第三章光学成像系统的传递函数20150510

1、传统的光学系统像质评价方法是传统的光学系统像质评价方法是星点法星点法和和分辨率法分辨率法星点法星点法指检验点光源经过光学系统所产生的像斑，指检验点光源经过光学系统所产生的像斑，由于像差、玻璃材料不均匀以及加工和装配缺陷等使由于像差、玻璃材料不均匀以及加工和装配缺陷等使像斑不规则像斑不规则, ,很难对它作出定量计算和测量，检验者的很难对它作出定量计算和测量，检验者的主观判断主观判断将带入检验结果中。将带入检验结果中。分辨率法分辨率法虽能定量评价系统虽能定量评价系统分辨景物细节分辨景物细节的能力，的能力，但并不能对可分辨范围内的像质好坏给予全面评价。但并不能对可分辨范围内的像质好坏给予全面评价。第

2、三章第三章 光学成像系统的传递函数光学成像系统的传递函数 光学成像系统是光学成像系统是信息传递信息传递的系统。的系统。 在一定条件下，成像系统可以看做空间不变的在一定条件下，成像系统可以看做空间不变的线性系统线性系统，因而可以用线性系统理论来研究它的性能，把输入信息分因而可以用线性系统理论来研究它的性能，把输入信息分解为由本征函数构成的频率分量，研究这些空间频率分量解为由本征函数构成的频率分量，研究这些空间频率分量在系统传递过程中，丢失、衰减、相移等等变化，即研究在系统传递过程中，丢失、衰减、相移等等变化，即研究这些空间频率特性或这些空间频率特性或传递函数传递函数。显然，这是一种。显然，这是一

3、种全面评价全面评价光学系统像质的科学方法。光学系统像质的科学方法。 输出像的质量完全取决于光学系统的输出像的质量完全取决于光学系统的传递特性传递特性。传递函数传递函数可由光学系统的设计数据计算得出。可由光学系统的设计数据计算得出。虽然计算传递函数的步骤比较麻烦，但是，大容量高速虽然计算传递函数的步骤比较麻烦，但是，大容量高速度电子计算机的出现以及高精度光电测试技术的发展，度电子计算机的出现以及高精度光电测试技术的发展，使光学传递函数的计算和测量日趋完善，并得到了实际使光学传递函数的计算和测量日趋完善，并得到了实际的应用。的应用。3.1 3.1 相干照明衍射受限系统的点扩散函数相干照明衍射受限系

4、统的点扩散函数任何平面物场分布都可以看做是无数小面元的组合，而每任何平面物场分布都可以看做是无数小面元的组合，而每个面元都可以看做一个个面元都可以看做一个加权的加权的 函数函数对于一个透镜或一个成像系统，如果能清楚地了解物平面对于一个透镜或一个成像系统，如果能清楚地了解物平面上任一小面元的光振动通过成像系统后在像平面上造成的光上任一小面元的光振动通过成像系统后在像平面上造成的光振动分布情况，通过振动分布情况，通过线性迭加线性迭加，原则上便能求得任何物面光，原则上便能求得任何物面光场分布通过系统后所形成的像面光场分布，进而求得像面场分布通过系统后所形成的像面光场分布，进而求得像面强强度分布度分布

5、这就是相干照明下的成像过程，这就是相干照明下的成像过程，2022-6-15当该面元的光振动为单位脉冲函数时，这个像场分布函数叫当该面元的光振动为单位脉冲函数时，这个像场分布函数叫做点扩散函数或脉冲响应，通常用做点扩散函数或脉冲响应，通常用它表示物平面上（它表示物平面上（ x x0 0,y,y0 0 ）点的单位脉冲通过成像系统后在像）点的单位脉冲通过成像系统后在像平面上（平面上（ x xi i,y,yi i ）点产生的光场分布。一般来说，它既是）点产生的光场分布。一般来说，它既是（ x x0 0,y,y0 0 ）的函数，又是的函数，又是(x(xi i,y,yi i）的函数。的函数。),;,(00

6、iiyxyxh表示表示2022-6-16),(00yx一辐输入图像可看成是一个点物的集合，只要能确定所有点一辐输入图像可看成是一个点物的集合，只要能确定所有点物的像，就可以完备地描述这一成像系统的效应。但要注意物的像，就可以完备地描述这一成像系统的效应。但要注意的是，一定要把所有物点的像叠加起来，才能得到输出图像。的是，一定要把所有物点的像叠加起来，才能得到输出图像。即完全确定一个线性系统的性质，需要知道系统对于输入平即完全确定一个线性系统的性质，需要知道系统对于输入平面上所有可能位置上的面上所有可能位置上的 函数输入的脉冲响应。函数输入的脉冲响应。),(iiyx3.1.1 3.1.1 透镜的

7、透镜的点扩散函数点扩散函数1U1U iU),(00yx0did0U),(yx),(iiyx如图，在单色光照明下，一个薄如图，在单色光照明下，一个薄的无像差的正透镜对透射物成实的无像差的正透镜对透射物成实像的简单情况。下面研究四个面像的简单情况。下面研究四个面上的光场的复振幅分布，进而求上的光场的复振幅分布，进而求出系统的输入和输出的关系。出系统的输入和输出的关系。菲涅耳衍射公式菲涅耳衍射公式0000020200000)(2exp)(2exp),(dydxyyxxdjyxdkjyxU )(2exp1),(22001yxdkjjdyxU 2022-6-181U1U iU),(00yx0did0U)

