第五讲 时间序列平滑预测法

1、2022-6-11 时间序列平滑预测法时间序列平滑预测法 n移动平均法移动平均法 n指数平滑法指数平滑法n差分指数平滑法差分指数平滑法2022-6-12时间序列平滑预测法时间序列平滑预测法n时间序列预测方法，是将预测目标的历史数时间序列预测方法，是将预测目标的历史数据按照时间的顺序排列成为时间序列，然后据按照时间的顺序排列成为时间序列，然后分析它随时间的变化趋势，并建立数学模型分析它随时间的变化趋势，并建立数学模型进行外推的定量预测方法。进行外推的定量预测方法。 n时间序列预测技术在国外早已有应用，国内时间序列预测技术在国外早已有应用，国内在在20世纪世纪60年代就应用于水文预测研究。年代就应

2、用于水文预测研究。 n到到20世纪世纪70年代，随着电子计算机技术的发年代，随着电子计算机技术的发展，气象、地震等方面也已广泛应用时间序展，气象、地震等方面也已广泛应用时间序列的预测方法。列的预测方法。 n目前，时间序列分析已成为世界各国进行经目前，时间序列分析已成为世界各国进行经济分析和经济预测的基本方法之一。济分析和经济预测的基本方法之一。 2022-6-13时间序列平滑预测法时间序列平滑预测法n时间序列预测技术可分为随机型和确定型两时间序列预测技术可分为随机型和确定型两大类，随机型时间序列预测技术使用了概率大类，随机型时间序列预测技术使用了概率的方法，而确定型时间序列预测技术则使用的方法

3、，而确定型时间序列预测技术则使用非概率的方法。非概率的方法。n包括：（包括：（1）时间序列与时序分析；（）时间序列与时序分析；（2）移）移动平均法；（动平均法；（3）指数平滑法；（）指数平滑法；（4）时间序）时间序列分解法。列分解法。 2022-6-14时间序列与时序分析时间序列与时序分析n不论是经济领域中某一产品的年产量、月销不论是经济领域中某一产品的年产量、月销售量、工厂的月库存量、某一商品在某一市售量、工厂的月库存量、某一商品在某一市场上的价格变动等，或是社会领域中某一地场上的价格变动等，或是社会领域中某一地区的人口数、某医院每日就诊的患者人数、区的人口数、某医院每日就诊的患者人数、铁路

4、客流量等，还是自然领域中某一地区的铁路客流量等，还是自然领域中某一地区的温度、月降雨量等等，都形成了时间序列。温度、月降雨量等等，都形成了时间序列。n时序分析是一种根据动态数据揭示系统动态时序分析是一种根据动态数据揭示系统动态结构和规律的统计方法，是统计学科的一个结构和规律的统计方法，是统计学科的一个分支。其基本思想是根据系统有限长度的运分支。其基本思想是根据系统有限长度的运行记录（观察数据），建立能够比较精确地行记录（观察数据），建立能够比较精确地反映时间序列中所包含的动态依存关系的数反映时间序列中所包含的动态依存关系的数学模型，并借以对系统的未来行为进行预报。学模型，并借以对系统的未来行为

5、进行预报。 2022-6-15时序分析特点时序分析特点 n第一，时序分析是根据预测目标过去至现在第一，时序分析是根据预测目标过去至现在的变化趋势预测未来的发展，它的前提是假的变化趋势预测未来的发展，它的前提是假设预测目标的发展过程规律性会继续延续到设预测目标的发展过程规律性会继续延续到未来，即以惯性原理为依据。未来，即以惯性原理为依据。 n第二，时间序列数据的变化存在着规律性与第二，时间序列数据的变化存在着规律性与不规律性。不规律性。n1.长期趋势（长期趋势（T） n2.季节变动（季节变动（S）n3.循环变动（循环变动（C）n4.不规则变动（不规则变动（I）2022-6-16n各类影响因素的共

6、同作用，使时间序列数据发生变各类影响因素的共同作用，使时间序列数据发生变化，有的具有规律性，如长期趋势变动和季节性变化，有的具有规律性，如长期趋势变动和季节性变动；有些就不具有规律性，如不规则变动以及循环动；有些就不具有规律性，如不规则变动以及循环变动（从较长的时期观察也有一定的规律性，但短变动（从较长的时期观察也有一定的规律性，但短时间的变动又是不规律的）。时间序列分析法，就时间的变动又是不规律的）。时间序列分析法，就是要运用统计方法和数学方法，把时间序列数据分是要运用统计方法和数学方法，把时间序列数据分解为解为T，S，C，I四类因素或其中的一部分，据此预四类因素或其中的一部分，据此预测时间

7、序列的发展规律测时间序列的发展规律 n第三，时间序列是一种简化。时间序列预测方法，第三，时间序列是一种简化。时间序列预测方法，假设预测对象的变化仅仅与时间有关，根据它的变假设预测对象的变化仅仅与时间有关，根据它的变化特征，以惯性原理推测其未来状态。化特征，以惯性原理推测其未来状态。 2022-6-17移动平均法移动平均法 n移动平均法是根据时间序列资料、逐项推移，移动平均法是根据时间序列资料、逐项推移，依次计算包含一定项数的时序平均数，以反依次计算包含一定项数的时序平均数，以反映长期趋势的方法。映长期趋势的方法。 n移动平均预测法是对时间序列观察值由远及移动平均预测法是对时间序列观察值由远及近

