结构力学第七章计算超静定梁结构力学

1、本章内容本章内容 超静定结构的性质，超静定次数的确定，超静定结构的计算思路方法； 力法基本概念，荷载作用下用力法计算超静定梁、刚架、排架、桁架和组合结构。 支座移动、温度改变用力法计算超静定梁和刚架。 对称结构的特性及对称性的利用。 超静定结构的位移计算及力法校核。目的要求目的要求 1. 掌握力法的基本概念， 2. 熟练掌握力法解超静定结构的方法。 3. 能熟练利用对称性，掌握半结构的取法。 4. 掌握超静定结构的位移计算及力法计算结果的校核。重重 点点 荷载作用下的超静定结构计算。 第第7章章 力力 法法 所谓超静定结构从机动分析来讲,不仅几何形状不变而且还有多余联系,从受力分析来讲,其全部

2、反力及内力单凭静力平衡条件是无法确定的,还必须考虑结构的变形协调条件。 常见的超静定结构有超静定梁、超静定刚架、超静定桁架、超静定拱，分别见图7-1(a)、(b)、(c)、(d)及超静定组合结构见图7-1(e)、(f)。(a)(c)(e)(b)(d)(f)图7-1 7-1 7-1 超静定结构的概述超静定结构的概述 1超静定结构的概述超静定结构的概述 求解任何超静定结构，都要考虑三个方面的条件： （1）平衡条件；（2）几何条件（变形条件或位移条件）；（3）物理条件。 力法和位移法是超静定结构计算的两种基本方法。力法是以多余联系的约束力多余未知力作未知量,位移法则是以结点的某些位移作为基本未知量。

3、计算超静定结构除上述两种方法外,常用的还有力矩分配法、有限单元法等。2求解超静定结构要考虑的条件 超静定结构多余联系的数目称为该结构的超静定次数超静定次数,并用表示。多余联系中的力称为多余未知力。n=1X1(a)(c)n=2X1X1X2X2(e)n=1X1X1X2X2X1X1(d)n=3X3X3n=1(b)(f)X1X1X1n=1图7-27-2 7-2 超静定次数的确定 1超静定次数超静定次数 力法计算时,首先要判断结构的超静定次数。一般常用去掉多余联系使原结构变成静定结构的方法进行。去掉多余联系的方式常用以下几种： （1）切断一根链杆或去掉一个支座链杆相当于去掉一个联系，如图7-2(a)、(

4、b)所示。 （2）去掉一个单铰相当于去掉两个联系，如图7-2(c)所示。 （3）切断一根受弯杆件相当于去掉三个联系，如图7-2(d)所示。 （4）将受弯杆件的刚性联结改为铰结或将固定支座改为固定铰支座,相当于去掉一个联系，如图7-2(e)、(f)所示。 （5）一个封闭无铰的框格,其超静定次数等于3，见图7-2(d)所示。当结构有f个封闭无铰框格时,其超静定次数为3f。当结构有若干个铰结点时，设单铰数目为h，则超静定次数n=3f-h。 2超静定次数的确定超静定次数的确定 去掉多余约束后,则必须用与其对应的约束力代替其作用,这个约束力用广义力表示,其中=1,2,3,。图7-2(b)、(c)、(d)

5、、(e)所去掉的约束均为限制切口两侧截面的相对位移,故对应的约束力应为一对大小相等方向相反的多余未知力。对于同一个超静定结构,其超静定次数是一个定值,但哪些联系可以当作多余联系却有多种方案,总的原则必须是保证在去掉多余约束后得到的是一个静定的几何不变的结构。图7-3(a)所示结构=1,把A或B支座处水平链杆当作多余联系,去掉它们均可得到一个静定的结构，见图7-3(b)、(c)。但若将A或B支座处的竖向链杆去掉,则图7-3(d)就成为一个几何可变体系,这是因为上述竖向链杆不是多余约束。 ABBAABBAX1X1(a)(b)(c)(d)图7-3 以简单例子来说明力法的基本概念。 图7-4(a)所示

