第八章 理想不可压缩流体平面流动

1、 83 势流的叠加原理势流的叠加原理 Superposition Principle 引言引言 81 无旋流动和有旋流动无旋流动和有旋流动Irrotational&Rotational Flows 82 平面势流平面势流 2D Potential Flows 第八章第八章 理想不可压缩流体平面流动理想不可压缩流体平面流动84 平行流绕圆柱体无环流流动平行流绕圆柱体无环流流动 Flow Past a Cylinder85 平行流绕圆柱体有环流流动平行流绕圆柱体有环流流动 Flow Past a Cylinder with Circulation引言引言 平面势流理论在流体力学中占有非常重

2、要的地位平面势流理论在流体力学中占有非常重要的地位Why? Example 本章将简要地介绍平面势流的基本理论，分析绕流本章将简要地介绍平面势流的基本理论，分析绕流不同形状的物体势流长的压力分布，以及流体对被绕不同形状的物体势流长的压力分布，以及流体对被绕流物体的作用力。流物体的作用力。 81 无旋流动和有旋流动无旋流动和有旋流动无无旋旋流流动动和和有有旋旋流流动动。类类型型：旋旋转转，将将流流动动分分为为两两大大根根据据流流体体微微团团是是否否存存在在 称称为为势势流流。旋旋转转角角速速度度为为零零，通通常常 一、无旋流动（有势流动）一、无旋流动（有势流动）Two examplesyuxvy

3、uxvxwzuxwzuzvywzvywzyx 或或或或或或 , 0)(21 , 0)(21 , 0)(21 无无关关。本本身身运运动动时时的的轨轨迹迹形形状状旋旋转转，与与流流体体微微团团流流体体质质点点本本身身是是否否发发生生。全全微微分分的的必必要要充充分分条条件件的的为为某某一一函函数数使使由由数数学学分分析析知知，上上式式是是 wdzvdyudx dzzdyydxxwdzvdyudx d , ， 或或 uvwxyzugrad用用三三个个速速度度更更简简明明。流流场场比比称称势势流流。用用速速度度势势表表示示流流动动也也称称为为有有势势流流，简简次次无无旋旋且且只只有有一一个个速速度度势

4、势，因因无无旋旋流流动动，总总有有一一个个而而具具体体的的是是无无旋旋流流动动，任任何何一一种种由由于于速速度度势势存存在在的的条条件件涡涡线线在在该该点点相相切切。度度矢矢量量都都与与在在同同一一瞬瞬间间的的旋旋转转角角速速线线表表示示。涡涡线线上上各各质质点点方方向向可可用用涡涡。各各点点的的旋旋转转角角速速度度的的的的方方法法描描述述旋旋转转角角速速度度，可可用用描描述述流流速速类类似似和和流流速速一一样样，为为一一矢矢量量旋旋转转角角速速度度 旋旋角角速速度度不不零零，流流。转为统称为涡涡线涡线二二、有旋流动有旋流动涡线的表达式：涡线的表达式：表表示示，则则微微元元涡涡通通量量为为为为

5、涡涡通通量量，以以倍倍旋旋转转角角速速度度的的乘乘积积称称涡涡束束断断面面面面积积和和为为涡涡管管。成成涡涡束束，涡涡束束的的表表面面称称通通过过微微元元断断面面的的涡涡线线组组I2dAdAdI 22 zyxdzdydx 表表示示：的的速速度度环环量量，用用积积分分称称为为沿沿流流线线曲曲线线的的一一封封闭闭曲曲线线，流流速速沿沿该该速速度度环环量量：在在流流场场中中取取 L LzyxLLdzudyudxuudLLdu)( circulation斯托克斯定理： AA2 dAdALdunnL 即即：量量，曲曲面面上上所所有有涡涡束束的的涡涡通通环环量量等等于于该该封封闭闭周周线线内内，则则沿沿封

6、封闭闭曲曲线线的的速速度度当当封封闭闭周周线线内内有有涡涡束束时时n : unit outward normal vector to the area dA;For single-connected region: 0 n = 0 byaxudycxv1.设不可压缩流体的速度场为设不可压缩流体的速度场为 若运动为无旋的，求若运动为无旋的，求a、b、c、d必须满足的条件。必须满足的条件。例题例题答答案案：且且adcb 22yxcxv2. 给定流场为：给定流场为：试用斯托克斯定理求证围绕原点的试用斯托克斯定理求证围绕原点的任意形状封闭曲线环量相等。任意形状封闭曲线环量相等。 。在在大大小小和和方方