8、按一定跨越期计算出平均值来进行预测的近按一定跨越期计算出平均值来进行预测的一种预测方法。一种预测方法。 n移动平均法有简单移动平均法，加权移动平移动平均法有简单移动平均法，加权移动平均法，趋势移动平均法等。均法，趋势移动平均法等。 2022-6-18一次移动平均法一次移动平均法 n一次移动平均法是在算术平均法的基础上加一次移动平均法是在算术平均法的基础上加以改进的。其基本思想是，每次取一定数量以改进的。其基本思想是，每次取一定数量周期的数据平均，按时间顺序逐次推进。每周期的数据平均，按时间顺序逐次推进。每推进一个周期时，舍去前一个周期的数据，推进一个周期时，舍去前一个周期的数据，增加一个新周期

9、的数据，再进行平均。增加一个新周期的数据，再进行平均。 2022-6-19一、简单移动平均法一、简单移动平均法 n设时间序列为：设时间序列为： ；n简单移动平均公式为：简单移动平均公式为： （4-1）n式中：式中：Mt为为t期移动平均数；期移动平均数；N为移动平均的项数。为移动平均的项数。n由（由（4-1）式可知：）式可知： 因此因此 （4-2）预测公式为：预测公式为： （4-3）即以第即以第t 期移动平均数作为第期移动平均数作为第t+1期的预测值。期的预测值。 ,21tyyyNtNyyyMNtttt11NyyyMNtttt211NyNyyyNyMNtNtNtttt11NyyMMNtttt1t

10、tMy12022-6-110预测的局限性预测的局限性n如果将如果将 作为第作为第t+1期的实际值，于是就可期的实际值，于是就可同理计算出第同理计算出第t+2期的预测值，一般地，可相期的预测值，一般地，可相应地求得以后各期的预测值。但由于误差的应地求得以后各期的预测值。但由于误差的积累，使得对越远时期的预测，误差越大，积累，使得对越远时期的预测，误差越大，因此一次移动平均法一般只应用于一个时期因此一次移动平均法一般只应用于一个时期后的预测（即预测第后的预测（即预测第t+1期）。期）。 1tX2022-6-111例题例题n某市汽车配件销售公司某年某市汽车配件销售公司某年1月至月至12月的化月的化油

11、器销售量如表所示。试用一次移动平均法，油器销售量如表所示。试用一次移动平均法，预测下一年一月的销售量。预测下一年一月的销售量。tX月 份1234567891011121423358 434 445 527 429 426 502 480 384 427 4462022-6-112n例例1 某市汽车配件销售公司某年某市汽车配件销售公司某年1月至月至12月的化油器销售量如月的化油器销售量如表所示。试用简单移动平均法，预测下年表所示。试用简单移动平均法，预测下年1月的销售量。月的销售量。 化油器销售量及移动平均预测值表化油器销售量及移动平均预测值表 单位：只单位：只 月份月份t实际销售量实际销售量3

12、个月移动平均预测值个月移动平均预测值5个月移动平均预测值个月移动平均预测值1423235834344445405552741264294694377426467439850246145294804524661038446947311427456444124464304444194482022-6-113n解：分别取解：分别取N=3和和N=5，按预测公式：按预测公式：n计算计算3个月和个月和5个月移动平均预测值。个月移动平均预测值。n当当N=3时时 n当当N=5时时 n计算结果表明：计算结果表明：N=5时，时，MSE较小，故选取较小，故选取N=5。预测下年预测下年1月的化油器销售量为月的化油器销

13、售量为448只。只。 5343211211ttttttttttyyyyyyyyyy33.3210928893)(91122tttyyMSE86.1591711143)(711262tttyyMSE2022-6-114预测结果分析预测结果分析n可以看出，实际销售量的随机波动较大，经过移动平均法可以看出，实际销售量的随机波动较大，经过移动平均法计算后，随机波动显著减少，而且求取平均值所用的月数计算后，随机波动显著减少，而且求取平均值所用的月数越多，即越多，即N越大，修匀的程度越强，波动也越小。但是在越大，修匀的程度越强，波动也越小。但是在这种情况下，对实际销售量的变化趋势反应也越迟钝。这种情况下，

14、对实际销售量的变化趋势反应也越迟钝。n反之，如果反之，如果N取得越小，对取得越小，对销售量的变化趋势反应越灵销售量的变化趋势反应越灵敏，但修匀性越差，容易把敏，但修匀性越差，容易把随机干扰作为趋势反映出来。随机干扰作为趋势反映出来。因此，因此，N的选择甚为重要，的选择甚为重要，N应该取多大，应根据具体情应该取多大，应根据具体情况做出抉择。当况做出抉择。当N等于周期变等于周期变动的周期时，则可消除周期动的周期时，则可消除周期变化的影响。变化的影响。 2022-6-115注意：注意：n第一，一次移动平均法一般只适应于平稳模第一，一次移动平均法一般只适应于平稳模式，当被预测的变量的基本模式发生变化时

