汉宁窗设计线性相位FIR低通数字滤波器

1、汉宁窗设计线性相位FIR低通数字滤波器学校 宜 宾 学 院 院系 物理与电子工程 专业 电子信息工程 班级 13 级 五 班 姓名 侯 浩 学号 130305029 导师 张 桐 2016年5月28日汉宁窗设计FIR低通滤波器摘要简述了数字滤波器中的有限长单位冲激响应(FIR)滤波器的原理,对FIR滤波器的窗函数设计方法进行了研究。窗函数法在FIR 数字滤波器的设计中有着广泛的应用。介绍了一种海宁窗函数的FIR 数字滤波器的设计方法,通过MATLAB 的仿真实现。本文利用MATLAB具有强大的科学计算和图形显示这一优点,与窗函数法设计理论相结合共同设计FIR数字滤波器,不但使设计结果更加直观,

2、而且提高了滤波器的设计精度,从而更好地达到预期效果。关键字 汉宁窗;数字信号处理；MATLABabstractIn this paper, the principle of finite impulse response (FIR) filter in digital filter is described, and the design method of window function of FIR filter is studied. Window function method is widely used in the design of FIR digital filter. Th

3、is paper introduces a design method of FIR digital filter based on window function of Haining, and the simulation of MATLAB is realized through simulation. This paper uses MATLAB has powerful scientific computing and graphics display the advantages, and window function method to design theory combin

4、ed together to design FIR digital filter, not only the design results more intuitive, but also improve the accuracy of design of the filter, thus better reach expected effect.Key words Hanning window; digital signal processing; MATLAB目录摘要I绪论1第1章 MATLAB简介21.1 MATLAB简介21.2 MATLAB系统组成21.3 MATLAB的特点3第2章

5、 FIR数字滤波器的介绍42.1 FIR数字滤波器的概念42.2 线性相位FIR数字滤波器的特点42.2.1 位冲激响应h(n)的特点42.2.2 线性相位的条件42.2.3 线性相位特点和幅度函数的特点4第3章 窗函数设计法63.1 函数设计原理63.2 窗函数设计方法6第4章 汉宁窗函数设计84.1 汉宁窗函数的介绍84.2 海宁窗设计FIR滤波器84.2.1 设计实例84.2.2 基于MATLAB实现设计9结论12参考文献13致谢14附录15第17页绪论数字信号处理(DSP,digital signal processing)是从20世纪60年代以来，随着信息学科和计算机的高速发展而迅速

6、发展起来的一门新兴学科。数字信号处理是把信号用数字或符号表示的序列，通过计算机或通用(专用)信号处理设备，用数字的数值计算方法处理(例如滤波、变换、压缩、增强、估计、识别等)，以达到提取有用信息便于应用的目的。数字滤波是数字信号处理的一部分。数字滤波器按照单位取样响应h(n)的时域特性可以分为无限脉冲响应(IIR)系统和有限脉冲响应(FIR)系统。FIR 数字滤波器的优点在于它可以做成具有严格线性相位,而同时可以具有任意的幅度特性;它的传递函数没有极点;这保证了设计出的FIR 数字滤波器一定是平稳的。所谓数字滤波器设计，简单地说，就是要找到一组能满足特定滤波要求的系数向量a和b。而滤波器设计完

7、成后还需要进一步考虑如何将其实现，即选择什么样的滤波器结构来完成滤波运算。FIR数字滤波器的设计方法很多，其中较为常用的是窗函数设计法、频率采样设计法和最优化设计法。本文讨论利用窗函数法实现各种FIR滤波器的设计。MATLAB软件是由美国Math works公司推出的用于数值计算和图形处理的科学计算系统环境。MATLAB新的版本集中了日常数学处理中的各种功能，包括高效的数值计算、矩阵运算、信号处理和图形生成等功能。在MATLAB环境下，用户可以集成地进行程序设计、数值计算、图形绘制、输入输出、文件管理等各项操作。 MATLAB提供了一个人机交互的数学系统环境，该系统的基本数据结构是矩阵，在生成