7、向向上上都都相相同同线线上上各各点点处处的的质质点点流流速速一一条条垂垂直直平平面面，而而在在此此平平面面的的任任速速度度都都平平行行于于某某一一固固定定刻刻的的所所有有流流体体质质点点在在任任一一时时平平面面流流动动是是二二元元流流动动， 连连续续性性方方程程为为：对对于于不不可可压压缩缩流流体体，其其 0 0 2222222 zyxzwyvxuzwyvxu， 82 平面势流平面势流一、势函数和流函数一、势函数和流函数potential function and stream function1、势函数、势函数理论流体力学理论流体力学的四等价的四等价无旋无旋速度环量与路径无关速度环量与路径无

8、关有势有势封闭曲线环量为封闭曲线环量为0称为拉普拉斯算子。称为拉普拉斯算子。2222222 zyx 和和函函数数。调调和和函函数数，速速度度势势为为调调为为拉拉普普拉拉斯斯方方程程的的函函数数称称从从数数学学上上分分析析，凡凡满满足足此时拉普拉斯方程为：此时拉普拉斯方程为：0 22222 yx 对对于于平平面面势势流流：yvxu ，2、流函数、流函数对对于于平平面面流流动动：由由流流线线微微分分方方程程可可知知，函函数数是是流流函函数数。流流场场的的面面流流动动中中，另另一一个个描描述述在在不不可可压压缩缩流流体体稳稳定定平平 ，得得满满足足上上式式。对对上上式式积积分分必必体体的的平平面面流

9、流动动是是连连续续的的也也就就是是说说，不不可可压压缩缩流流 分分和和必必要要条条件件是是：要要使使上上式式能能够够积积分分的的充充 0 vdxudyvdyudx或或0 yvxu ),()( yxvdxudy 数数。是是积积分分结结果果，称称为为流流函函),(yx 将将上上式式微微分分，得得流流函函数数的的物物理理意意义义：比比较较上上面面两两式式，得得的全微分，得的全微分，得),(yx vdxudyd dyydxxd xvyu ，的的关关系系。上上式式表表示示流流函函数数和和流流速速是是流流线线。常常数数，故故等等流流函函数数线线即即流流函函数数为为一一说说明明同同一一流流线线上上各各点点的

10、的（即即，得得和和比比较较 ,),00 cyxddyxdxxdudy-vdx 于于当当宽宽流流量量。当当流流线线间间的的流流函函数数差差值值相相在在平平面面流流场场中中，两两相相邻邻 ，则则：及及垂垂投投影影为为断断面面的的水水平平和和铅铅设设。坐坐标标（点点，点点坐坐标标（，为为两两流流线线间间的的过过水水断断面面。取取间间有有固固定定流流量量之之和和值值。在在任任意意两两条条流流线线有有各各自自的的几几条条流流线线，每每条条流流线线证证明明：在在平平面面势势流流中中取取accbab),b),aabdyydxxyxdqd cbvacudq ，所以，所以，因为：因为：dxcbdyac 积分，积

11、分， ddxxdyyvdxudydq 不不论论势势流流和和涡涡流流。用用，论论对对任任何何平平面面流流动动都都适适流流动动的的条条件件，故故以以上上结结面面明明其其特特性性时时，仅仅用用了了平平在在论论证证流流函函数数存存在在及及说说2121 qd 旋旋转转角角速速度度为为零零。在在平平面面势势流流中中，质质点点的的0 yuxv0 22222 yxxvyu，因为因为在平面势流中，流函数也满足拉普拉斯方程，也是调和函数。3、流函数、势函数的关系、流函数、势函数的关系 xyvyxu 等势线和流线在平面上构成正交网格，称为流网数数。势势流流？若若是是势势流流求求势势函函求求流流函函数数。流流动动是是

12、否否为为若若可可以以，压压缩缩流流体体的的平平面面流流动动？分分布布是是否否可可表表示示成成不不可可，该该速速度度，例例题题：已已知知一一速速度度场场xyvyxu44 流流动动的的连连续续性性方方程程解解：不不可可压压缩缩流流体体平平面面0 1 1 yvxuyvxu，函函数数。平平面面流流动动，流流动动存存在在流流的的，可可表表示示不不可可压压缩缩流流体体速速度度分分布布满满足足连连续续方方程程 ，对对上上式式求求偏偏导导数数，为为了了确确定定函函数数)(xf系系，根根据据流流函函数数和和流流速速的的关关 xyxvyxyu4 4 ，)(2 )()4()( 2xfyxyxfdyyxxfdyy 均

