第二章 轴向拉压变形

1、章 节名 称学时备注第二章轴向拉伸与压缩1 教学目标： 通过学习本章内容，使学生掌握轴向拉压的概念、内力、截面法、轴力及轴力图、应力、拉压杆内的应力、拉压杆的变形及胡克定律、拉压杆的应变能、材料在拉伸和压缩时的力学性能、强度条件、应力集中等知识点。2 教学内容：主要内容包括拉伸及压缩的定义；杆件横截面上的内力、应力、杆件变形的计算；强度条件及其应用；材料的机械性能；简单的拉压静不定问题求解；应力集中的概念等。3 重点、难点分析及解决策略 本章重、难点为杆件横截面上的内力、应力、杆件变形的计算、内力、截面法、轴力及轴力图、拉压杆的变形及胡克定律。4 教学方法： 采用理论讲授及实验的教学方法。5

2、教学进程：2-1 轴向拉伸和压缩的概念工程中有很多构件，除连接部分外都是等直杆，作用于杆上的外力（或者外力的合力）的作用线与杆轴线重合，这类构件称为轴向拉（压）杆，简称拉（压）杆。1、工程实例：2、几何特征： 均为等直杆。3、受力特征：杆在两端各受一集中力F作用，两个力F大小相等，指向相反，且作用线与杆轴线重合。4、变形特点： 沿轴向伸长或缩短。5、计算简图 FF轴向拉伸FF轴向压缩22 内力截面法轴力及轴力图一、内力 物体在外力的作用下发生变形，这种由外力作用而引起的质点间相互作用力的该变量，即为材料力学中所研究的内力。由于我们在材料力学的研究中假设研究对象是均匀连续的可变形固体，因此在物体

3、内部相邻部分之间相互作用的内力，实际上是一个连续分布的内力系，而将分布内力系的合成（力或力偶），简称为内力。mmFF设一等直杆在两端轴向拉力 F 的作用下处于平衡，欲求杆件横截面 mm 上的内力。二、截面法轴力及轴力图1、截面法l 截开mmFF 在求内力的截面m-m 处，假想地将杆截为两部分。l 代替取左部分部分作为研究对象。弃去部分对研究对象的作用以截开面上的内力代替，合力mmFFN为FN 。l 平衡对研究对象列平衡方程：FN = F式中：FN为杆件任一横截面 mm上的内力。与杆的轴线重合，即垂直于横截面并通过其形心。称为轴力。若取右侧为研究对象，则在截开面上的轴力与部分左侧上的轴力数值相等

4、而指向相反。2、轴力符号的规定 （1）若轴力的指向背离mmFFN截面，则规定为正的，称为拉力。FNmFm（2）若轴力的指向指向截面，则规定为负的，称为压力。3、轴力图xFNO用平行于杆轴线的坐标表示横截面的位置，用垂直于杆轴线的坐标表示横截面上的轴力数值，从而绘出表示轴力与横截面位置关系的图线，称为轴力图。将正的轴力画在x轴上侧，负的画在x轴下侧。例题 1：一等直杆其受力情况如图所示，作杆的轴力图。解: 求支座反力：求AB段内的轴力：求CD段内的轴力：求DE段内的轴力：杆的轴力图：发生在BC段内任一横截面上。23 应力拉（压）杆内的应力一、 应力的概念1、 定义 杆件截面上内力的分布集度，称为

5、应力。它是受力杆件某一截面上分部内力在一点处的集度。2、应力的表示 平均应力 总应力（全应力） 总应力分解为 垂直于截面的应力称为“正应力” 位于截面内的应力称为“切应力”在某一截面上一点处的应力是矢量。对于应力分量，通常规定离开截面的正应力为正，反之为负，即拉应力为正，压应力为负；而对截面内部（靠近截面）的一点产生顺时针转向力矩的切应力为正，反之为负。二、拉（压）杆横截面上的应力1、变形现象(1) 横向线ab和cd仍为直线，且仍然垂直于轴线；(2) ab和cd分别平行移至ab和cd，且伸长量相等。结论：各纤维的伸长相同，所以它们所受的力也相同。2、平面假设 变形前原为平面的横截面，在变形后仍

6、保持为平面，且仍垂直于轴线。3、 内力的分布均匀分布。4、正应力公式 式中，FN 为轴力，A 为杆的横截面面积，s 的符号与轴力FN 的符号相同。当轴力为正号时（拉伸），正应力也为正号，称为拉应力；当轴力为负号时（压缩），正应力也为负号，称为压应力 。5、最大正应力 当等直杆受几个轴向外力作用时，由轴力图可求得其最大轴力FN，max,代入正应力计算公式即得到杆内的最大正应力为：最大轴力所在的横截面称为危险截面，危险截面上的正应力称为最大工作应力。讲解课本15页例题。二、 拉（压）杆斜截面上的应力1、斜截面上的应力现研究与横截面成a角的任一斜截面kk上的应力。以 p表示斜截面k - k上的 应力

7、，于是有:将应力p分解为两个分量： 沿截面法线方向的正应力 sa沿截面切线方向的剪应力 ta2、符号的规定（1）角（2）正应力（3）切应力 对研究对象任一点取矩3、讨论24 拉（压）杆的变形胡克定律设拉杆的原长为L，承受一对轴向拉力F的作用而伸长后，其长度增为L1，1、纵向变形1）纵向变形2）纵向应变2、横向变形1）横向变形2）横向应变3、泊松比 m 称为泊松比。 4、胡克定律 实验表明工程上大多数材料都有一个弹性阶段，在此弹性范围内，正应力与线应变成正比。由可得到式式中 E 称为 弹性模量，EA称为抗拉（压）刚度。例题 图示为一变截面圆杆ABCD。已知F1=20kN，F2=35kN，F3=3

