第一章气体的一维流动

1、空气动力学基本概念第一章 一维定常流1.1.迹线：流场中每一个流体微团都有一个运动轨迹。那迹线：流场中每一个流体微团都有一个运动轨迹。那么流体微团的运动轨迹就称为迹线。迹线只随流体微团么流体微团的运动轨迹就称为迹线。迹线只随流体微团不同而异，所以迹线是一族曲线。不同而异，所以迹线是一族曲线。2.2.流线：在同一瞬间，流场中不同位置流体微团的流动流线：在同一瞬间，流场中不同位置流体微团的流动方向称之为流线。方向称之为流线。 在所考虑的那一瞬时，流管中的流体就好象在一个固体在所考虑的那一瞬时，流管中的流体就好象在一个固体管中流动一样，因为流线上的流体微团总是沿着流线的切管中流动一样，因为流线上的流

2、体微团总是沿着流线的切向流动，它是不会穿过由流线形成的管壁的。在定常流动向流动，它是不会穿过由流线形成的管壁的。在定常流动情况下，流管不随时间而变，在非定常流动情况下，流管情况下，流管不随时间而变，在非定常流动情况下，流管随时间而变。随时间而变。c3.3.流管：在流场中取任意封闭流管：在流场中取任意封闭曲线曲线c(c(不与流线重合不与流线重合) )，过其上，过其上各点作瞬时各点作瞬时t t的流线。这些流线的流线。这些流线围成的管子叫做瞬时围成的管子叫做瞬时t t通过曲线通过曲线c c的流管。如图所示。的流管。如图所示。4.4.一维定常流的定义：是指沿着流管或管道所有流动参一维定常流的定义：是指

3、沿着流管或管道所有流动参数数( (如速度如速度V V、压强、压强p p、密度、密度、温度、温度T T）只与一个空间）只与一个空间坐标坐标( (如沿流管中心线的坐标如沿流管中心线的坐标s s) )有关，而不随时间变有关，而不随时间变化的流动，这就意味着在垂直于中心轴线的每一个横化的流动，这就意味着在垂直于中心轴线的每一个横截面上所有流体的物理状态参数都是均匀一致的。而截面上所有流体的物理状态参数都是均匀一致的。而且各点的速度均沿且各点的速度均沿s s轴方向。轴方向。5.5.流动可作为一维定常流的条件：流动可作为一维定常流的条件：(1)(1)管道是通畅的，管横截面积管道是通畅的，管横截面积A A的

4、相对变化率很小；的相对变化率很小；(2)(2)管中心线的曲率半径管中心线的曲率半径R R很大；很大；(3)(3)管子直径比较大；管子直径比较大；(4)(4)在同一个截面上取流动参数的平均值来代替它的实在同一个截面上取流动参数的平均值来代替它的实际分布。际分布。1.1 1.1 扰动传播速度和音速扰动传播速度和音速一、基本概念一、基本概念1.1.扰动：气流绕物体流动或物体在空气中运动时气体的物扰动：气流绕物体流动或物体在空气中运动时气体的物理参数理参数( (、p p、v v、t t）等，会发生变化，这种现）等，会发生变化，这种现象称之为气体受到物体的扰动。象称之为气体受到物体的扰动。2.2.弱扰动

5、：气体受到扰动后其物理参数相对原来的数值变弱扰动：气体受到扰动后其物理参数相对原来的数值变化不大，叫弱扰动。化不大，叫弱扰动。3.3.强扰动：气体受到扰动后其物理参数相对原来的数值变强扰动：气体受到扰动后其物理参数相对原来的数值变化很大，叫强扰动。化很大，叫强扰动。4.4.扰动的传播：气体受到扰动后除其扰动点周围气体的参扰动的传播：气体受到扰动后除其扰动点周围气体的参数发生变化外会引起由近及远处气体参数的变化，数发生变化外会引起由近及远处气体参数的变化，这种现象称之为扰动的传播。这种现象称之为扰动的传播。5.5.波阵面：扰动总是从已被扰动区向未被扰动区传播、扰波阵面：扰动总是从已被扰动区向未被

