高等数学 第2章极限与连续

1、第二章 极限与连续极限是高等数学中最主要的概念之一，也是研究微积分的重要工具，如导数、定积分、重积分等定义都需要用极限来定义，因此，掌握极限的思想和方法是学好微积分学的基本前提 第一节 极限的定义 教学目的：1.理解极限的概念，理解函数左极限与右极限的概念，以及极限存在与左、右极限之间的关系。2.理解无穷小、无穷大的概念，掌握无穷小的比较方法，会用等价无穷小求极限。教学重难点：1.极限的概念和左极限与右极限概念及应用；2.无穷小及无穷小的比较；本节将在中学学习过的数列的极限的基础上学习函数的极限、极限性质、无穷小的定义及性质、无穷大的定义及其与无穷小的关系一、数列的极限定义 对于数列，如果当无

2、限增大时，无限趋近于一个确定的常数， 则称为数列的极限记作 或 （）亦称数列收敛于；如果数列没有极限，就称数列是发散的数列极限的运算法则为：如果, ，那么法则1 () ；法则2 () ；法则3 (是常数)；法则4 (以上法则1，法则2可以推广到有限个数列的和与积的情形二、函数的极限1当时，函数的极限定义 如果当的绝对值无限增大（即）时，函数无限趋近于一个确定的常数，那么称为函数当时的极限，记为 或 当时，如图15（b）所示, 函数当的绝对值无限增大时, 函数的图象无限接近于轴也就是，当时，无限地接近于常数零，即在上述定义中，自变量的绝对值无限增大指的是既取正值无限增大（记为），同时也取负值而绝

3、对值无限增大（记为）但有时自变量的变化趋势只能或只需取这两种变化的一种情形，为此有下面的定义：定义 如果当(或)时，函数无限趋近于一个确定的常数A，那么A称为函数当(或)时的极限，记为 或当时，； 或当时，由图15（b）可以看出，及，这两个极限与相等，都是0由图111（b）可以看出，由于当和时，函数不是无限趋近于同一个确定的常数，所以不存在由上面的讨论，我们得出下面的定理：定理 的充要条件是： （证明略）2当时，函数的极限定义 设函数在点的某个近旁（点本身可以除外）内有定义，如果当趋于（但）时，函数无限趋近于一个确定的常数，那么称为函数当时的极限，记为 或 当时，例1 考察极限 (为常数)和解

4、 因为当时，的值恒为，所以因为当时，的值无限接近于，所以3当时，的左、右极限因为有左右两种趋势，而当仅从某一侧趋于时，只需讨论函数的单边趋势，于是有下面的定义：定义 如果当从左侧趋近（记为）时，函数无限趋近于一个确定的常数，那末称为函数当时的左极限，记为 如果当从右侧趋近（记为）时，函数无限趋近于一个确定的常数，那末称为函数当时的右极限，记为 定理 的充要条件是：（证明略）例2 讨论函数当时的极限解 观察图21可知：，因此，当时，的左右极限存在但不相等，由定理2知，极限 不存在例3 研究当0时, 的极限解 观察图22可知：由于,所以当时，的左, 右极限都存在且相等由定理2知0时, 的极限存在，

5、且等于图2111122Ox1yy=xyx图22Oxy三、无穷小量实际问题中，常有极限为零的变量例如，电容器放电时，其电压随着时间的增加而逐渐减小并趋近于零对于这样的变量，有下面的定义：1无穷小量的定义定义 极限为零的变量称为无穷小量，简称为无穷小如果，则变量是时的无穷小，如果，则称是时的无穷小，类似的还有，等情形下的无穷小根据定义可知，无穷小是一种变化状态，而不是一个量的大小，无论多么小的一个数都不是无穷小，只有零是唯一的一个可作为无穷小的常数，无穷小是有极限变量中最简单而最重要的一类，在数学史上，很多数学家都致力于“无穷小分析”2无穷小量的性质定理 有限个无穷小的代数和为无穷小（证明略）注意

6、，无穷个无穷小之和未必是无穷小，如时，都是无穷小，但是，当时，所以不是无穷小定理 有界函数与无穷小的积为无穷小 （证明略）推论1 常数与无穷小的乘积是无穷小. （证明略）推论2 有限个无穷小的积为无穷小（证明略）例4 求极限解 因为是当时的无穷小，而是一个有界函数，所以3函数极限与无穷小的关系设，即时无限接近于常数A，有就接近于零，即是时的无穷小，若记，于是有定理3 （极限与无穷小的关系）的充分必要条件是，其中是的无穷小例如当时，有，其中就是时的无穷小四、 无穷大量1无穷大的定义定义6 若当（）时，函数的绝对值无限增大，则称函数为当(或)时的无穷大.函数当（或）时为无穷大，它的极限是不存在的，