6、的连续梁超静定次数=1。若将B支座链杆当作多余联系而去掉，代图7-4之以多余未知力X1，得到图7-4(b)所示基本结构。在力法中把原超静定结构称为原结构，去掉多余联系后的静定结构称为基本结构。所去掉的多余联系，则以相应的多余未知力X1来代替。 BACql2l2原 结 构 qCA基 本 体 系 AC11BX1ACqipB(a)(b)(c)(d)X1 图7-4 7-3 7-3 力法的基本概念力法的基本概念 这样，基本结构就同时承受着荷载和多余未知力X1的作用，基本结构在原有荷载和多余未知力X1共同作用下的体系称为力法的基本体系。现在分析一下如何计算X1 。对原结构讲它代表B支座反力，是一个被动力，

7、而对基本结构来讲它是一个主动力，只要给X1任意值(保证结构不被破坏为前提)，则荷载q、 X1及A、C支座反力都能构成一组平衡力系，为了确定多余未知力，则必须考虑基本结构在X1作用点处的变形条件。由于基本结构在受力与变形两方面同原结构应一致，本例中原结构在B支座处无竖向线位移，因此基本结构在X1 、q共同作用下B处的竖向线位移也必须等于零。这一变形协调条件可用公式表达如下： 1 =0 (a) 等式左端表示基本结构在作用点的竖向线位移(沿方向的位移)，等号右端表示原结构在B点的竖向线位移。设、分别表示基本结构在及荷载单独作用时，作用点沿方向的位移，其符号都以沿假定的方向为正，见图7-4(c)、(d

8、)，根据叠加原理，变形协调条件式(a)可写为 (b) 若用表示当=1时B点的竖向线位移，则，于是(b)式又可写为： (7-1) 式中的及均为静定结构在已知力作用下的位移，完全可用第六章所学方法进行计算，则多余未知力即为 (c)基本结构在及荷载共同作用下的支座反力、内力均可利用静力平衡方程得到。 0111P01111PX1111PX 等式左端表示基本结构在作用点的竖向线位移(沿方向的位移)，等号右端表示原结构在B点的竖向线位移。设、分别表示基本结构在及荷载单独作用时，作用点沿方向的位移，其符号都以沿假定的方向为正，见图7-4(c)、(d)，根据叠加原理，变形协调条件式(a)可写为 (b) 若用表

9、示当=1时B点的竖向线位移，则，于是(b)式又可写为： (7-1) 式中的及均为静定结构在已知力作用下的位移，完全可用第六章所学方法进行计算，则多余未知力即为 (c)基本结构在及荷载共同作用下的支座反力、内力均可利用静力平衡方程得到。 0111P 由前面分析可知，基本结构的反力、内力也就是原结构的反力、内力。这种在基本结构上利用变形协调条件首先求出多余未知力，然后再根据平衡条件求出全部反力及内力的计算方法，称为力法，式(7-1)称为力法方程。 力法的基本特点可归纳如下： 1.以多余未知力(被撤消多余联系处的约束力)为基本未知量。 2.根据所去掉的多余联系处的变形协调条件建立力法方程，从而求出多

10、余未知力。 3.根据平衡条件求出全部反力及内力。 4.一切计算均在基本结构上进行。 例例7-1 用力法计算图7-5(a)所示单跨超静定梁的内力。EI为常量。 解解： (1) n=1。 (2) 选图7-5(b)为基本结构。 (3) 列力法方程。 (4) 求 、 。利用图乘法求 、 ，为此应分别画出基本结构在 =1及荷载P作用下弯矩图 图、 图，如图7-5(c)、(d)所示。 CCFl2l2FA原结构基本体系All2X1=1M1图AFFl2Mp图A632FlFl532M图516FAFS图(+)(-)1116F(a)(b)(c)(d)(e)(f)X1 A01111PX11P1P1111X1MPM 图

11、7-5由于虚拟状态的 图与 图相同，故 (5) 解力法方程。所得正号说明X1的实际方向与假设方向相同。 M1MEIllllEIdsEIMM3)3221(13111dsEIMMPP1111( 2)62222lFllPllEI 3548FlEI 1111516PFX (6) 绘内力图。 由于在整个力法的解题过程中，已绘出 图及MP 图，则最后弯矩图即可利用叠加原理得到 。而剪力图则可根据静力平衡条件求得，如图7-5(e)、(f)所示。 上例若选图7-6为基本结构，仍可得到与图7-5(e)、(f)完全相同的内力图，只是此时的 (逆时针转)表示MA值。1MPMXMM111631FlXFABCX1基本体

