第六节 自动控制系统的稳定性

1、第六节 自动控制系统的稳定性1.定义：教材P77一、稳定性的概念说明:(1)从时域响应曲线看系统的稳定性系统在单位阶跃输入下的输出响应为： 所有的指数项在t时都趋向于零； 实数特征根或特征根的实部反映的信息应为负； 稳定性是系统本身固有的特性； 可以通过研究特征根来研究系统的稳定性rkknktwkqitpjtweDeAAtcnkkj1210)1sin()( (2)从特征方程看系统的稳定性 特征方程1+GH=0的根，就是系统的闭环极点。 特征方程及特征根反映了系统响应的形状特征，但不反映系统的全部信息，无法定量给出系统的全部解； 稳定性只是从定性角度判定系统是否有实用价值和进一步分析的必要； 所

2、有特征根必须是负实数或具有负实部的系统才是稳定的。一、稳定性的概念 (3)从系统零极点分布图看系统的稳定性 主要是看闭环极点分布图； 注意区分开环极点和闭环极点。 (4)在分析线性系统稳定性时，我们所关心的是系统自身的运动稳定性，即系统方程在不受任何外界输入作用下，方程的解在t时的渐进行为，这种解就是齐次方程的解。按李氏稳定性定义，指的是平衡状态稳定性，即受扰后的运动稳定性，严格说来两者是不同的。但已经过证明，对于线性系统而言，平衡状态稳定性和运动稳定性是等价的。一、稳定性的概念 闭环特征方程： 1.线性定常系统稳定的充要条件是： 系统特征方程式的所有根均为负实数或具有负实数部分，或闭环传递函

3、数的所有极点都位于s平面的左半平面二、稳定性的条件01)(1110GHasasasasDnnnn (1)经线性化后的系统特征方程式所有根均为负实数或具有负实数部分，则实际系统就是稳定的。 (2)线性化系统特征方程所有根中至少有一个为正实数或具有正实数部分，则实际系统就是不稳定的。 (3)线性化系统特征方程式的所有根中存在一个根为零或具有实部为零（纯虚根），其余均为负实数或具有负的实数部分，则实际系统就不能按线性系统来判断。这时实际系统的稳定性与被忽略掉的高阶微量项有关，需要使用原始的非线性数学模型研究这类实际系统的稳定性。2.李雅普诺夫第一定理（小偏差理论） 1.基本方法：根据特征方程式的根的

4、性质直接判别系统的稳定性。 2.间接方法： 代数判据（劳斯判据和胡尔维茨稳定判据） 根轨迹法 频率判据（奈奎斯特判据） 李雅普诺夫第二方法 该方法是利用特殊的方法构造一个辅助函数（即李雅普诺夫函数），然后利用对此函数的特征分析来判别系统的稳定性。三、判别系统稳定性的方法 1.代数方程的有关性质特征方程：有n个根为 ，则有：四、劳斯判据和胡尔维茨判据)0(0)(01110aasasasasDnnnnnpppp，3210) 1()()()(0)()(2134213212322112121nnnnnnnnpppsppppppsppppspppspspsps或nnaaaaann，个根之积根积和，三根积

5、和，双根积和单根和，13211, 根与系数的关系： (1) 都具有负实部的必要条件之一是：特征方程的所有系数符号相同； (2) 都具有负实部的必要条件之二是：特征方程的所有系数均不为零，即没有缺项。npppp，321npppp，3212.劳斯稳定判据步骤1和2：列劳斯阵列和阵列参数计算步骤3：判断系统的稳定性 (1)第一列所有系数均不为零 符号相同（如都为正），则系统稳定。 符号不同，计算从上到下符号改变的次数，这就是含有正实根的数目。 第一列所有系数均不为零时的劳斯判据为：特征方程的根全部在根平面左半部分的充分必要条件是方程式的各项系数全部为正值，并且劳斯表的第一列都具有正号。第一列的系数中

6、如果出现负号，则劳斯行列表中第一列的系数符号改变的次数就等于特征方程式的实部为正的实数根的数目，也就是特征根在根平面右半部分的数目。例：特征方程 ，试判断稳定性。0012233asasasa解：劳斯阵列为：0123ssss000203120213aaaaaaaaaa稳定的充要条件为：0123,aaaav 均大于零00321aaaav 且劳斯判据的例子特殊情况下劳斯阵列的列写及结论q 用一个正数去乘或除某整行，不会改变系统的稳定性结论；q劳斯阵第一列所有系数均不为零，但也不全为正数，则系统不稳定。表示s右半平面上有极点，极点个数等于劳斯阵列第一列系数符号改变的次数。例：系统的特征方程为：0543

7、22345sssss012345ssssss0050093205905 .15 .0532411-1 3 0（ 2）1 0 0（ ） 329 劳斯阵第一列有负数，系统是不稳定的。其符号变化两次，表示有两个极点在s的右半平面。q 劳思阵某一行第一项系数为零，而其余系数不全为零。 处理办法：用很小的正数 代替零的那一项，然后据此计算出劳斯阵列中的其他项。若第一次零（即 ）与其上项或下项的符号相反，计作一次符号变化。例：0122234ssss01234sssss001002201)( 002211122令 则 故第一列不全为正，系统不稳定，s右半平面有两个极点。22 0122,22特殊情况下劳斯阵列

