第二讲动点存在性问题

1、 第一讲 动点存在性问题一考情分析中考分值在近年中考中，考察了存在性问题。考查方式存在性问题一般都是以最后一道压轴题出现的，几乎都是函数、代数、几何的综合题目，集多个知识点为一体，集多种解题思想于一题，综合性强，能力要求高二知识回顾1、题型分类在中考中，存在性问题一般分为四类：1.是否存在三角形（等腰三角形、直角三角形）；2.是否存在四边形（平行四边形、直角梯形和等腰梯形）；3.是否存在三角形与已知三角形相似或者全等；4.是否存在三角形与已知三角形的面积之间有数量关系。2、方法归纳 在解决动点存在性问题时，一般先假设其存在，得到方程，如果有解，则存在，反之，则不存在。而在列方程时，一般要用到特

2、殊三角形以及特殊平行四边形的性质、相似、解直角三角形等知识点，需要注意的是，列方程时，一定要遵循：用两种不同的方法表示同一个量，否则，将会得到“1=1”之类的恒等式。对于是否存在三角形，一般按顶点分为三类情况。而对于是否存在平行四边形则有两种形式的题目：如果已知三个定点，就有三种情况，一般利用平移坐标法即可求出答案；如果只有两个定点就应该按与边平行以及与对角线平行两种情况考虑了。对于等腰梯形，就应该考虑腰长在下底边上的投影了。对于是否存在三角形与已知三角形相似或者全等，则与是否存在三角形一样，分三类情况，当然，如果有一个角是一个定角（比如直角），则就分为两类情况。类型一：是否存在三角形（等腰三

3、角形、直角三角形）ABQCPD图1（A）【典型例题1】如图，在直角梯形ABCD中，ADBC，C90°，BC16，DC12，AD21。动点P从点D出发，沿射线DA的方向以每秒2两个单位长的速度运动，动点Q从点C出发，在线段CB上以每秒1个单位长的速度向点B运动，点P，Q分别从点D，C同时出发，当点Q运动到点B时，点P随之停止运动。设运动的时间为t（秒）。当t为何值时，以B，P，Q三点为顶点的三角形是等腰三角形？（C）【典型例题2】如图2，在等腰梯形中，是的中点，过点作交于点，.（1）求点到的距离；（2）点为线段上的一个动点，过作交于点，过作交折线于点，连结，设.当点在线段上时（如图3）

4、，的形状是否发生改变？若不变，求出的周长；若改变，请说明理由；当点在线段上时（如图4），是否存在点，使为等腰三角形？若存在，请求出所有满足要求的的值；若不存在，请说明理由.（B）【典型例题3】如图，已知直线与轴交于点A，与轴交于点D，抛物线与直线交于A、E两点，与轴交于B、C两点，且B点坐标为 (1，0)。求该抛物线的解析式；动点P在x轴上移动，当PAE是直角三角形时，求点P的坐标P。练习（B）1如图6，在梯形中，动点从点出发沿线段以每秒2个单位长度的速度向终点运动；动点同时从点出发沿线段以每秒1个单位长度的速度向终点运动设运动的时间为秒（1）求的长（2）试探究：为何值时，为等腰三角形 ADC

5、BMN图6（C）2如图，在中，分点别是边ABCDERPHQ图7的中，点从点出发沿方向运动，过点作于，过点作交于，当点与点重合时，点停止运动设，（1）求点到的距离的长；（2）求关于的函数关系式（不要求写出自变量的取值范围）；（3）是否存在点，使为等腰三角形？若存在，请求出所有满足要求的的值；若不存在，请说明理由（B）3已知抛物线，交x轴于A、B两点(A在B的左边)，交y轴于C点，且y有最大值4 (1)求抛物线的解析式； (2)在抛物线上是否存在点P，使PBC是直角三角形?若存在，求出P点坐标；若不存在，说明理由类型二：是否存在四边形（平行四边形、直角梯形和等腰梯形）OBxyAMC1图9（B）【典

