材料力学-第五章

1、v将剪力方程与弯矩方程具体化v绘制剪力图与弯矩图的两种方法 8/2qlq悬臂梁受均布载荷作用。悬臂梁受均布载荷作用。试写出试写出剪力和弯矩方程，并剪力和弯矩方程，并画出剪力画出剪力图图和弯矩和弯矩图。图。解：解：任选一截面任选一截面x x ，写出，写出剪力和弯矩方程剪力和弯矩方程x lxqxxFS0 lxqxxM02/2依方程画出依方程画出剪力剪力图图和弯矩和弯矩图图FSxMxql2/2qll由剪力由剪力图、弯矩图可见。最图、弯矩图可见。最大剪力和弯矩分别为大剪力和弯矩分别为qlFSmax2/2maxqlM例题例题qx xM xFS5.3 剪力方程和弯矩方程 32/32ql32/32qlBAl

2、简支梁受均布载荷作用简支梁受均布载荷作用试写出试写出剪力和弯矩剪力和弯矩方程。方程。解：解：1 1确定约束力确定约束力00，BAMMFAy FBy ql/22 2写出写出剪力和弯矩方程剪力和弯矩方程yxCx lxqxqlxFS02/ lxqxqlxxM02/2/23.3.依方程画出依方程画出剪力剪力图图和弯矩和弯矩图。图。FSxMx2/ql2/ql8/2ql 例题例题5.4 剪力图和弯矩图（将剪力方程和弯矩方程具体化） BAlFAYFBY图示简支梁图示简支梁C C点受集中力作用。点受集中力作用。试写出试写出剪力和弯矩方程，并剪力和弯矩方程，并画画出剪力出剪力图图和弯矩和弯矩图。图。解：解：1

3、1确定约束力确定约束力00，BAMMF FAyAyFb/l F FByByFa/l2 2写出剪力和弯矩方程写出剪力和弯矩方程x2FSxMxlFb/lFa/lFab/x1AC axlFbxFS110/ axlFbxxM1110/CB lxalFaxFS22/ lxalxlFaxM222/3. 3. 依方程画出剪力图和弯矩图。依方程画出剪力图和弯矩图。CFab例题例题剪力方程和弯矩方程 剪力图和弯矩图 BAl图示简支梁图示简支梁C C点受集中力偶作用。点受集中力偶作用。试写出剪力和弯矩方程，并画试写出剪力和弯矩方程，并画出剪力图和弯矩图。出剪力图和弯矩图。解：解：1 1确定约束力确定约束力00，B

4、AMMFAyM / l FBy -M / l2 2写出写出剪力和弯矩方程剪力和弯矩方程x2lMa/x1AC axlMxFS110/ axlMxxM1110/CBbxlMxFS220/bxlMxxM2220/3. 3. 依方程画出依方程画出剪力剪力图图和弯矩和弯矩图。图。lM /lMb/CMab例题例题剪力方程和弯矩方程 剪力图和弯矩图 32/32ql32/32qlBAl简支梁受均布载荷作用简支梁受均布载荷作用试写出试写出剪力和弯矩方程，并剪力和弯矩方程，并画画出剪力出剪力图图和弯矩和弯矩图。图。解：解：1 1确定约束力确定约束力00，BAMMFAy FBy ql/22 2写出写出剪力和弯矩方程

5、剪力和弯矩方程yxCx lxqxqlxFS02/ lxqxqlxxM02/2/23.3.依方程画出依方程画出剪力剪力图图和弯矩和弯矩图。图。FSxMx2/ql2/ql8/2ql 例题例题剪力方程和弯矩方程 剪力图和弯矩图BA1.5m1.5m1.5mFAYFBY1kN.m2kN例例题题5-45-4 简支梁受力的大简支梁受力的大小和方向如图示。小和方向如图示。试画出试画出其剪力图和弯矩图。其剪力图和弯矩图。 解：解：1 1确定约束力确定约束力00，BAMM求得求得A、B 二处的约束力二处的约束力 FAy0.89 kN , FBy1.11 kN 根据力矩平衡方程根据力矩平衡方程 2 2确定控制面确定

6、控制面在集中力和集中力偶作用处的两侧截面以及支座反力在集中力和集中力偶作用处的两侧截面以及支座反力内侧截面均为控制面。即内侧截面均为控制面。即A、C、D、E、F、B截面截面。 剪力图和弯矩图(+)(-)BAFAYFBY1kN.m2kNM (kN.m)xO3 3建立坐标系建立坐标系建立建立 F FS Sx x 和和 M Mx x 坐标系坐标系 5 5根根据据4 4连连图图线线4 4应用截面法确定控应用截面法确定控制面上的剪力和弯矩制面上的剪力和弯矩值，并将其标在值，并将其标在F FS S x x和和 M Mx x 坐标坐标系中。系中。0.891.111.3351.67(-)(-)0.335xFS