8、,(yx),(iiyx0000020200000)(2exp)(2exp),(dydxyyxxdjyxdkjyxU )(2exp1),(22001yxdkjjdyxU 透镜的复振幅透过率为透镜的复振幅透过率为 222exp),(),(yxfkjyxPyxtl),(yxP为光瞳函数为光瞳函数透镜后的透射光场为透镜后的透射光场为),(),(),(11yxtyxUyxUl id光波传播距离光波传播距离，需要再次运用菲涅耳衍射公式计算，需要再次运用菲涅耳衍射公式计算iUdxdyyyxxdjyxdjyxUiiii )(2exp)(2exp),(221 )(2exp1),(22iiiiiiiyxdkjjd

9、yxU 1U1U iU),(00yx0did0U),(yx),(iiyx将将),(1yxU 代入上式，并弃去常量相位因子得代入上式，并弃去常量相位因子得 )(2exp)(111(2exp20200220yxdkjyxfddkji),(),()(2exp1),(0002220yxPyxUyxdkjddyxUiiiiiii dxdydydxyyxxdjyyxxdjiii00000)(2exp)(2exp 这是一个复杂的这是一个复杂的四重积分四重积分，必须作进一步的简化。我们来看三个，必须作进一步的简化。我们来看三个含有二次相位因子的项：含有二次相位因子的项： )(2exp22iiiyxdkj不影响

10、最终探测的强度分布，可以弃去。不影响最终探测的强度分布，可以弃去。积分号内的两个二次相位因子和积分变量（积分号内的两个二次相位因子和积分变量（x,yx,y）、（）、（x x0 0,y,y0 0）有有关，只有在一定的条件下才能弃去。关，只有在一定的条件下才能弃去。2022-6-111 )(2exp)(111(2exp20200220yxdkjyxfddkji),(),()(2exp1),(0002220yxPyxUyxdkjddyxUiiiiiii dxdydydxyyxxdjyyxxdjiii00000)(2exp)(2exp 假定点物产生的影响是一个很小的像斑，那么能够对于像面假定点物产生的

11、影响是一个很小的像斑，那么能够对于像面上（上（xi,yixi,yi）点光场产生有意义的贡献的，必定只是物面上以几点光场产生有意义的贡献的，必定只是物面上以几何成像所对应的物点为中心的何成像所对应的物点为中心的微小区域微小区域。如果在这个微小区。如果在这个微小区域内域内 )(2exp20200yxdkj的相位变化不大于几分之一弧度，则可作的相位变化不大于几分之一弧度，则可作以下近相似。以下近相似。 )(2exp20200yxdkj )(2exp2220Myxdkjii其中其中0ddMi 是系统的放大倍率。经过近似后的相位因子不再是系统的放大倍率。经过近似后的相位因子不再依赖于依赖于(x(x0 0

12、,y,y0 0), ),它同样不会影响它同样不会影响x xi iy yi i平面强度探测，因此，可以平面强度探测，因此，可以弃去。弃去。另外，假定选择观察平面，使它与透镜距离另外，假定选择观察平面，使它与透镜距离didi满足：满足：01110 fddi则积分号内关于（则积分号内关于（x,y)x,y)的二次相位因子将消失，上式正是几的二次相位因子将消失，上式正是几何光学的透镜成像定律。何光学的透镜成像定律。这样上式已大简化。我们先对这样上式已大简化。我们先对(x(x0 0,y,y0 0) )积分积分 ),(1),(00020yxUddyxUiiii dxdyyyxxdjyxPiii )(2exp

13、),( 00000)(2expdydxyyxxdj ),(1),(00020dydxGddyxUiiii dxdyyyxxdjyxPiii )(2exp),( ),(000dydxG 是是U U0 0的傅里叶变换。上式表明成像过程经历了的傅里叶变换。上式表明成像过程经历了两两次傅里叶变换次傅里叶变换，物的频谱成分在传递过程中将受物的频谱成分在传递过程中将受到有限大小的光瞳的截取。到有限大小的光瞳的截取。),(,yxfyxfFF对二元函数作二次对二元函数作二次傅里叶变换，傅里叶变换，可得其倒立像可得其倒立像2022-6-114 ),(1),(00020dydxGddyxUiiii dxdyyyx

14、xdjyxPiii )(2exp),( ),(000dydxG 是是U U0 0的傅里叶变换。上式表明成像过程经历了两次傅里叶的傅里叶变换。上式表明成像过程经历了两次傅里叶变换，变换，物的频谱成分在传递过程中将受到有限大小的光瞳物的频谱成分在传递过程中将受到有限大小的光瞳的截取。的截取。 ),(100020dydxGddi 而而dxdyyyxxdjiii )(2exp 0dx 0dy 上式等于上式等于 ),(1020 Gddi20200)(2expddddydxdjiii 该式的傅里叶该式的傅里叶变换，卷积定变换，卷积定理理),(1000iiiiddyddxUM ),(10MyMxUMii 设

15、设为光瞳函数的傅里叶变换，即为光瞳函数的傅里叶变换，即上式等于上式等于 ),(1020 Gddi20200)(2expddddydxdjiii ),(00 Gddi ddddyddxjiiii )(2exp00 ),(00 Gddi ddddyddxjiiii )()(2exp00 ),(yxP),()(2expiiiiiyxhdxdyyyxxdj h傅里叶傅里叶逆变换逆变换利用卷积定理得利用卷积定理得 ),(10MyMxUMii ),(iiiyxU),(iiyxh0000000),(),(1),(ydxdyyxxhMyMxUMyxUiiiii 0000000),(),(),(dydxMyyM

16、xxhMyxUyxUiiiii 由于光波传播的线性性质，由于光波传播的线性性质，U Ui i本来就本来就可以用下述迭加积分表示可以用下述迭加积分表示0000000),;,(),(),(dydxyxyxhyxUyxUiiiii 0000000),;,(),(dydxyxyxhMyxUii 0000,MyyMxx 令：令：hMh 因此因此h可看作系统的脉冲响应，即点扩散函数。可看作系统的脉冲响应，即点扩散函数。0000,MyyMxx 是几何光学理想像点的坐标。是几何光学理想像点的坐标。我们可以定义一个我们可以定义一个新函数新函数),(1),(0MyMxUMyxUiiiig 表示几何光学的理想像表示