6、扰动区传播、扰动区与被扰动区的界面称之为波阵面。动区与被扰动区的界面称之为波阵面。二、扰动传播速度二、扰动传播速度 设静止气体的压强、密度和温度分别具有常值设静止气体的压强、密度和温度分别具有常值p p、和和T T，速度为零。现有一固定的扰动源位于，速度为零。现有一固定的扰动源位于o o点，如图所点，如图所示。扰动源再连续不断地向四周发出扰动，受扰动后气示。扰动源再连续不断地向四周发出扰动，受扰动后气体的物理参数分别为体的物理参数分别为p+p+p p 、+ +和和T T+ +T T。1.1 1.1 扰动传播速度和音速扰动传播速度和音速 若受扰动区域是球形若受扰动区域是球形空间，则在球形空间内气

7、空间，则在球形空间内气体除了压强、密度和温度体除了压强、密度和温度变化外，还出现了由原来变化外，还出现了由原来静止状态产生的径向速度静止状态产生的径向速度V V。未受扰动气体与受。未受扰动气体与受扰动气体之间的分界面向扰动气体之间的分界面向四周以速度四周以速度V VB B传播。传播。1.1 1.1 扰动传播速度和音速扰动传播速度和音速 在扰动分界面上取元素面积在扰动分界面上取元素面积S S，在瞬时，在瞬时t t，扰动分界，扰动分界面在位置面在位置1 1，在瞬时，在瞬时t+t+t t扰动分界面到达位置扰动分界面到达位置2 2。对。对1-21-2空空间使用质量守恒和动量守恒定理，就可以推导出扰动传

8、播间使用质量守恒和动量守恒定理，就可以推导出扰动传播速度速度V VB B。 由于质量守恒，该空间内质量的增量应等于从左方流由于质量守恒，该空间内质量的增量应等于从左方流入的质量，即入的质量，即化简后得化简后得 由于动量守恒，该空间内动量的增加应等于压力冲由于动量守恒，该空间内动量的增加应等于压力冲量加上从左方流进该空间的动量，即量加上从左方流进该空间的动量，即()BVV（1 1）1.1 1.1 扰动传播速度和音速扰动传播速度和音速简化得简化得（2 2）将式将式(1)(1)代入式代入式(2),(2),得得此式就是任意强度的扰动传播速度。此式就是任意强度的扰动传播速度。三、音速三、音速 若扰动是微

9、弱的，则气体受扰动后物理参数的变化若扰动是微弱的，则气体受扰动后物理参数的变化很微弱，即很微弱，即p p和和都可作为无限小量来处理。在极限都可作为无限小量来处理。在极限情况下，上式可以写成情况下，上式可以写成00limBpdpaVd 这是微弱扰动的传播速度，称之为音速。换句话说，这是微弱扰动的传播速度，称之为音速。换句话说，音速就是在气体中微弱扰动的传播速度。音速就是在气体中微弱扰动的传播速度。 微弱扰动的传播过程，可以认为是等熵过程。所以应微弱扰动的传播过程，可以认为是等熵过程。所以应用等熵关系式用等熵关系式p/p/k k=C=C及状态方程及状态方程p=RTp=RT得得1.1 1.1 扰动传

10、播速度和音速扰动传播速度和音速2dppakkRTdakRT故故对于空气对于空气k=k=1.41.4，R=R=287287J/KgJ/KgK K ，于是有，于是有20.05aT四、马赫数四、马赫数1.1.定义：流场中某点的相对速度和该点的当地音速之比定义：流场中某点的相对速度和该点的当地音速之比称为马赫数，用称为马赫数，用M M表示。其表达式为表示。其表达式为1.1 1.1 扰动传播速度和音速扰动传播速度和音速VMa2.2.根据马赫数的大小，流动问题可划分为五个区域：根据马赫数的大小，流动问题可划分为五个区域：(1)(1)不可压缩流动不可压缩流动( (低亚音速低亚音速) )，即气流速度比当地音速

11、小得，即气流速度比当地音速小得多时多时( (通常确定为通常确定为M0.3)M0.3)，可以忽略气流压缩性的影响；，可以忽略气流压缩性的影响；(2)(2)亚音速可压缩流动亚音速可压缩流动(M1)(M1)(M1)；(5)(5)高超音速流动高超音速流动(M1)(M1)。一般指来流马赫数。一般指来流马赫数M5M5。1.2 1.2 状态参数关系式状态参数关系式可以看出，在定常绝能流中，沿流线气流的热焓随速度可以看出，在定常绝能流中，沿流线气流的热焓随速度而变化。其物理意义是非常明显的，沿流线若速度越来而变化。其物理意义是非常明显的，沿流线若速度越来越大，则它的温度将越来越低，说明它的热焓转化为动越大，则