7、 (kN)O0.89 kN=1.11 kN（-）（+）解法解法2 2：1 1确定约束力确定约束力F FAyAy0.89 kN 0.89 kN F FFyFy1.11 kN 1.11 kN 2 2确定控制面为确定控制面为A、C、D、B两侧截面。两侧截面。 FBYBA1.5m1.5m1.5mFAY1kN.m2kNDC3 3从从A A截面左测开始画截面左测开始画剪力图。剪力图。 Fs（ kN）0.891.11（-）（-）4 4从从A A截面左测开始画截面左测开始画弯矩图。弯矩图。 M（ kN.m）从从A A左到左到A A右右从从C C左到左到C C右右从从D D左到左到D D右右从从A A右到右到C

8、 C左左1.3300.330从从C C右到右到D D左左1.665（-）（+）FBYBA1.5m1.5m1.5mFAY1kN.m2kNDCFs（ kN）0.891.11从从D D右到右到B B左左从从B B左到左到B B右右5.3 荷载集度、剪力、弯矩之间的微分关系及其应用载载荷集度、剪力和弯矩间的关系荷集度、剪力和弯矩间的关系载荷集度、剪力和弯矩关系：载荷集度、剪力和弯矩关系：)()()(22xqdxxdFdxxMds载荷集度、剪力和弯矩关系：载荷集度、剪力和弯矩关系：)()()(22xqdxxdFdxxMds1.1. q q0 0，F Fs s= =常数，常数， 剪力图为水平直线；剪力图为

9、水平直线； M M(x) (x) 为为 x x 的一次函数，弯矩图为斜直线。的一次函数，弯矩图为斜直线。载载荷集度、剪力和弯矩间的关系荷集度、剪力和弯矩间的关系（-）（+）FBYBA1.5m1.5m1.5mFAY1kN.m2kNDCFs（ kN）0.891.11（-）（-）1.3300.3301.665)()()(22xqdxxdFdxxMds2.q2.q常数，常数，F Fs s( (x x) ) 为为 x x 的一次函的一次函数，剪力图为数，剪力图为斜直线；斜直线； M M(x) (x) 为为 x x 的二的二次函数，弯矩次函数，弯矩图为抛物线。图为抛物线。 分布载荷向上分布载荷向上（q q

10、 0 0），抛），抛物线呈凹形；物线呈凹形； 分布载荷向上分布载荷向上（q q 0 0），抛），抛物线呈凸形。物线呈凸形。3.3. 剪力剪力F Fs s=0=0处，弯矩取极值。处，弯矩取极值。 32/32ql32/32qlBAlCxFSxMx2/ql8/2ql )()()(22xqdxxdFdxxMds4.4. 集中力作用处，剪力图突变；集中力作用处，剪力图突变； 集中力偶作用处，弯矩图突变集中力偶作用处，弯矩图突变（-）（+）FBYBA1.5m1.5m1.5mFAY1kN.m2kNDCFs（ kN）0.891.11（-）（-）1.3300.3301.665 从左到右，向上（下）集中力作用处，

11、剪力图从左到右，向上（下）集中力作用处，剪力图向上（下）向上（下）突变，突变幅度为集中力的大小。弯矩图在该处为尖点。突变，突变幅度为集中力的大小。弯矩图在该处为尖点。 从左到右，顺（逆）时针集中力偶作用处，从左到右，顺（逆）时针集中力偶作用处，弯矩图向上弯矩图向上（下）突变，突变幅度为集中力偶的大小。（下）突变，突变幅度为集中力偶的大小。剪力图剪力图在该点没在该点没有变化。有变化。 载载荷集度、剪力和弯矩间的关系荷集度、剪力和弯矩间的关系（-）（+）FBYBA1.5m1.5m1.5mFAY1kN.m2kNDCFs（ kN）0.891.11（-）（-）1.3300.3301.6655 5、也可、

12、也可通过积分方法确定剪力、通过积分方法确定剪力、 弯矩图上各点处的数值。弯矩图上各点处的数值。 SddFxMxFMddSbabaxFMddS baFAaMbMSqxFddSxqFddSbabaxqFddS baSSqAaFbF载载荷集度、剪力和弯矩间的关系荷集度、剪力和弯矩间的关系微分关系绘制剪力图与弯矩图的方法：微分关系绘制剪力图与弯矩图的方法：根据载荷及约束力的作用位置，确定控根据载荷及约束力的作用位置，确定控制面。制面。应用截面法确定控制面上的剪力和弯应用截面法确定控制面上的剪力和弯矩数值。矩数值。建立建立F FS S一一x x和和M M一一x x坐标系，并将控制面上坐标系，并将控制面上

13、的剪力和弯矩值标在相应的坐标系中。的剪力和弯矩值标在相应的坐标系中。应用平衡微分方程确定各段控制面之间应用平衡微分方程确定各段控制面之间的剪力图和弯矩图的形状，进而画出剪力图的剪力图和弯矩图的形状，进而画出剪力图与弯矩图。与弯矩图。 载载荷集度、剪力和弯矩间的关系荷集度、剪力和弯矩间的关系qBAFAyFBy例题例题 试画出梁试画出梁的剪力图和弯矩图。的剪力图和弯矩图。 解：解：1 1确定约束力确定约束力根据梁的整体平衡，由根据梁的整体平衡，由 00，BAMM求得求得A A、B B 二处的约束力二处的约束力qaFqaFByAy4349,qa2 2确定控制面确定控制面 由于由于ABAB段上作用有连