15、，式，当被预测的变量的基本模式发生变化时，一次移动平均法的适应性比较差。一次移动平均法的适应性比较差。n第二，一次移动平均法一般只适用于下一时第二，一次移动平均法一般只适用于下一时期的预测。典型例子之一是生产经理要根据期的预测。典型例子之一是生产经理要根据某一品类中的几百种不同产品的需求预测来某一品类中的几百种不同产品的需求预测来安排生产。在许多这样的情况下，所需要的安排生产。在许多这样的情况下，所需要的是一种很容易使用到每一个项目上去并能提是一种很容易使用到每一个项目上去并能提供良好预测值的方法，移动平均法就是这样供良好预测值的方法，移动平均法就是这样一种方法。当然这在本质上的必然前提是所一

16、种方法。当然这在本质上的必然前提是所要预测的变量在一个较短的时间范围之内表要预测的变量在一个较短的时间范围之内表现为一个相当平稳的时间序列。现为一个相当平稳的时间序列。2022-6-116例例2 某商业企业季末库存的资料如下表，试用简某商业企业季末库存的资料如下表，试用简单移动平均法对该企业下一季末的库存进行预测。单移动平均法对该企业下一季末的库存进行预测。 ttyyty 观察期季末库存观察期季末库存n=3n=510.610.811.110.410.830.4311.210.770.43121.1811.811.20.611.10.711.511.670.1711.30

17、.211.911.770.1311.380.521211.730.2711.680.311.840.3610.712.031.3311.881.1810.411.631.2311.661.2611.440.24ty ttyy2022-6-117n解：解：1、分别取、分别取n=3，n=5同时计算移动平均同时计算移动平均预测值，如表所示。预测值，如表所示。 n2、计算平均绝对误差：、计算平均绝对误差：nn=3时，时，nn=5时，时，n很明显很明显n=5 时的预测误差大于时的预测误差大于n=3时的预测误时的预测误差，所以取移动平均期数差，所以取移动平均期

18、数n=3。n3、对下期库存额进行预测。、对下期库存额进行预测。 )(563. 01119. 6万元nyyMAEtt)(662. 09596万元nyyMAEtt)(77.1037 .104 .102 .11312131415万元yyyy2022-6-118加权移动平均法加权移动平均法n设时间序列为：设时间序列为： n加权移动平均公式为加权移动平均公式为 n式中：式中：Mtw为为t期加权移动平均数；期加权移动平均数；Wt为为 的权的权数，它体现了相应的数，它体现了相应的y在加权平均数中的重要性。在加权平均数中的重要性。n利用加权移动平均数来作预测，其预测公式为：利用加权移动平均数来作预测，其预测公

19、式为：n即以第即以第t期加权平均数作为第期加权平均数作为第t+1期的预测值。期的预测值。 ,21tyyyNtwwwywywywMNNtNtttw2111211itytwtMy12022-6-119例例3 我国我国19791988年原煤产量如表所示，年原煤产量如表所示，试用加权移动平均法预测试用加权移动平均法预测1989年的产量。年的产量。 我国原煤产量统计数据及加权移动平均预测值表我国原煤产量统计数据及加权移动平均预测值表 单位：亿吨单位：亿吨 tyty 年份年份t原煤产量原煤产量三年加权移动平均预测值三年加权移动平均预测值相对误差相对误差（%）19796.3519806.2019816.22

20、19826.666.246.3119837.156.449.9319847.896.8313.4319858.727.4414.6819868.948.188.5019879.288.696.3619889.809.077.452022-6-120解：取解：取W1=3，W2=2，W3=1，按预测公式：按预测公式：n计算三年加权移动平均预测值其结果列于上表计算三年加权移动平均预测值其结果列于上表中。中。1989年我国原煤产量的预测值为：年我国原煤产量的预测值为： n这个预测值偏低，可以修正。其方法是：先计这个预测值偏低，可以修正。其方法是：先计算各年预测值与实际值的相对误差，例如算各年预测值与实

21、际值的相对误差，例如1982年为：年为： 12323211ttttyyyy)(48. 9694. 828. 9280. 931989亿吨y%31. 666. 624. 666. 62022-6-121n将相对误差列于上表中，再计算总的平均相对将相对误差列于上表中，再计算总的平均相对误差：误差：n由于总预测值的平均值比实际值低由于总预测值的平均值比实际值低9.50%，所，所以可将以可将1989年的预测值修正为年的预测值修正为 ： %50. 9%10044.5889.521%1001ttyy)(48.10%)5 .91 (48.9亿吨2022-6-122例例4 现仍以例现仍以例2的数据为例，令的数

22、据为例，令n=3，权数由远到权数由远到近分别为近分别为0.1，0.2，0.7 。ty ttyy观察期季末库存（万元）观察期季末库存（万元）加权移动平均预测值加权移动平均预测值10.610.811.110.410.990.5911.210.580.621211.030.9711.811.680.1211.511.780.2811.911.610.291211.810.1912.211.930.2710.712.131.4310.411.130.7311.210.640.56ty某商业企业季末库存资料某商业企业季末库存资料 2022-6-123n解：取解：取W1=0.7，W2=0.2，W3=0.1