17、几何光学的理想像假如不考虑衍射效应，即透镜的孔径为假如不考虑衍射效应，即透镜的孔径为无限大无限大，1),( yxP ),(10MyMxUMii ),(iiiyxU),(),(iiiiyxyxh ),(iiyxh),(10MyMxUMii ),(iigyxU 这时点物能产生严格的点像。这时物体能准确复现。这时点物能产生严格的点像。这时物体能准确复现。但是，实际上必须考虑透镜有限孔径的衍射效应，但是，实际上必须考虑透镜有限孔径的衍射效应，h是一个是一个衍射斑。衍射斑。dxdyyyyxxxdjyxPyyxxhiiiii )()(2exp),(),(0000 上式就等于透镜孔径的夫琅和费衍射图样上式就

18、等于透镜孔径的夫琅和费衍射图样，其中心位于理想像点，其中心位于理想像点),(00yx注：物平面上一点注：物平面上一点(x(x0 0,y,y0 0) )经透镜成像后得到一个衍射斑经透镜成像后得到一个衍射斑 ),(10MyMxUMii ),(iiiyxU),(iiyxh这时像的光场分布等于几何光学理想像与系统脉冲响应的卷积这时像的光场分布等于几何光学理想像与系统脉冲响应的卷积上述结论表明，由透镜构成的成像系统可看作线性空间不上述结论表明，由透镜构成的成像系统可看作线性空间不变系统。其输入物和输出像之间的关系由上式卷积积分确变系统。其输入物和输出像之间的关系由上式卷积积分确定。可以从叠加性质和不变性

19、两方面理解卷积成像的物理定。可以从叠加性质和不变性两方面理解卷积成像的物理含义。把输入物看作点源的集合，它们在像平面上以几何含义。把输入物看作点源的集合，它们在像平面上以几何光学理想像点为中心光学理想像点为中心产生各自的衍射斑，这些衍射斑的函产生各自的衍射斑，这些衍射斑的函数形式相同，都是透镜孔径的夫琅和费衍射图样，但受到数形式相同，都是透镜孔径的夫琅和费衍射图样，但受到对应物点光场的适当加权。对应物点光场的适当加权。0000000),(),(1),(ydxdyyxxhMyMxUMyxUiiiii 0000,MyyMxx 这些脉冲响应的相干叠加给出像面的复振幅分布。系统的作这些脉冲响应的相干叠

20、加给出像面的复振幅分布。系统的作用正是把物平面上用正是把物平面上点的集合点的集合变换为像平面上重叠衍射变换为像平面上重叠衍射斑的集斑的集合合。因而像不再是物体的准确复现，而是物体。因而像不再是物体的准确复现，而是物体 的平滑变形，的平滑变形，孔径愈小，脉冲响应愈宽，变形就愈严重。这种平滑化使像孔径愈小，脉冲响应愈宽，变形就愈严重。这种平滑化使像中失去物体的精细结构，尤其当这种细节变化的周期小于脉中失去物体的精细结构，尤其当这种细节变化的周期小于脉冲响应的宽度。冲响应的宽度。下图是卷积成像的示意图下图是卷积成像的示意图gU0 x0 xh =iU0 x物函数物函数脉冲响应脉冲响应像函数像函数3.1

21、.2 衍射受限系统的点扩散函数衍射受限系统的点扩散函数1 1、成像系统的普遍模型、成像系统的普遍模型 考虑一个一般的成像系统，它可能由几个透镜（正透镜或负考虑一个一般的成像系统，它可能由几个透镜（正透镜或负透镜）组成，透镜也不必是薄的，系统最终给透镜）组成，透镜也不必是薄的，系统最终给 出一个实像。出一个实像。我们将为这样一个系统建立一个普遍适用的模型。我们将为这样一个系统建立一个普遍适用的模型。0y0 x),(00yxiyix),(00MyMx透镜组透镜组xy入瞳入瞳出瞳出瞳黑箱黑箱id由上图可知，任意成像系统都可以分为三个部分：由上图可知，任意成像系统都可以分为三个部分：物平面到入瞳；物平

22、面到入瞳；入瞳到出瞳；出瞳到像平面。入瞳到出瞳；出瞳到像平面。0y0 x),(00yxiyix),(00MyMx透镜组透镜组xy入瞳入瞳出瞳出瞳黑箱黑箱id2022-6-123入瞳和出瞳是指系统入瞳和出瞳是指系统限制光束限制光束的孔径光阑在物像空间的几何像。的孔径光阑在物像空间的几何像。入瞳入瞳出瞳出瞳),(yxP光阑光阑对整个光学系统而言，对整个光学系统而言，入瞳和出瞳保持物像其轭关系入瞳和出瞳保持物像其轭关系。由入瞳限制的。由入瞳限制的物方光束必能全部通过系统，成为被出射光瞳所限制的像方光束。物方光束必能全部通过系统，成为被出射光瞳所限制的像方光束。光波在一、三两个部分内的传播可按光波在一

23、、三两个部分内的传播可按菲涅耳衍射菲涅耳衍射处理，而对于第二部分，处理，而对于第二部分，即透镜系统，在等晕条件下，可把它看作一个即透镜系统，在等晕条件下，可把它看作一个“黑箱黑箱”。只要能够确定。只要能够确定它两端的边端性质，整个透镜组的性质就可以确定下来，而不必考虑其它两端的边端性质，整个透镜组的性质就可以确定下来，而不必考虑其内部结构。这里黑箱的两端是入瞳和出瞳。内部结构。这里黑箱的两端是入瞳和出瞳。所谓边端性质应是指所谓边端性质应是指成像光成像光波波在入瞳和出瞳平面的物理性质。在入瞳和出瞳平面的物理性质。0y0 x),(00yxiyix),(00MyMx透镜组透镜组xy入瞳入瞳出瞳出瞳黑