12、系图7-6 图7-7(a)所示结构=3，若选图7-7(b)所示悬臂刚架为基本结构，用X1、X2、X3分别表示与原结构对应的B支座处的三个支座反力，利用变形协调条件1=0、 2=0 、3=0 ，可得到 (a)式中11、 21 、31分别表示基本结构在 =1单独作用时截面沿X1、X2、X3 方向的位移， 12、 22 、32分别表示基本结构在 =1单独作用时B截面沿X1、X2、X3方向01313212111PXXX02323222121PXXX31132233330PXXX 1X2X7-4 7-4 力法的典型方程力法的典型方程 1. 力法的典型方程力法的典型方程 的位移，13、23 、33及1p

13、、2p 、3p 分别表示基本结构在 =1及荷载单独作用时B截面沿X1、X2、X3方向的位移，如图7-7(c)、(d)、(e)、(f)所示。本例原结构在B支座处无任何方向的支座移动，故(a)式等号右端均为零。3X原 结 构CBAF1F2F2F1AX1X2X3CCX2= 1X3= 1CC3 P2 P1 PF1F2(a )(b )(c )(d )(e )(f)X11基 本 体 系图7-7 由上述分析，可推论对n次超静定结构进行计算时，其多余求知力有n个，对应的变形协调条件也为n个，从而可列出n个线性方程 基本结构在全部多余未知力及荷载共同作用下，在去掉各多余联系处沿各多余未知力方向上的位移应与原结构

14、相应的位移相等。 011313212111 PnnXXXX022323222121 PnnXXXX0332211 nPnnnnnnXXXX （7-2） 2. 力法典型方程的物理意义力法典型方程的物理意义 式(7-2)中系数ii(=1,2,3,n)表示基本结构由 =1引起的在Xi方向的位移，称为主系数，其值永为正。其余的系数ij (ij)( j=1,2,3,n)表示基本结构由 =1引起的在Xi作用点沿Xi方向的位移，称为副系数，其值可能为正也可能为负或者为零，并根据位移互等定理有ij = ji。 ip表示基本结构由荷载引起的在Xi作用点沿Xi方向的位移，称为自由项，其值可能为正或负或零。由于式(

15、15-2)在组成上具有一定的规律，故称它为力法的典型方程。iXjX 典型方程中的系数及自由项的计算公式： 对于受弯杆件： 对于桁架中的杆件：当由式(7-2)解出多余未知力X1 、 X2 、 Xn后，最后弯矩图可根据 叠加而得。桁架中各杆的轴力可用 而得。 EIdsMiii2EIdsMMjijiijEIdsMMPiiPEAlFNiii2EAlFFNjNijiijEAlFFNPNiiPPnnMXMXMXMM 2211NPnNnNNNFXFXFXFF2211 (1) 判断超静定次数n。 (2) 去掉原结构的多余联系，代之以多余未知力，得到一个静定结构基本结构。 (3) 根据变形协调条件，建立力法典型

16、方程。 (4) 绘 、MP图(二力杆应求出 、FNP值)，按照静定结构求位移的方法，计算典型方程中所有系数及自由项。 (5) 解典型方程，求出多余未知力。 (6) 按静定结构分析方法，用叠加法或平衡条件求出原结构各杆内力。 iMNiF7-5 7-5 力法的计算步骤和示例力法的计算步骤和示例 1. 力法的计算步骤力法的计算步骤2. 举例举例下面用一个例题进一步说明力法的具体计算。 例例7-2 用力法计算图7-8(a)所示的刚架的内力，E为常量。FlADIIBC2 Il2l2原 结 构FX2X1X1= 1M1图llFX2= 1111M2图Mp图F4F l5 74 5M图1 7 91 25 74 7

17、 2FS图4 4 85 7( + )(-)(-)( - )( - )(-)(-)5 7472( a )( b )( d )( c )( g )( f )( e )( h )448FN图9 2 0F l( )( ) F9 2 09 2 0 F( )基 本 体 系图7-8 解：解：(1)n =2。 (2) 选基本结构如图7-8(b)所示。 (3) 列力法典型方程。 (4) 绘 、 、MP图，如图7-8(c)、(d)、(e)所示。计算系数及自由项。1M2M01212111PXX02222121PXXEIllllEIlllEI67)(21)3221(23112121243)21(21)121(1EIl