23、，按预测公式：按预测公式： n计算计算n=3的加权移动平均预测值其结果列于上表的加权移动平均预测值其结果列于上表中。下期预测值为：中。下期预测值为： 1.02.07.01.02.07.0211ttttyyyy)(99.101 . 02 . 07 . 07 .101 . 04 .102 . 02 .117 . 015万元y)(55. 01105. 6万元nyyMAEtt2022-6-124二次移动平均法二次移动平均法n序列序列 修匀原序列的不规则变动和季节变修匀原序列的不规则变动和季节变动。光滑度与动。光滑度与N有关。有关。2022-6-125二次移动平均法二次移动平均法2022-6-126二次

24、移动平均法二次移动平均法n当预测变量的基本趋势发生变化时，一次移当预测变量的基本趋势发生变化时，一次移动平均法不能迅速地适应这种变化。当时间动平均法不能迅速地适应这种变化。当时间序列的变化为线性趋势时，一次移动平均法序列的变化为线性趋势时，一次移动平均法的滞后偏差使预测值偏低，不能进行合理的的滞后偏差使预测值偏低，不能进行合理的趋势外推。趋势外推。 n例如，线性趋势方程为例如，线性趋势方程为 n这里，这里，a，b是常数，当是常数，当t增加一个单位时间时，增加一个单位时间时，Xt的增量的增量tXabt1(1)ttXXab tabtb2022-6-127二次移动平均法二次移动平均法n因此，当时间从

25、因此，当时间从t增加至增加至t+1时，时，Xt1的值为的值为a+b(t+1)，如采用一次移动平均法计算，其预，如采用一次移动平均法计算，其预测值是测值是n n =n由此有由此有n =111.ttt NtXXXXN(1)2Nbabt11(1)2ttNbXXabtbabt(1)2Nb2022-6-128二次移动平均法二次移动平均法n从以上推导可以看出每进行一次移动平均，从以上推导可以看出每进行一次移动平均，得到的新序列就比原序列滞后。也就是说，得到的新序列就比原序列滞后。也就是说，二次移动平均值低于一次移动平均值的距离，二次移动平均值低于一次移动平均值的距离，等于一次移动平均数值低于实际值的距离。

26、等于一次移动平均数值低于实际值的距离。因此就有可能用如下方法进行预测：将二次因此就有可能用如下方法进行预测：将二次移动平均数与一次移动平均数的距离加回到移动平均数与一次移动平均数的距离加回到一次移动平均数上去以作为预测值。如此改一次移动平均数上去以作为预测值。如此改动后进行预测的结论将更加准确。动后进行预测的结论将更加准确。2022-6-129二次移动平均法二次移动平均法 n一次移动平均数为：一次移动平均数为：n在一次移动平均的基础上再进行一次移动平在一次移动平均的基础上再进行一次移动平均就是二次移动平均，其计算公式为：均就是二次移动平均，其计算公式为： n它的递推公式为：它的递推公式为： N

27、yyyMNtttt11) 1 (NMMMMNtttt)1(1)1(1)1()2(NMMMMNtttt)1()1()2(1)2(2022-6-130利用滞后偏差建立直线趋势预测模型利用滞后偏差建立直线趋势预测模型 n设时间序列设时间序列 从某时期开始具有直线趋势，从某时期开始具有直线趋势，且认为未来时期亦按此直线趋势变化，则可且认为未来时期亦按此直线趋势变化，则可设此直线趋势预测模型为：设此直线趋势预测模型为：n其中：其中：t为当前时期数；为当前时期数；T为由为由t至预测期的时至预测期的时期数；期数； 为第为第t+T期预测值；期预测值； 为截距；为截距； 为斜率。为斜率。 ， 又称为平滑系数。又

28、称为平滑系数。 ty, 2 , 1TTbayttTtTtytatbtatbtatb2022-6-131利用滞后偏差建立直线趋势预测模型利用滞后偏差建立直线趋势预测模型n则则n它们的计算公式为：它们的计算公式为：(1)11.ttt NtXXXMN(1)(1)(1)(2)11.ttt NtMMMMN(1)(1)(2)(1)(2)()2ttttttaMMMMM(1)(2)2() (1)tttbMMN)(122)2()1()2()1(ttttttMMNbMMa2022-6-132优点优点n二次移动平均法不仅能处理预测变量的模式二次移动平均法不仅能处理预测变量的模式呈水平趋势时的情形，同时又可应用到长期

29、呈水平趋势时的情形，同时又可应用到长期趋势（线性增长趋势）或甚至于季节变动模趋势（线性增长趋势）或甚至于季节变动模式上去。这是它相对于一次移动平均法的优式上去。这是它相对于一次移动平均法的优点之所在。点之所在。n一次移动平均法的预测模型是直线方程（一一次移动平均法的预测模型是直线方程（一次方程），当实际值的变化趋势为二次或更次方程），当实际值的变化趋势为二次或更高次多项式时，就要用三次或更高次的移动高次多项式时，就要用三次或更高次的移动平均法，但此时可用其它更好的方法来做。平均法，但此时可用其它更好的方法来做。 2022-6-133例例5 我国我国19651985年的发电总量如表所示，试预测年

