同步发电机的电磁

24、转矩和电磁功率同步发电机的电磁转矩和电磁功率2. 2. 以暂态电势和暂态电抗表示：以暂态电势和暂态电抗表示：式中，式中， 为同步电机暂态电势，为同步电机暂态电势，其与励磁绕组磁链成其与励磁绕组磁链成 在派克方程中消去励磁电流在派克方程中消去励磁电流 可得：可得：正比，故在系统故障瞬间不会突变。正比，故在系统故障瞬间不会突变。 这样，定子电压回路方程为：这样，定子电压回路方程为： 2. 2.2 2. 2.2 同步发电机的电磁转矩和电磁功率同步发电机的电磁转矩和电磁功率故发电机输出的电磁功率为：故发电机输出的电磁功率为： 因此，不论是隐机还是凸极机，均有因此，不论是隐机还是凸极机，均有 ，电磁功率

25、，电磁功率出现了一个按两倍功角正弦变化的分量。由于它的存在，出现了一个按两倍功角正弦变化的分量。由于它的存在，功角特性曲线发生了畸变，使极限功率略有增加。功角特性曲线发生了畸变，使极限功率略有增加。 当以暂态电势表示发电机电磁功率时，电磁功率是功角及当以暂态电势表示发电机电磁功率时，电磁功率是功角及节点电压的函数，由此求得的发电机节点注入电流也是节节点电压的函数，由此求得的发电机节点注入电流也是节点电压和功角的函数，且注入电流表达中存在功角函数与点电压和功角的函数，且注入电流表达中存在功角函数与节点电压的乘积项。节点电压的乘积项。 2. 2.2 2. 2.2 同步发电机的电磁转矩和电磁功率同步

26、发电机的电磁转矩和电磁功率 这样，在暂态稳定计算求解网络方程这样，在暂态稳定计算求解网络方程 时，时，或者需要迭代计算，或者在每一积分步均需要随着功角的或者需要迭代计算，或者在每一积分步均需要随着功角的改变修改导纳矩阵，这是数值积分法暂态稳定计算计算量改变修改导纳矩阵，这是数值积分法暂态稳定计算计算量大的主要原因。大的主要原因。 为了简化起见，在某些近似计算中，可采用暂态电抗为了简化起见，在某些近似计算中，可采用暂态电抗 后后电势电势 恒定的发电机经典模型。恒定的发电机经典模型。 2. 2.2 2. 2.2 同步发电机的电磁转矩和电磁功率同步发电机的电磁转矩和电磁功率将用暂态电势表示的定子电压

27、回路方程写成向量的形式将用暂态电势表示的定子电压回路方程写成向量的形式 ：3. 3. 以暂态电抗后以暂态电抗后 的电势的电势 表示：表示：式中，式中， 为定子电流；为定子电流；称为暂态电抗后电势称为暂态电抗后电势 。假定假定 ，则有，则有 。2. 2.2 2. 2.2 同步发电机的电磁转矩和电磁功率同步发电机的电磁转矩和电磁功率 以暂态电抗后以暂态电抗后 的电势的电势 表示的同步电机向量图为：表示的同步电机向量图为：2. 2.2 2. 2.2 同步发电机的电磁转矩和电磁功率同步发电机的电磁转矩和电磁功率假定假定 ，则有，则有 ，则以暂态电抗后电势表示的电磁功率为：则以暂态电抗后电势表示的电磁功

28、率为： 采用采用 恒定的简化方法表示发电机的电磁功率，使得发电恒定的简化方法表示发电机的电磁功率，使得发电机节点的注入电流仅是功角的函数，而与发电机节点电压机节点的注入电流仅是功角的函数，而与发电机节点电压无关，这样暂态稳定计算中求解网络方程时就无需迭代，无关，这样暂态稳定计算中求解网络方程时就无需迭代，可使暂态稳定计算量节省一半以上。可使暂态稳定计算量节省一半以上。 式式 中，功角是中，功角是 ，而不是实际的功角，而不是实际的功角 ，也就是说，也就是说 不在不在 轴上，所以不是发电机转子相对位置角，但它的变轴上，所以不是发电机转子相对位置角，但它的变化仍可近似地反映发电机转子相对运动的性质。