6、型例题4】如图，抛物线与轴交于两点，与轴交于C点，且经过点，对称轴是直线，顶点是（1） 求抛物线对应的函数表达式；（2） 经过两点作直线与轴交于点，在抛物线上是否存在这样的点，使以点为顶点的四边形为平行四边形？若存在，请求出点的坐标；若不存在，请说明理由；（C）【典型例题5】如图，抛物线与x轴交A、B两点（A点在B点左侧），直线与抛物线交于A、C两点，其中C点的横坐标为2（1）求A、B 两点的坐标及直线AC的函数表达式；（2）点G是抛物线上的动点，在x轴上是否存在点F，使A、C、F、G这样的四个点为顶点的四边形是平行四边形？如果存在，求出所有满足条件的F点坐标；如果不存在，请说明理由（A）【典

7、型例题6】梯形ABCD中，ADBC，B=90°，AD=24cm，AB=8cm，BC=26cm，动点P从点A开始，沿AD边，以1厘米/秒的速度向点D运动；动点Q从点C开始，沿CB边，以3厘米/秒的速度向B点运动。已知P、Q两点分别从A、C同时出发，当其中一点到达端点时，另一点也随之停止运动。假设运动时间为t秒，问：（1）t为何值时，四边形PQCD是直角梯形？（2）t为何值时，四边形PQCD是等腰梯形搭配练习（B）1已知抛物线：（1）求抛物线的顶点坐标.（2）将抛物线向右平移2个单位，再向上平移1个单位，得到抛物线，求抛物线的解析式.（3）如图，抛物线的顶点为P，轴上有一动点M，在、这两

8、条抛物线上是否存在点N，使O（原点）、P、M、N四点构成以OP为一边的平行四边形，若存在，求出N点的坐标；若不存在，请说明理由.（B）2已知二次函数的图象经过点A(3，0)，B(2，-3)，C(0，-3)(1)求此函数的解析式及图象的对称轴；(2)点P从B点出发以每秒0.1个单位的速度沿线段BC向C点运动，点Q从O点出发以相同的速度沿线段OA向A点运动，其中一个动点到达端点时，另一个也随之停止运动设运动时间为t秒当t为何值时，四边形ABPQ为等腰梯形。类型三：是否存在三角形与已知三角形相似或者全等（B）【典型例题7】如图14，二次函数的图象经过点D(0，)，且顶点C的横坐标为4，该图象在x 轴

9、上截得的线段AB的长为6.（1）求二次函数的解析式；（2）在抛物线上是否存在点Q，使QAB与ABC相似？如果存在，求出点Q的坐标；如果不存在，请说明理由 搭配练习（C）如图，已知抛物线yx2bxc与坐标轴交于A、B、C三点， A点的坐标为（1，0），过点C的直线yx3与x轴交于点Q，点P是线段BC上的一个动点，过P作PHOB于点H若PB5t，且0t1（1）填空：点C的坐标是_ _，b_ _，c_ _；（2）求线段QH的长（用含t的式子表示）；（3）依点P的变化，是否存在t的值，使以P、H、Q为顶点的三角形与COQ相似？若存在，求出所有t的值；若不存在，说明理由类型四：是否存在三角形与已知三角形

10、的面积之间有数量关系（C）【典型例题8】如图16，有两个形状完全相同的直角三角形ABC和EFG叠放在一起（点A与点E重合），已知AC8cm，BC6cm，C90°，EG4cm，EGF90°，O 是EFG斜边上的中点如图17，若整个EFG从图的位置出发，以1cm/s 的速度沿射线AB方向平移，在EFG 平移的同时，点P从EFG的顶点G出发，以1cm/s 的速度在直角边GF上向点F运动，当点P到达点F时，点P停止运动，EFG也随之停止平移设运动时间为x（s），FG的延长线交 AC于H，四边形OAHP的面积为y（cm2)（不考虑点P与G、F重合的情况）（1）当x为何值时，OPAC