24、箱黑箱id为了确定系统的为了确定系统的脉冲响应脉冲响应，需要知道这个黑箱对于点光源发出的球面波的，需要知道这个黑箱对于点光源发出的球面波的变换变换作用，即当入瞳平面输入发散球面波时，在出瞳平面透射波前的性质。作用，即当入瞳平面输入发散球面波时，在出瞳平面透射波前的性质。对于实际的透镜组，这一边端性质千差万别，但总可以分为两类：对于实际的透镜组，这一边端性质千差万别，但总可以分为两类：衍射受衍射受限系统和有像差系统。限系统和有像差系统。衍射受限系统是指系统可以衍射受限系统是指系统可以不考虑像差不考虑像差的影响，仅仅考虑光瞳产生的衍射的影响，仅仅考虑光瞳产生的衍射限制。当像差很小，或者系统的孔径和

25、视场都不大，实际光学系统就可以限制。当像差很小，或者系统的孔径和视场都不大，实际光学系统就可以近似看作是衍射受限的系统。近似看作是衍射受限的系统。0y0 x),(00yxiyix),(00MyMx透镜组透镜组xy入瞳入瞳出瞳出瞳黑箱黑箱id它的边端性质是：物面上任一点光源发出的它的边端性质是：物面上任一点光源发出的发散球面波发散球面波投射到投射到入瞳上，被透镜组变换为出瞳上的入瞳上，被透镜组变换为出瞳上的会聚球面波会聚球面波。有像差系统的边端性质有像差系统的边端性质是：点光源发出的发散球面波投射到入是：点光源发出的发散球面波投射到入瞳上，出瞳处的波前瞳上，出瞳处的波前明显偏离理想球面波明显偏离

26、理想球面波。偏离的程度可由波。偏离的程度可由波像差描述，它决定于透镜组本身的物理结构。像差描述，它决定于透镜组本身的物理结构。0y0 x),(00yxiyix),(00MyMx透镜组透镜组xy入瞳入瞳出瞳出瞳黑箱黑箱id2022-6-1272 2、阿贝（阿贝（Abbe)Abbe)成像理论成像理论阿贝基于对显微镜成阿贝基于对显微镜成像的研究，像的研究，18731873年提年提出了其衍射成像理论。出了其衍射成像理论。他认为成像过程包含他认为成像过程包含了两次衍射过程。了两次衍射过程。焦平面焦平面物体物体-2-2级级+2+2级级-1-1级级+1+1级级0 0级级采用相干光波照明物采用相干光波照明物体

27、，可以把物体看作体，可以把物体看作一个复杂的衍射光栅，一个复杂的衍射光栅，衍射光波在透镜后焦衍射光波在透镜后焦平面形成物体的夫琅平面形成物体的夫琅和费衍射图样。和费衍射图样。像像把后焦面上的点看作相干把后焦面上的点看作相干的的次级波源次级波源，发出子波，发出子波，在像面上相干叠加产生物在像面上相干叠加产生物体的像。体的像。两次衍射过程也就是两次两次衍射过程也就是两次傅里叶变换的过程：由物傅里叶变换的过程：由物面到后焦面，物体衍射光面到后焦面，物体衍射光波分解为各种频率的角谱波分解为各种频率的角谱分量，即不同方向传播的分量，即不同方向传播的平面波分量，在后焦面上平面波分量，在后焦面上得到物体的频

28、谱。得到物体的频谱。这是一次傅里叶变换过程。由后焦面到像面，各角谱分量又合这是一次傅里叶变换过程。由后焦面到像面，各角谱分量又合成为像，这是一次傅里叶逆变换过程。成为像，这是一次傅里叶逆变换过程。焦平面焦平面物体物体-2-2级级+2+2级级-1 -1级级+1+1级级0 0级级像像2022-6-129当不考虑有限光瞳的限制时，物体所有频率分量都参与成像，当不考虑有限光瞳的限制时，物体所有频率分量都参与成像，所得的像应逼真于物。但实际上，由于物镜有限大小光瞳的所得的像应逼真于物。但实际上，由于物镜有限大小光瞳的限制，物体限制，物体 的频率分量只有一部分能参与变换。一些高频率的频率分量只有一部分能参

29、与变换。一些高频率成分被丢失，因而产生像的失真，即影响像的清晰度或分辨成分被丢失，因而产生像的失真，即影响像的清晰度或分辨率。率。焦平面焦平面物体物体-2-2级级+2+2级级-1-1级级+1+1级级0 0级级像像当高频分量具有的能量很弱，当高频分量具有的能量很弱，或者物镜足够大，丢失的高或者物镜足够大，丢失的高频分量的影响就小，像也就频分量的影响就小，像也就更近似于物。因此，光学系更近似于物。因此，光学系统的作用类相似于统的作用类相似于一个低通一个低通滤波器滤波器，它滤掉了物体的高，它滤掉了物体的高频成分，而只允许一定范围频成分，而只允许一定范围内的低频成分通过系统，这内的低频成分通过系统，这

30、正是任何光学系统不能正是任何光学系统不能传递传递物面全部细节的根本原因。物面全部细节的根本原因。AbbeAbbe认为衍射效应是由于认为衍射效应是由于的，的，18961896年瑞利提年瑞利提出衍射效应来自有限的出瞳。由于一个光瞳只不过是另一个光出衍射效应来自有限的出瞳。由于一个光瞳只不过是另一个光瞳的的几何像，这两种看法是等价的。瞳的的几何像，这两种看法是等价的。衍射效应可以归结为有衍射效应可以归结为有限大小的入瞳（或出瞳）对于成像光波的限制。限大小的入瞳（或出瞳）对于成像光波的限制。焦平面焦平面物体物体-2-2级级+2+2级级-1-1级级+1+1级级0 0级级像像2022-6-131瑞利衍射理