30、的发电总量如表所示，试预测1986年和年和1987年的发电总量。年的发电总量。 年份年份t发电总量发电总量一次移动平均，一次移动平均，N=6二次移动平均，二次移动平均，N=619651676196628251967377419684716196959401970611591971713841972815241973916681974101688197511195819761220311977132234197814256619791528202216.219801630062435.819811730932625.019821832772832.719831935143046.01984203

31、7703246.72733.619852141073461.22941.22022-6-134n解：由散点图（略）可以看出，发电总量基本呈直线解：由散点图（略）可以看出，发电总量基本呈直线上升趋势。可用趋势移动平均法来预测。上升趋势。可用趋势移动平均法来预测。n取取N=6n再由再由以上计算公式得：以上计算公式得：2 .294168 .24350 .26257 .28320 .30467 .32462 .34612 .34616300630933277351437704107)2(21) 1 (21MM208)2 .29412 .3461(52)(1622 .39812 .29412 .3461

32、22)2(21)1(2121)2(21)1(2121MMbMMa2022-6-135nt=21时直线趋势预测模型为：时直线趋势预测模型为： n预测预测1986年和年和1987年的发电总量为：年的发电总量为： TyT2082 .398121)(2 .439722082 .3981)(2 .41892082 .3981221231987121221986亿度亿度yyyyyy2022-6-136例例6 对某地区某种商品的销售量进行预测。其资对某地区某种商品的销售量进行预测。其资料和计算见下表。料和计算见下表。ty)1(tM)2(tMtatb1ty销售量销售量（吨）（吨）一次移动平均，一次移动平均，

33、n=3二次移动平均，二次移动平均， n=310121713.002016.332219.6616.3322.993.332723.0019.6626.343.3426.322524.6722.4426.902.2329.682927.0024.8929.112.1129.133028.0026.5629.441.4431.223431.0028.6733.332.3330.883332.3330.4434.221.8935.663734.6732.6736.672.0036.112022-6-137n解：由于历史数据基本呈线性趋势，且又有波解：由于历史数据基本呈线性趋势，且又有波动，为灵敏反映

34、其变动趋势，移动平均的跨越动，为灵敏反映其变动趋势，移动平均的跨越期宜短一些，设期宜短一些，设n=3。n1、计算一次和二次移动平均值。见上表。计算一次和二次移动平均值。见上表。n2、计算各期计算各期a和和b的值。的值。n3、计算观察期内估计值。计算观察期内估计值。n4、应用预测模型计算预测值。应用预测模型计算预测值。 )(67.423267.363)(67.402267.362)(67.381267.361121215121214121213吨吨吨baybaybay2022-6-138指数平滑法指数平滑法n移动平均法计算简单易行，但存在明显的不移动平均法计算简单易行，但存在明显的不足。第一，每

35、计算一次移动平均值，需要存足。第一，每计算一次移动平均值，需要存储最近储最近N个观察数据，当需要经常预测时有不个观察数据，当需要经常预测时有不便之处。第二，移动平均实际上是对最近的便之处。第二，移动平均实际上是对最近的N个观察值等权看待，而对个观察值等权看待，而对tN期以前的数据期以前的数据则完全不考虑，即最近则完全不考虑，即最近N个观察值的权系数都个观察值的权系数都是，而是，而tN以前的权系数都为以前的权系数都为0。n在实际经济活动中，最新的观察值往往包含在实际经济活动中，最新的观察值往往包含着最多的关于未来情况的信息。所以，更为着最多的关于未来情况的信息。所以，更为切合实际的方法是对各期观

36、察值依时间顺序切合实际的方法是对各期观察值依时间顺序加权。加权。 2022-6-139指数平滑法指数平滑法 n指数平滑法既不需要存贮很多历史数据，又考虑了指数平滑法既不需要存贮很多历史数据，又考虑了各期数据的重要性，且使用了全部历史资料。各期数据的重要性，且使用了全部历史资料。 n指数平滑法正是适应于这种要求，通过某种平均方指数平滑法正是适应于这种要求，通过某种平均方式，消除历史统计序列中的随机波动，找出其中的式，消除历史统计序列中的随机波动，找出其中的主要发展趋势。根据平滑次数的不同，有一次指数主要发展趋势。根据平滑次数的不同，有一次指数平滑、二次指数平滑、三次指数平滑和高次指数平平滑、二次

37、指数平滑、三次指数平滑和高次指数平滑之分，但高次很少用。滑之分，但高次很少用。2022-6-140一次指数平滑法一次指数平滑法(1)12(1)(1).ttttSXXX (1)1(1)ttXS2022-6-1412022-6-1422022-6-143移动平均值和指数平滑值的对比移动平均值和指数平滑值的对比2022-6-144n指数平滑法的特点：指数平滑法的特点：n1.权重权重n算术平均，所有数据权重均为算术平均，所有数据权重均为1/n；一次移动平；一次移动平n均，最近均，最近N期数据权重均为期数据权重均为1/N，其他为，其他为0；指数平；指数平n滑，与所有数据有关，权重衰减，厚今薄古。滑，与所