29、化仍可近似地反映发电机转子相对运动的性质。 2. 2.2 2. 2.2 同步发电机的电磁转矩和电磁功率同步发电机的电磁转矩和电磁功率 4 4多机电力系统发电机电磁功率的计算多机电力系统发电机电磁功率的计算 对于复杂电力系统，各发电机输出的电磁功率由发电机机端对于复杂电力系统，各发电机输出的电磁功率由发电机机端电压和发电机定子电流求得，即电压和发电机定子电流求得，即 式中，式中， 分别表示发电机电压、电流在同步分别表示发电机电压、电流在同步旋转坐标参考轴下的旋转坐标参考轴下的 分量。分量。 当各发电机的状态变量（当各发电机的状态变量（ 、 ）确定以后，发电机的机端）确定以后，发电机的机端电压和定

30、子电流可通过求解网络方程获得。将个节点的网络电压和定子电流可通过求解网络方程获得。将个节点的网络方程方程 写成如下实数形成：写成如下实数形成：2. 2.2 2. 2.2 同步发电机的电磁转矩和电磁功率同步发电机的电磁转矩和电磁功率 注意，将节点电压向量表示为注意，将节点电压向量表示为 的形式是为了使的形式是为了使导纳矩阵对角元均为非零元。导纳矩阵对角元均为非零元。 2. 2.2 2. 2.2 同步发电机的电磁转矩和电磁功率同步发电机的电磁转矩和电磁功率将忽略阻尼绕组的发电机定子绕组电压平衡方程写成矩阵形式将忽略阻尼绕组的发电机定子绕组电压平衡方程写成矩阵形式: : 再将再将 坐标下的发电机节点

31、电压和定子电流变换到同步旋坐标下的发电机节点电压和定子电流变换到同步旋转坐标转坐标 下：下：解得发电机节点注入电流为：解得发电机节点注入电流为： 2. 2.2 2. 2.2 同步发电机的电磁转矩和电磁功率同步发电机的电磁转矩和电磁功率式中：式中： 网络方程的求解方法有二种，一种是直接求解，另一种是迭网络方程的求解方法有二种，一种是直接求解，另一种是迭代求解。代求解。 直接求解直接求解在暂态稳定计算的每一积分步都要修正网络导纳矩在暂态稳定计算的每一积分步都要修正网络导纳矩阵，重新进行因子表分解，计算量很大。目前，在电力系统阵，重新进行因子表分解，计算量很大。目前，在电力系统暂态稳定计算商业程序中

32、已较少采用。暂态稳定计算商业程序中已较少采用。 2. 2.2 2. 2.2 同步发电机的电磁转矩和电磁功率同步发电机的电磁转矩和电磁功率迭代法，将发电机节点注入电流改写为：迭代法，将发电机节点注入电流改写为： 式中：式中： 2. 2.2 2. 2.2 同步发电机的电磁转矩和电磁功率同步发电机的电磁转矩和电磁功率 这种方法尽管需要迭代求解网络方程（在一般时段的每一积这种方法尽管需要迭代求解网络方程（在一般时段的每一积分步中约需分步中约需2 23 3次迭代便可收敛），但由于网络方程的导纳次迭代便可收敛），但由于网络方程的导纳矩阵与发电机状态变量无关，因此在整个暂态稳定计算中只矩阵与发电机状态变量无

33、关，因此在整个暂态稳定计算中只需要进行一次因子表分解，总计算量要比直接求解法小，是需要进行一次因子表分解，总计算量要比直接求解法小，是目前电力系统商业程序中普遍采用的方法。目前电力系统商业程序中普遍采用的方法。 2. 2.3 2. 2.3 原动机的机械转矩和机械功率原动机的机械转矩和机械功率发电机机械功率增量的标么值与角速度增量标么值的静态关发电机机械功率增量的标么值与角速度增量标么值的静态关系为：系为： R R称为调差系数，一般为称为调差系数，一般为2 25 51. 1.汽轮机蒸汽容积的影响汽轮机蒸汽容积的影响 汽轮机调节气门的开度与汽轮机输出的机械功率的关系可近汽轮机调节气门的开度与汽轮机