13、均无无影影响响，忽忽略略不不计计。对对流流函函数数的的差差值值及及速速度度积积分分常常数数c 2)( 4)( 4)( 2cxxfxxfxyvxfyx ， cyxyx 2222 4yxxu 。得得处处，令令和和在在00 0 yx24222yxyx )(421)()4(2ygxyxygdxyx xyygxyv4)(4 cyygyyg 221)( ,)(（1) 由1) 由速速度度求求旋旋角角速速度度场转0)4(4 )4()4( yxyxyxyuxv流流流流动为势径径无无关关，表表示示全全微微分分，积积分分与与路路因因dyydxxd xyyxx)dy(-y-xdxdyydxxdyxll422 4 )(

14、 2200 ，）对对应应，设设在在坐坐标标原原点点（0000 ，（势势函函数数为为平平面面中中任任意意一一点点的的速速度度), yx ），（）（），选选取取积积分分路路径径为为（yx,x,000，轴轴上上，0dy0yx ，故故轴轴平平行行的的线线段段上上，与与0dxy 运运动动。所所以以直直线线等等速速流流是是无无旋旋0)(21 yuxvz 因因为为。平平行行地地作作等等速速直直线线运运动动相相互互流流体体质质点点以以相相同同的的速速度度所所谓谓平平行行等等速速流流，就就是是 bvau 设设流流场场中中的的速速度度分分布布byvaxu 二、简单流动的分析二、简单流动的分析 Elementary

15、 Flows1、均匀直线流动、均匀直线流动（平行等速流）（平行等速流）Uniform FlowThis flow is irrotational!byaxbdyadxdyydxxd 程程，都都相相同同，根根据据伯伯努努利利方方由由于于流流场场中中各各点点的的速速度度同同理理，可可求求流流函函数数aybxadybdxudyvdxdyydxxd 响响可可以以不不计计。平平面面上上运运动动，或或重重力力影影如如果果直直线线均均匀匀流流是是在在水水cpz cp 。在在流流场场中中压压强强处处处处相相等等 byxca流线方程为：流线方程为：、点点源源和和点点汇汇2vuvr点汇，此点称为汇点。点汇，此点称

16、为汇点。称为称为地从各方向流入一点，地从各方向流入一点，若流体沿径向直线均匀若流体沿径向直线均匀 此此点点称称为为源源点点。方方向向流流出出，称称为为点点源源。向向各各一一点点沿沿径径向向直直线线均均匀匀地地设设在在无无限限平平面面上上流流体体从从 点点源源和和点点汇汇的的流流动动只只有有径径向向速速度度 ，把把源源点点（汇汇点点）放放在在坐坐标标原原点点处处。rvPoint source and sink点点汇汇的的强强度度）的的单单宽宽流流量量（点点源源或或半半径径都都应应相相等等，故故每每秒秒通通过过量量体体通通过过任任一一圆圆柱柱面面的的流流根根据据流流动动的的连连续续性性，流流rrQ

17、vconstQrvrr 212 。，；对于点汇，；对于点汇，对于点源，对于点源，000, 0 rrvQvQ的的符符号号不不同同，和和别别仅仅在在于于故故对对点点源源和和点点汇汇，其其区区rvQ取取负负号号。对对点点源源取取正正号号，对对点点汇汇2222cos22 sin22rrQxQxuvrrxyQyQyvvrrxy 在在直直角角坐坐标标系系中中，有有 z2222221122 ()(-)02222vuQxyQxyxyxyxy 0)(21 z yuxv 因为因为 流流动动。所所以以点点源源和和点点汇汇是是无无旋旋。源源点点（或或汇汇点点）为为奇奇点点都都变变成成无无穷穷大大，和和速速度度时时，速

18、速度度势势圆圆簇簇。当当心心常常数数，是是半半径径不不同同的的同同常常数数，其其时时等等势势线线rvrr 0 22222222()()2442ddxdyudxvdyxyQxdxydyQd xyQd rQdrxyxyrr 2 lnQr r = 0 is a singular point 流流 函函 数数 ： 因因 为为= = 0 0所所 以以 存存 在在 流流 函函 数数2uvQ2xQ1+= -+ 222xy2222x+ yx+ y2Q2yQ1-+ 2222222x+ yx+ y 2222222)(2)(2 yxydxxdyQdyyxQxdxyxQydyxdxyudxvdyd xytgQxyxy

