新课标高考数学理一轮复习课件：73 平面向量的数量积

1、当当90时，时，a与与b垂直，记作垂直，记作_；当；当0时，时，a与与b_；当；当180时，时，a与与b_2已知两个非零向量已知两个非零向量a和和b，它们的夹角为，它们的夹角为，则把数量，则把数量|a|b|cos 叫做叫做a和和b的数量积的数量积(或内积或内积)，记作，记作ab_.3规定：规定：0a_.0180ab同向同向反向反向|a|b|cos 04(1)设设是是a与与b的夹角，则的夹角，则|a|cos 叫做叫做a在在b的方向上的投的方向上的投影，影，|b|cos 叫做叫做b在在a的方向上的投影的方向上的投影b在在a的方向上的投影的方向上的投影是一个实数，而不是向量当是一个实数，而不是向量当

2、090时，它是时，它是_；当；当90180时，它是时，它是_ ；当；当90时，时，它是它是_.(2)ab等于等于a的长度的长度|a|与与b在在a的方向上的投影的方向上的投影|b|cos 的的_ 5设设a和和b都是非零向量，都是非零向量，e是与是与b方向相同的单位向量，方向相同的单位向量，是是a与与e的夹角的夹角(1)eaae|a|cos .(2)ab ab_.正值正值负值负值乘积乘积00(3)当当a与与b同向时，同向时，ab_；当；当a与与b反向时，反向时，ab_特别地，特别地，aa_.(5)ab_|a|b|.6(1)ab_.(2)(a)b(ab)_(R)(3)(ab)c_.7若若a(x1，y

3、1)，b(x2，y2)，则，则ab_.|a|b|a|b|a|2baa(b)acbcx1x2y1y210若若a(x1，y1)，b(x2，y2)，则，则ab _.x2y2x1x2y1y20A30B60C120 D150答案答案：D2已知向量已知向量a(1，n)，b(1，n)，若，若2ab与与b垂垂直，则直，则|a|等于等于 ()答案答案：C答案答案：B4.如图，已知正六边形如图，已知正六边形P1P2P3P4P5P6，下列向量的数，下列向量的数量积中最大的是量积中最大的是 ()答案答案：A1因为向量的数量积是新运算，所以不能将代数运因为向量的数量积是新运算，所以不能将代数运算的运算律完全照搬过来以下

4、三点要特别注意：算的运算律完全照搬过来以下三点要特别注意：(1)当当a0时，时，ab0不能推出不能推出b一定是零向量这是一定是零向量这是因为任一与因为任一与a垂直的非零向量垂直的非零向量b都满足都满足ab0，所以在代数，所以在代数中我们常用的中我们常用的“若若ab0，则，则a0或或b0”在向量的数量积在向量的数量积中不适用中不适用(2)由由abbc不能推出不能推出ac，即等式两边都是数量积，即等式两边都是数量积时，其公因式不能约去这是因为原等式左右两边均是时，其公因式不能约去这是因为原等式左右两边均是实数，是一个实数等式，而实数，是一个实数等式，而ac是一个向量等式，所以是一个向量等式，所以两

5、者不等价另外，我们学习的向量运算中没有除法，两者不等价另外，我们学习的向量运算中没有除法，相约的实质是相除，这是不允许的相约的实质是相除，这是不允许的(3)结合律对数量积不成立，即结合律对数量积不成立，即(ab)ca(bc)这是因这是因为为(ab)c表示一个与向量表示一个与向量c共线的向量，而共线的向量，而a(bc)表示一个与表示一个与向量向量a共线的向量，但是向量共线的向量，但是向量a和向量和向量c不一定共线不一定共线(即使共即使共线，其积也不一定相等线，其积也不一定相等)，所以，所以(ab)ca(bc)2利用利用abab0(向量式向量式)和和abx1x2y1y20 (坐标式坐标式)来证明两