8、矩陈对象时，不要求作明确的维数说明。与利用c语言或FORTRAN语言作数值计算的程序设计相比，利用MATLAB可以节省大量的编程时间。在工程技术界，MATLAB被用来解决一些实际课题和数学模型问题。典型的应用包括数值计算、算法预设计与验证，以及一些特殊的短阵计算应用，如自动控制理论、统计、数字信号处理(时间序列分拆)等。第1章 MATLAB简介1.1 MATLAB简介MATLAB是美国MathWorks公司出品的商业数学软件，用于算法开发、数据可视化、数据分析以及数值计算的高级技术计算语言和交互式环境，主要包括MATLAB和Simulink两大部分。MATLAB是matrix&labo

9、ratory两个词的组合，意为矩阵工厂（矩阵实验室）。是由美国mathworks公司发布的主要面对科学计算、可视化以及交互式程序设计的高科技计算环境。它将数值分析、矩阵计算、科学数据可视化以及非线性动态系统的建模和仿真等诸多强大功能集成在一个易于使用的视窗环境中，为科学研究、工程设计以及必须进行有效数值计算的众多科学领域提供了一种全面的解决方案，并在很大程度上摆脱了传统非交互式程序设计语言（如C、Fortran）的编辑模式，代表了当今国际科学计算软件的先进水平。MATLAB的基本数据单位是矩阵，它的指令表达式与数学、工程中常用的形式十分相似，故用MATLAB来解算问题要比用C，FORTRAN等

10、语言完成相同的事情简捷得多，并且MATLAB也吸收了像Maple等软件的优点，使MATLAB成为一个强大的数学软件。在新的版本中也加入了对C，FORTRAN，C+，JAVA的支持。1.2 MATLAB系统组成MTALAB系统由五个主要部分组成。(1)MATALB语言是高层次的矩阵数组语言。具有条件控制、函数调用、数据结构、输入输出、面向对象等程序语言特性。利用它既可以进行小规模编程，完成算法设计和算法实验的基本任务，也可以进行大规模编程，开发复杂的应用程序。(2)MATLAB工作环境这是对MATLAB提供给用户使用的管理功能的总称。包括管理工作空间中的变量据输入输出的方式和方法，以及开发、调试

11、、管理M文件的各种工具。(3)MATLAB图形系统的基础，包括完成2D和3D数据图示、图像处理、动画生成、图形显示等功能的高层MATLAB命令，也包括用户对图形图像等对象进行特性控制的低层MATLAB命令，以及开发GUI应用程序的各种工具。(4)MATLAB数学函数库这是对MATLAB使用的各种数学算法的总称。包括各种初等函数的算法，也包括矩阵运算、矩阵分析等高层次数学算法。(5)MATLAB应用程序接口(API) 这是MATLAB为用户提供的一个函数库，使得用户能够在MATLAB环境中使用C程序或Fortran程序，包括从MATLAB中调用于程序(动态链接)，读写MAT文件的功能。 可以看出

12、MATLAB是一个功能十分强大的系统，是集数值计算、图形管理、程序开发为一体的环境。除此之外，MATLAB还具有根强的功能扩展能力，与它的主系统一起，可以配备各种各样的工具箱，以完成一些特定的任务。用户可以根据自己的工作任务，开发自己的工具箱。1.3 MATLAB的特点1) 高效的数值计算及符号计算功能，能使用户从繁杂的数学运算分析中解脱出来；2) 具有完备的图形处理功能，实现计算结果和编程的可视化；3) 友好的用户界面及接近数学表达式的自然化语言，使学者易于学习和掌握；4) 功能丰富的应用工具箱(如信号处理工具箱、通信工具箱等) ，为用户提供了大量方便实用的处理工具。第2章 FIR数字滤波器