12、它的温度将越来越低，说明它的热焓转化为动能了。反之，速度越来越小，则温度越来越高，说明动能了。反之，速度越来越小，则温度越来越高，说明动能转化为热焓了。考虑到能转化为热焓了。考虑到akRT由一维定常绝能流动能量方程为由一维定常绝能流动能量方程为22ViC 221VkRTCk或写为或写为2221VaCk上式又可写成上式又可写成 可见随着速度的增大，音速就减小；反之，随着速度可见随着速度的增大，音速就减小；反之，随着速度的降低，音速将增大。的降低，音速将增大。22002111aVkkRTRTCkkk1.2 1.2 状态参数关系式状态参数关系式一、几个特殊状态一、几个特殊状态1.1.滞止状态：速度等

13、于零的状态。滞止状态：速度等于零的状态。 在定常流动中，沿流线总能量保持不变。即在定常流动中，沿流线总能量保持不变。即式中式中 ，T T0 0称之为绝能滞止温度或滞止温度。称之为绝能滞止温度或滞止温度。由上式可以看出，滞止温度沿流线保持不变。只要由上式可以看出，滞止温度沿流线保持不变。只要知道滞止温度，则沿流线任意点处单位质量的气体知道滞止温度，则沿流线任意点处单位质量的气体总能量就已确定。总能量就已确定。00akRT0201210201ln()ln()vkkppSSc10201011020102ln()0kvkpcp01020102, pp1.2 1.2 状态参数关系式状态参数关系式 在流线

14、上任意点，如图所示的在流线上任意点，如图所示的测温计所测得的温度，就是测温计所测得的温度，就是T T0 0。单位质量气体微团的熵值为单位质量气体微团的熵值为 在滞止状态的流线上取两点在滞止状态的流线上取两点1 1和和2 2，对于等熵流动，对于等熵流动dSdS=S=S2 2-S-S1 1=0,=0,则有则有即在定常等熵流动中，滞止参数即在定常等熵流动中，滞止参数p p0 0和和0 0沿流线保持不变。沿流线保持不变。01010202pp因为绝能即因为绝能即T T0101=T=T0202，由状态方程有，由状态方程有0201210102ln()()kvpSSScp102020101ln()(1)ln(

15、)kvvppScc kpp 1.2 1.2 状态参数关系式状态参数关系式在增熵绝能流中，假定气流从状态在增熵绝能流中，假定气流从状态1 1到状态到状态2 2是增熵绝是增熵绝能过程，即能过程，即dsds00，所以熵的增量为所以熵的增量为02011pp在增熵绝能流中，在增熵绝能流中，S0S0，则必定，则必定 ，即，即p p0202pp0101, ,总总压下降。同理压下降。同理02020101，滞止密度下降。，滞止密度下降。02010201pp利用状态方程和绝能条件（利用状态方程和绝能条件（T T0101=T=T0202),),以及关系式以及关系式代入上式得代入上式得1.2 1.2 状态参数关系式状

16、态参数关系式 设设为两总压的比值即总压恢复系数，所以有为两总压的比值即总压恢复系数，所以有 ，在增熵流中在增熵流中11，在等熵流中，在等熵流中=1=1。在增熵流中说明有机。在增熵流中说明有机械能损失，而在等熵流中无机械能损失。械能损失，而在等熵流中无机械能损失。越小机械能损越小机械能损失越大。失越大。 0201pp2.2.临界状态：速度等于音速的状态。临界状态：速度等于音速的状态。 临界状态的气流参数临界状态的气流参数T T* *、P P* *、* *、V V* * 、a a* *分别称为分别称为临界温度、临界压强、临界密度、临界速度和临界音速。临界温度、临界压强、临界密度、临界速度和临界音速

17、。在临界状态在临界状态V V* *=a=a，能量方程可写为，能量方程可写为222*11212(1)2(1)VakkakRTCkkk其中其中T T* * 、a a* *均为常数。均为常数。 极限状态就是温度等于零，速度达到最大值的状态。极限状态就是温度等于零，速度达到最大值的状态。在此状态全部热焓转变成了动能，由能量方程在此状态全部热焓转变成了动能，由能量方程*lnvkpScC在等熵流中，在等熵流中，S S沿流线保持不变，则沿流线保持不变，则亦为常数，而亦为常数，而 为常数，所以为常数，所以* *沿流线保持不沿流线保持不变，变，P P* *也不变。而在增熵过程中，由于也不变。而在增熵过程中，由于