31、论瑞利衍射理论瑞利认为：衍射效应来自有效大小的出瞳瑞利认为：衍射效应来自有效大小的出瞳由于一个光瞳不过是另一个光瞳的几何像由于一个光瞳不过是另一个光瞳的几何像与阿贝衍射理论等效与阿贝衍射理论等效衍射效应可归结为入瞳或出瞳对于成像光波的限制衍射效应可归结为入瞳或出瞳对于成像光波的限制3 3、单色光照明的衍射受限系统、单色光照明的衍射受限系统单色光照明时，由于光传播的线性性质，像面复振幅分布可以用叠加积单色光照明时，由于光传播的线性性质，像面复振幅分布可以用叠加积分表示：分表示：0000000),;,(),(),(dydxyxyxhyxUyxUiiii 0y0 x),(00yxiyix),(00M

32、yMx透镜组透镜组xy入瞳入瞳出瞳出瞳黑箱黑箱id对衍射受限系统来说，对衍射受限系统来说，h h是由从是由从出瞳出瞳向理想像点（向理想像点（MxMx0 0,My,My0 0) )会聚的球面波会聚的球面波产生的。这里产生的。这里MM是放大倍率。由于受有限大小光瞳的是放大倍率。由于受有限大小光瞳的限制限制，该透射波传播，该透射波传播到像平面产生一个衍射斑。到像平面产生一个衍射斑。 由于出射光瞳的限制作用，在像面上将产生以理想像点为由于出射光瞳的限制作用，在像面上将产生以理想像点为中心的出瞳孔径的夫琅禾费衍射图样。中心的出瞳孔径的夫琅禾费衍射图样。 因此，可写出物面上以点的单位脉冲通过衍射受限系统后

33、因此，可写出物面上以点的单位脉冲通过衍射受限系统后在与物面共轭的像面上的复振幅分布，即点扩散函数在与物面共轭的像面上的复振幅分布，即点扩散函数:dxdyyMyyxMxxdjyxPKyxyxhiiiii )()(2exp ),(),;,(000000Mxx 00Myy Kyxyxhii),;,(00dxdyyyyxxxdjyxPiii )()(2exp),(00 K为复常数，令为复常数，令结果表明，单色光照明时，衍射受限系统的脉冲响应是光学系结果表明，单色光照明时，衍射受限系统的脉冲响应是光学系统统出瞳出瞳的夫琅和费衍射图样，其中心在几何光学的理想像点的夫琅和费衍射图样，其中心在几何光学的理想像

34、点),(00yx略去积分号前的系数，略去积分号前的系数，脉冲响应就是脉冲响应就是光瞳函数光瞳函数的傅里叶变换的傅里叶变换, , ),(iiyxhF F iiiidydxyxP ,),(例如，对于矩形或圆形孔径的光瞳，成像系统的脉冲响应分别例如，对于矩形或圆形孔径的光瞳，成像系统的脉冲响应分别是是sincsinc函数和爱里斑。函数和爱里斑。脉冲响应具有空不变性质，即物点发生变化时，像平面上的脉脉冲响应具有空不变性质，即物点发生变化时，像平面上的脉冲响应仅改变位置，函数形式不变。冲响应仅改变位置，函数形式不变。),;,(00yxyxhii代入下式代入下式0000000),;,(),(),(dydx

35、yxyxhyxUyxUiiiii 00000002),(),(1),(ydxdyyxxhMyMxUMyxUiiiii 00000002),(),(1),(ydxdyyxxhMyMxUMyxUiiiii 定义定义Mhh ),(1),(0MyMxUMyxUiiiig 则则000000),(),(),(ydxdyyxxhyxUyxUiigiii ),(),(),(iiiigiiiyxhyxUyxU 这一卷积积分表明，不仅对薄的单透镜系统，而且对更普遍这一卷积积分表明，不仅对薄的单透镜系统，而且对更普遍的情形，衍射受限的成像系统仍可以看作是线性空间不变系的情形，衍射受限的成像系统仍可以看作是线性空间不

36、变系统。统。像的复振幅分布是几何光学理想像和系统出瞳所确定的像的复振幅分布是几何光学理想像和系统出瞳所确定的脉冲响应的卷积。脉冲响应的卷积。3.3 3.3 衍射受限相干成像系统的频率响应衍射受限相干成像系统的频率响应衍射受限的相干成像系统对于复振幅的传递是线性空间不变系统。这衍射受限的相干成像系统对于复振幅的传递是线性空间不变系统。这同时意味着系统对于强度变换是非线性的。原因是此时光场是相干叠同时意味着系统对于强度变换是非线性的。原因是此时光场是相干叠加。所以，本节的讨论仅适用于线性的复振幅变换。加。所以，本节的讨论仅适用于线性的复振幅变换。3.3.13.3.1相干传递函数相干传递函数相干成像

37、系统的物像关系由卷积积分描述。相干成像系统的物像关系由卷积积分描述。000000),(),(),(ydxdyyxxhyxUyxUiigiii ),(),(),(iiiigiiiyxhyxUyxU ),(1),(0MyMxUMyxUiiiig 表示几何光学的理想像表示几何光学的理想像h是系统的脉冲响应，即点扩散函数。是系统的脉冲响应，即点扩散函数。卷积成像是把点物看作基元物，像是点物产生的衍射图样的相干叠加。卷积成像是把点物看作基元物，像是点物产生的衍射图样的相干叠加。系统的特性完全由点物所成的像斑的复振幅分布所决定。系统的特性完全由点物所成的像斑的复振幅分布所决定。我们也可以从我们也可以从频域