34、输出的机械功率的关系可近似用一阶惯性环节表示：似用一阶惯性环节表示： 为蒸汽容积时间常数；为蒸汽容积时间常数；2. 2.3 2. 2.3 原动机的机械转矩和机械功率原动机的机械转矩和机械功率2. 2. 水轮机的水锤效应水轮机的水锤效应 考虑水锤效应后，水轮机调节导叶的开度与水轮机输出的机考虑水锤效应后，水轮机调节导叶的开度与水轮机输出的机械功率的关系可近似表示为：械功率的关系可近似表示为： 为水流时间常数，约在为水流时间常数，约在0.5s0.5s5s5s之间；之间；2. 2.4 2. 2.4 自动调节系统的数学模型自动调节系统的数学模型一一. . 调速器的数学模型调速器的数学模型 调速控制系统

35、框图调速控制系统框图2. 2.4 2. 2.4 自动调节系统的数学模型自动调节系统的数学模型二二. . 自动励磁调节系统自动励磁调节系统自动励磁调节系统由主励磁系统和自动励磁调节装置组成。自动励磁调节系统由主励磁系统和自动励磁调节装置组成。主励磁系统是励磁电源到发电机励磁绕组的励磁主回路，自主励磁系统是励磁电源到发电机励磁绕组的励磁主回路，自动励磁调节装置根据发电机的励磁参数（如发电机端电压）动励磁调节装置根据发电机的励磁参数（如发电机端电压）自动地调节主励磁系统的参数。自动地调节主励磁系统的参数。1. 1. 主励磁系统主励磁系统2. 2.4 2. 2.4 自动调节系统的数学模型自动调节系统的

36、数学模型1 1）直流励磁机主励磁系统原理接线图）直流励磁机主励磁系统原理接线图EPEAER2. 2.4 2. 2.4 自动调节系统的数学模型自动调节系统的数学模型2 2）交流励磁机主励磁系统原理接线图）交流励磁机主励磁系统原理接线图EPEAERVS2. 2.4 2. 2.4 自动调节系统的数学模型自动调节系统的数学模型3 3）静止励磁系统原理接线图）静止励磁系统原理接线图AER2. 2.4 2. 2.4 自动调节系统的数学模型自动调节系统的数学模型4 4）主励磁系统方程式和框图）主励磁系统方程式和框图以它励直流励磁发电机系统为例说明：以它励直流励磁发电机系统为例说明：E(1) (1) 发电机励

37、磁绕组的电压平衡方程发电机励磁绕组的电压平衡方程两边同乘两边同乘 可得：可得：2. 2.4 2. 2.4 自动调节系统的数学模型自动调节系统的数学模型式中：式中： 为强制空载电势，与励磁电流强制分量成正比；为强制空载电势，与励磁电流强制分量成正比； 为空载电势；为空载电势； 为定子绕组开路时，励磁绕组时间常数；为定子绕组开路时，励磁绕组时间常数； 为暂态电势；为暂态电势；2. 2.4 2. 2.4 自动调节系统的数学模型自动调节系统的数学模型故有：故有：故有：故有：发电机电势变化与励磁电压发电机电势变化与励磁电压 和定子电流和定子电流 相关；相关；由于：由于：其关系可用如下传递函数框图表示：其

38、关系可用如下传递函数框图表示：2. 2.4 2. 2.4 自动调节系统的数学模型自动调节系统的数学模型（2 2）励磁机励磁绕组的电压平衡方程）励磁机励磁绕组的电压平衡方程式中：式中：为励磁机励磁绕组时间常数；为励磁机励磁绕组时间常数；其关系可用如下传递函数框图表示：其关系可用如下传递函数框图表示：为饱和修正系数；为饱和修正系数；2. 2.4 2. 2.4 自动调节系统的数学模型自动调节系统的数学模型忽略测量和放大环节时间常数，且只按电压偏差调节：忽略测量和放大环节时间常数，且只按电压偏差调节：（3 3）励磁调节器数学模型）励磁调节器数学模型2. 2.4 2. 2.4 自动调节系统的数学模型自动

39、调节系统的数学模型调节器各环节方程为：调节器各环节方程为：忽略调节器时间常数，忽略软反馈、不计励磁机饱和则可得忽略调节器时间常数，忽略软反馈、不计励磁机饱和则可得2. 3 2. 3 电力系统静态稳定电力系统静态稳定静态稳定研究的任务：静态稳定研究的任务：1. 1. 校验电力系统在某一运行方式的静态稳定性，研究静态稳定校验电力系统在某一运行方式的静态稳定性，研究静态稳定性判据；性判据；2. 2. 确定静态稳定的运行方式，计算稳定裕度；确定静态稳定的运行方式，计算稳定裕度；3. 3. 研究提高系统静态稳定性的措施；研究提高系统静态稳定性的措施；2. 3.1 2. 3.1 静态稳定分析的基本方法静态