38、有数据有关，权重衰减，厚今薄古。n2. 的大小对指数平滑序列的影响的大小对指数平滑序列的影响n1） 与权系数的衰减快慢有关：与权系数的衰减快慢有关： 越大，衰减越越大，衰减越快；快；n2） 的平滑作用：的平滑作用： 越大，平滑作用越小（对应越大，平滑作用越小（对应于于1/N）；）；2022-6-145n与初值：与初值： 越小，初值越重要。越小，初值越重要。n 0.1 (1 )50.59049n 0.5 (1 )5 0.3125n 0.9 (1 )5 0.000012022-6-146n指数平滑法克服了移动平均法的缺点，它具有指数平滑法克服了移动平均法的缺点，它具有“厚厚今薄古今薄古”的特点。在

39、算术平均中，所有数据的权重的特点。在算术平均中，所有数据的权重相等，均为相等，均为1/N；一次移动平均中，最近；一次移动平均中，最近N期数据期数据的权重均为的权重均为1/N，其它为，其它为0；而在指数平滑中，一次；而在指数平滑中，一次指数平滑值与所有的数据都有关，权重衰减，距离指数平滑值与所有的数据都有关，权重衰减，距离现在越远的数据权系数越小。权重衰减的速度取决现在越远的数据权系数越小。权重衰减的速度取决于的大小，越大，衰减越快，越小，衰减越慢。于的大小，越大，衰减越快，越小，衰减越慢。n指数平滑法解决了移动平均法所存在的一个问题，指数平滑法解决了移动平均法所存在的一个问题，即不再需要存贮过

40、去即不再需要存贮过去N期的历史数据，而只需最近期的历史数据，而只需最近期观察值期观察值Xt，最近期的预测值和权系数，用这三个，最近期的预测值和权系数，用这三个数即可计算出一个新的预测值，在进行连续预测时，数即可计算出一个新的预测值，在进行连续预测时，计算量大大减小。计算量大大减小。 2022-6-147n新预测值是在原预测值的基础上利用误差进新预测值是在原预测值的基础上利用误差进行调整，这与控制论中利用误差反馈进行控行调整，这与控制论中利用误差反馈进行控制的原理有些类似。很明显，当制的原理有些类似。很明显，当 趋近于趋近于1时，时，新预测值将包括一个较大的调整；相反，当新预测值将包括一个较大的

41、调整；相反，当 趋近于趋近于0时，调整就很小。因此时，调整就很小。因此 的大小对预的大小对预测效果的影响与在移动平均法中使用的平均测效果的影响与在移动平均法中使用的平均期数期数N对预测效果的影响相同。对预测效果的影响相同。 2022-6-148n的大小实际上控制了时间序列在预测计算的大小实际上控制了时间序列在预测计算中的有效位数。如当中的有效位数。如当 0.3时，前时，前10期观期观察值察值Xt-10的权系数，的权系数， 亦即前亦即前10期期的观察值对预测的影响已经很小，这时预测的观察值对预测的影响已经很小，这时预测模型中所包含的时间序列的有效位数很短。模型中所包含的时间序列的有效位数很短。当

42、当 0.1，前，前10期的加权系数为期的加权系数为0.035，说明数说明数Xt-10在预测中仍起着一定作用。因此在预测中仍起着一定作用。因此当当值较小时预测模型中所包含的时间序列值较小时预测模型中所包含的时间序列的有效位数就较大。的有效位数就较大。008. 0)1 (102022-6-149n综合上述分析可以知道：综合上述分析可以知道： 较大表示较倚重较大表示较倚重近期数据所承载的信息，修正的幅度也较大，近期数据所承载的信息，修正的幅度也较大，采用的数据序列也较短；采用的数据序列也较短； 较小表示修正的较小表示修正的幅度也较小，采用的数据序列也较长。由此幅度也较小，采用的数据序列也较长。由此我

43、们可以得到选择我们可以得到选择的一些准则：的一些准则：n如果预测误差是由某些随机因素造成的，如果预测误差是由某些随机因素造成的，即预测目标的时间序列虽有不规则起伏波动，即预测目标的时间序列虽有不规则起伏波动，但基本发展趋势比较稳定，只是由于某些偶但基本发展趋势比较稳定，只是由于某些偶然变动使预测产生或大或小的偏差，这时，然变动使预测产生或大或小的偏差，这时， 应取小一点，以减小修正幅度，使预测模应取小一点，以减小修正幅度，使预测模型能包含较长的时间序列的信息。型能包含较长的时间序列的信息。 2022-6-150n如果预测目标的基本趋势已经发生了系统如果预测目标的基本趋势已经发生了系统的变化，也

44、就是说，预测误差是由于系统变的变化，也就是说，预测误差是由于系统变化造成的，则化造成的，则的取值应该大一点，这样，的取值应该大一点，这样，就可以根据当前的预测误差对原预测模型进就可以根据当前的预测误差对原预测模型进行较大幅度的修正，使模型迅速跟上预测目行较大幅度的修正，使模型迅速跟上预测目标的变化。不过，标的变化。不过， 取值过大，容易对随机取值过大，容易对随机波动反应过度。波动反应过度。n如果原始资料不足，如果原始资料不足， 初始值选取比较粗糙，初始值选取比较粗糙， 的取值也应大一点。这样，可以使模型加的取值也应大一点。这样，可以使模型加重对以后逐步得到的近期资料的依赖，提高重对以后逐步得到