18、llEIllEI221127(1 1)(1)2236lllEIEIEI EIFlllFlEIP16)421(2131EIFllFlEIP32)21421(2122 （5）解力法方程，求解X1 、X2值。 （顺时针转） (6) 绘内力图。其中 ，见图7-8(f)所示。剪力图及轴力图利用平衡条件分别求出各杆的杆端剪力及轴力，然后按第三章介绍的方法绘出FS、FN图，并注明正负号，如图7-8(g)、(h)所示。 由于力法计算比较繁琐，图也较多，故作题时每个图必须注明图名，作题步骤也应按一定格式写出。 016436732213EIFlXEIlXEIl03267432212EIFlXEIlXEIl)(92

19、0571FX212920XFl PMXMXMM22117-6 7-6 对称性的利用 在力法计算超静定结构时，结构的超静定次数愈高，计算工作量也愈大，而其中大量工作是用于系数和自由项的计算，由于副系数及自由项可能为正也可能为负或零，因此在选取基本结构时，就应选择能使尽可能多的副系数及自由项为零的静定结构作为基本结构(其中副系数可以全部为零，但自由项决不会全部为零)，以达到简化计算的目的。 工程结构中有很多结构是对称的，利用其对称性可简化计算。 所谓“对称结构对称结构”是指结构的几何形状、支承条件、刚度等均对称同一轴线。在选取基本结构时，也应选取对称的静定结构。1. 选取对称的基本结构选取对称的基

20、本结构CEI1D对称轴EI2EI2原结构X3X3X1X2X2X1基本体系DCX1=1X1=1M1图X2=1X2=1M2图M3图X3=1X3=1(b)(a)(e)(d)(c)图7-9由图7-9可以看出， 图与 图为正对称图形， 图为反对称图形， 1M2M3M 则力法方程 (a)式中13 = 31 =0, 23 = 32 =0，于是(a)式就简化为(b)式中前两式为一组二元一次联立方程式，只包含正对称的未知力X1 和X2 ；第三式则为一元一次方程式，只包含反对称的未知力。总的计算工作量就少多了。这种对称的原结构仍选对称的基本结构也适用于其它结构的计算，如桁架、拱、组合结构等。 0131321211

21、1PXXX02323222121PXXX03333232131PXXX (a) 01212111PXX02222121PXX03333PX (b) 2.当对称结构承受一般荷载时，可将荷载分为正对称与反对称荷载 如图7-10(a)、(b)、(c)所示，分别计算上述两组荷载作用下的内力，然后进行叠加，即得原结构的内力，这种措施可使部分自由项为零。 EI3EI2对称轴BEI1CFAACEI1B原结构(A)F2F2BEI1CF2A原结构(B)基本结构(A)X1X2X2X1X3X3F2F2F2F2(Mp)A图F2X3X3X1X2X2X1基本结构(B)F2(Mp)B图F2F2(b)(a)(c)(e)(d)

22、(g)(f)F2图7-10 (1) 在正对称荷载作用下，基本结构仍是将对称轴处截面C切开，撤消限制两侧截面水平、竖直方向相对线位移及相对角位移的约束，代之以相应的多余未知力，如图7-10(d)所示。其 、 、 图同图7-9所示，MP图如图7-10(e)所示是一个正对称图形，故3P=0，对应的力法方程为 (2) 在反对称荷载作用下，基本结构及MP图如图7-10(f)、(g)所示，MP图是一个反对称图形，则1P=0 、2P=0 ，对应的力法方程为 01212111PXX02222121PXX0333X03X (c)则1M2M3M 01X02X03333PX (d) 由以上分析可知，对称结构在正对称

23、荷载作用下，对称轴处截面只有正对称的多余未知力，其内力和位移都是正对称的；在反对称荷载作用下，对称轴处截面只有反对称的多余未知力，其内力和位移都是反对称的，这一结论在计算时可直接引用。 例例7-3 用力法计算，绘图7-11(a)所示刚架的M图。 解：解： 这是一个对称结构，为四次超静定。取图7-11(b)所示对称的基本体系。由于荷载是反对称的，故可知正对称的多余未知力皆为零，而只有反对称的多余未知力X1 ，从而使典型方程大为简化，仅相当于求解一次超静定的问题。 分别作出 、MP图见图7-11 (c)、(d)所示，由图乘法可得 1M1113 3 223 6 321442EI 113 6 303