14、续分布载荷，故段上作用有连续分布载荷，故A A、B B两个截两个截面为控制面，约束力面为控制面，约束力F FByBy右侧的截面，以及集中力右侧的截面，以及集中力qaqa左侧的截面，也都是控制面。左侧的截面，也都是控制面。 C载载荷集度、剪力和弯矩间的关系荷集度、剪力和弯矩间的关系（+）（-）（+）qBAFAyFByC3 3建立坐标系建立坐标系建立建立F FS Sx x和和M Mx x坐标系坐标系 OFSxOMx4 4确定控制面上的确定控制面上的剪力值，并将其标剪力值，并将其标在在F FS Sx x中。中。4/9qa4/7qaqa32/812qa4/9a2qa5 5确定控制面上的确定控制面上的弯

15、矩值，并将其标在弯矩值，并将其标在M Mx x中。中。qa49qa43载载荷集度、剪力和弯矩间的关系荷集度、剪力和弯矩间的关系 （+） （-）qaFqaFByAy4349,qBAFAyFBy解法解法2 2：1 1确定约束力确定约束力2 2确定控制面，确定控制面，即即A A、B B、D D两侧截面。两侧截面。 3 3从从A A截面左测开始画截面左测开始画剪力图。剪力图。 Fs 9qa/4 7qa/4qa载载荷集度、剪力和弯矩间的关系荷集度、剪力和弯矩间的关系（+） M （+） （-）qBAaFAyFBy Fs 9qa/4 7qa/4qa4 4求出剪力为零的点求出剪力为零的点 到到A A的距离。的

16、距离。 B B点的弯矩为点的弯矩为 -1/2-1/27qa/47qa/47a/47a/4 +81qa +81qa2 2/32=qa/32=qa2 2 ABAB段段为上凸抛物线。且有为上凸抛物线。且有极大值。该点的极大值。该点的弯矩为弯矩为 1/21/29qa/49qa/49a/49a/4 =81qa =81qa2 2/32/325 5从从A A截面左测开始画弯截面左测开始画弯矩图矩图 4/9a 81qa2/32qa2载载荷集度、剪力和弯矩间的关系荷集度、剪力和弯矩间的关系（-）（-）（+）（+）（-） Fs例题例题4-8 4-8 试画出图示有中间试画出图示有中间铰梁的铰梁的剪力图和弯矩图。剪力

17、图和弯矩图。解：解：1 1确定约束力确定约束力2/qaFDy从铰处将梁截开从铰处将梁截开qFDyFDyqa2/3qaFBy2/qaFAy2/2qaMAqa/2qa/2qaMqa2/2qa2/2BAaqaCaaDq载载荷集度、剪力和弯矩间的关系荷集度、剪力和弯矩间的关系刚架刚架 两根或两根以上的杆件组成并在连接处采用两根或两根以上的杆件组成并在连接处采用刚性连接的结构。刚架的刚性连接的结构。刚架的内力有轴力、剪力和弯内力有轴力、剪力和弯矩。矩。5.6 5.6 刚架刚架的内力与内力图的内力与内力图提高梁强度的主要措施提高梁强度的主要措施ZmaxmaxWM降低降低 M Mmaxmax ：合理安排支座

18、合理安排支座合理布置载荷合理布置载荷合理布置支座合理布置支座合理布置载荷合理布置载荷F小结小结1 1、熟练求解各种形式静定梁的支、熟练求解各种形式静定梁的支座反力座反力2 2、明确剪力和弯矩的概念，理解、明确剪力和弯矩的概念，理解剪力和弯矩的正负号规定剪力和弯矩的正负号规定3 3、熟练计算任意截面上的剪力和、熟练计算任意截面上的剪力和弯矩的数值弯矩的数值4 4、熟练建立剪力方程、弯矩方程，、熟练建立剪力方程、弯矩方程，正确绘制剪力图和弯矩图正确绘制剪力图和弯矩图5.7 总结 回顾v毛和业，怎样快速绘制剪力图和弯矩图，黔南民族师范学院学报，2005，3：81-83用快速方法绘制剪力图与弯矩图v( 1)梁上没有均布载荷作用的段, 剪力图为水平直线(斜率为0), 弯矩图为倾斜直线。 BAlFAYFBYx2FSxMxlFb/lFa/lFab/x1CFab用快速方法绘制剪力图与弯矩图v( 2)在有均布载荷作用的段上, 剪力图为倾斜直线, 直线由左上向右下倾斜; 弯矩图为抛物线, 抛物线开口与均布载荷的方向一致。 32/32ql32/32qlBAlyxCxFSxMx2/ql8/2ql 用快速方法绘制剪力图与弯矩图v( 3)在集中力作用处, 剪力图有突变, 突变之值为该处集中力的大小, 突变方向与集中力方向一致;弯矩图在此处出现尖角(即在该点两侧斜率不同)。 BAlFAYFBYx