45、的近期资料的依赖，提高模型的自适应能力，以便经过最初几个周期模型的自适应能力，以便经过最初几个周期的校正后，迅速逼近实际过程。的校正后，迅速逼近实际过程。 2022-6-151n假如有理由相信用以描述时间序列的预测假如有理由相信用以描述时间序列的预测模型仅在某一段时间内能较好地表达这个时模型仅在某一段时间内能较好地表达这个时间序列，则间序列，则应选择较大的值，以减低对早应选择较大的值，以减低对早期资料地依赖程度期资料地依赖程度n的选取范围一般以的选取范围一般以0.010.3为宜，注意到为宜，注意到推导是用推导是用 代替代替1/N的。但在早期阶段，选的。但在早期阶段，选择较大的择较大的往往是有益

46、的，因为此时观察数往往是有益的，因为此时观察数较少，加大较少，加大 ，给当前观察值的权数就大，给当前观察值的权数就大，从而减少了由于初始值从而减少了由于初始值S S0 0选择不当而引起的偏选择不当而引起的偏差。差。2022-6-152n选取的一种比较有效的方法是：将已知时间序列分选取的一种比较有效的方法是：将已知时间序列分成两段，选取一系列成两段，选取一系列值，用前一段数据建立模型，值，用前一段数据建立模型，对后一段进行事后预测，以事后预测误差为评价标对后一段进行事后预测，以事后预测误差为评价标准，从中选取最优的准，从中选取最优的值，再建立真正的预测模型。值，再建立真正的预测模型。例如例如,已

47、有某产品三年的月销售量统计序列，通常可已有某产品三年的月销售量统计序列，通常可取取 0.05，0.1，0.2，0.3，用前两年的统计数，用前两年的统计数据建立平滑预测模型，对第三年的月销售量进行事据建立平滑预测模型，对第三年的月销售量进行事后预测，然后对预测值与实际值进行比较，选取预后预测，然后对预测值与实际值进行比较，选取预测误差最小的测误差最小的值作为实际预测时的平滑系数。值作为实际预测时的平滑系数。n显然，上述方法仅仅当已有的历史观察数据很多时显然，上述方法仅仅当已有的历史观察数据很多时才适用。对观察数据不是太多的情况下，我们可以才适用。对观察数据不是太多的情况下，我们可以用指数平滑法进

48、行预测，然后选择均方误差最小的用指数平滑法进行预测，然后选择均方误差最小的值作为正式进行预测时的平滑系数值作为正式进行预测时的平滑系数 2022-6-153一次指数平滑法一次指数平滑法 n加权系数的选择加权系数的选择 n值就根据时间序列的具体性质在值就根据时间序列的具体性质在01之间之间进行选择。具体如何选择一般可遵循下列原进行选择。具体如何选择一般可遵循下列原则：则：n（1）如果时间序列波动不大，比较平稳，则）如果时间序列波动不大，比较平稳，则应取小一点，如（应取小一点，如（0.10.3）。）。n（2）如果时间序列具有迅速且明显的变动倾）如果时间序列具有迅速且明显的变动倾向，则向，则就取大一

49、点，如（就取大一点，如（0.60.8）。）。n在实用上，类似移动平均法，多取几个在实用上，类似移动平均法，多取几个值值进行试算，看哪个预测误差小，就采用哪个。进行试算，看哪个预测误差小，就采用哪个。2022-6-154例例7 某市某市19761987年某种电器销售额如下表年某种电器销售额如下表所示。试预测所示。试预测1988年该电器销售额。年该电器销售额。 tyty 年份年份t销售额销售额a=0.2的预测值的预测值a=0.5的预测值的预测值a=0.8的预测值的预测值1976150515151197725250.850.550.2197834751.0451.2551.64197945150.2

50、349.1347.93198054950.3850.0750.39198164850.1049.5449.28198275149.6848.7748.26198384049.9449.8950.45198494847.9544.9542.091985105247.9646.4846.821986115148.7749.2450.961987125949.2250.1250.99ty ty 2022-6-155n解：采用指数平滑法，并分别取解：采用指数平滑法，并分别取 =0.2,0.5,0.8进行计进行计算，初始值算，初始值n即即 n按预测模型，计算各期预测值，列于上表中按预测模型，计算各期预测

51、值，列于上表中.n从上表中可以看出，从上表中可以看出， =0.2,0.5,0.8时，预测值是很不时，预测值是很不相同的。究竟相同的。究竟取何值为好，可通过计算它们的均方取何值为好，可通过计算它们的均方误差误差MSE，选使选使MSE较小的那个较小的那个值。值。n当当 =0.2时，时， n当当 =0.5时，时， n当当 =0.8时，时，n计算结果表明：计算结果表明： =0.2时，时，MSE较小，故选取较小，故选取=0.2，预测预测1988年该电器销售额为：年该电器销售额为： n 51221)1(0yyS51)1(01 Sy26.201214.243)(1211212tttyyMSE07.21128