24、3 80218002PEI 代入典型方程可解得多余未知力X1 最后M图应为 ，如图7-11(e)所示。1111180012.5144PXkN 11PMM XM(b)基本体系10kN6m6m6m10kN(a)10kN10kNX1X1X1=1M1图(kNm)(c)X1=13333(d)MP图(kNm)10kN10kN606012082.522.560M图(kNm)(e)37.5图7-11 3. 取部分结构计算 利用结构的对称性，还可以取部分结构作为计算简图，从而降低超静定次数，同样可达到简化计算的目的。该方法的前提条件是荷载必须是对称的，现分述如下： FS C FS C(i)(h)(g)(f)(d

25、)(b)(e)(c)(a)IDAIFIFIIFIABDBACIIFII2IFIFICAACIFIIFICAF2IIIFIICABBABACCIIFFIIFFIIIII图7-12 在正对称荷载作用下结构的变形为正对称，当结构为奇数跨时如图7-12 (a)所示，在对称轴上的C截面只有正对称位移(竖向线位移)，而无反对称的位移(水平线位移及角位移)，于是可取半个结构而在C截面处加一定向支座来模拟原结构的变形，这样得到的计算简图图7-12(b)比图7-12(a)降低了超静定次数。当结构为偶数跨时如图7-12(e)所示，若忽略了各杆的轴向变形，且CD杆除受轴力外，弯矩及剪力均为零，则C截面无任何方向的位

26、移，故取半个结构进行计算时，C截面处可用固定支座来模拟原结构的变形，计算简图如图7-12(f)所示。 在反对称荷载作用下结构的变形为反对称，当结构为奇数跨时如图7-12(c)所示，对称轴上C截面不可能产生竖向线位移，而只有水平线位移及转角，取半个结构进行计算时，C截面应加上活动铰支座如图7-12(d)所示。当结构为偶数跨时如图7-12(g)所示，在C截面只有反对称的内力剪力作用，可设想用图7-12(h)代替，由于FSC对原来结构弯矩无影响，故可取图7-12(i)作为计算简图。由以上分析可以看出，当结构只有一个对称轴时，不论荷载为正或反对称，均可取1/2结构进行计算，同理可得当结构有两个对称轴时

27、，可取1/4结构进行计算，最后内力图必须根据对称性得出。 例例7-4 计算图7-13(a)所示圆环的弯矩图。EI=常数。 解解：由于该结构及荷载有两个对称轴，故可取1/4进行分析，计算简图如图7-13(b)所示。 (1) n=1。 (2) 选基本结构如图7-13(c)所示。 (3) 列力法方程。 01111PX(e)(d)(c)(b)(f)(a)FR2F21R1X1=11Mp图R1M1图X1F2F2基本体系原结构M图FR( -2) 2FFRFR图7-13 (4) 计算11、1p。取极坐标、，计算位移时只考虑弯矩影响，忽略轴力、剪力及曲率的影响。 (5) 解力法方程。 (6) 绘M图。 ，然后根

28、据对称性绘出图7-13(a)所示结构的M图，见图7-13(f)。 (7) 校核。 证明M计算正确。11Msin2PPMR Rdds 20211121EIRRdEIdsEIM212101sin22PPM MFFRdsRRdEIEIEI 21022RFRXEIEI1FRX PMXMM1112101(sin )2PM MFRFdsRRdEIEI 2222001sincos()()022FRFRdEIEI 由于基本结构与原结构在受力与变形两方面完全一致，故原结构的变形也同样可以用求基本结构的位移来代替。当多余未知力求出后，基本结构在荷载及多余未知力共同作用下的位移计算就属于静定结构求位移的问题。例7-

