第四讲 力 矩 平 衡

1、有固定转动轴有固定转动轴物体的平衡物体的平衡一力矩：一力矩：MFL1力臂：力臂：（1）转动轴到力的作用线的垂直距离，）转动轴到力的作用线的垂直距离， （2）最大可能值为力的作用点到转动轴）最大可能值为力的作用点到转动轴的距离。的距离。练习：如图所示，直杆练习：如图所示，直杆OA可绕可绕O点转动，图中虚线点转动，图中虚线与杆平行，杆端与杆平行，杆端A点受四个力点受四个力F1、F2、F3、F4的作用，的作用，力的作用线与力的作用线与OA杆在同一竖直平面内，它们对转轴杆在同一竖直平面内，它们对转轴O的的力矩分别为力矩分别为M1、M2、M3、M4，则它们力矩间的大小关则它们力矩间的大小关系是系是（）（

2、A）M1M2M3M4，（B）M2M1M3M4，（C）M4M2M3M1，（D）M2M1M3M4。 O F2 F3 F4 O F1 A A 2力矩计算的两种常用等效转化方法：力矩计算的两种常用等效转化方法： （1 1）将力分解后求力矩，）将力分解后求力矩， LF FL MFL sin F1F2MF1LFL sin O F2 F3 F4 O F1 A A 练习：如图所示，直杆练习：如图所示，直杆OA可绕可绕O点转动，图中虚线点转动，图中虚线与杆平行，杆端与杆平行，杆端A点受四个力点受四个力F1、F2、F3、F4的作用，的作用，力的作用线与力的作用线与OA杆在同一竖直平面内，它们对转轴杆在同一竖直平面

3、内，它们对转轴O的的力矩分别为力矩分别为M1、M2、M3、M4，则它们力矩间的大小关则它们力矩间的大小关系是系是（）（A）M1M2M3M4，（B）M2M1M3M4，（C）M4M2M3M1，（D）M2M1M3M4。2力矩计算的两种常用等效转化方法：力矩计算的两种常用等效转化方法：（2）重力矩的两种计算方法：）重力矩的两种计算方法： aaGG MG sin a22力矩计算的两种常用等效转化方法：力矩计算的两种常用等效转化方法：（2）重力矩的两种计算方法：）重力矩的两种计算方法： aaGG/2 G/4MG sin a2 a sin G4M sin a2G23力矩的方向：力矩的方向： 力分解法：力分解

4、法： F F2F1二平衡与平衡条件：二平衡与平衡条件： 1平衡状态：静止或匀速转动。平衡状态：静止或匀速转动。 2平衡条件：合外力矩为零。平衡条件：合外力矩为零。M顺顺M逆逆三力矩平衡条件的应用：三力矩平衡条件的应用：（1）选取研究对象，）选取研究对象，（2）受力分析（转动轴上的受力不用分）受力分析（转动轴上的受力不用分析），析），（3）对无明显转动轴的物体还要选取转）对无明显转动轴的物体还要选取转动轴动轴（4）确定力臂、力矩方向，）确定力臂、力矩方向，（5）列方程解。）列方程解。 解题步骤：解题步骤： C A O 30 B 例例1：均匀板重：均匀板重300 N，装置如图，装置如图，AO长长4

5、 m，OB长长8 m，人重，人重500 N，绳子能承受的最大拉力为，绳子能承受的最大拉力为200 N，求：人能在板上安全行走的范围。求：人能在板上安全行走的范围。8m4m2m C A O 30 B C A O 30 B 解解:G1G2x12mG1x1G2 2G1G22mx2FTG1x2G2 2 FT sin 308x11.2mx20.4m例例2：一杆秤如图，杆及钩的总重为一杆秤如图，杆及钩的总重为G，秤砣重为，秤砣重为P，已知秤钩与杆的重心到提纽的距离已知秤钩与杆的重心到提纽的距离OA和和OG，求：（，求：（1）零刻度的位置，（零刻度的位置，（2）证明刻度是均匀的，（）证明刻度是均匀的，（3）

6、讨论若）讨论若秤砣换成秤砣换成2P，某刻度的读数是否为原来的两倍？，某刻度的读数是否为原来的两倍？ A G O B D P 解解：GAOGPCG OG P OCGAOGPCWBW OAG OG P OBP OC P CBW OAP CB解解：G2PAOGCG OG 2P OCG2PAOGCWBW OAG OG 2P OB2P OC2 2P CBW OA2P CBC比比C点更左些点更左些CB为为CB的一半的一半解解：G OG 2P OCGPAOGBW OAG OG 2P OB2P OC2P CBW OA2P CBC比比C点更左些点更左些CB为为CB的一半的一半CCB1. .如左图匀质直角尺重为如