52、2.252MSE45.23124.281MSE)(176.5122.498.0592.01988万元y2022-6-156n 现有某年现有某年1月至月至11月对餐刀的需求量（见表月对餐刀的需求量（见表4.2）要用指数平滑法预测这一年）要用指数平滑法预测这一年12月份的需月份的需求量。在表中我们选择求量。在表中我们选择 0.1，0.5，0.9三个值进行比较，由于三个值进行比较，由于S0未知，从而未知，从而S1也未也未知，表中将知，表中将X0=2000作为初始值，当作为初始值，当 0.1时均方误差最小，因此我们在进行预测时时均方误差最小，因此我们在进行预测时的平滑系数的平滑系数选为选为0.1。 2

53、022-6-157n在某种程度上，初始值的设置是一个纯理论在某种程度上，初始值的设置是一个纯理论性问题。实际工作中，计算时间序列的指数性问题。实际工作中，计算时间序列的指数平滑值，初始值的设置仅有最初的一次，而平滑值，初始值的设置仅有最初的一次，而且，通常总会有或多或少的历史数据可以使且，通常总会有或多或少的历史数据可以使我们从中确定一个合适的初始值。同时，从我们从中确定一个合适的初始值。同时，从表中很容易看出，如果数据序列较长，或者表中很容易看出，如果数据序列较长，或者平滑系数选择得比较大，则经过数期平滑链平滑系数选择得比较大，则经过数期平滑链平滑之后，初始值平滑之后，初始值 对对 的影响就

54、很小了。的影响就很小了。故我们可以在最初预测时，选择较大的故我们可以在最初预测时，选择较大的值值来减小可能由于初始值选取不当所造成得预来减小可能由于初始值选取不当所造成得预测偏差，使模型迅速地调整到当前水平。测偏差，使模型迅速地调整到当前水平。(1)0S(1)tS2022-6-158n假定有一定数目的历史数据，常用的确定初假定有一定数目的历史数据，常用的确定初始值的方法是将已知数据分成两部分，用第始值的方法是将已知数据分成两部分，用第一部分来估计初始值，用第二部分来进行平一部分来估计初始值，用第二部分来进行平滑，求各平滑参数。实用上，当数据个数时，滑，求各平滑参数。实用上，当数据个数时，取取

55、，当，当 时，取最初几个数据时，取最初几个数据的平均值作为初始值。一般取前的平均值作为初始值。一般取前35个数据个数据的算术平均值（如取）。的算术平均值（如取）。(1)(2)00012() 3SSXXX(1)(2)000SSX15n 15n 2022-6-159时 期需求量的观察值0.1时的预测值0.5时的预测值0.9时的预测值需求量的预测值误差绝对误差误差平方需求量的预测值误差绝对误差误差平方需求量的预测值误差绝对误差误差平方02000113502000-6506504225002000-6506504225002000-65065042250021950193515152251675275

56、2757562514155355352862253197519373838144418131621622624418977878608443100194011601160134560018941206120614544361967113311331283689517502056-306306936362497-7477475580092987-123712371530169615502026-4764762265762123-5735733283291874-324324104976713001978-6786784596841837-5375372883691582-282282795248

57、220019102902908410015586426424121641328872872760384927701939831831690561188488688678499621136576574316491023502023327327106929233020204002709-35935912288111205623402386总计461468134312556845698435107242361275028081均值（取整数）46.146834312668570435107426135028082022-6-1602022-6-161二、二次指数平滑法二、二次指数平滑法 n计算公式为：

58、计算公式为：n可用以下直线趋势模型来预测。可用以下直线趋势模型来预测。 )2(1) 1 ()2() 1 (1) 1 ()1 ()1 (ttttttSaaSSSaayS, 2 , 1TTbayttTt)(12)2()1()2()1(ttttttSSaabSSa2022-6-162例例8 仍以我国仍以我国19651985年的发电总量资料为例，试年的发电总量资料为例，试用二次指数平滑法预测用二次指数平滑法预测1986年和年和1987年的发电总量。年的发电总量。 ty)1(tS)2(tS1ty年份年份t发电总量发电总量一次平滑值一次平滑值二次平滑值二次平滑值1965167667667619662825

59、720.7689.467619673774736.7703.6765.419684716730.5711.7784.019695940739.4736.2757.4197061159903.1786.3875.11971713841047.4864.61070.01972815241190.4962.31308.51973916681333.71073.71516.319741016881440.01183.61705.119751119581595.41307.11806.3我国发电总量及一、二次指数平滑值计算表我国发电总量及一、二次指数平滑值计算表 单位：亿度单位：亿度 2022-6-16

60、319761220311726.11432.82007.319771322341878.51566.52145.119781425662084.81722.02324.219791528202305.41897.02603.419801630062515.62082.62888.819811730932688.82264.53134.219821832772865.32244.73294.919831935143059.92629.33466.219842037703272.92822.43675.019852141073523.13032.63916.52022-6-164n解：取解：取a=