第05章-大数定律与中心极限定理

1、第五章第五章 大数定律与中心极限定理大数定律与中心极限定理第一节第一节 大数定律大数定律 第二节第二节 中心极限定理中心极限定理习题习题第一节第一节大数定律大数定律切比雪夫不等式切比雪夫不等式或或 由切比雪夫不等式可以看出，若由切比雪夫不等式可以看出，若 越小，则越小，则事件事件|X-E(X)| 0 ，有，有 贝努利大数定律：贝努利大数定律： 1|lim pnnPAn或或0|lim pnnPAn也就是：也就是：.PAnpn 证明证明: :12( ,)AAnnB n pnXXX 因因为为，由由此此可可表表示示为为1211,01()1()(1),411 ()=nkknnAkkkkXXXpE XpD

2、 XppnXE Xpnnn其其中中相相互互独独立立，且且都都服服从从以以为为参参数数的的()()分分布布。，满满足足切切比比雪雪夫夫大大数数定定律律的的条条件件。而而且且，代代入入切切比比雪雪夫夫大大数数定定律律，即即得得证证。当重复试验次数当重复试验次数n充分大时，事件充分大时，事件“频率频率nA/n与概与概率率p的偏差小于的偏差小于”概率趋于概率趋于1。由实际推断原理，。由实际推断原理，实际上这个事件几乎是必定要发生的。这就是所实际上这个事件几乎是必定要发生的。这就是所谓的谓的“频率稳定性频率稳定性”。在实际应用中，当试验次数很大时，就可以用事在实际应用中，当试验次数很大时，就可以用事件的

3、频率来代替事件的概率。件的频率来代替事件的概率。定理的理解定理的理解: 辛钦大数定律：辛钦大数定律：设设X1, X2, 是相互独立，服从同是相互独立，服从同一分布的随机变量序列，且具有数学期望一分布的随机变量序列，且具有数学期望E(Xk)=(k=1,2,)。则对于任意正数。则对于任意正数有有11lim|1,nknkPXn 前前n个变量的算术平均个变量的算术平均也就是：也就是：11.nPkkXn 第二节第二节中心极限定理中心极限定理中心极限定理的客观背景中心极限定理的客观背景在客观实际中，许多随机变量是由大量的相互独立在客观实际中，许多随机变量是由大量的相互独立的随机因素的综合影响所形成的。而其

4、中每一个别的随机因素的综合影响所形成的。而其中每一个别因素所起的作用都是微小的。因素所起的作用都是微小的。例如：炮弹射击的落点与目标的偏差，就受着许多例如：炮弹射击的落点与目标的偏差，就受着许多随机因素（如瞄准，空气阻力，炮弹或炮身结构等）随机因素（如瞄准，空气阻力，炮弹或炮身结构等）综合影响的。每个综合影响的。每个随机因素的对随机因素的对弹着点（随机变量弹着点（随机变量和）和）所起的作用都是很小的。所起的作用都是很小的。这样的随机变量往往近似地服从正态分布！这样的随机变量往往近似地服从正态分布！下面演示不难看到中心极限定理的客观背景下面演示不难看到中心极限定理的客观背景例例:20个个0-1分

5、布的和的分布分布的和的分布 X1 f(x)X1 +X2g(x)X1 +X2+X3 h(x)几个几个(0,1)上均匀分布的和的分布上均匀分布的和的分布 0123xfgh 由于无穷个随机变量之和可能趋于由于无穷个随机变量之和可能趋于，故我们，故我们不研究不研究n个随机变量之和本身而考虑它的标准化的随个随机变量之和本身而考虑它的标准化的随机变量机变量. nkknknkkknXDXEXY111)()(nY讨讨论论的的极极限限分分布布是是否否是是标标准准正正态态分分布布 在概率论中，习惯于把和的分布收敛于正态分在概率论中，习惯于把和的分布收敛于正态分布这一类定理都叫做布这一类定理都叫做中心极限定理中心极

6、限定理. nkkkXnkX1), 1(的的和和即即考考虑虑随随机机变变量量一、中心极限定理一、中心极限定理 xnnXPxFniinnn 1lim)(lim定理定理1（独立同分布情形下的中心极限定理独立同分布情形下的中心极限定理），则则随随机机变变量量之之和和方方差差布布，且且具具有有数数学学期期望望和和相相互互独独立立，服服从从同同一一分分设设随随机机变变量量), 2 , 1()(,)(:,221 kXDXEXXXkkn nnXYnkkn 1满满足足对对于于任任意意的的分分布布函函数数xxFn)(的标准化变量的标准化变量 nkkX12-t2-1edt2x )(x 注注).1 , 0(;),(,

7、11211NnnXnnNXnXnkknkknkk近近似似地地近近似似地地有有和和与与其其标标准准化化变变量量分分别别充充分分大大时时，随随机机变变量量之之当当布布的的随随机机变变量量之之和和、定定理理表表明明，独独立立同同分分 )1 , 0(),(22NnXnNX近近似似地地近近似似地地或或为为定定理理的的另另一一种种形形式式可可写写、独独立立同同分分布布中中心心极极限限 nkkXnX11其中其中 3、在一般情况下，我们很难求出、在一般情况下，我们很难求出 的分布函的分布函数。但当数。但当n很大时，可用正态分布来近似求解。很大时，可用正态分布来近似求解。 nkkX1定理定理2（德莫佛拉普拉斯中