40、稳定分析的基本方法电力系统的动态过程可以用一阶非线性微分方程组描述：电力系统的动态过程可以用一阶非线性微分方程组描述：式中：式中： 为系统状态变量相量；为系统状态变量相量； 为非线性函数相量；为非线性函数相量；当系统运行在某个平衡状态当系统运行在某个平衡状态 ，即：，即：受到小扰动后，系统的状态变为：受到小扰动后，系统的状态变为：此时系统的状态方程为：此时系统的状态方程为：2. 3.1 2. 3.1 静态稳定分析的基本方法静态稳定分析的基本方法将上式右边用泰勒级数展开，并略去高次项：将上式右边用泰勒级数展开，并略去高次项：即：即：式中：式中：称为雅可比矩阵。称为雅可比矩阵。2. 3.1 2.

41、3.1 静态稳定分析的基本方法静态稳定分析的基本方法线性状态方程：线性状态方程： 的特征方程为：的特征方程为：求解求解n n阶系统的特征方程有阶系统的特征方程有n n个特征根：个特征根：当无重根时，状态方程的通解具有如下形式：当无重根时，状态方程的通解具有如下形式：因此，若系统所有特征根均有负的实部，则系统稳定。因此，若系统所有特征根均有负的实部，则系统稳定。判断电力系统在某个稳态运行点是否静态稳定的基本方法就判断电力系统在某个稳态运行点是否静态稳定的基本方法就是将描述系统动态过程的非线性微分方程组在该稳态运行点是将描述系统动态过程的非线性微分方程组在该稳态运行点线性化，得到线性微分方程组，通

42、过判断该线性微分方程组线性化，得到线性微分方程组，通过判断该线性微分方程组的特征根是否均具有负实部，来判断系统在该稳态运行点是的特征根是否均具有负实部，来判断系统在该稳态运行点是否静态稳定。否静态稳定。2. 3.2 2. 3.2 简单电力系统的静态稳定简单电力系统的静态稳定简单电力系统如下图所示：简单电力系统如下图所示：系统的稳态运行工况为：系统的稳态运行工况为：判定系统的静态稳定性。判定系统的静态稳定性。2. 3.2 2. 3.2 简单电力系统的静态稳定简单电力系统的静态稳定1. 1. 不计发电机阻尼作用不计发电机阻尼作用不考虑调节器作用，不考虑调节器作用， 为常数，发电机的转子运动方程为为

43、常数，发电机的转子运动方程为受到小干扰后系统的状态为：受到小干扰后系统的状态为：将状态方程在稳态运行点线性化：将状态方程在稳态运行点线性化：2. 3.2 2. 3.2 简单电力系统的静态稳定简单电力系统的静态稳定线性化后系统的状态方程为：线性化后系统的状态方程为：系统的特征方程为：系统的特征方程为：特征方程的根为：特征方程的根为：2. 3.2 2. 3.2 简单电力系统的静态稳定简单电力系统的静态稳定其中：其中：当当 ，系统的特征根为一对共轭虚根，理论上系统，系统的特征根为一对共轭虚根，理论上系统将作等幅振荡，由于实际系统中阻尼，振荡将逐步衰减，最终将作等幅振荡，由于实际系统中阻尼，振荡将逐步

44、衰减，最终最终恢复同步；最终恢复同步；当当 ，系统的特征根有一个正实根，系统不稳定。，系统的特征根有一个正实根，系统不稳定。2. 2. 计及发电机阻尼作用计及发电机阻尼作用 发电机的阻尼包括机械阻尼和电气阻尼，阻尼功率可近似表发电机的阻尼包括机械阻尼和电气阻尼，阻尼功率可近似表示为：示为：2. 3.2 2. 3.2 简单电力系统的静态稳定简单电力系统的静态稳定则转子运动方程为：则转子运动方程为：在稳态运行点线性化后可得：在稳态运行点线性化后可得：系统的特征方程为：系统的特征方程为：2. 3.2 2. 3.2 简单电力系统的静态稳定简单电力系统的静态稳定系统的特征根为：系统的特征根为：1 1）当