8、5kN。l1=l3=300mm，l2=400mm。d1=12mm，d2=16mm，d3=24mm。试求：(1) -、-、-截面的轴力并作轴力图(2) 杆的最大正应力smax(3) B截面的位移及AD杆的变形解：求支座反力 R = -50kN(1) -、-、-截面的轴力并作轴力图(2) 杆的最大正应力smaxAB段：BC段：DC段：(3) B截面的位移及AD杆的变形25 拉（压）杆内的应变能弹性体在受力后要发生变形，同时弹性体内将积蓄能量。一、能量方法 利用功能原理 U = W 来求解可变形固体的位移、变形和内力等的方法。二、外力功固体在外力作用下变形，引起力作用点沿力作用方向位移，外力因此而做

9、功，则成为外力功。三、变形能在弹性范围内，弹性体在外力作用下发生变形而在体内积蓄的能量，称为弹性变形能，简称变形能。四、功能原理可变形固体在受外力作用而变形时，外力和内力均将作功. 对于弹性体，不考虑其他能量的损失，外力在相应位移上作的功，在数值上就等于积蓄在物体内的应变能。五、轴向拉压的变形能当拉力为F1 时，杆件的伸长为l1当再增加一个dF1 时，相应的变形增量为d(l1)此外力功的增量为：积分得：根据功能原理U = W , 可得以下变形能表达式：当轴力或截面发生变化时：当轴力或截面连续变化时：比能：单位体积的应变能.，记作u 26 材料在拉伸和压缩时的力学性能一、材料的拉伸和压缩试验1、

10、试验条件 (1) 常温: 室内温度(2) 静载: 以缓慢平稳的方式加载(3)标准试件：采用国家标准统一规定的试件2、试验设备(Test instruments)(1)万能材料试验机 (2)游标卡尺二、低碳钢试样的拉伸图及其力学性能1、拉伸试件先在试样中间等直部分上划两条横线这一段杆称为标距 l ，3 应力应变图表示应力和应变关系的曲线，称为应力-应变图(a) 弹性阶段 试样的变形完全弹性的。此阶段内的直线段材料满足胡克定律b点是弹性阶段的最高点。(b) 屈服阶段当应力超过b点后，试样的荷载基本不变而变形却急剧增加，这种现象称为屈服。c点为屈服低限(c)强化阶段过屈服阶段后，材料又恢复了抵抗变形

11、的能力， 要使它继续变形必须增加拉力。这种现象称为材料的强化。e点是强化阶段的最高点(d) 局部变形阶段过e点后，试样在某一段内的横截面面积显箸地收缩，出现颈缩现。 一直到试样被拉断。4、伸长率和端面收缩率试样拉断后，弹性变形消失，塑性变形保留，试样的长度由 l 变为 l1，横截面积原为 A ，断口处的最小横截面积为 A1 。伸长率断面收缩率d 5%的材料，称作塑性材料；d 5%的材料，称作脆性材料 ；5、卸载定律及冷作硬化卸载定律： 若加栽到强化阶段的某一点d 停止加载，并逐渐卸载，在卸载过程中，荷载与试样伸长量之间遵循直线关系的规律称为材料的卸载定律。冷作硬化：在常温下把材料预拉到强化阶段

12、然后卸载，当再次加载时，试样在线弹性范围内所能承受的最大荷载将增大.这种现象称为冷作硬化。三、其他金属材料在拉伸时的力学性能1、无明显屈服极限的塑性材料2、铸铁拉伸时的机械性能四、材料在压缩时的力学性能1、实验试件 2、低碳钢压缩时的-曲线压缩的实验结果表明：低碳钢压缩时的弹性模量E屈服极限ss都与拉伸时大致相同。屈服阶段后，试件越压越扁，横截面面积不断增大，试件不可能被压断，因此得不到压缩时的强度极限。3、铸铁压缩时的-曲线铸铁压缩时破坏端面与横截面大致成450 550倾角，表明这类试件主要因剪切而破坏。铸铁的抗压强度极限是抗拉强度极限的45倍。27 强度条件安全因数许用应力一、拉（压）杆的

13、强度条件杆内的最大工作应力不超过材料的许用应力。1、数学表达式2、强度条件的应用(1) 强度校核(2) 设计截面(3) 确定许可核载例题1 简易起重设备中，AC杆由两根 80807等边角钢组成，AB杆由两根 10号工字钢组成。材料为Q235钢，许用应力 s=170Mpa。求许可荷载 F。解：(1) 取结点A为研究对象，受力分析如图所示。得到：由型钢表查得：(2) 许可轴力为(3)各杆的许可荷载(4) 结论：许可荷载 F=184.6kN例题2 刚性杆ACB有圆杆CD悬挂在C点，B端作用集中力F=25kN，已知CD杆的直径d=20mm，许用应力s=160MPa，试校核CD杆的强度，并求：（1）结构的许可荷载F；（2）若F=50kN，设计CD杆的直径。解：(1) 求CD杆受力（2）结构的许可荷载F(3)