18、S S增大，增大，* *减减小，小，P P* *也亦减小。也亦减小。1*/(/)(1/)kkpp*/TpR2012mVkRTk002211mkVRTakk1.2 1.2 状态参数关系式状态参数关系式在等熵过程中气体气流单位质量气体微团的熵值为在等熵过程中气体气流单位质量气体微团的熵值为3.3.极限状态极限状态所以所以 上式是长半轴为上式是长半轴为V=VV=Vm m短半轴为短半轴为a=aa=a0 0的椭圆方程，如图所示。这条椭圆曲的椭圆方程，如图所示。这条椭圆曲线表明了速度和音速变化的规律，称线表明了速度和音速变化的规律，称之为定常绝能椭圆。之为定常绝能椭圆。222220*1212(1)12ma

19、VVakakkk22201mVaVa1.2 1.2 状态参数关系式状态参数关系式4.4.定常绝能椭圆方程定常绝能椭圆方程 由上述讨论可知，在定常绝能流动中，沿流线单位质由上述讨论可知，在定常绝能流动中，沿流线单位质量气体的总能量不变。即量气体的总能量不变。即上式两端分别除以上式两端分别除以 得得220/2/1mVak 或1.2 1.2 状态参数关系式状态参数关系式从图中可看出，存在特殊点。从图中可看出，存在特殊点。（1 1）滞止音速）滞止音速a a0 000akRT00*1212RTkaka0*12TkT（2 2）临界音速）临界音速a a* *001212RTkakVm*11akkVm（3 3

20、）极限速度）极限速度V Vm m 用马赫数用马赫数M M、比速、比速、无量纲速度、无量纲速度 来表示气流状态来表示气流状态参数关系。参数关系。V20211VkkRTRTkk20112TkMT 1.2 1.2 状态参数关系式状态参数关系式二、状态参数关系式二、状态参数关系式1.1.用马赫数用马赫数M M表示气流状态参数关系表示气流状态参数关系 在定常绝能条件下，气流参数所满足的变化关系由在定常绝能条件下，气流参数所满足的变化关系由能量方程得到能量方程得到(1)kkRT两边乘以两边乘以 ，得，得0001()()kkkpTpT12012011(1)21(1)2kkkkMpkMp1.2 1.2 状态参

21、数关系式状态参数关系式由等熵关系式由等熵关系式得得在临界状态在临界状态(M=1)(M=1)下的参数下的参数比比(k=1.4)(k=1.4)2*001*10*102()0.833312()0.634012()0.52831kkkTaTakkppk此式必须在等熵的此式必须在等熵的条件下才能应用条件下才能应用0222222*2220*TVVaTTMMTaaaTT22221111kMkk因为当因为当T T00时，时， M M，此时此时有一个极大值。有一个极大值。max11kk1.2 1.2 状态参数关系式状态参数关系式2.2.用比速用比速表示气流状态参数关系表示气流状态参数关系*Va将将 称之为速度系

22、数（比速）。称之为速度系数（比速）。即得即得1.4 162.4491.4 1对于空气来说，对于空气来说，k=k=1.41.4，的极值是的极值是将将M M公式代回到能量方程，并用公式代回到能量方程，并用 表示表示 ( )( )( ) 、2012102101( )111( )(1)11( )(1)1kkkTkTkkkpkpk 1.2 1.2 状态参数关系式状态参数关系式 由上式可以看出，随着由上式可以看出，随着数增大数增大( (也就是也就是V V增大增大) )，T T、p p都下降，当都下降，当=maxmax时时,T,T、p p都为零。气流参都为零。气流参数随速度系数数随速度系数的变化曲线如图所示

23、。的变化曲线如图所示。3.3.用无量纲速度用无量纲速度 表示气流状态参数关系式表示气流状态参数关系式V定义定义 称之为无量纲速度。称之为无量纲速度。mVVV2222*222*11mmVVakVaVk2121kkV201210210( )1( )(1)( )(1)kkkTVTVpVp 1.2 1.2 状态参数关系式状态参数关系式即即得得因为因为1.3 1.3 气体动力学函数气体动力学函数一、气体状态参数函数一、气体状态参数函数2012102101( )111( )(1)11( )(1)1kkkTkTkkkpkpk 二、和流量有关的函数二、和流量有关的函数 由连续方程可知，定常流沿流管流过各截面的

