正弦定理、余弦定理、解三角形-(修改的)

1、解三角形正弦定理（一）正弦定理：，(2)推论：正余弦定理的边角互换功能 ， ， = 典型例题:1在ABC中，已知，则B等于（ ）A B C D2在ABC中，已知，则这样的三角形有_个3在ABC中，若,求的值练习: 一、 选择题1一个三角形的两内角分别为与，如果角所对的边长是，那么角所对的边的边长为（） 2在ABC中，若其外接圆半径为，则一定有（） 3在ABC中，则ABC一定是（）等腰三角形 直角三角形等腰直角三角形 等腰三角形或直角三角形二、填空题4在ABC中，已知且ABC，则_5如果，那么ABC是_ _三、解答题6在ABC中，若，面积ABC，求的值7在ABC中，分别为内角，的对边，若,求的值

2、8在ABC中，求证：111正弦定理（二）三角形的面积公式：（1）= = （2）s=（3）典型例题:【例1】在ABC中，已知，则的值为 （ ） 【例2】在ABC中，已知，则此三角形的最大边长为_【例3】ABC的两边长分别为3cm,5cm,夹角的余弦是方程的根，求ABC的面积【例4】在锐角三角形ABC中，A=2B，、所对的角分别为A、B、C，试求的范围。分析：本题由条件锐角三角形得到B的范围，从而得出的范围。， 练习:一、 选择题1在ABC中，已知，则等于（ ） 2在ABC中，已知，如果利用正弦定理解三角形有两解，则x的取值范围是 ( ). 3ABC中，若sinA：sinB：sinC=m：(m+1

3、)：2m, 则m的取值范围是（ ）（，）（，）（，） （，）4在ABC中，A为锐角，lgb+lg()=lgsinA=lg, 则ABC为（    ）A. 等腰三角形 B. 等边三角形 C. 直角三角形 D. 等腰直角三角形二、填空题5在中，已知，那么的形状是一定是等腰三角形_ 6在ABC中，已知，ABC，则_三、解答题7已知方程的两根之积等于两根之和，且为ABC的两边，A、B为两内角，试判断这个三角形的形状8在ABC中，求sinB的值。9、在,求（1） (2)若点 BDCA10、如图,D是直角ABC斜边BC上一点,AB=AD,记CAD=,ABC=.（1）证明 ;（2）若AC=

4、DC,求的值.11如图所示，在等边三角形中，为三角形的中心，过的直线交于，交于，求的最大值和最小值112余弦定理（一）余弦定理：典型例题:1在ABC中，已知，则ABC的最小角为（ ）A B 在ABC中，已知，则_3在ABC中，已知，求及面积练习:一、 选择题1在ABC中，如果,则角等于（） 在ABC中，根据下列条件解三角形，则其中有两个解的是（） 在ABC中，已知则角（） 4某人朝正东方向走x km后，向右转150°，然后朝新方向走3km，结果他离出发点恰好km，那么x的值为（    ）A. B. 2 C. 2或 D. 3二、填空题5已知锐角三角形的边长为1、3、

5、，则的取值范围是_6、在ABC中，则ABC的最大内角的度数是120° 7在ABC中，三边的边长为连续自然数，且最大角是钝角，这个三角形三边的长分别为_三、解答题8在ABC中，已知,且=2, ,求的长.9已知锐角三角形ABC中，边为方程的两根,角A、B满足，求角C、边c及ABC。10如图，半圆O的直径为2，A为直径延长线上的一点，OA=2，B为半圆上任意一点，以AB为一边作等边三角形ABC。问：点B在什么位置时，四边形OACB面积最大？解：设，在AOB中，由余弦定理得： 112余弦定理（二）典型例题:1在ABC中，AB=5，BC=6，AC=8，则ABC的形状是（）A锐角三角形 B直角三

6、角形 C 钝角三角形 D非钝角三角形2、的三内角所对边的长分别为设向量,若,则角的大小为(A) (B) (C) (D) 3.如图，在中，是边上一点，则.4. 在ABC中，a,b,c分别是角A、B、C的对边，且. （1）求角A的大小； （2）若a=,b+c=3,求b和c的值.练习:一、 选择题1在中，,分别是，的对边，且则等于 （ ） A B C D在ABC中，若，并有sinAsinBcosC,那么ABC是（）直角三角形 等边三角形 等腰三角形等腰直角三角形在ABC中，已知，AC边上的中线BD=，求sinA的值为（） 4如果把直角三角形的三边都增加同样的长度，则这个新的三角形的形状为 ()A锐角

