概率论与数理统计4-3协方差及相关系数

1、一、协方差与相关系数的一、协方差与相关系数的 概念及性质概念及性质二二、相关系数的意义相关系数的意义三、协方差矩阵三、协方差矩阵第第4.34.3节节 协方差及相关系数协方差及相关系数四、小结四、小结1. 问题的提出问题的提出 那那么么相相互互独独立立和和若若随随机机变变量量,YX).()()(YDXDYXD 不相互独立不相互独立和和若随机变量若随机变量YX?)( YXD22)()()(YXEYXEYXD ).()(2)()(YEYXEXEYDXD 一、协方差与相关系数的概念及性质一、协方差与相关系数的概念及性质 协方差协方差).()(),ov(),Cov(.)()(,),(YEYXEXEYXC

2、YXYXYEYXEXEYX 即即记为记为的协方差的协方差与与称为随机变量称为随机变量量量是二维随机变量是二维随机变量2. 定义定义.)()(),Cov(的相关系数的相关系数与与称为随机变量称为随机变量而而YXYDXDYXXY )()(),Cov(YEYXEXEYX )()(YEYEXEXE . 0 相相互互独独立立和和若若随随机机变变量量YX)3()()(2 )()()(YEYXEXEYDXDYXD ).()(YDXD 相相互互独独立立和和若若随随机机变变量量YX)2(),(Cov2)()(YXYDXD 3. 说明说明 .,)1(个个无无量量纲纲的的量量它它是是一一协协方方差差的的相相关关系系

3、数数又又称称为为标标准准和和YX4. 协方差的计算公式协方差的计算公式);()()(),Cov()1(YEXEXYEYX ).,Cov(2)()()()2(YXYDXDYXD 证明证明)()(),Cov()1(YEYXEXEYX )()()()(YEXEYXEXYEXYE ).()()(YEXEXYE )()()()(2)(YEXEYEXEXYE )()()()2(2YXEYXEYXD )()(2YEYXEXE )()(2YEYXEXE )()(22YEYEXEXE ).,Cov(2)()(YXYDXD 5. 协方差的性质协方差的性质 );,Cov(),Cov()1(XYYX ;, ),Cov

4、(),Cov()2(为为常常数数baYXabbYaX ).,Cov(),Cov(),Cov()3(2121YXYXYXX 6. 相关系数的性质相关系数的性质. 1)1( XY. 1,1)2( bXaYPbaXY使使存存在在常常数数的的充充要要条条件件是是.),(),(222121相相关关系系数数的的与与试试求求设设YXNYX解解 22222121212122212121121yyxxyxp)()()()(exp),(由由,)()( xexpxX21212121.,)()( yeypyY22222221例例1.)(,)(,)(,)(222121YDXDYEXE yxyxpyxYXdd),()()

5、,Cov( 21而而xyeeyxxyxdd)(1212112222121)1(212)(21221 ,1111222 xyt令令,11xu uteutuYXtudd)1(21),Cov(2222122122 teueutudd22222122 tteueutudd212222122,22221 .),Cov(21YX 故有故有.)()(),Cov( YDXDYXXY于于是是结论结论;,)1(的的相相关关系系数数与与代代表表了了参参数数中中二二维维正正态态分分布布密密度度函函数数YX. )2(相相互互独独立立与与等等价价于于相相关关系系数数为为零零与与二二维维正正态态随随机机变变量量YXYX.2

6、3,21),4 , 0(),3 , 1(,22YXZNNYXXY 设设分分别别服服从从已已知知随随机机变变量量.)2(.)1(的的相相关关系系数数与与求求的的数数学学期期望望和和方方差差求求ZXZ解解.16)(, 0)(, 9)(, 1)()1( YDYEXDXE由由)23()(YXEZE 得得)(21)(31YEXE .31 例例2)2,3Cov(2)2()3()(YXYDXDZD ),Cov(31)(41)(91YXYDXD )()(31)(41)(91YDXDYDXDXY . 3241 )()(21)(31YDXDXDXY . 033 . 0) )()(),Cov( ZDXDZXXY故故

7、)23,Cov(),Cov()2(YXXZX ),Cov(21),Cov(31YXXX 二、相关系数的意义二、相关系数的意义1. 相关系数的意义相关系数的意义.Y,X,XY较较密密切切的的线线性性关关系系表表明明较较大大时时当当.,线性相关的程度较差线性相关的程度较差较小时较小时当当YXXY.YX,0XY不不相相关关和和称称时时定定义义：当当 (1) 不相关与相互独立的关系不相关与相互独立的关系2. 注意注意相互独立相互独立不相关不相关(2) 不相关的充要条件不相关的充要条件; 0,1o XYYX不不相相关关; 0),Cov(,2o YXYX不不相相关关DYDXYXDYXYEXEXYEYX )

8、(,4).()()(,30o不不相相关关不不相相关关.),(的的关关系系相相关关系系数数的的概概率率密密度度曲曲面面与与二二维维正正态态随随机机变变量量 XYYX单击图形播放单击图形播放/ /暂停暂停ESCESC键退出键退出中心矩中心矩的二阶混合的二阶混合维随机变量维随机变量设设),(21nXXXn, 2 , 1, )()(),Cov( 都存在都存在njiXEXXEXEXXcjjiijiij 则称矩阵则称矩阵 nnnnnncccccccccC212222111211.协协方方差差矩矩阵阵维维随随机机变变量量的的为为n三、协方差矩阵三、协方差矩阵的协方差矩阵为的协方差矩阵为二维随机变量二维随机变

9、量例如例如),(21XX 22211211ccccC,)(21111XEXEc 其其中中),()(221112XEXXEXEc ),()(112221XEXXEXEc .)(22222XEXEc .,), 2 , 1,(阵阵为为对对称称的的非非负负定定矩矩阵阵所所以以协协方方差差矩矩由由于于njiccjiij 协方差矩阵的应用协方差矩阵的应用.,的的研研究究差差矩矩阵阵达达到到对对随随机机变变量量从从而而可可通通过过协协方方变变量量的的概概率率密密度度随随机机协协方方差差矩矩阵阵可可用用来来表表示示推广推广,)()()(2121 nnXEXEXE,),(21TnxxxX 其中其中),(21nx

10、xxp.212222111211 nnnnnncccccccccC示示为为的的概概率率密密度度可可表表维维正正态态随随机机变变量量),(21nXXXn.)()(21exp)(det)2(11212 XCXCTn四、小结四、小结协方差与相关系数的定义协方差与相关系数的定义, )()( 的协方差的协方差与与称为随机变量称为随机变量量量YXYEYXEXE ),(Cov YX记为记为)()(),(CovYEYXEXEYX . )()(),(Cov 关系数关系数的相的相与与为随机变量为随机变量称称YXYDXDYXXY ).,(Cov),(Cov. 1XYYX ).,(Cov),(Cov. 2YXabbYaX )