24、流量被由连续方程可知，定常流沿流管流过各截面的流量被此是相等的，其质量秒流量是此是相等的，其质量秒流量是VAm000*0( )( )21pRTkVaRTk 用滞止参数用滞止参数T T0 0、p p0 0表示表示、V V为为1.3 1.3 气体动力学函数气体动力学函数所以有所以有0021( )1p AkmkRT 1120110_00211()()122( )kkkp AkkkR kTp AAqT 是一个决定于气体属性是一个决定于气体属性k k和和R R的常数，称之为流量常的常数，称之为流量常数。对于空气，得数。对于空气，得_A_0.0404A *( )AVqAV1_11212()111( )()

25、22kkkkAR kkkq其中其中1.3 1.3 气体动力学函数气体动力学函数对于临界截面对于临界截面q q() )是任一截面的比流量与临界截面的比流量之比，是任一截面的比流量与临界截面的比流量之比，称为流量函数。称为流量函数。对于空气对于空气，q q()()随随的变化情形如图所示。在的变化情形如图所示。在=0=0和和 时，时， q q()=0)=0；=1=1时，时， q q()=1)=1为为最大值。所以在临界截面上单位面积通过的流量最大。最大值。所以在临界截面上单位面积通过的流量最大。m ax11kk1.3 1.3 气体动力学函数气体动力学函数212121()Fm VVp Ap A 2221

26、11() ()FmVp AmVp A21JJ()pJmVp Am VV三、冲力函数三、冲力函数已知管壁对气流的作用力的表达式已知管壁对气流的作用力的表达式1.3 1.3 气体动力学函数气体动力学函数将上式应用于如图所示的控制面流体，得管壁作用于控制将上式应用于如图所示的控制面流体，得管壁作用于控制面内气流上的轴向力面内气流上的轴向力式中式中称之为冲力，它表示为某截面上单位时间流过的动量和称之为冲力，它表示为某截面上单位时间流过的动量和同一截面上气流压强的压力冲量之和。同一截面上气流压强的压力冲量之和。1.3 1.3 气体动力学函数气体动力学函数20*1( )( )2pkRTRTak *Va*1

27、 ( )()2pkJm VmaaVk *111()( )22kkmamazkk1( )()z因为因为于是有于是有其中其中此式就是用流量来表达截面气流的总压力。此式就是用流量来表达截面气流的总压力。1.4 1.4 拉瓦尔（拉瓦尔（LavalLaval）喷管）喷管一、变截面管流的基本关系式一、变截面管流的基本关系式VACdpVdV2dpad0ddVdAVA22VddVaV 2ddVMV 一维定常连续方程一维定常连续方程一维定常运动方程一维定常运动方程音速关系式音速关系式（a a）（b b）（c c）对式对式(a)(a)微分得微分得将式将式(c)(c)代入代入(b)(b)得得或写成或写成（d d）2

28、(1)0dVdAMVA2(1)dVdAMVA将上式带入式将上式带入式(d)(d)得得1.4 1.4 拉瓦尔（拉瓦尔（LavalLaval）喷管）喷管或或 此式就是用微分形式表达的一维定常等熵变截面管流的此式就是用微分形式表达的一维定常等熵变截面管流的基本方程，它反映了截面积基本方程，它反映了截面积A A与速度与速度V V变化的对应关系。变化的对应关系。(1)(1)若为亚音速流，即若为亚音速流，即M1M1，则，则 -10-11M1，则，则 -10-10，则，则dVdV/V/V与与dAdA/A/A同号，同号，具有相同的变化率。即欲使气流速度逐渐增大，则横截面具有相同的变化率。即欲使气流速度逐渐增大

29、，则横截面积必然扩大，采用扩张形管道；反之则用收缩形管道。积必然扩大，采用扩张形管道；反之则用收缩形管道。2M2M(3)(3)若若M M=1=1，则，则dAdA/A =0/A =0。此时的管道面积有极大值或极小。此时的管道面积有极大值或极小值。值。 由讨论可知，无论是亚音速还是超音速气流，只有在由讨论可知，无论是亚音速还是超音速气流，只有在截面积收缩的条件下，气流速度才能逐渐向音速靠近，因截面积收缩的条件下，气流速度才能逐渐向音速靠近，因此，音速截面只可能出现在截面积最小的地方。所以，临此，音速截面只可能出现在截面积最小的地方。所以，临界截面必然是流管中的最小截面。界截面必然是流管中的最小截面