7、左图匀质直角尺重为2G，C端为水平轴，不计端为水平轴，不计摩擦，当摩擦，当BC部分处于水平静止时，试求加在部分处于水平静止时，试求加在A端端的最小的最小作用力。作用力。 A C B A C B A C B 解解：G L2G LGFGF 2L2G2均匀杆，每米长重均匀杆，每米长重30 N，支于杆的左端，在离，支于杆的左端，在离左端左端0.2 m处挂一重为处挂一重为300 N的重物，在杆的右端加一竖的重物，在杆的右端加一竖直向上的拉力直向上的拉力F，杆多长时使杆平衡所需加的拉力，杆多长时使杆平衡所需加的拉力F最最小，此最小值为多大？小，此最小值为多大？ F 解：解： F G1G2FxG1x/2G2

8、l x2/2G2lF15x60/x，因为因为15x 60/x为常数为常数所以所以15x60/x时时F有最小值。有最小值。即即x2m时时Fmin60N。3如图，重为如图，重为G、边长为、边长为a的均匀正方形板与长为的均匀正方形板与长为2a的轻杆相连，支于轻杆中点，在杆的右端施一竖直向的轻杆相连，支于轻杆中点，在杆的右端施一竖直向下的力下的力F，使杆水平，求力，使杆水平，求力F的大小，若为使杆与水平方的大小，若为使杆与水平方向成向成30 角，力角，力F又应多大又应多大？a a a A a G F F 甲 乙 解法一：解法一：a a a A a G F F 甲 乙 GG（1.5aFa cos 30

9、，0.5acos 30 sin30 ）解法二：解法二：a a a A a G F F 甲 乙 GGcos 30 1.5aFa cos 30 0.5aG sin30 例例4:有四根相同的刚性长薄片有四根相同的刚性长薄片A、B、C、D，质量均，质量均为为m，相互交叉成井字形，接触点均在各薄片的中点，相互交叉成井字形，接触点均在各薄片的中点，放置在一只水平的碗口边（俯视图如图所示），并在放置在一只水平的碗口边（俯视图如图所示），并在D薄片右端的薄片右端的N点放上质量也为点放上质量也为m的小物体，那么的小物体，那么D薄片中薄片中点受到的压力为点受到的压力为_。 C B D N A FNB 2LFNA

10、Lmg L2FNBFNAmgFNBFNAAmg C B D N A FNB 2LFNA Lmg L2FNBFNAmg2FNCFNBmg2FNDFNCmgFNA 2Lmg 2LFND Lmg LmgFNAFNDmg C B D N A 2FNBFNAmg2FNCFNBmg16FND8FNC8mgFNA 2Lmg 2LFND Lmg L2FNAFND3mg4FNB2FNA2mg8FNC4FNB4mg2FNDFNCmg2FNAFND3mgFND17mg/1515FND17mg A B 四动态平衡：四动态平衡： 例：如图所示，一根均匀直棒例：如图所示，一根均匀直棒AB，A端用光滑铰链端用光滑铰链固定于

11、顶板上，固定于顶板上，B端搁在一块表面粗糙的水平板上，现端搁在一块表面粗糙的水平板上，现设板向上运动而棒设板向上运动而棒AB匀速转动，则木板对棒的弹力说法匀速转动，则木板对棒的弹力说法正确的是正确的是（ ）（A）逐渐变大，）逐渐变大， （B）先变大后变小，）先变大后变小， （C）先变小后变大，）先变小后变大， （D）逐渐变小。）逐渐变小。 GGLG FNLf FNLNFNFf Lsin Lcos FNGLsin /21 cot G/2练习练习1：一均匀的直角三直形木板：一均匀的直角三直形木板ABC，可绕过，可绕过C点的水平轴转动，如右点的水平轴转动，如右图所示。现用一始终沿直角边图所示。现用一

12、始终沿直角边AB且作用且作用在在A点的力点的力F，使，使BC边慢慢地由水平位边慢慢地由水平位置转至竖直位置。在此过程中，力置转至竖直位置。在此过程中，力F的的大小与大小与角变化的图线是（角变化的图线是（ ）F A B C F O 90 F O 90 F O 90 90 F O A B C D 解：解： A B C GFFLFGLGG解：解： A B C FLFGLGGFFLGa cos( )a G练习练习1：一均匀的直角三形木板：一均匀的直角三形木板ABC，可绕过，可绕过C点的水平轴转动，如右点的水平轴转动，如右图所示。现用一始终沿直角边图所示。现用一始终沿直角边AB且作用且作用在在A点的力点