29、2中欲求C截面的水平线位移，其“实际状态”M图已求出见图7-14(a)，“虚拟状态”及图如图7-14(b)所示。 由于超静定结构的内力并不因所选基本结构的不同而不同，因此在求原结构的位移时，应选择能产生最简单的M图的基本结构作为虚拟状态。314512145( 2)( 26920920269205717)()9202421840CHlFlFllFllllEIEIFlFllFlllEI 7-7 7-7 超静定结构的位移计算超静定结构的位移计算本例中若选图7-14(c)所示悬臂刚架作为虚拟状态，则C截面水平位移的计算就简单多了。具体计算如下 3112457( 2)()69209201840CHlFl

30、FlFlllEIEI M图(b)11(c)121794557(a)lll2EIEIEI( )lF92 M图虚拟状态 M图虚拟状态图7-14 综上所述，计算超静定结构位移的步骤是：（1）解算超静定结构，求出最后内力，此为实际状态。（2）任选一种基本结构，加上单位力求出虚拟状态的内力。（3）按位移计算公式或图乘法计算所求位移。 最后内力图的校核一般从平衡条件与变形条件两个方面进行校核。下面仍用例7-2来说明校核的步骤。 1.平衡条件的校核平衡条件的校核 从结构中任取一部分为隔离体，均应满足平衡条件。常用的作法是取刚结点或各杆为隔离体，如图7-15(a)、(b)所示分别取B、C两结点为隔离体，各力必

31、须满足Fx=0、Fy=0、M=0。BC(c)(a)(b)45Fl448F45Fl57F448F57F 19 20( )57Fl472F57F57Fl472F57FFlFlFl2FlFl4图7-15 7-8 7-8 最后内力图的校核最后内力图的校核 但当多余未知力计算有误时，单用平衡条件是无法查出错误的。如本例中若求出 、 ，利用 得到的M图如图7-15(c)所示仍满足上述平衡条件，这是因为 图、 图、 图本身已满足平衡条件，在叠加时只不过将它们之中的两个图 、 放大(或缩小)若干倍，得到的图当然仍满足平衡条件。所以平衡条件的校核只能证明求得多余未知力后，在绘内力图时是否有误，但无法校核多余未知

32、力的计算是否正确，为此必须进行位移条件的校核。 2.位移条件的校核位移条件的校核 所谓位移条件校核就是验算一下多余未知力处的位移否与原结构中给定的相应位移值相符。 1XF22XFlPMXMXMM22111M1M2M2MPM如校核例7-2中M图的正确性，可计算基本结构X1作用点处的水平位移DH，用图7-8(c)与(f)进行图乘。 原结构D截面的水平位移为零，说明最后M图计算无误。上述校核计算实质是再一次验证变形条件1=0。值得提出注意的是上述计算的位移必须是已知值，如例7-2中可用A、D支座处的竖直及水平方向的线位移、A支座处角位移或任一截面切开后断口两侧截面的相对位移等已知值。 3145121

33、572(2)692092029203111(4557)224292013191151092092028920DHlFlFlFlllllEIFlFlllllEIFlEIEI 为了计算方便一般不再另设虚拟状态，而用已绘出的图作为虚拟状态的弯矩图 ，得到的位移为 (或已知值)其中 图的选择应力求各杆均有 值，这样图乘的结果比较可靠。如例7-2中若用 图与 图乘，就无法说明M图中的CD杆的M值是否正确。这是与求某截面未知位移应选产生最简单的图作为虚拟状态不同的原因。 由以上位移计算可以看出，超静定结构在荷载作用下，位移与各杆EI的具体值(或称绝对值)有关，而内力则只与各杆EI的相对值有关。iMM0ds

34、EIMMiiiMiM2MM 超静定结构在温度变化的影响下，不但产生变形而且还产生内力。用力法解这类问题时，其变形协调条件仍是：基本结构在多余未知力、温度变化的共同影响下，在多余未知力作用点及其方向上的位移与原结构对应的位移相等。 图7-16(a)所示刚架外侧温度的改变量为，内侧温度的改变量为，用力法计算时取图7-16(b)为基本结构， (a)Ct1t2t1t2BA原 结 构 基 本 体 系 ABt2t1t2t1C(b)X1X2图7-167-9 7-9 温度变化时超静定结构的计算温度变化时超静定结构的计算 基本结构，变形条件为 1 = 0, 2 = 0 (a)对应的力法方程为 (b) 式中的自由