30、。1.4 1.4 拉瓦尔（拉瓦尔（LavalLaval）喷管）喷管2.2.拉瓦尔喷管的定义拉瓦尔喷管的定义 为了使亚音速流连续地加为了使亚音速流连续地加速变为超音速气流，管道形状速变为超音速气流，管道形状应该是先收缩后扩张形状，中应该是先收缩后扩张形状，中间有一个临界截面，这种形状间有一个临界截面，这种形状的喷管就叫拉瓦尔喷管，如图的喷管就叫拉瓦尔喷管，如图所示。所示。121*1111()( )22kAkkAq212(1)*1112()12kkkMAkAM1.4 1.4 拉瓦尔（拉瓦尔（LavalLaval）喷管）喷管二、横截面积比公式二、横截面积比公式 由流量函数可知，喷管任何一个横截面积与

31、临界截由流量函数可知，喷管任何一个横截面积与临界截面积之比同该横截面处的气流比速面积之比同该横截面处的气流比速的关系为的关系为整理得整理得对于空气对于空气k k=1.4=1.423*10.2()1.73MAAM由上式可以画出面积比与气流由上式可以画出面积比与气流M M数的关系曲线，如图所数的关系曲线，如图所示。从中可以看出，对应于同一个面积比，有两个相示。从中可以看出，对应于同一个面积比，有两个相应的气流马赫数应的气流马赫数M M。一个对应亚音速段，另一个对应超。一个对应亚音速段，另一个对应超音速段。音速段。1.4 1.4 拉瓦尔（拉瓦尔（LavalLaval）喷管）喷管讨论：拉瓦尔喷是获得超

32、音速气流的必要条件，那么有讨论：拉瓦尔喷是获得超音速气流的必要条件，那么有了这样的喷管是否一定能获得超音速气流。了这样的喷管是否一定能获得超音速气流。121*111()22kAkkA1221210012()11()()kkkkkkkpppp1.4 1.4 拉瓦尔（拉瓦尔（LavalLaval）喷管）喷管由前面推导得由前面推导得将上式代入横截面积公式，化简后得将上式代入横截面积公式，化简后得可以看出，要获得超音速气流，除了喷管的几何形状外，可以看出，要获得超音速气流，除了喷管的几何形状外，还必须保证喷管前后有一定的压强比。还必须保证喷管前后有一定的压强比。1.4 1.4 拉瓦尔（拉瓦尔（Lava

33、lLaval）喷管）喷管三、拉瓦尔喷管的等熵流动三、拉瓦尔喷管的等熵流动 在一维定常等熵流动中，在一维定常等熵流动中，一定的截面积比和适当的管一定的截面积比和适当的管道前后压强比，是在管道扩道前后压强比，是在管道扩张段出口截面为获得所需要张段出口截面为获得所需要的超音速气流的超音速气流M M数的两个条数的两个条件。件。 讨论一下气体从高压容讨论一下气体从高压容器中经过拉瓦尔喷管向大气器中经过拉瓦尔喷管向大气流出的几种等熵流动情况，流出的几种等熵流动情况，如图所示。假设容器压强为如图所示。假设容器压强为p p0 0。1.1.从亚音速到亚音速：当出口外界压强从亚音速到亚音速：当出口外界压强p pa

34、 a时，若此时时，若此时p pa a稍低于容器压强稍低于容器压强p p0 0，气流在，气流在收缩段有所加速，在喉部未达到音速，在收缩段有所加速，在喉部未达到音速，在扩张段上又减速，整个流动都是亚音速情扩张段上又减速，整个流动都是亚音速情况；况；2.2.从亚音速经过音速又到亚音速：当外界从亚音速经过音速又到亚音速：当外界压强压强p pa a由由p p1 1降到降到p p2 2时，气速在收缩段加速，时，气速在收缩段加速，到喉部时恰好达到音速。由于出口处压强到喉部时恰好达到音速。由于出口处压强还较高，所以气流在扩张段上又减速，成还较高，所以气流在扩张段上又减速，成为亚音速流动；为亚音速流动；3.3.