38、频域分析成像过程。选择分析成像过程。选择复指数函数复指数函数为基元函数，考虑为基元函数，考虑系统对各种频率成分的传递特性。系统对各种频率成分的传递特性。F F定义系统的输入频谱和输出频谱分别为定义系统的输入频谱和输出频谱分别为 ),(iigyxU ),( gcG ),( icG ),(iiiyxUF F相干传递函数相干传递函数（CTFCTF）为为 ),( CH ),(iiyxhF F由卷积定理由卷积定理),( gcG ),( icG),( cH由上式可以看出，由上式可以看出，),( cH表征了衍射受限系统在频域中的作用表征了衍射受限系统在频域中的作用它使输入频谱它使输入频谱),( gcG转化为

39、输出频谱转化为输出频谱),( icG),( cH决定于系统本身的物理结构。决定于系统本身的物理结构。Kyxyxhii) ;,;,(00dxdyyyyxxxdjyxPiii )()(2exp),(00 Kyxhii),( dxdyyyxxdjyxPiii 2exp),( ),( cH iiiiiidydxyxjyxh)(2exp),( 由于是空不变系统，可以用由于是空不变系统，可以用 的脉冲响应表示成的脉冲响应表示成像系统的特性像系统的特性000 yx ),( cH )(2exp),(iiiyyxxdjyxPK dxdydydxyxjiiii)(2exp dxdyyxPK ),(iiiiiidy

40、dxdyydxxj 2exp ),(yxPKdxdydydxii),( 利用利用 函数的比例性质和筛选性质，并略去常系数函数的比例性质和筛选性质，并略去常系数 ),(yxPdxdydydxdiii ),(1 ),( cH),( iiddP ),( cH上式指出，相干传递函数（上式指出，相干传递函数（CTFCTF）等于光瞳函数，仅在空域坐标）等于光瞳函数，仅在空域坐标x,yx,y和频域和频域坐标坐标 ),( 之间存在着一定的坐标缩放关系。之间存在着一定的坐标缩放关系。如果在一个反演的坐标中来定义如果在一个反演的坐标中来定义P P，则可以去掉负号的累赘。，则可以去掉负号的累赘。),( cH),(

41、iiddP 实际光瞳函数总是取实际光瞳函数总是取1 1和和0 0两个值，所以相干传递函数也是如此，只有两个值，所以相干传递函数也是如此，只有0 0和和1 1 两个值，这表明，在频域中存在一个有限通频带，此通带内全部频率分量两个值，这表明，在频域中存在一个有限通频带，此通带内全部频率分量可以通过系统而没有振幅和相位畸变。而通带以外的频率分量完全被衰减可以通过系统而没有振幅和相位畸变。而通带以外的频率分量完全被衰减掉。因此，衍射受限系统是掉。因此，衍射受限系统是一个低通滤波器一个低通滤波器，低于某一频率的分量按原样，低于某一频率的分量按原样通过，高于该频率的分量将被截止。这个频率称为截止频率通过，

42、高于该频率的分量将被截止。这个频率称为截止频率. .c 相干传递函数计算和运用的例子。相干传递函数计算和运用的例子。例例1 1、正方形出瞳的衍射受限系统的相、正方形出瞳的衍射受限系统的相干传递函数干传递函数x xy yl lyrectlxrectyxP),(光瞳函数为光瞳函数为相干传递函数为相干传递函数为),( cH),( iiddP )()(ldrectldrectii icdl 2 由由rectrect定义，定义，设设),( cH)2()2(ccrectrect ),( cHidl 2idl 2 icdl 2 是是 轴和轴和 轴轴方向的截止频率。方向的截止频率。这里这里icdl 2 是是高

43、斯像面的截止频率高斯像面的截止频率。实际物面的截止频。实际物面的截止频率还应乘以放大倍数率还应乘以放大倍数MM。因为物被放大以后，空间频率变小。因为物被放大以后，空间频率变小。例例2 2、圆形出瞳的衍射受限系统的相干传递函数、圆形出瞳的衍射受限系统的相干传递函数 2/),(22lyxcircyxPxy),( cH 0idl 2),( cH),( iiddP 2/)()(22lddcircii ccirc 22icdl 2 为各个方向的截止频率。为各个方向的截止频率。例例3 3、如图所示为衍射受限系统的相干成像系统，矩形光阑、如图所示为衍射受限系统的相干成像系统，矩形光阑缝宽缝宽l =3cm,=

44、3cm,透镜焦距透镜焦距 f =5cm=5cm，照明光波长，照明光波长cm410 成像倍率成像倍率M=1,M=1,如果物体是振幅透过率如果物体是振幅透过率 nndxxt)()(000 的理想光栅，周期的理想光栅，周期d=0.01mm,d=0.01mm,求像的强度分布。求像的强度分布。l0 xixid解：解： 首先确定系统的相干传递函数首先确定系统的相干传递函数1 Mcmf5 fddi1110 cmfdi102 1502 icdl 周周/mm/mm)( cH )2(crect 1, 1,c 0,0,c 采用单位振幅平面波垂直照射，几何光学理想像的场分布采用单位振幅平面波垂直照射，几何光学理想像的

45、场分布UgUg就等于物体的透过率，就等于物体的透过率， niigndxxU)()( 输入频谱输入频谱 ngdndG)(1)( 输出频谱输出频谱)()()( gciGHG 1001 d周周/mm/mm )1()1()(1ddd 由例由例1结论结论2022-6-146),(yxff)()(yrectxrect)(sin)(sinyxfcfc),(yx)(2exp00yfxfiyx)()(yx )(sin)(sin22yxfcfc),(00yyxx)()(ycombxcomb)()(yxfcombfcomb(2expbyaxi),(bfafyx)(xstepxxfif21)(21)2cos(0 xf

