第3章连续系统按环节离散化的时域数字仿真

1、 前面我们介绍的连续系统的数字仿真方法是建立在数值计算基础上的数字仿真算法，这种方法是根据计算步长，一点一点逐步完成各采样点上数值计算的，相当于是对系统进行了离散处理，将连续系统看成了离散系统，只不过是从数值积分的角度讨论了数字仿真问题，没有涉及“离散”这一概念。 本章我们将从连续系统离散化的角度出发，用采样控制系统的理论和方法建立连续系统的时域离散化模型，并介绍另一种常用的数字仿真方法，这种方法使连续系统在进行（虚拟）离散化处理后仍保持和原系统相似，所以这种方法称为离散相似法离散相似法。 设计思想设计思想是将系统的连续时间状态方程化为离散时间状态方程进行数值计算，它的优点是状态转移矩阵可一次

2、求出，因而计算量较小。一、连续系统离散化模型)1 .1 .3( uuDCxyBAxx 设连续系统的状态空间表达式为：现在假想在系统的输入、输出端分别加上采样开关，使输入、输出信号离散，此时系统模型为离散模型。为了使输入信号u(t)离散后仍能保持原来的变化规律，在输入采样开关后，设置一个保持器，使输入信号在采样间隔内保持连续，其结构图如图3.1所示。对状态空间表达式进行拉普拉斯变换，得：保持器 DuCxyBuAxx )(tu)(*tu)(*ty)(tyTT连续系统时域离散化图 3.1( )(0)( )( ) (3.1.2)( )( )( ) (3.1.3)sX sXAX sBU sY sCX s

3、DU s由式（3.1.2）可得：)()()0()()(,)()()()()0()()(1111sBUsXssXetAsILsBUAsIXAsIsXAt则有令dBuexetxdButxttxttAAtt)()0()()()()0()()(0)(0 即）（）（6 . 1 . 3)()0() 1(5 . 1 . 3)()0()()1(0)1()1(0)( dBuexeTkxdBuexekTxTkTkATkAkTkTAAkT对式（3.1.4）进行拉普拉斯变换，并利用卷积积分卷积积分得：这就是控制理论中介绍的线性时不变系统的运动方程，(t)称为系统的状态转移矩阵，描述了状态变量x(t)由初始状态t=0时

4、刻向任一时刻t转移的特性。若将系统按图3.1的方式进行离散化处理，则在kT和(k+1)T两个相邻采样时刻的状态变量值为：）求得。（）和式（可由式、矩阵散状态方程的离散系数已知，相应的离数矩阵。若连续状态方程的系上式称为离散状态方程）（变为：则式）（令）（所以因为）（）变为：，则式（保持常量，即：在相邻两个采样点之间另外零阶保持器的输出。分变量无关，故可令为采样周期序号，与积上式右端积分中10 11 8 10 3.1.7 . 1 . 39 . 1 . 3)()(,. 1 . 3)()()()() 1(). 1 . 3(. 1 . 3)(9 . 1 . 3)()(8 . 1 . 3)()() 1(

5、)()()(00)(0)(TTBAkTuTkTxTTkxBdeTeTetBdekTukTxeTkxkTuukTukkmmTTAmATAtTTAAT）（得：乘式减之间的递推关系，用式和为找出7 . 1 . 3)()() 1(. 1 . 3()6 . 1 . 3()() 1()1()1( 5)dBuekTxeTkxekTxTkxTkkTTkAATAT）（散化模型：用的零阶保持器时的离这样就得到连续系统采12. 1 . 3 ) 1() 1() 1()()()()() 1( nDunCxnynuTnxTnxm）（输出为：得两相邻采样点之间的）所示，可。根据图（保持器（一阶保持器）可采用三角形。为了提高

6、计算精度，的误差为由图可见，输入函数常量，又称矩形近似。持在两个采样时刻之间保因为零阶保持器的输出变量的数值。出样点上的状态变量和输递推计算出系统不同采）（给定以后，可以利用式和当初值13. 1 . 3)()()() 1()()()()()0( 3.23.1.12kTukTuTkTuTkukTukTuukTutux)(tuTkTTk) 1( tu0方法又称状态转移法。算出系统的响应，这种差分方程可以递推地计离散化模型。利用这个离散化，建立了系统的经过对连续系统模型的）（散化模型：离散状态方程，写成离这是采用一阶保持器的）（则有：）（再令：）（）中得：）代入到式（将式（17. 1 . 3) 1(

7、) 1() 1()()()()()()() 1(16. 1 . 3)()()()()()() 1(15. 1 . 3)(14. 1 . 3)()()() 1(7 . 1 . 313. 1 . 30)(0)(0)( nDunCxnynuTnuTnxTnxkTuTkTuTkTxTTkxdBeTkTudBekTuBdekTxeTkxmmmmTTAmTTATTAAT系统的离散化模型。求用零阶保持器采样时空间表达式为：设有一控制系统的状态例系统的离散化模型。现举例说明如何求连续212121100111001 . 1 . 3xxyuxxxx TTATeessssLssLAsILeTBA10111) 1(1

8、01110)()(10. 1 . 39 . 1 . 301110011111 ）得：）和式（代入式（，将解：TTTTTTTmeTTdedeeBdTT11101101)()(0)(0)()(0 响应。计算，求出系统的输出利用上式即可进行仿真于是得离散化模型： ) 1() 1()(1)()(101)2() 1(22121nxnynueTTnxnxeenxnxTTT3.3 3.3 非线性系统的数字仿真方法非线性系统的数字仿真方法 前面介绍的按典型环节离散化的仿真方法，可以很容易的推广到具有典型非线性环节的非线性系统的数字仿真。这是因为按环节离散化的数字仿真中，每增加一个步长都要重新计算出所有环节的输

9、出和输入，这样就可以在两个线性环节之间插入非线性环节的仿真程序，由程序计算出非线性环节的输出，再作为前一个或后一个环节的真正输出或输入量。 实际控制系统中的非线性特性各种各样，一般较为常见的非线性环节有：饱和非线性环节、死区非线性环节和齿隙（滞环）非线性环节。一、饱和非线性特性一、饱和非线性特性scusru1C1C1C1C45饱和非线性特性图 3.3.1) 1 . 3 . 3(11111CuCCuCCukuusrsrsrsrsc 这类特性在控制系统中较普遍，例如饱和放大器、调节器的饱和特性等。对应的数学表达式为：其中k为斜率。当k=1时，饱和特性如图3.3.1所示。二、死区非线性特性二、死区非线性特性)2 . 3 . 3( C )CC )CC 0u11111scsrsrsrsrsruukuuku死区非线性特性图 3.3.345scus