6、条直线垂直，使判断直线垂直又多了一来证明两条直线垂直，使判断直线垂直又多了一种简便的方法要注意将种简便的方法要注意将x1x2y1y20和判断平行的和判断平行的x1y2x2y10区别开，不要混淆记忆的方法是参照两条直线区别开，不要混淆记忆的方法是参照两条直线平行与垂直的条件已知直线平行与垂直的条件已知直线l1的方程为的方程为A1xB1yC10，直线，直线l2的方程为的方程为A2xB2yC20.若若l1l2，则，则A1B2A2B10，若，若l1l2，则，则A1A2B1B20.考点一平面向量的数量积及运算律考点一平面向量的数量积及运算律【案例案例1】设设a、b、c是任意的非零向量，且互不共是任意的非

7、零向量，且互不共线已知下列命题：线已知下列命题：(ab)c(ca)b0；|a|b|ab|；(bc)a(ca)b不与不与c垂直；垂直；(3a2b)(3a2b)9|a|24|b|2.其中是真命题的有其中是真命题的有 ()ABCD关键提示关键提示：考查平面向量的数量积及运算律考查平面向量的数量积及运算律解析解析：对于，只有：对于，只有b和和c方向相同时，两者才可能相方向相同时，两者才可能相等，所以错考虑式对应的几何意义，由等，所以错考虑式对应的几何意义，由“三角形两三角形两边之差小于第三边边之差小于第三边”知正确因为知正确因为(bc)a(ca)bc0，所以垂直，即错对于，向量的乘法运算符合多项，所以

8、垂直，即错对于，向量的乘法运算符合多项式乘法法则，所以对式乘法法则，所以对答案答案：D【即时巩固即时巩固1】下面给出的关系式中正确的个数是下面给出的关系式中正确的个数是 ()0a0；abba；a2|a|2；(ab)ca(bc)；|ab|ab.A0 B1C2 D3解析解析：由数量积的结果为一个数，数乘的结果为一：由数量积的结果为一个数，数乘的结果为一向量，知错，数量积有交换律，无结合律，知对，向量，知错，数量积有交换律，无结合律，知对，错：由错：由ab|a|b|cos ，由，由|cos |1，知对；取，知对；取ab，易知对；故选，易知对；故选D.答案答案：D【案例案例2】在直角在直角ABC中，中

9、，CD是斜边是斜边AB上的上的高，则下列等式不成立的是高，则下列等式不成立的是 ()关键提示关键提示：结合图形与：结合图形与ab的几何意义的几何意义答案答案：CA等边三角形等边三角形B直角三角形直角三角形C等腰非等边三角形等腰非等边三角形 D无法确定无法确定答案答案：A考点二向量数量积的距离及夹角问题考点二向量数量积的距离及夹角问题【案例案例3】已知已知a、b都是非零向量，且都是非零向量，且a3b与与7a5b垂直，垂直，a4b与与7a2b垂直，求垂直，求a与与b的夹角的夹角【即时巩固即时巩固3】设非零向量设非零向量a，b，c满足满足|a|b|c|，|ab|c|，则，则a，b ()A150B12

10、0C60D30解析解析：由：由|ab|c|，两边平方得：，两边平方得：a22abb2c2，因为因为|a|b|c|，所以所以|a|22|a|a|cosa，b|a|2|a|2，所以所以a，b120.答案答案：B【案例案例4】已知向量已知向量a(2，sin )，b(1，cos )，则则|ab|的最大值为的最大值为_关键提示关键提示：将：将|ab|表示成三角函数的形式，再利用表示成三角函数的形式，再利用三角函数的范围求最大值三角函数的范围求最大值【即时巩固即时巩固4】已知向量已知向量a(2,2)，b(5，k)若若|ab|不超过不超过5，则，则k的取值范围是的取值范围是_答案答案：6,2考点三向量数量积与其他知识考点三向量数量积与其他知识( (三角、解几三角、解几) )的综合的综合 应用应用关键提示关键提示：利用向量平行和向量的数量积转化为三角利用向量平行和向量的数量积转化为三角函数形式，再求值函数形式，再求值解解：(1)因为因为