45、发电机阻尼为正值，即）当发电机阻尼为正值，即当当 且且 则则 系统特征根为两个负实根，系统是静态稳定的；系统特征根为两个负实根，系统是静态稳定的；当当 但但 系统特征根为实部为负的共轭复根，系统是静态稳定的；系统特征根为实部为负的共轭复根，系统是静态稳定的；当当 时，时， 系统有一个实部为正的特征根，系统是静态不稳定的；系统有一个实部为正的特征根，系统是静态不稳定的；2. 3.2 2. 3.2 简单电力系统的静态稳定简单电力系统的静态稳定故简单系统的静态稳定判据为：故简单系统的静态稳定判据为：2 2）当发电机阻尼为正值，即）当发电机阻尼为正值，即 不论不论 取何值，系统特征根具有正的实部，系统

46、静态不稳定；取何值，系统特征根具有正的实部，系统静态不稳定；无阻尼无阻尼 图示阻尼对系统振荡的影响：图示阻尼对系统振荡的影响：2. 3.2 2. 3.2 简单电力系统的静态稳定简单电力系统的静态稳定正阻尼，振荡衰减正阻尼，振荡衰减2. 3.2 2. 3.2 简单电力系统的静态稳定简单电力系统的静态稳定负阻尼，增幅振荡负阻尼，增幅振荡2. 3.2 2. 3.2 简单电力系统的静态稳定简单电力系统的静态稳定3. 3. 自动励磁调节对静态稳定的影响自动励磁调节对静态稳定的影响则励磁系统可近似为一个比例环节：则励磁系统可近似为一个比例环节：假设条件假设条件1 1）忽略励磁调节系统和励磁机的暂态过程）忽

47、略励磁调节系统和励磁机的暂态过程2 2）不计阻尼功率）不计阻尼功率即：即：故：故：2. 3.2 2. 3.2 简单电力系统的静态稳定简单电力系统的静态稳定考虑励磁调节影响时，系统微分方程为：考虑励磁调节影响时，系统微分方程为：其中，其中，2. 3.2 2. 3.2 简单电力系统的静态稳定简单电力系统的静态稳定将上式在稳态运行点线性化可得：将上式在稳态运行点线性化可得：2. 3.2 2. 3.2 简单电力系统的静态稳定简单电力系统的静态稳定其中，其中， 为线性化时与稳态运行点相关的系数为线性化时与稳态运行点相关的系数求线性化方程特征多相式的根，即可判定系统的稳定性。求线性化方程特征多相式的根，即

48、可判定系统的稳定性。结论：结论：(1)(1)加装励磁调节器可扩大静态稳定运行范围；加装励磁调节器可扩大静态稳定运行范围；(2)(2)励磁调节器放大系数过大或过小均会使系统失去稳定；励磁调节器放大系数过大或过小均会使系统失去稳定；2. 3.3 2. 3.3 多机电力系统静态稳定分析多机电力系统静态稳定分析将描述电力系统动态过程的微分代数方程组在稳态运行点线将描述电力系统动态过程的微分代数方程组在稳态运行点线性化，消去运行变量，得到线性化状态方程，应用数值计算性化，消去运行变量，得到线性化状态方程，应用数值计算方法求解状态方程的特征根，进而判定系统的静态稳定性。方法求解状态方程的特征根，进而判定系

49、统的静态稳定性。2. 4 2. 4 电力系统暂态稳定分析电力系统暂态稳定分析基本假设：基本假设：1. 1. 暂态过程中网络中只有基频分量，即网络方程用代数方程描暂态过程中网络中只有基频分量，即网络方程用代数方程描述；述；2. 2. 发生不对称故障时，只计及基频正序电磁功率，电力网络用发生不对称故障时，只计及基频正序电磁功率，电力网络用正序增广网络表示。正序增广网络表示。2. 4.1 2. 4.1 简单电力系统的暂态稳定简单电力系统的暂态稳定以单机无穷大系统为例说明：以单机无穷大系统为例说明：各种运行情况下的功率特性：各种运行情况下的功率特性：1 1）正常运行时的功率方程）正常运行时的功率方程2

50、. 4.1 2. 4.1 简单电力系统的暂态稳定简单电力系统的暂态稳定2 2）K K点发生不对称故障时的功率方程点发生不对称故障时的功率方程3 3）切除故障线路后的功率方程）切除故障线路后的功率方程2. 4.1 2. 4.1 简单电力系统的暂态稳定简单电力系统的暂态稳定一般情况有：一般情况有：故有：故有：故障前后的功率曲线变化如下：故障前后的功率曲线变化如下：2. 4.1 2. 4.1 简单电力系统的暂态稳定简单电力系统的暂态稳定等面积定则：等面积定则：1 1）转子由）转子由 到到 变动时，过剩转矩所做的功：变动时，过剩转矩所做的功：1 1）转子由）转子由 到到 变动时，过剩转矩所做的功：变动