35、项表示基本结构在温度变化影响下，在作用点沿方向的位移，可利用(6-12)式得 (c)或 (d) 典型方程式(b)中的系数 01212111tXX02222121tXX NiiittFtdsMdsh FMNiiitttAAh EIdsMiii2EIdsMMjiij2NiiiFlEA NiNjijFFlEA 、或;。 由于基本结构是静定的，温度变化不引起内力，所以其内力均由多余未知力X1引起，弯矩图及轴力图可按下式得到 (e)剪力图可通过平衡条件求出。 在位移计算中，由于基本结构除X1 、 X2引起变形外，温度变化也引起变形，故位移计算公式为或 (f)式中 表示基本结构由于温度变化引起的在虚拟力

36、=1作用点沿 方向的位移，仍用(6-12)公式进行计算。 2211XMXMM1212NNNFFXFXEIMdsMEIMdsMKKtKKNKKtFtlM dshEIMdsMKKFMNKKttAAh KtKFKF 例例7-5 用力法计算图7-17(a)所示刚架在温度变化影响下的弯矩图。各杆 、h、EI均为常量，截面对称于形心轴 。 解解：(1) n =1。 (2) 基本结构的选择如图7-17(b)所示。 (3) 列力法方程。 (4) 计算系数及自由项。 图及图见图7-17(c)、(d)。 +5, t = 15-(-5) = 20 = 5 +400 = 405 1M10lh 01111tX12155

37、22tttEIlllEIdsEIM3511)32121(212111111FMNtttAAh hlllhll405)11212(20)1(5 (5) 解方程。 (6) 绘M图。 见图7-17(e) (a)l-5 C0+15 C00-5 C0-5 C原结构lX1X10+15 C0-5 C-5 C0M1图X1=1X1=1X1=1X1=1FN1图ll(+)M图243aEI l243aEI l(b)(c)(d)(e)1111基本体系图7-17lEIXXEIl2430405351111MM X (7) 校核。平衡条件的校核可从图上直接观察得到。下面进行位移条件的校核。 = -162 -243 +405

38、= 0 证明M图是正确的 由以上计算结果表明，温度变化引起的内力与杆件的EI成正比，在给定的温度条件下，截面尺寸愈大内力愈大，不像在荷载作用下各杆的内力仅与EI的相对值有关。由温度变化引起的内力还与 、h有关。更值得一提的是，当杆件两侧有温差t时，从M图上可以看出，杆件的降温侧出现拉应力，升温一侧出现压应力，这与静定结构在温度影响下的变形相反，因此在钢筋混凝土结构中，要特别注意降温侧出现的裂缝。 tEIMdsM1114051243)13224321(21llEIllEIEI 超静定结构在支座移动的影响下，使其产生变形同时也产生内力。 图7-18(a)为一超静定刚架，n=2，支座A处因沉陷产生了

39、支座移动，选基本结构如图7-18(b)所示，则其变形条件为 1 = 0, 2 =f (a) (a)DABCbaBX2CA(b)X1aba(c)CX2BAX1abCBAD(d)X1X2D基本体系基本体系基本体系原结构图7-187-10 7-10 支座移动时超静定结构的计算支座移动时超静定结构的计算 相应的力法方程可写为 (b) (b)式等号右边表示原结构的位移，是已知值，当它的方向与基本结构中对应的多余未知力指向相同时取正号，反之取负号。等号左边的自由项用公式 = - 进行计算， 表示基本结构由 =1所引起的支座反力。 下面讨论一下，当支座发生移动用力法计算时，应注意的事项： 1. 不同的基本结

40、构对力法方程的影响。 对应于图7-18(c)iCFRiRiFiX01212111XX2222121XX bXX12121112222121XX(c) 对应于图7-18(d) (d) 由以上各式可以看出，原结构的支座移动值在列力法方程时，哪些应放在等号左边在求自由项 时出现，哪些应放在等号右边作为原结构对应的已知位移出现，与所选的基本结构有密切关系，作题时应认真分析，以避免一开始列方程时就出现错误。 2. 由于基本结构是静定结构，在支座移动影响下只产生刚体位移而不产生内力，故最后弯矩图按求得。 3. 与温度变化分析相同，位移的计算应为i2211XMXMM01212111XX02222121XX