13、的介绍2.1 FIR数字滤波器的概念FIR(Finite Impulse Response)滤波器：有限长单位冲激响应滤波器，又称为非递归型滤波器，是数字信号处理系统中最基本的元件，它可以在保证任意幅频特性的同时具有严格的线性相频特性，同时其单位抽样响应是有限长的，因而滤波器是稳定的系统。因此，FIR滤波器在通信、图像处理、模式识别等领域都有着广泛的应用。2.2 线性相位FIR数字滤波器的特点2.2.1 位冲激响应h(n)的特点 FIR滤波器的单位冲激响应h(n)是有限长(0nN-1),其Z变换为：Hz=n=0N-1hnz-n(21)在有限Z平面有(N-1)个零点,而它的(N-1)个极点均位于

14、原点z=0处。2.2.2 线性相位的条件如果FIR滤波器的单位抽样响应h(n)为实数而且满足以下任一条件: 偶对称： h(n)=h(N-1-n) (22) 奇对称： h(n)=-h(N-1-n) (23) 其对称中心在n=(N-1)/2处,则滤波器具有准确的线性相位。2.2.3 线性相位特点和幅度函数的特点 (1) h(n)偶对称H=n=0N-1hncosN-12-n(24)=-N-12(25)幅度函数H()包括正负值,相位函数是严格线性相位,说明滤波器有(N-1)/2个抽样的延时,它等于单位抽样响应h(n)长度的一半。(2) h(n)奇对称H=n=0N-1hnsinN-12-n(26)=-N

15、-12+2(27)相位函数仍是线性,但在零频率(=0)处有/2的截距。不仅有(N-1)个抽样的延时,还产生一个/2的相移。第3章 窗函数设计法3.1 函数设计原理设数字滤波器的传输函数为Hej，hdn是与其对应的单位脉冲响应，H(z) 为系统函数。Hej=n=0N-1hne-jn(31)hdn=12-Hdejejnd(32)Hz=n=0N-1h(n)z-n(33)一般来说，hdn无限长的,需要求对Hdej的一个逼近。采用窗函数设计法时,可通过对理想滤波器的单位采样响应加窗设计滤波器hn=hdnn (34)其中, (n)是一个长度有限的窗,在区间0 n N外值为0 ,且关于中间点对称 (n)=(

16、N-1-n) (35)因此，由卷积定理可得频率响应为Hej=12Hd ejej (36)理想的频率响应被窗函数的离散时间傅立叶变换ej“平滑”了。采用窗函数设计法设计出来的滤波器的频率响应对理想响应Hdej的逼近程度由两个因素决定: ej主瓣的宽度;ej旁瓣的幅度大小。 理想的情况是ej主瓣的宽度窄,旁瓣的幅度小。但对于一个长度固定的窗函数来说,这些不能独立地达到最小。3.2 窗函数设计方法一般是先给定所要求的理想滤波器的频率响应Hdej，要求设计一个FIR滤波器频率响应Hej去逼近理想的频率响应Hdej。然而，窗函数法设计FIR滤波器是在时域中进行的，因此，必须首先由理想频率响应H

17、dej的傅里叶反变换推导出对应的单位脉冲响应hd(n)Hej=n=0N-1hne-jn(37)hdn=12-Hdejejnd(38)由于Hdej是矩形频率特性，故hd(n)一定是无限长的序列,且是非因果的。而要设计的是FIR滤波器，其h(n)必定是有限长的，所以要用有限长的h（n）来逼近无限长的hdn，最简单且有效的方法是截断hdn。hn=hdn, 0nN-10, 其他 (39)通常，h(n)为hd(n)与一个有限长的窗口函数序列(n)的乘积，即hn=hd(n)(n) (310)因此函数序列的形状及长度的选择就是关键。第4章 汉宁窗函数设计4.1 汉宁窗函数的介绍汉宁窗可以看作是3个矩形时间窗