51、时，过剩转矩所做的功： 为转子动能的增量，称为加速面积；为转子动能的增量，称为加速面积；2 2）转子由）转子由 到到 变动时，过剩转矩所做的功：变动时，过剩转矩所做的功：2. 4.1 2. 4.1 简单电力系统的暂态稳定简单电力系统的暂态稳定极限切除角极限切除角由于，由于， 故故 称为减速面积。称为减速面积。单机无穷大系统暂态稳定的条件为：单机无穷大系统暂态稳定的条件为： 加速面积减速面积加速面积减速面积最大减速面积为最大减速面积为edfheedfhe，当该面积小于加速面积时，系统将，当该面积小于加速面积时，系统将失稳。失稳。2. 4.1 2. 4.1 简单电力系统的暂态稳定简单电力系统的暂态

52、稳定 当当 有：有： 即：即： 其中，其中， 可按下式求解：可按下式求解： 2. 4.2 2. 4.2 多机电力系统暂态稳定计算多机电力系统暂态稳定计算 求求T T时刻的解时刻的解 ； 已知非线性微分方程为：已知非线性微分方程为： 一一. . 常微分方程数值解常微分方程数值解 1. 1. 欧拉法欧拉法对每一积分步，已知对每一积分步，已知 时刻的值时刻的值 ，求，求 的值的值 将将 在在 处用泰勒级数展开：处用泰勒级数展开： 2. 4.2 2. 4.2 多机电力系统暂态稳定计算多机电力系统暂态稳定计算 取一次项：取一次项： 显式欧拉法的局部截断误差为：显式欧拉法的局部截断误差为： 显式欧拉法的绝

53、对稳定域为：显式欧拉法的绝对稳定域为： 显式欧拉法算法简单，误差大，算法稳定性差。显式欧拉法算法简单，误差大，算法稳定性差。 2. 4.2 2. 4.2 多机电力系统暂态稳定计算多机电力系统暂态稳定计算 2. 2. 改进欧拉法改进欧拉法 将将 在在 处用泰勒级数展开，保留二次项：处用泰勒级数展开，保留二次项： 将等式右边的将等式右边的 用一阶欧拉法近似：用一阶欧拉法近似： 2. 4.2 2. 4.2 多机电力系统暂态稳定计算多机电力系统暂态稳定计算 改进欧拉法的局部截断误差为：改进欧拉法的局部截断误差为： 显式欧拉法的绝对稳定域为：显式欧拉法的绝对稳定域为： 2. 4.2 2. 4.2 多机电

54、力系统暂态稳定计算多机电力系统暂态稳定计算 3. 3. 隐式梯形积分隐式梯形积分 由状态方程：由状态方程： 得：得： 这是隐式积分公式，需通过迭代求解。这是隐式积分公式，需通过迭代求解。 从上式两边从从上式两边从 到到 积分：积分： 近似取：近似取： 则有：则有： 2. 4.2 2. 4.2 多机电力系统暂态稳定计算多机电力系统暂态稳定计算 绝对稳定区间：绝对稳定区间： 隐式梯形积分的局部截断误差为：隐式梯形积分的局部截断误差为： 隐式积分是绝对稳定的。隐式积分是绝对稳定的。 2. 4.2 2. 4.2 多机电力系统暂态稳定计算多机电力系统暂态稳定计算 二二. . 多机电力系统暂态稳定计算步骤

55、多机电力系统暂态稳定计算步骤 多机电力系统暂态稳定计算就是求解描述系统暂态过程的微分多机电力系统暂态稳定计算就是求解描述系统暂态过程的微分 代数方程组：代数方程组： 假定动态原件只考虑发电机，且发电机采用假定动态原件只考虑发电机，且发电机采用 恒定模型，则恒定模型，则 2. 4.2 2. 4.2 多机电力系统暂态稳定计算多机电力系统暂态稳定计算 则多机电力系统暂态稳定计算步骤：则多机电力系统暂态稳定计算步骤： 1. 1. 正常潮流计算，求解网络中各节点的正常潮流计算，求解网络中各节点的 ； 2. 2. 计算暂态过程初始条件：计算暂态过程初始条件： 3. 3. 计算负荷导纳，修正负荷节点和发电机