41、CFEIMdsMEIMdsMRKKKKK(e) 其中 表示由虚拟力 =1引起的支座反力。同理，对最后M图进行校核时，其变形条件应把支座移动所引起的基本结构位移考虑进去，如(a)式中第二个变形条件可写为 (f)(f)式中的 表示基本结构中当 =1时，所引起的支座力。 例例7-6 求图7-19 (a)所示结构，当两支座发生位移时的M图。已知EI=13440kNm2。 解解：(1) n=2。 (2) 选基本结构如图7-19(b)所示。值得注意的是由于A支座处限制转动的约束未去掉，故相应的支座转动应保留。 (3) 列力法方程。RKFKF222RM MdsFCEI 2RF2X02. 01212111XX

42、03. 02222121XX 原结构DCAB(a)5m0.01rad5m0.02m0.03m0.01rad(b)BACDX2X155M1图X1=11555M2图(d)15X2=1(e)M图(kNm)5.86458.79708.79702.93252.9325(c)基本体系图7-19 (4) 绘 、 图如图7-19(c)、(d)所示，计算系数及自由项。 11 = 2(1/2552/35)+555= 12 = (-555/2-1/2555)= =21 22 = (555+1/2552/35)= 1 =0, 2 =-(50.01)=-0.05 (5) 解方程，求多余未知力X1、X2。X1 =-0.5

43、865kN() X2 =1.1729kN() 1M2MEI1EI1EI1EI3625EI125EI350003.005.0350012502.012536252121XEIXEIXEIXEI (6) 绘M图。 ，如图7-19(e)所示。 (7) 校核。 = (-28.79705-5.8645)+ (-28.79705-22.93255 -8.79705-2.93255)- 2.93255 5-0 = =-0.02m。说明M图是正确的。 2211XMXMMCFEIMdsMR111EI165652132EI8 .268 在计算超静定拱时，必须首先选定拱轴曲线的形状和截面变化规律，从力学观点出发则希

44、望所选择的拱轴曲线与压力曲线重合，换句话说最好选用合理拱轴作为拱轴曲线，而在超静定拱中是很难实现的。这是由于超静定结构的内力和刚度EI有关，所以按预先假定的拱轴曲线与截面尺寸计算出的内力其弯矩不一定为零，即该拱轴线不是合理拱轴。这样就必须将拱轴曲线及截面尺寸进行反复修改，直到拱轴曲线与压力曲线比较接近为止。在无铰拱计算中，因弯矩一般是从拱顶向拱趾方向增加，故拱的厚度也应从拱顶向拱趾方向逐渐增加如图7-20所示。截面变化规律常采用经验公式： （7-3）11 (1)cosCIIxnl7-11 7-11 用弹性中心法计算无铰拱用弹性中心法计算无铰拱 1. 截面变化规律截面变化规律由式（7-3）有：

45、，n的范围一般为0.251。当n=1时，截面二次矩按“余弦规律”变化： ，计算简便；对于截面面积，为简化计算，也近似采用 。当拱高 时，由于 较小，可近似取 =常数。拱趾拱轴线拱顶拱趾跨度图5-28拱矢图7-20cosCKKInIcosCIIcosCAA8flCAA 取从拱顶处切开的对称的基本结构（图7-21b），多余未知力中的弯X1矩和轴力X2是对称的，剪力X3是反对称的，故知副系数 ， ，但仍有 。 如果能设法使 ，则典型方程中的全部副系数都为零，计算更加简化。这可以用下述引入“刚臂”的办法来实现（图7-21c、d）。 13310233201221012210图7-212. 基本结构基本结构各单位多余未知力作用下基本结构的内力表达式为： ， ， ， ， （7-4） ， ，由于多余未知力中的X1和X2是对称的， X3是反对称的，故有副系数： ， ，而副系数： 11M 10SF10NF2My2sinSF2cosNF3Mx3cosSF3sinNF 13310233201212121221121100()NNSSssM M dsFFdsFFdskEIEAGAM M dsdsdsyyyEIEIEIdsdsyyEIEI3. 弹性中心法弹性中心法 令 ，便可得到刚臂长度为： （7-5）我们设想沿拱轴作宽度为1/EI的图形，则ds/EI就代表此图形的微分面积，而