19、dQyxydxxdyQ12222)(1)(22 xytg -1 ，由由于于xytg。普普拉拉斯斯方方程程和和正正交交条条件件等等势势线线和和流流线线都都满满足足拉拉射射线线。常常数数，是是辐辐角角一一定定的的辐辐常常数数，即即流流线线为为 2Q 根根据据伯伯努努利利方方程程，得得：若若为为无无限限大大水水平平平平面面，2 2rvppgg 流流场场内内压压力力分分布布：在在无无限限远远处处，,0 ru22218rQpp 动动。流流体体将将带带动动着着作作旋旋转转运运。柱柱体体周周围围旋旋转转角角速速度度为为围围绕绕中中心心作作旋旋转转运运动动，体体，轴轴方方向向为为无无限限长长的的圆圆柱柱，沿沿

20、设设有有一一半半径径为为 zr0 3、纯环流运动、纯环流运动 Circulating Flow可可以以表表示示为为：流流场场中中任任意意一一点点的的速速度度，求求得得时时，为为常常数数，当当其其中中 00rurrk ，因因此此原原点点为为奇奇异异点点。，当当 ur0rrurk 2020 ，rku 222020222020cossin yxxrrrvyxyrrru 直角坐标系：直角坐标系：奇异点。奇异点。，原点是不连续点，为，原点是不连续点，为，当当 vur0022202220 yxxryyxyrxyvxu 但但数数。任任意意曲曲线线的的环环量量等等于于常常的的连连续续性性条条件件，包包围围原原

21、点点除除原原点点外外，纯纯环环流流符符合合 2020202 rrdrrdsuL 222222 yxxvyxyu 表表示示成成直直角角坐坐标标形形式式：Why ? Single-connected regionStokes Theorem是是连连续续的的，其其流流函函数数为为由由于于纯纯环环流流除除原原点点外外都都：纯纯环环流流的的旋旋转转角角速速度度为为 x)(212x2-d 222222yxydyxdxydyvdxudy )ln(2)ln(4 22ryx 02221)(21 2222 yxyyyxxxyuxvz 为为：势势为为势势流流旋旋转转区区，其其速速度度外外流流是是无无旋旋流流动动，即

22、即流流核核从从上上式式可可以以看看出出，纯纯环环 222122 xyxydyxxdyydxvdyudxd 积积分分，得得： arctan22yx势势流流。而而成成，势势流流叠叠加加后后仍仍是是叠叠加加成成是是由由几几种种简简单单的的势势流流实实际际的的复复杂杂流流动动可可以以看看 83 势流的叠加原理势流的叠加原理都都满满足足拉拉普普拉拉斯斯方方程程：、。、其其速速度度势势分分别别为为证证明明：设设有有两两个个势势流流，2121 00 222222212212yxyx * Only for the velocity field, NOT pressure field !两两速速度度势势之之和和

23、0)()( )()( 22122212222222212212222221 yxyxyxyx 复复合合势势流流的的速速度度分分量量： 21212121 vvyyyvuuxxxu 流流函函数数同同理理可可证证明明复复合合势势流流的的21 一一、源源环环流流和和汇汇环环流流流流线线方方程程： 等等势势线线方方程程：、源源环环流流1 )ln(21ln22ln212ln2 2121rQrQrQrQ lncrQ Qcer 1 Q-lnrc 1 cQre 、汇汇环环流流2 等等势势线线方方程程： 流流线线方方程程： )ln(21ln22ln212ln2 2121rQrQrQrQ CQre 1 cQre 处

24、处的的速速度度势势为为：，（，则则任任意意点点源源点点和和汇汇点点的的距距离离为为。、度度分分别别为为等等强强度度点点源源和和点点汇汇的的强强)M2yxQQ 212121ln2)ln(ln2rrQrrQ 222221)( )(yxryxr ；二、偶极流二、偶极流 Doublet，根根据据级级数数展展开开：时时，当当源源点点和和汇汇点点无无限限接接近近0 势势：近近似似取取第第一一项项，得得速速度度22)(44 yxxQ 32)1ln( 32zzzz2222222222222222()()lnln2()4()()()()4lnln 14()4()QxyQxyxyxyQxyxxQxxyxy 代代入