56、节点导纳，形成正计算负荷导纳，修正负荷节点和发电机节点导纳，形成正序节点导纳矩阵；序节点导纳矩阵； 从从 到到 的一个积分步的暂态过程计算：的一个积分步的暂态过程计算： 4. 4. 有无新的故障或操作，若有修改导纳矩阵相关参数，求解有无新的故障或操作，若有修改导纳矩阵相关参数，求解网络方程，得到新的运行变量；否则进行下一步；网络方程，得到新的运行变量；否则进行下一步； 5. 5. 给定给定 时刻状态变量的初值时刻状态变量的初值 令令 2. 4.2 2. 4.2 多机电力系统暂态稳定计算多机电力系统暂态稳定计算 6. 6. 计算发电机节点注入电流；计算发电机节点注入电流； 7. 7. 迭代求解网

57、络方程，得到节点电压；迭代求解网络方程，得到节点电压；8. 8. 计算发电机节点电磁功率：计算发电机节点电磁功率：9. 9. 用数值积分公式，计算状态变量，得到：用数值积分公式，计算状态变量，得到：10. 10. 判断是否收敛：判断是否收敛：11. 11. 是返回是返回4 4，进行下一积分步的计算，否则令，进行下一积分步的计算，否则令 返回返回6 6继续本积分步的迭代计算。继续本积分步的迭代计算。 2. 4.3 2. 4.3 暂态稳定分析的李亚普诺夫直接法暂态稳定分析的李亚普诺夫直接法 李亚普诺夫直接法的基本思想李亚普诺夫直接法的基本思想: : 李亚普诺夫直接法是基于这样一个基本的物理事实：如

58、果一个李亚普诺夫直接法是基于这样一个基本的物理事实：如果一个系统经受一个扰动，当扰动消失后，系统储存的能量将随着时系统经受一个扰动，当扰动消失后，系统储存的能量将随着时间的推移而逐渐衰减，直至趋于平衡状态，系统的能量趋于极间的推移而逐渐衰减，直至趋于平衡状态，系统的能量趋于极小值，那么这个平衡状态就是渐近稳定的；若当扰动消失后，小值，那么这个平衡状态就是渐近稳定的；若当扰动消失后，系统的能量不再增加，那么这个平衡状态就是李亚普诺夫意义系统的能量不再增加，那么这个平衡状态就是李亚普诺夫意义下的稳定；若当扰动消失后，系统不断从外界吸收能量，系统下的稳定；若当扰动消失后，系统不断从外界吸收能量，系统

59、的储能随着时间的推移不断增加，那么这个平衡状态就是不稳的储能随着时间的推移不断增加，那么这个平衡状态就是不稳定的。定的。 2. 4.3 2. 4.3 暂态稳定分析的李亚普诺夫直接法暂态稳定分析的李亚普诺夫直接法一一. . 李亚普诺夫稳定性判据李亚普诺夫稳定性判据 (1) (1) 是正定的；是正定的；定理定理1 1：设系统的状态方程为：设系统的状态方程为： 是其平衡状态。若存在一个具有连续一阶导数的正定标量是其平衡状态。若存在一个具有连续一阶导数的正定标量函数函数V(X)V(X)且满足且满足: : (2) (2) 是负定的；是负定的；则系统在平衡状态是渐进稳定的。则系统在平衡状态是渐进稳定的。(

60、3) (3) 除满足条件除满足条件(1)(1)、(2)(2)外外, ,若有若有 ，则系统是，则系统是大范围渐进稳定的。大范围渐进稳定的。 2. 4.3 2. 4.3 暂态稳定分析的李亚普诺夫直接法暂态稳定分析的李亚普诺夫直接法例：对于非线性系统例：对于非线性系统试判别其平衡状态试判别其平衡状态 的稳定性。的稳定性。 对时间的导数为：对时间的导数为： 解：取正定标量函数解：取正定标量函数: : 由于由于 正定，正定， 负定，故系统在平衡状态负定，故系统在平衡状态 是渐近是渐近稳定的。稳定的。由于由于 ，故系统在平衡状态，故系统在平衡状态 是大范围渐近是大范围渐近稳定的。稳定的。 2. 4.3 2