8、的列写及结论q 劳斯阵某行系数全为零的情况。表明特征方程具有大小相等而位置径向相反的根。至少要下述几种情况之一出现，如：大小相等，符号相反的一对实根，或一对共轭虚根，或对称于虚轴的两对共轭复根。例如:502548242)2)(25)(4(2345221ssssssss)4(22s处理办法：可将不为零的最后一行的系数组成辅助方程，对此辅助方程式对s求导所得方程的系数代替全零的行。大小相等，位置径向相反的根可以通过求解辅助方程得到。辅助方程应为偶次数的。特殊情况下劳斯阵列的列写及结论特殊情况下劳斯阵列的列写及结论例：0161620128223456ssssss0123456sssssss00080

9、0031008300000161220161221620811 6 81 6 81 3 03 8 0 可见，系统是稳定的。大小相等，位置径向相反的根可由辅助方程求得：0)4)(2(22ss2,2,4, 32, 1jsjs08624 ss033 ss 辅助方程为： ，求导得： ，用1，3，0代替全零行即可。3.胡尔维茨稳定判据（主要用于4阶以下的系统）设系统的特征方程式为：)0(0)(01110aasasasasDnnnn全部特征根的实部都为负数的充要条件是各胡尔维茨行列式 都大于零，即 。121，nnn0k胡尔维茨行列式的构造：(1) 的主对角线上按从左上到右下依次写为 ；(2)主对角线以上各

10、元素的下标依次逐一上升，以下各元素的下标依次逐一下降；(3)凡元素的下标大于n或小于零者均写为零；(4)实际上只需检验 即可。0k), 3 , 2 , 1(,321nkaaaak, 0, 031nn五、劳斯-胡尔维茨稳定性判据的应用q 判定控制系统的稳定性例3-4 系统的特征方程为： ，判断系统的稳定性。05432234ssss解：排列劳斯阵如下：00500605104253101234sssss 因为 ，且劳斯阵第一列不全为正，所以，系统不稳定。 由于劳斯阵第一列有两次符号变化，所以系统在s右半平面有两个极点。 )40( , 0iai五、劳斯-胡尔维茨稳定性判据的应用例3-5系统的特征方程为

11、： 试用胡尔维茨定理判稳。 014 . 02 . 005. 0001. 0234ssss解：系统的特征方程为： 0100040020050234ssss列胡尔维茨行列式如下：10002001004005000100020010040050, 0501, 02001400502040050010002001040050301, 01000434a且所以，系统是稳定的。注意：由于 所以根据Lienard-Chipard定理，只要计算 这样可以减小一半的计算量。, 0ia。、即可或4231五、劳斯-胡尔维茨稳定性判据的应用例3-6系统的特征方程为： 该系统稳定吗？求出每一个极点并画出极点分布图。04

12、623482422345sssss解：劳斯阵如下：0004648223241345sss 行全为零。由前一行系数构成辅助方程得：3s2324)(46482)(2424sssQsssQ或其导数为： 将4,48或1,12代替 行，可继续排列劳斯阵如下：sssQ484)(33s002300100231201212324223241012345ssssss 劳斯阵第一列系数全为正，所以系统稳定因为 行全为零，所以特征方程可能有特殊的根。求解如下：)50( , 0iai1,230) 1)(23(, 0)(4, 32, 122jsjssssQ，有令3s五、劳斯-胡尔维茨稳定性判据的应用设剩余的一个根为-p

13、。则： ，整理得：0)2324)(24ssps0232324242345pspsspss比较系数得：-p=-2极点分布如下：23j23j1j1j2五、劳斯-胡尔维茨稳定性判据的应用q 分析系统参数变化对稳定性的影响 利用劳斯和胡尔维茨稳定性判据还可以讨论个别参数对稳定性的影响，从而求得这些参数的取值范围。若讨论的参数为开环放大系数K，则使系统稳定的最大K称为临界放大系数 。pK例3-7已知系统的结构图，试确定系统的临界放大系数。)2)(1(sssk解：闭环传递函数为：ksssksssksssks23)2)(1(1)2)(1()(23特征方程为：02323ksss五、劳斯-胡尔维茨稳定性判据的应

14、用劳斯阵列：kkkssss0363210123要使系统稳定，必须系数皆大于0，0k劳斯阵第一列皆大于06006032kkkk有6Kp所以，临界放大系数q 确定系统的相对稳定性（稳定裕度） 利用劳斯和胡尔维茨稳定性判据确定的是系统稳定或不稳定，即绝对稳定性。在实际系统中，往往需要知道系统离临界稳定有多少裕量，这就是相对稳定性或稳定裕量问题。五、劳斯-胡尔维茨稳定性判据的应用 利用实部最大的特征方程的根p（若稳定的话，它离虚轴最近）和虚轴的距离 表示系统稳定裕量。若p处于虚轴上，则 ，表示稳定裕量为0。0 作 的垂线，若系统的极点都在该线的左边，则称该系统具有 的稳定裕度。一般说， 越大，稳定程度

15、越高。可用 代入特征方程，得以z为变量的新的特征方程，用劳斯-胡尔维茨判据进行判稳。若稳定，则称系统具有 的稳定裕度。s zs例系统特征为： ，可知它是稳定的。令 则：068523sss1 zs022, 06) 1(8) 1(5) 1(2323zzzzzz即010122110123zzzz1z 行全为零，以它上面的行组成辅助方程，其解为特殊根。对辅助方程求导，用其系数代替 行。辅助方程为： ，其系数为1，0。其解为：1z0222s12, 1js有一对共轭虚根，所以系统是临界稳定的。系统的稳定裕度恰为1。五、劳斯-胡尔维茨稳定性判据的应用dj可用共轭极点对负实轴的张角 来表示系统的相对稳定性。当 时，表示极点在虚轴上，系统为临界稳定。 越小，稳定性