46、)()(2100ffffxx)(exp22yx )(exp22yxff)2cos(0 xfx)()(2100 xxxxx)(22yxcirc22221)2(yxyxffffJ)2sin(0 xf)()(2100ffffixx)sgn()sgn(yxyxfifi11)()(200 xxxxix)2sin(0 xfx)(22yxie)(222yxffiiee常用函数的傅里叶变换对略去常系数，像光场分布为略去常系数，像光场分布为 dxjdxjxUiiii 2exp2exp1)( dxi 2cos21成像系统在空域和频域的作用成像系统在空域和频域的作用如下图所示如下图所示，从像面强度分布，从像面强度分

47、布，还可以看出光栅仍能分辨。像与还可以看出光栅仍能分辨。像与 物具有相同的周期，但在两物具有相同的周期，但在两个主极大之间出现次极大，光栅条纹已经变形。系统通个主极大之间出现次极大，光栅条纹已经变形。系统通过过频频带愈宽，像与物愈相似。假如带愈宽，像与物愈相似。假如1001 dc 周周/mm/mm物的基频成分也不能传递到像面，将看不到光栅的像。物的基频成分也不能传递到像面，将看不到光栅的像。光栅成像的强度分布光栅成像的强度分布gUixdd hix iUixgG d1 d1 )( cHiG d1 d1 空域和频域的运算结果空域和频域的运算结果光栅成像的强度分布光栅成像的强度分布例例4 4 用一直

48、径为用一直径为D D，焦距为，焦距为f f 的理想单透镜对相干照明物体成的理想单透镜对相干照明物体成像。若物方空间截止频率为像。若物方空间截止频率为 ococ, ,试问当系统的放大率试问当系统的放大率MM为何值为何值时，时， ococ 有最大值？有最大值？解：设物距为解：设物距为d d0 0, ,像距为像距为d di i, ,放大率为放大率为MM。则。则0ddMi fddi1110 )1 (Mfdi icdD 2 系统的截止频率系统的截止频率MdDoci 2iocdMD 2 )1(2MfMD )11(2 MfD 此时，物置于透镜前焦面，像在像方无穷远处，在物空间的此时，物置于透镜前焦面，像在像

49、方无穷远处，在物空间的通频带为通频带为fDfD 22 由上式可知，只有当由上式可知，只有当MM为无穷大时，系统才有最大的空间截为无穷大时，系统才有最大的空间截止频率止频率fDoc 2max 例例5 5 如图表示两个相干成像系统，所用透镜的焦距都相同。单如图表示两个相干成像系统，所用透镜的焦距都相同。单透镜系统中光阑的直径为透镜系统中光阑的直径为D D，双透镜系统为了获得相同的截止，双透镜系统为了获得相同的截止频率，光阑直径频率，光阑直径a a应等于多大（相对应等于多大（相对D D写出关系式）。写出关系式）。解：这两个系统都是横向放大率为解：这两个系统都是横向放大率为1 1的系统，故不必区分物方

50、的系统，故不必区分物方截止频率和像方截止频率截止频率和像方截止频率 。对于单透镜系统的截止频率为。对于单透镜系统的截止频率为fDdDic 42 f2f2Daffff对于双透镜系统，其孔径光阑置于频谱面上，故对于双透镜系统，其孔径光阑置于频谱面上，故入瞳和出瞳入瞳和出瞳分别在物方和分别在物方和像方无穷远处。入瞳与孔径光阑保持物像其轭关系，出瞳与孔径光阑也保像方无穷远处。入瞳与孔径光阑保持物像其轭关系，出瞳与孔径光阑也保持物像其轭关系。能通过光阑的最高空间频率出必定能通过入瞳与出瞳，持物像其轭关系。能通过光阑的最高空间频率出必定能通过入瞳与出瞳，因此，因此，系统的截止频率可通过光阑的尺寸来计算。系

51、统的截止频率可通过光阑的尺寸来计算。fac 2max fD 4 2Da f2f2Da3.3.2 3.3.2 相干线扩散函数和边缘扩散函数相干线扩散函数和边缘扩散函数 测量传递函数的方法，一种是计算或测量出系统的点扩散测量传递函数的方法，一种是计算或测量出系统的点扩散函数，然后对它做傅里叶变换以确定传递函数，然后对它做傅里叶变换以确定传递 函数。函数。但在有些情况下，得不到点扩散函数的精确表达式，这种但在有些情况下，得不到点扩散函数的精确表达式，这种方法不好使用。方法不好使用。另一种方法是把大量频率另一种方法是把大量频率 不同的本征函数逐个输入系统，不同的本征函数逐个输入系统，并确定每个本征函数

52、所受到的衰减及其相移，从而得到传递并确定每个本征函数所受到的衰减及其相移，从而得到传递函数。函数。这种方法较第一种方法直接，但测量数目大，有时实现起这种方法较第一种方法直接，但测量数目大，有时实现起来相当困难，来相当困难，由线扩散函数确定传递函数是另一种方法。由线扩散函数确定传递函数是另一种方法。1 1、线扩散函数和边缘扩散函数的概念、线扩散函数和边缘扩散函数的概念 一个物点在像面上造成的强度为点扩散函数，在理想成一个物点在像面上造成的强度为点扩散函数，在理想成像下，是圆对称的。像下，是圆对称的。现在以一现在以一亮狭缝亮狭缝作为输入通过光学系统后，光强分布是往作为输入通过光学系统后，光强分布是

53、往两侧散开的，散开的情况取决于光学系统的点扩散函数。两侧散开的，散开的情况取决于光学系统的点扩散函数。因为一根亮直线或一个亮狭缝，可以看成是由许多亮点的因为一根亮直线或一个亮狭缝，可以看成是由许多亮点的集合组成的，这许多沿直线排列的点源的像点（点扩散函数）集合组成的，这许多沿直线排列的点源的像点（点扩散函数）的叠加就构成亮直线的的叠加就构成亮直线的光强光强分布，这就是线扩散函数。分布，这就是线扩散函数。0y0 x)(0 x )(),(0000 xyxU 设系统输入一线脉冲，平行于设系统输入一线脉冲，平行于y y0 0轴，即轴，即线性空不变系统的线扩散函数为线性空不变系统的线扩散函数为)(ixL