11、?（2）求y与x 之间的函数关系式，并确定自变量x的取值范围（3）是否存在某一时刻，使四边形OAHP面积与ABC面积的比为1324？若存在，求出x的值；若不存在，说明理由（参考数据：1142 12996，1152 13225，1162 13456或4.42 19.36，4.52 20.25，4.62 21.16）搭配练习（C）如图，在梯形ABCD中，点由B出发沿BD方向匀速运动，速度为1cm/s；同时，线段EF由DC出发沿DA方向匀速运动，速度为1cm/s，交于Q，连接PE若设运动时间为（s）（）解答下列问题：（1）当为何值时，？（2）设的面积为（cm2），求与之间的函数关系式；（3）是否存在

12、某一时刻，使？若存在，求出此时的值；若不存在，说明理由学习心得14成功寄语：失败一定有原因，成功一定有方法。四复习建议 动点问题主要是以几何图形为载体，运动变化为主线，集多个知识点为一体，集多种解题思想于一题，是学生的中考路上最大的“拦路虎”，而存在性问题又是动点问题中最难的一类题型。不过，由于此类型题目的基本解题思路及方法是确定的，对于中等及中等以上学生一般是很容易掌握的，难点在于，解题过程中的细节处理上。建议考生以本课程提供的四大类题型（8个小题型）中的8道例题，分类学习各题型的解题的解题方法和常用技巧，并辅以适量的中考真题。五课后作业基础训练题（A类）1.如图所示，在梯形中，点是线段上一

13、定点，且=8动点从点出发沿的路线运动，运动到点停止在点的运动过程中，使为等腰三角形的点有 个2.（1）将抛物线y12x2向右平移2个单位，得到抛物线y2的图象，则y2= ； （2）如图，P是抛物线y2对称轴上的一个动点，直线xt平行于y轴，分别与直线yx、抛物线y2交于点A、B若ABP是以点A或点B为直角顶点的等腰直角三角形，求满足条件的t的值，则t 3.如图，在钝角三角形ABC中，AB6cm，AC12cm，动点D从A点出发到B点止，动点E从C点出发到A点止点D运动的速度为1cm/秒，点E运动的速度为2cm/秒如果两点同时运动，那么当以点A、D、E为顶点的三角形与ABC相似时，运动的时间是 （

14、 ）A3秒或4.8秒 B3秒 C4.5秒 D4.5秒或4.8秒4如图8，AB是O的直径，弦BC=2cm，F是弦BC的中点，ABC=60°若动点E以2cm/s的速度从A点出发沿着ABA方向运动，设运动时间为t(s)(0t3)，连结EF，当t值为_s时，BEF是直角三角形提高训练（B类）1如图，在平面直角坐标系内，已知点A（0，6）、点B（8，0），动点P从点A开始在线段AO上以每秒1个单位长度的速度向点O移动，同时动点Q从点B开始在线段BA上以每秒2个单位长度的速度向点A移动,设点P、Q移动的时间为t秒(1) 求直线AB的解析式；(2) 当t为何值时，APQ与AOB相似？ (3) 当t为何值时，APQ的面积为个平方单位？2如图24， 已知抛物线（a0）与轴交于点A(1，0)和点B (3，0)，与y轴交于点C(1) 求抛物线的解析式；(2) 设抛物线的对称轴与轴交于点M ，问在对称轴上是否存在点P，使CMP为等腰三角形？若存在，请直接写出所有符合条件的点P的坐标；若不存在，请说明理由3如图，直角梯形ABCD中，ABDC，动点M以每秒1个单位长的速度，从点A沿线段AB向点B运动；同时点P以相同的速度，从点C沿折线C-D-A向点A运动当点M到达点B时，两点同时停止运动过点M作直线lAD，与线段CD的交点为E，与折线A-C-B的交点为Q点M运动的时间为t（秒）（1）当时，求