7、三角形 B直角三角形 C钝角三角形 D由增加的长度决定5.在ABC中，cos2，(a，b，c分别为角A，B，C的对边)，则ABC的形状为 ()A正三角形 B直角三角形 C等腰三角形或直角三角形 D等腰直角三角形二、填空题6ABC中，ABC，则_7. 在ABC中，已知,ABC,则_三、解答题8在ABC中，角A、B、C对边分别为，证明。9已知圆内接四边形的边长，求四边形的面积10、 在ABC中，角A、B、C的对边分别为a、b、c，（1）求角C的大小；（2）求ABC的面积113正、余弦定理的综合应用典型例题:例题在中，若，则的大小是_.例题.在ABC中，满足条件，则_ ，ABC的面积等于_ 例题3在

8、ABC中，A60°，b1，求的值。例题4. 在ABC中，角A、B、C对边分别为，已知，（）求的大小；（）求的值练习:一、 选择题在ABC中，有一边是另一边的倍，并且有一个角是，那么这个三角形（）一定是直角三角形 一定是钝角三角形可能是锐角三角形 一定不是锐角三角形在ABC中，角A、B、C所对的边分别为，且，则的值为（）A B C D已知ABC中，（）成立的条件是（） 且 或4.ABC的两边长分别为2,3，其夹角的余弦值为，则其外接圆的半径为()A . B . C . D9二、填空题5已知在ABC中，最大边和最小边的长是方程的两实根，那么边长等于_6已知锐角的三内角A、B、C的对边分别

9、是 则角A的大小_； 7在ABC中，是其外接圆弧上一点，且，则的长是_三、解答题8在ABC中，角A、B、C对边分别为，为ABC的面积，且有，（）求角的度数；（）若，求的值9ABC中的三和面积满足，且，求面积的最大值。10在中，已知内角，边.设内角,面积为.(1) 求函数的解析式和定义域；（2）求的最大值11在中, 角A、B、C的对边分别为、.若的外接圆的半径,且, 求B 12 应用举例（一）典型例题:图1ABCD例1 如图1所示，为了测河的宽度，在一岸边选定A、B两点，望对岸标记物C，测得CAB=30°，CBA=75°，AB=120cm，求河的宽度。210在200米高的山顶

10、上,测得山下一塔顶与塔底的俯角分别为300,600,则塔高为( )A米 B米 C米 D米A3在湖面上高h处，测得云彩仰角为a，而湖中云彩影的俯角为b，求云彩高.4、如图，为了测量塔的高度，先在塔外选和塔脚在一直线上的三点、，测得塔的仰角分别是，求求的大小及塔的高。5.为了测量两山顶M，N间的距离，飞机沿水平方向在A，B两点进行测量，A，B，M，N在同一个铅垂平面内（如示意图），飞机能够测量的数据有俯角和A，B间的距离，请设计一个方案，包括：指出需要测量的数据（用字母表示，并在图中标出）；用文字和公式写出计算M，N间的距离的步骤。练习:一、选择题1海上有A、B两个小岛相距10海里，从A岛望C岛和

11、B岛成60°的视角，从B岛望C岛和A岛成75°的视角，则B、C间的距离是( )A.10海里 B.海里C. 5海里 D.5海里2海上有A、B两个小岛相距10海里，从A岛望C岛和B岛成60°的视角，从B岛望C岛和A岛成75°的视角，则B、C间的距离是 ( )A.10海里 B.海里 C. 5海里 D.5海里3如图，要测量河对岸A、B两点间的距离，今沿河岸选取相距40米的C、D两点，测得 ACB=60°，BCD=45°，ADB=60°，ADC=30°，则AB的距离是（ ）.（A）20（B）20（C）40（D）204、甲船在

12、岛B的正南方A处，AB10千米，甲船以每小时4千米的速度向正北航行，同时乙船自B出发以每小时6千米的速度向北偏东60°的方向驶去，当甲，乙两船相距最近时，它们所航行的时间是（ ）A分钟B分钟C21.5分钟D2.15分钟二、填空题5一树干被台风吹断折成与地面成30°角，树干底部与树尖着地处相距20米，则树干原来的高度为 6甲、乙两楼相距20米，从乙楼底望甲楼顶的仰角为60°，从甲楼顶望乙楼顶的俯角为30°，则甲、乙两楼的高分别是 三、解答题7如图：在斜度一定的山坡上的一点A测得山顶上一建筑物顶端C对于山坡的斜度为15°，向山顶前进100m后，又从

13、点B测得斜度为45°，假设建筑物高50m，求此山对于地平面的斜度q北乙甲8如图，甲船以每小时海里的速度向正北方航行，乙船按固定方向匀速直线航行，当甲船位于处时，乙船位于甲船的北偏西方向的处，此时两船相距海里，当甲船航行分钟到达处时，乙船航行到甲船的北偏西方向的处，此时两船相距海里，问乙船每小时航行多少海里？9某船在海上航行中不幸遇险，并发出呼救信号，我海上救生艇在A处获悉后，立即测出该船的方位角为45°，与之相距10 nmail的C处，还测得该船正沿方位角105°的方向以每小时9 nmail的速度向一小岛靠近，我海上救生艇立即以每小时21 nmail的速度前往营救