35、从亚音速经音速到超音速：当外界压强从亚音速经音速到超音速：当外界压强p pa a降低到降低到p p3 3时，此时时，此时p p3 3/p/p0 0满足等熵关系式；满足等熵关系式；当经喉部达到音速后在扩张段继续加速当经喉部达到音速后在扩张段继续加速为超音速。为超音速。1.4 1.4 拉瓦尔（拉瓦尔（LavalLaval）喷管）喷管设气流对管壁作用的轴向力称为推力设气流对管壁作用的轴向力称为推力P P，它与力，它与力F F大小大小相等方向相反。即有相等方向相反。即有P=-FP=-F。即。即P P的表达式为的表达式为由一维流动量方程可知管壁对这段管内气流作用的轴向由一维流动量方程可知管壁对这段管内气

36、流作用的轴向力为：力为：22211121()()FmVp AmVp AJJ*211 ()()2kmazzk12PJJ21*21211() ()()()2kaakPFP AAma zzP AAk 1.4 1.4 拉瓦尔（拉瓦尔（LavalLaval）喷管）喷管四、推力公式四、推力公式 显然当显然当P0P0时，即时，即J J1 1J0P0时，即时，即J J1 1JJ2 2时气流对管的推力向后。时气流对管的推力向后。 当当A A2 2AA1 1时，净推力时，净推力P Pk k要减去管道外壁周围压强轴向投要减去管道外壁周围压强轴向投影力影力p pa a(A(A2 2-A-A1 1) )，得，得1.5

37、1.5 摩擦管流摩擦管流一、基本微分方程一、基本微分方程 在直径为在直径为D D的等截面直圆管道中，取出长度为的等截面直圆管道中，取出长度为dxdx的微的微元管段为控制体，在这微元管段中做定常流动的气体所元管段为控制体，在这微元管段中做定常流动的气体所受的作用力如图所示，其管壁的切向应力为受的作用力如图所示，其管壁的切向应力为w w。由动能。由动能定理可得定理可得222()()444DDDPpdpDdxVVdVV40dpdxVdVD221VkpCk化简后得化简后得单位质量能量方程为单位质量能量方程为()01kdpp dVdVk 10dpp dVdVVdVk ddVV 1.5 1.5 摩擦管流摩

38、擦管流将上式微分得将上式微分得或写成或写成又因为在直管道中有连续方程又因为在直管道中有连续方程V V = = C C ，将其微分得，将其微分得又由于又由于2apk224(1)kdxdVMVDa 代入动能公式中得代入动能公式中得221122xfDdxcVDdxV 212xfV c22(1)() 4()2xfMdVdxMc kVD 2(1)0dVMV1.5 1.5 摩擦管流摩擦管流微元微元dxdx的摩擦阻力系数的摩擦阻力系数c cxfxf可写成可写成故故得得上式就是一维定常绝能等截面摩擦管流的基本微分方上式就是一维定常绝能等截面摩擦管流的基本微分方程。由上式可以看出，当程。由上式可以看出，当dxd

39、x00时时(1)M1(1)M0/V0，即气流经摩擦管加速；，即气流经摩擦管加速；(2)M1(2)M1时时dVdV/V0/V0，即气流经摩擦管减速。，即气流经摩擦管减速。说明：气流在管道中的流动极限速度是音速。说明：气流在管道中的流动极限速度是音速。22212112kMkM222121(1)(1)MkM 212014(1)(1)Lxfdkc dxkD二、气流速度沿管长的变化规律二、气流速度沿管长的变化规律1.5 1.5 摩擦管流摩擦管流由由可得可得将上式代入基本微分方程得将上式代入基本微分方程得120,xxL，；积分上式，取积分上下限为积分上式，取积分上下限为得得218()()(1)xfkLckD 128()()(1)xfkLckD 即即或或1.5 1.5 摩擦管流摩擦管流其中其中221( )ln 0Lxfxfc dxcL为摩擦管流速度函数；为摩擦管流速度函数；为摩擦阻力系数，是沿管长为摩擦阻力系数，是沿管长的平均值；的平均值； xfc( ) 从从上式可以看出上式可以看出(1)(1)当当1 1111时，即进口为超音速，由于时，即进口为超音速，由于() )随随减小而减