18、的频谱之和，或者说是 3个 sinc（t）型函数之和，而括号中的两项相对于第一个谱窗向左、右各移动了 /T，从而使旁瓣互相抵消，消去高频干扰和漏能。汉宁窗又称升余弦窗。n=sin2nN-1RNn=121-cos2nN-1RNn(41)其频率响应为Wej=0.5WR+0.25WR-2N-1+WR+2N-1e-jN-12=We-jN-12 (42)当N1时，N-1N，所以窗函数的幅度函数为W=0.5WR+0.25WR-2N+WR+2N(43)这三部分之和，使旁瓣互相抵消，能量更集中在主瓣。但是代价是主瓣宽度比矩形窗的主瓣宽度增加一倍，即为8N。4.2 海宁窗设计FIR滤波器4.2.1 设计实例现要

19、求用汉宁窗设计一个线性相位FIR低通数字滤波器，截止频率c=4rad，窗口长度N=15，33。在两种窗口长度下分别求出hn，绘出对应的幅频特性和相位特性。（1） 当N=15时，用理想低通作为逼近滤波器，根据公式(3-2) 可得hdn=sincn-n-，0n14=12N-1=7hdn=sin4n-7n-7，0n14hn=hdnWHnn，0n14WHnn=0.51-cos2n14R14n（2） 当N=33时，用理想低通作为逼近滤波器，根据公式 hdn=12-Hdejejnd可得hdn=sincn-n-，0n32=12N-1=16hdn=sin4n-16n-16，0n32hn=hdnWHnn，0n3

20、2WHnn=0.51-cos2n32R32n4.2.2 基于MATLAB实现设计当N=15，33时对应的幅频特性图和相频特性分别如下各图所示。图 41 N=15时的幅频特性图图 42 N=15时的相位特性图图 43 N=33时的幅频特性图图 44 N=33时的相位频特性图仿真分析： 汉宁窗旁瓣互相抵消，能量更集中在了主瓣。但是，它的代价是主瓣宽度比矩形窗的主瓣宽度增加了一倍。窗口长度越长,过渡带越陡峭，FIR滤波器的群时延越长。调整窗口长度N可以有效地控制过渡带的宽度，但对减小带内波动以及提高阻带衰减作用不大。结论数字信号处理系统具有灵活、精确、抗干扰强、设备尺寸小、造价低、速度快等突出优点，

21、这些都是模拟信号处理系统所无法比拟的。窗函数法是从时域出发，通过一定的窗函数截取有限长的单位脉冲响应来逼近理想单位脉冲响应汉宁窗主瓣加宽并降低，旁瓣则显著减小，但汉宁窗主瓣加宽，相当于分析带宽加宽，频率分辨力下降。参考文献1 王艳芬，王刚，张晓光，刘卫东数字信号处理原理及实现北京：清华大学出版社，20082 黄文梅，熊桂林，杨勇信号分析与处理MATLAB语言及应用北京：国防科技大学出版社，20003 张志涌精通MATLAB6.5M北京航空航天出版社，20034 楼顺天,李博菡基于MATLAB 的系统分析与设计-信号处理M西安：西安电子科技大学出版社，2000致谢在这里，对所有参与此次设计并给予

22、帮助的老师和同学表示感谢。首先，要感谢老师给予我们一次这样好的机会。让我们可以通过设计动手动脑，既巩固了过去学习过的相关专业知识，又学习到了以前课本上未曾接触到的知识或技术。其次，期末设计的顺利完成，离不开指导老师、同学及朋友的关心和帮助。在整个的期末设计中，老师、同学及朋友提供有利于设计的宝贵建议和意见，在他们的帮助下，期末设计得以不断的完善，最终帮助我完整的写完了整个论文。附录N=15时的幅频特性程序clc;clear all;%N=33的FIR低通脉冲响应%汉宁窗figure;N=15;n=0:1:N-1;Wc=pi/4;hd=ideal_lp(Wc,N);w_han=(hanning(N)'h=hd.*w_handb,mag,pha,w=freqz_m(h,1);plot(w/pi,db);xlabel('w/pi');ylabel('db&