7、但为了便于描述函数的这种变化趋势，我们也说“函数的极限为无穷大”，并记为 或 例如，当时，是一个无穷大，又例如， 当时，是一个无穷大注意，说一个函数是无穷大，必须指明自变量的变化趋向；无穷大是一个函数，而不是一个绝对值很大的常数2无穷大与无穷小的关系我们知道，当时，是无穷小，是无穷大；当时，是无穷大，是无穷小一般地，在自变量的同一变化过程中，如果为无穷大，则是无穷小；反之，如果为无穷小，且，则是无穷大利用这个关系，可以求一些函数的极限例5 求极限解 因为，由无穷大与无穷小的关系，所以五、无穷小量比较由无穷小的性质，我们知道两个无穷小的和、差及乘积仍是无穷小但两个无穷小的商却会出现不同的情况例如

8、，当时， 、均为无穷小，而，两个无穷小之比的极限的不同情况，反映了不同的无穷小趋向于零的“快慢”程度一般地，对于两个无穷小之比有下面定义：定义 设和都是同一过程的两个无穷小量，即，1若，则称是的高阶无穷小量；记作，此时也称是的低阶无穷小量2若，则称与是同阶的无穷小量记作3若，则称与是等价无穷小量记作例16 当时，比较无穷小与的阶解 由于 ，且，所以当时，与是同阶无穷小例17 当时，证明与等价解 由于 ，且所以，当时，与为等价无穷小习题训练1利用函数图像，观察函数的变化趋势，并写出其极限：（1）； （2）；（3） ； （4）；（5）； （6）2设，作出它的图象，求出当时，的左极限、右极限，并判断

9、当时，的极限是否存在？3设，求和 ，并判断在时的极限是否存在？4设，求，5下列函数在自变量怎样变化时是无穷小？无穷大？（1） ； （2）； （3） ； （4）6求下列函数的极限：（1） ； （2）；（3） ； （4）第二节 极限的运算 教学目的：1.掌握极限的性质及四则运算法则;2.掌握利用两个重要极限求极限的方法。 教学重难点：1.极限的四则运算法则；2.两个重要极限；一、函数极限的运算法则与数列极限类似，函数的极限也有如下四则运算法则：设，则法则1 ；法则2 ；法则3 ；法则4 （法则1和法则2可以推广到有限多个函数的情形，上述法则对于时同样成立例1 求极限解 2由例1可见，若函数为多项式

10、，则有例2 求极限解 由例2可见，若为有理分式函数，且时，则有例3 求极限 解 本题分子分母的极限皆为零，但它们有公因式，则例4 求极限()解 当时，故不能直接应用法则1因为，所以 () 例5 求极限解 分子分母极限均不存在，不能直接运用法则分子分母同除以，则二、两个重要极限在计算函数极限时，有时需要利用和这两个极限 1O图231根据在0附近的图形（如图23）可以看出，当时，即一般，若在某极限过程中，则在该过程中有我们来求下列函数的极限例6 求极限解 2例7 求极限解 例8 求极限 解 令, 则时，有，所以 1例9 求极限解 1例10 求极限解 令，则时，且， 则2根据表21，我们可以观察时，

11、的变化趋势2.704812.716922.718152.718272.708282.732002.719642.718422.718302.71828表21可以看出，当时，函数常数，它是一个无理数，即利用代换，则当时，因此有于是得到该极限的另一种常用形式：上述公式可以推广为：我们来求下列函数的极限例11 求极限解 例12 求极限解 先将改写成如下形式：，再令，由于当时，从而例13 求极限解 令，当时，所以例14 求极限解 例15 求极限解因为，令，则，当时，从而四、用Matlab求极限极限运算是高等数学的基础，Matlab提供了计算函数极限的命令，对于复杂的函数求极限，用Matlab计算将既快

12、又准，而且很方便，下面用例题的形式给予演示例18 求极限解 在命令窗口中输入： syms x %确定x为变量，没再次确定的，计算的时候都将视为常量； y=tan(3*x2)/(2*x2+3*(sin(x)3); %确定函数； limit(y) %求极限命令输出结果ans = 3/2说明例19 求极限解 在命令窗口输入： syms x y=1/(x*(log(x)2)-1/(x-1)2; limit(y,x,1,right) %right为右极限 输出结果ans = 1/12说明例20 求极限 解 在命令窗口中输入： syms x y=(1+3/x)x; limit(y,x,inf) %inf表