8、心极限定理）（德莫佛拉普拉斯中心极限定理）)1 (limxpnpnpPnn 设随机变量设随机变量 (n=1,2,(n=1,2,)服从参数服从参数n,p(0p1920)设第设第i只元件的寿命为只元件的寿命为Xi , i=1,2, ,16例例1解答：解答：E(Y)=1600,D(Y)=160000由中心极限定理由中心极限定理,近似近似N(0,1)1600400Y P(Y1920)=1-P(Y 1920) =1- (0.8)40016001920( 1-=1-0.7881=0.2119例例2 在一个罐子中在一个罐子中,装有装有10个编号为个编号为0-9的同样的球，的同样的球，从罐中有放回地抽取若干次

9、，每次抽一个，并记下号从罐中有放回地抽取若干次，每次抽一个，并记下号码码. 1,00, kkX 第第 次次取取到到号号码码否否则则 设设，k=1,2, (1) 至少应取球多少次才能使至少应取球多少次才能使“0”出现的频率在出现的频率在0.09-0.11之间的概率至少是之间的概率至少是0.95?(2)用中心极限定理计算在用中心极限定理计算在100次抽取中次抽取中,数码数码“0”出出现次数在现次数在7和和13之间的概率之间的概率.（1)解：设应取球解：设应取球n次，次，0出现频率为出现频率为nkkXn11, 1 . 0)1(1nkkXnEnXnDnkk09. 0)1(1由中心极限定理由中心极限定理

10、10.10.3nkkXnn 110.10.3nkkXnn 例例2解答：解答：），（近似地近似地10N11. 0109. 01nkkXnP11|0.1| 0.01nkkPXn 110.1|300.3nkkXnnPn 2 ()130n 2 ()10.9530n 欲使欲使()0.97530n 即即1.9630n 查表得查表得从中解得从中解得3458n即至少应取球即至少应取球3458次才能使次才能使“0”出现的频率在出现的频率在0.09-0.11之间的概率至少是之间的概率至少是0.95.（2）解：在）解：在100次抽取中次抽取中, 数码数码“0”出现次数为出现次数为1001kkX由中心极限定理由中心极

11、限定理,100100111001()N0 1()kkkkkkXE XD X 近近似似地地（ ，）)1 , 0(N3101001近近似似地地 kkX即即其中其中E(Xk)=0.1, D(Xk)=0.09即在即在100次抽取中，数码次抽取中，数码“0”出现次数在出现次数在7和和13之之间间的概率为的概率为0.6826.1001(713)kkPX =0.6826100110( 11)3kkXP (1)( 1) 1) 1 (2(1000,0.5),XB则则,500)( XE,250)( XD由中心极限定理由中心极限定理500(0,1)250XN近近似似例例3 3 甲乙两电影院在竞争甲乙两电影院在竞争1

12、0001000名观众，假设每位名观众，假设每位观众在选择时随机的，且彼此相互独立，问甲至观众在选择时随机的，且彼此相互独立，问甲至少应设多少个座位，才能使观众因无座位而离去少应设多少个座位，才能使观众因无座位而离去的概率小于的概率小于1 1？例例3 3解答解答 设设X表示来甲电影院的人数，甲至少设表示来甲电影院的人数，甲至少设N个座位。个座位。P XN 于于是是 250500250500NXP 2505001N%1 %99250500 N即即2 3270 99( .).因因5002 327250N., 所所以以536 79N. 解解得得537N 即即P XN 故故 250500250500NX

13、P 2505001N例例4 (供电问题供电问题)某车间有某车间有200台车床台车床,在生产期间由在生产期间由于需要检修、调换刀具、变换位置及调换工件等常于需要检修、调换刀具、变换位置及调换工件等常需停车需停车. 设开工率为设开工率为0.6, 并设每台车床的工作是独并设每台车床的工作是独立的，且在开工时需电力立的，且在开工时需电力1千瓦千瓦.问应供应多少瓦电问应供应多少瓦电力就能以力就能以99.9%的概率保证该车间不会因供电不足的概率保证该车间不会因供电不足而影响生产而影响生产? 解：对每台车床的观察作为一次试验，每次试验解：对每台车床的观察作为一次试验，每次试验 是观察该台车床在某时刻是否工作是观察该台车床在某时刻是否工作, 工作的概率工作的概率0.6 ,共进行共进行200次独立重复试验次独立重复试验.用用X表示在某时刻工作着的车床数，表示在某时刻工作着的车床数，依题意，依题意，XB(200,0.6),现在的问题是：现在的问题是：P(XN)0.999的最小的的最小的N.求满足求满足设需设需N台车床工作，台车床工作，（由于每台车床在开工时需电力（由于每台车床在开工时需电力1千瓦，千瓦，N台工作所需电力即台工作所需电力即N千瓦千瓦.）