14、，试求出该海上救生艇的航向及与呼救船相遇所需时间。10在某海滨城市附近海面有一台风，据检测，当前台风中心位于城市O(如图)的东偏南方向300 km的海面P处，并以20 km / h的速度向西偏北的方向移动，台风侵袭的范围为圆形区域，当前半径为60 km ，并以10 km / h的速度不断增加，问几小时后该城市开始受到台风的侵袭？持续多长时间？12 应用举例（二）典型例题：例1一船向正北航行，看见正西方向有相距10海里的两个灯塔恰好与它在一条直线上，继续航行半小时后，看见一灯塔在船的南60°西， 另一灯塔在船的南75°西，则这只船的速度是每小时（ ）A.5海里 B.5海里 C

15、.10海里 D.10海里例2某舰艇在A处测得遇险渔船在北偏东45°距离为10海里的C处，此时得知，该渔船沿北偏东105°方向，以每小时9海里的速度向一小岛靠近，舰艇时速21海里，则舰艇到达渔船的最短时间是 图3ABC北45°15°例3 如图3，甲船在A处，乙船在A处的南偏东45°方向，距A有9n mile并以20n mile/h的速度沿南偏西15°方向航行，若甲船以28n mile/h的速度航行，应沿什么方向，用多少h能尽快追上乙船？ 练习：一、选择题1台风中心从A地以20 km/h的速度向东北方向移动，离台风中心30 km内的地区为

16、危险区，城市B在A的正东40 km处，B城市处于危险区内的时间为（ ）A.0.5 h B.1 h C.1.5 h D.2 h2已知D、C、B三点在地面同一直线上，DC=a，从C、D两点测得A的点仰角分别为、（）则A点离地面的高AB等于（ ）A B CD 3在ABC中，已知b=2，B=45°，如果用正弦定理解三角形有两解，则边长a的取值范 围是（）AB CD二、填空题4我舰在敌岛A南50°西相距12nmile的B处，发现敌舰正由岛沿北10°西的方向以10nmile/h的速度航行，我舰要用2小时追上敌舰，则需要速度的大小为 5在一座20 m高的观测台顶测得地面一水塔塔

17、顶仰角为60°，塔底俯角为45°，那么这座塔的高为_ _三、解答题6如图所示，对于同一高度（足够高）的两个定滑轮，用一条（足够长）绳子跨过它们，并在两端分别挂有4 kg和2 kg的物体，另在两个滑轮中间的一段绳子悬挂另一物体，为使系统保持平衡状态，此物体的质量应是多少?（忽略滑轮半径、绳子的重量） 7海岛上有一座高出水面1000米的山，山顶上设有观察站A，上午11时测得一轮船在A的北偏东60°的B处，俯角是30°，11时10分，该船位于A的北偏西60°的C处，俯角为60°，（1）求该船的速度；（2）若船的速度与方向不变，则船何时能到达

18、A的正西方向，此时船离A的水平距离是多少？（3）若船的速度与方向不变，何时它到A站的距离最近？CAB8.为了立一块广告牌，要制造一个三角形的支架 三角形支架形状如图，要求，BC的长度大于1米，且AC比AB长0.5米 为了广告牌稳固，要求AC的长度越短越好，求AC最短为多少米？且当AC最短时，BC长度为多少米？ 解三角形测试题一、选择题1.在ABC中，那么ABC一定是（ ）A锐角三角形 B直角三角形C等腰三角形 D等腰三角形或直角三角形2.ABC中，则SABC=（ ）ABCD3.在ABC中，一定成立的等式是（） AasinA=bsinB BacosA=bcosB CasinB=bsinA D.c

19、osB=bcosA4.若，则ABC为（）A等边三角形B等腰三角形C有一个内角为30°的直角三角形D有一个内角为30°的等腰三角形5.边长为5、7、8的三角形的最大角与最小角之和为（ ）A90° B120° C135° D150°6.设A是ABC中的最小角，且，则实数a的取值范围是（ ）Aa3 Ba1 C1a3 Da07.ABC中,A、B的对边分别为a,b，且A=60°，,那么满足条件的ABC（ ）A有一个解 B有两个解C无解D不能确定8.在ABC中，根据下列条件解三角形，则其中有两个解的是（ ） Ab = 10，A = 45°，B = 70° Ba = 60，c = 48，B = 100°Ca = 7，b = 5，A = 80° Da = 14，b = 16，A = 45°.在ABC中，则三角形最小的内角是（ ）A60°B45° C30° D以上都错.有一长为1公里的斜坡，它的倾斜角为20°，现要将倾斜角改为10°，则坡底要伸长（ ）A1公里