13、示无穷大 输出结果：ans = exp(3) % exp（x）表示 说明习题训练1求函数的极限.（1）； （2）；（3）； （4）； （5）； （6）；（7）； （8）2求下列函数的极限.（1）； （2）；（3）； （4）；（5）； （6）；（7）； （8）；（9）； （10）（为正整数）3当时，与相比，哪一个是高阶无穷小？4当时，无穷小和是否同阶？是否等价？5证明当时, 与是同阶无穷小量6用Matlab求下列极限（1）； （2）；（3）；（4）；（5）； （6）；（7）*第三节 函数的连续性教学目的：1.理解函数连续性的概念（含左连续与右连续），会判别函数间断点的类型。2.了解连续函数的性质

14、和初等函数的连续性，了解闭区间上连续函数的性质（有界性、最大值和最小值定理、介值定理），并会应用这些性质。 教学重难点：1.函数连续性及初等函数的连续性；2.区间上连续函数的性质;3.间断点及其分类； 自然界中有许多现象，如气温的变化，河水的流动，植物的生长等，都是连续的变化着的.这些现象在函数关系上的反映，就是函数的连续性一、函数的增量如果函数在点及其近旁有定义，当自变量从变到时，函数相应地从变到，此时称与的差为函数的增量，记为，即例1 设函数，求函数当由2变到2的增量解 二、函数的连续性1函数在点的连续性Oxyyf (x0+x)MNf (x0)x0x0+x图24y = f (x)x现在从函

15、数的图象来考察在给定点处及其左、右近旁函数的变化情况，如图24所示，曲线在点处没有断开，即当保持不变，让趋近零时，曲线上的点沿曲线趋近于，这时趋近于下面我们给出函数在点处连续的定义：定义1 设函数在点处及其左、右近旁有定义，如果当自变量在处的增量趋于零时，函数的增量也趋于零，即则称函数在点处连续例2 证明函数在给定点处连续证 当自变量在处取得增量时, 函数的相应的增量为因为 所以函数在给定点处连续在上面定义1中，若把改写为，则，于是，1xy=xO1y图25当，就是，就是，因此在点处函数连续的定义又可以叙述为：定义2 设函数在点处及左右近旁有定义，若当时，的极限存在，且等于它在处的函数值即，则称

16、函数在处连续例3作函数的图象，并讨论函数在点处的连续性解 数在内有定义，图象如图25所示，因为，于是有，又，所以函数在点处连续2函数在区间上的连续性定义3 若函数在区间内的每一点都是连续的，则称函数在区间内连续，区间称为函数的连续区间下面先给出函数在一点左连续与右连续的概念设函数在区间内有定义，如果左极限存在且等于，即，那么称函数在点左连续设函数在区间内有定义，如果右极限存在且等于，即，那么称函数在点右连续定义4 如果在上有定义，在内连续，且在右端点左连续，在左端点右连续，即，那么就称函数在上连续连续函数的图象是一条连绵不断的曲线.三、函数的间断点如果函数在点处有下列三种情形之一：（1）在没有

17、定义；（2）虽在有定义，但不存在；（3）虽在有定义，且存在，但那么称函数在点为不连续，而点称为函数的不连续点或间断点例4 求函数的间断点解 由于函数在处没有定义，故是函数的一个间断点，如图26示例5 求函数的间断点解 分界点虽在函数的定义域内，但, ，则极限不存在，故是函数的一个间断点，如图27所示例6 求函数的间断点x12O1y图26y=x21x1xy21O1-1图2712O1y图28x解 函数在点处有定义，且，但是，故，所以是函数的一个间断点，如图28所示间断点通常可分为两类：如果是的间断点，但左、右极限都存在，那么称为函数的第一类间断点，例4、例5、例6中的间断点都是第一类间断点；不是第

18、一类间断点的任何间断点，称为第二类间断点例如是函数的第二类间断点，是函数的第二类间断点四、初等函数的连续性利用函数连续性定义，可以得定理 设函数和在点处连续，则函数， 在点处连续（证明略）定理 设函数在点处连续，函数在点处连续，则复合函数在点处连续（证明略）可知一切基本初等函数在其有定义的区域内都是连续的，由初等函数的定义和上面的定理可知：一切初等函数在其定义区间内都是连续的.这个结论很重要，因为今后讨论的主要是初等函数，而初等函数的连续区间就是它有定义的区间若函数是初等函数，且为其定义区间内的点，则在点处连续，即有因此求初等函数，当的极限时，只需计算的值就可以了由于函数在处连续，有 说明函数在点处连续的前提下，极限符号与函数符号可以交换运算顺序，这一结论给我们求函数的极限带来很大方便例7 求下列极限：(1) ； (2) 解 (1) 因为是初等函数，其的定义域为而，所以（2）因为是初等函数，其定义域为：，所以五、闭区间上连续函数的性质 下面介绍闭区间上连续函数的两个重要性质定理 （最大值和最小值定理