25、入上上式式，得得：和和把把21rr流流函函数数：)(2 2121 Q22221212121)( yxytgtgtgtgtg xytgxytg21 ，2221212 yxytg222122 yxytgQ 再再级级数数展展开开式式 53531zzzztg 02当当时时，的的极极限限趋趋于于某某一一极极限限值值。QQM 流流函函数数为为：很很小小，只只保保留留第第一一项项，由由于于 22222 yxyQ 2222222222 ryMyxyMrxMyxxM 数数分分别别为为：偶偶极极流流的的势势函函数数、流流函函向向点点汇汇。是是矢矢量量，其其方方向向由由点点源源称称为为偶偶极极流流的的偶偶极极矩矩，

26、M偶偶极极流流的的流流线线方方程程：等等势势线线方方程程：2121212241)21( ccyxcyxy 或或2222241)21(y ccxcyxx 或或84 平行流绕圆柱体无环流流动平行流绕圆柱体无环流流动一、理想流体绕无限长圆柱体无环流的分析一、理想流体绕无限长圆柱体无环流的分析面面流流动动。形形成成复复合合的的绕绕圆圆柱柱的的平平把把平平行行流流和和偶偶极极流流叠叠加加xuyu0101 平平行行流流：21222 2 rMxrMy 偶偶极极流流：复复合合流流动动的的流流函函数数：)21(2 20020ruMyurMyyu Uniform FlowDoublet20002 00ruMrry

27、 是是零零流流线线，此此时时：，的的圆圆柱柱面面上上，流流函函数数，或或在在半半径径当当)(sin)1( 20022200rrruyxryu 代代入入上上式式，得得：复复合合流流动动的的势势函函数数： )1( )1(cos)1( 222 22200220022002200020 yxrxurrrurrxurxruxurxMxu 前前流流动动到到无无穷穷远远处处。轴轴向向点点汇汇合合，再再沿沿流流到到周周分分两两股股沿沿柱柱面面上上下下两两半半点点，然然后后轴轴到到达达无无穷穷远远处处沿沿的的复复合合流流动动：零零流流线线自自样样的的圆圆柱柱表表面面上上，满满足足这这从从上上面面的的分分析析看看

28、出出，在在xBAxrr0 的的流流速速以以极极坐坐标标表表示示：流流场场中中任任意意一一点点 M sin)1(cos)1( 22002200rrururrurur )(2)()(1 22220022222200 yxxyruyuyxyxruxuyx 满足平行流。满足平行流。，时，时，当当0 0 yuuxuyxyx sin2 000uuurrr ，时，时，当当Sleep velocity，不不发发生生脱脱离离。流流动动紧紧贴贴圆圆柱柱表表面面绕绕行行向向速速度度，无无径径向向速速度度，表表明明在在圆圆柱柱表表面面只只有有切切布布：圆圆柱柱表表面面速速度度和和压压力力分分0ooo2 90 0 18

29、0 0 uuu ，Stagnation PointsMax velocity力，由伯努利方程得力，由伯努利方程得圆柱面上任意一点的压圆柱面上任意一点的压代代入入上上式式，得得将将 sin20uu ，得得定定义义无无因因次次压压力力系系数数pc)sin41(21 2200 upp 220200sin41)(121 uuuppcpgupgup22 2002 Symmetrical with respect to both x-axis and y-axis轴轴的的分分量量：轴轴和和沿沿微微小小总总压压力力：微微元元弧弧长长度度：作作用用在在圆圆柱柱面面上上的的力力：yxdFdprdFdrds 00

30、 dprdFdprdFyxsin cos 00 202200020220000cos)sin41(21 0sin)sin41(21 duprFFduprFFxDyL二、作用在圆柱体上的总压力二、作用在圆柱体上的总压力F = 0 : dAlemberts Paradox 2cos)1(ln2sin)1( 22002200rrrurrrru：流流动动的的流流函函数数和和势势函函数数，则则复复合合环环量量是是顺顺时时针针方方向向的的（叠叠加加而而成成，并并假假设设速速度度流流动动和和纯纯环环流流直直线线均均匀匀绕绕圆圆柱柱无无环环量量有有环环量量流流动动，实实际际上上是是对对于于绕绕圆圆柱柱，不不存存在在升升力力和和阻阻力力，对对于于绕绕圆圆柱柱无无环环量量流流动动)0 85 平行流绕圆柱体有环流流动平行流绕圆柱体有环流流动一、理想流体绕无限长圆柱体无环流的分析一、理想流体绕无限长圆柱体无环流的分析径向和切向速度：径向和切向速度： rrrururrurur 2si