54、),()(iiiyxhx ),(iiyxh是点扩散函数。是点扩散函数。 ddhxi ),()( dxhi),( 它等于点扩散函数沿它等于点扩散函数沿y yi i方向的方向的线积分。线积分。)(ixLix现用一个与狭缝方向平行的刀片放置在像面上，开始时刀片现用一个与狭缝方向平行的刀片放置在像面上，开始时刀片完全挡住狭缝像，刀片逐渐移动，也就是逐渐放入狭缝像的完全挡住狭缝像，刀片逐渐移动，也就是逐渐放入狭缝像的光。如下图，放入光通量与图中阴影面积成比例。这样一来，光。如下图，放入光通量与图中阴影面积成比例。这样一来，在刀片的整个移动过程中，进入探测器的光通量随刀口位置在刀片的整个移动过程中，进入探

55、测器的光通量随刀口位置的变化构成一个函数的变化构成一个函数E(xE(xi i), ),这个函数就叫做这个函数就叫做边缘扩散函数边缘扩散函数。 ixidLxE )()(由上式又可得由上式又可得iiidxxdExL)()( )(ixLixix)(ixL dxhi),( dLxstepi )()( dLix )()(ixE),()(iiiyxhxstep ddhxstepi ),()(边缘扩散函数也可以用下面方法导出。对系统输入一个边缘扩散函数也可以用下面方法导出。对系统输入一个阶跃函阶跃函数数，例如均匀照明的直边或刀口形成的光分布。系统的输出阶，例如均匀照明的直边或刀口形成的光分布。系统的输出阶跃

56、响应或边缘扩散函数，即跃响应或边缘扩散函数，即2022-6-1582 2、相干线扩散函数和边缘扩散函数、相干线扩散函数和边缘扩散函数在相干照明下的狭缝在像面上产生的复振幅分布叫在相干照明下的狭缝在像面上产生的复振幅分布叫相干线扩相干线扩散函数，散函数，它的一维傅里叶变换等于系统的传递函数沿它的一维傅里叶变换等于系统的传递函数沿 方向截方向截面分布。面分布。F F )(ixL dxhi),( F F iiidxdxjxh )(2exp),(0 )0,( H 在衍射受限系统中的相干传递函在衍射受限系统中的相干传递函数在通频带内为常数，无论孔径数在通频带内为常数，无论孔径形状如何，相干传递函数的截面

57、形状如何，相干传递函数的截面总是矩形函数，因而总是矩形函数，因而)(ixL将呈将呈sincsinc函数函数变化。变化。如对于直径为如对于直径为 D D 的圆形出瞳，垂直于的圆形出瞳，垂直于孔径的任意截面，都是矩形函数，即孔径的任意截面，都是矩形函数，即)0 ,()0 ,(icdPH )0,(Ddrecti ),( cH 0idl 2线扩散函数为线扩散函数为 )(ixLF F -1-1 )0,(Ddrecti iiidDxcdD sin边缘扩散函数为边缘扩散函数为 ixidLxE )()( ddDcdDiixi sin展开式为展开式为 53600118115 . 0)(iiiiiiidDxdDx

58、dDxxE iidDx /)0(/ )(LxLi1iidDx /)(/ )( ExEi上图给出了衍射受限的相干线响应与直边响应函数。注意直边上图给出了衍射受限的相干线响应与直边响应函数。注意直边的振荡性质。直边的像不再是亮暗严格分明的，在亮区与暗区的振荡性质。直边的像不再是亮暗严格分明的，在亮区与暗区都会产生一些都会产生一些亮暗交替的条纹。亮暗交替的条纹。2022-6-162P扩展面光源扩展面光源321IIIhhhI 3.4 3.4 衍射受限非相干成像系统的传递函数衍射受限非相干成像系统的传递函数 在非相干照明下，物面上各点的振幅和相位随时间变化的方式是彼此独在非相干照明下，物面上各点的振幅和

59、相位随时间变化的方式是彼此独立的、统计无关的。这样一来，虽然物面上每一点通过系统后仍可得到一立的、统计无关的。这样一来，虽然物面上每一点通过系统后仍可得到一个对应的复振幅分布，但由于物面的照明是非相干的，故不能通过对这些个对应的复振幅分布，但由于物面的照明是非相干的，故不能通过对这些复振幅分布的相干迭加得到像的复振幅分布，而应该先由这些复振幅分布复振幅分布的相干迭加得到像的复振幅分布，而应该先由这些复振幅分布分别求出对应的强度分布，然后将这些强度分布叠加（分别求出对应的强度分布，然后将这些强度分布叠加（非相干叠加非相干叠加）而得）而得到像的强度分布。若成像系统是空不变的，则非相干成像系统是到像

60、的强度分布。若成像系统是空不变的，则非相干成像系统是强度强度的线的线性空不变系统。性空不变系统。3.4.13.4.1非相干成像系统的光学传递函数非相干成像系统的光学传递函数非相干成像系统，物像关系满足下面卷积关系式非相干成像系统，物像关系满足下面卷积关系式000000),(),(),(ydxdyyxxhyxIkyxIiiIgiii 式中式中),(00yxIg是几何光学理想像的是几何光学理想像的强度分布强度分布，),(00yxIiK K是常数，由于它不影响是常数，由于它不影响I Ii i的分布形式，所以不用给出具体表的分布形式，所以不用给出具体表达形式。达形式。h hI I为为强度脉冲响应强度脉