13、的力F，使，使BC边慢慢地由水平位边慢慢地由水平位置转至竖直位置。在此过程中，力置转至竖直位置。在此过程中，力F的的大小与大小与角变化的图线是（角变化的图线是（ ）F A B C F O 90 F O 90 F O 90 90 F O A B C D ABCG2.如图所示，质量为如图所示，质量为m粗细均匀的均质细杆粗细均匀的均质细杆AB在在B点用铰链与点用铰链与墙连接，杆与竖直墙面的夹角为墙连接，杆与竖直墙面的夹角为 37 ，A端固定一轻质光滑小滑端固定一轻质光滑小滑轮，墙上轮，墙上C点固定轻绳的一端，轻绳水平跨过滑轮另一端悬挂有质点固定轻绳的一端，轻绳水平跨过滑轮另一端悬挂有质量为量为M的物

14、体的物体G。目前杆。目前杆AB与物体与物体G都处于静止状态，则杆的质量都处于静止状态，则杆的质量与物体的质量的比值为与物体的质量的比值为m:M_；若略微增加物体；若略微增加物体G的质的质量，仍要使整个系统处于平衡状态，可适当量，仍要使整个系统处于平衡状态，可适当_(选填选填“增大增大”或或“减小减小”)角的大小。（角的大小。（sin37 0.6，cos37 0.8）MgMgLsin mgLsin /2 MgLcos mgMg2M(cos sin )msin m:M2(cos sin )/sin 2(cot 1) 2:3 角改变后上面绳不水平了，角改变后上面绳不水平了，上述式子不能用了上述式子不

15、能用了ABCG2.如图所示，质量为如图所示，质量为m粗细均匀的均质细杆粗细均匀的均质细杆AB在在B点用铰链与点用铰链与墙连接，杆与竖直墙面的夹角为墙连接，杆与竖直墙面的夹角为 37 ，A端固定一轻质光滑小端固定一轻质光滑小滑轮，墙上滑轮，墙上C点固定轻绳的一端，轻绳水平跨过滑轮另一端悬挂点固定轻绳的一端，轻绳水平跨过滑轮另一端悬挂有质量为有质量为M的物体的物体G。目前杆。目前杆AB与物体与物体G都处于静止状态，则杆都处于静止状态，则杆的质量与物体的质量的比值为的质量与物体的质量的比值为m:M_；若略微增加物体；若略微增加物体G的质量，仍要使整个系统处于平衡状态，可适当的质量，仍要使整个系统处于

16、平衡状态，可适当_(选填选填“增大增大”或或“减小减小”) 角的大小。（角的大小。（sin37 0.6，cos37 0.8）MgLsin mgLsin /2 MgLcos mgMgG增大时，逆时针力矩增加的多增大时，逆时针力矩增加的多Mg要再平衡必须增大顺时针力矩的要再平衡必须增大顺时针力矩的力臂而减小逆时针力矩的力臂力臂而减小逆时针力矩的力臂增大增大 角角3如图所示，一根不均匀的铁棒如图所示，一根不均匀的铁棒AB与一辆拖车相连接，连与一辆拖车相连接，连接端接端B为一固定水平转动轴，拖车在水平面上做匀速直线运动，为一固定水平转动轴，拖车在水平面上做匀速直线运动，棒长为棒长为L，棒的质量为，棒的

17、质量为40kg，它与地面间的动摩擦因数为，它与地面间的动摩擦因数为 3/3，棒，棒的重心的重心C距转动轴为距转动轴为2L/3，棒与水平面成，棒与水平面成30 角。运动过程中地面角。运动过程中地面对铁棒的支持力为对铁棒的支持力为_N；若将铁棒；若将铁棒B端的固定转动轴向下移端的固定转动轴向下移一些，其他条件不变，则运动过程中地面对铁棒的支持力将比原一些，其他条件不变，则运动过程中地面对铁棒的支持力将比原来来_（选填（选填“增大增大”、“不变不变”或或“减小减小”）。）。 mgFNFfFNL cos FNL sin 200 NFN2mg/(1 tan )mg cos 32L五平衡综合问题五平衡综合

18、问题: : 解平衡问题的步骤：解平衡问题的步骤：（1 1）确定研究对象，）确定研究对象，（2）受力分析，）受力分析，（3）力的合成分解，）力的合成分解，（4）选择平衡条件列方程。）选择平衡条件列方程。例例1：如图所示，光滑水平面上有一长木板，一均：如图所示，光滑水平面上有一长木板，一均匀杆质量为匀杆质量为m，上端铰于，上端铰于O点，下端搁在板上，杆与板点，下端搁在板上，杆与板间的动摩擦因数为间的动摩擦因数为 1/2，杆与竖直方向成，杆与竖直方向成45 角，（角，（1）为使板向右匀速运动，向右的水平拉力为使板向右匀速运动，向右的水平拉力F应多大？（应多大？（2）为使板向左匀速运动，向左的水平拉力

19、为使板向左匀速运动，向左的水平拉力F应多大？应多大？ O F 解：向右匀速运动时解：向右匀速运动时 O F GfNfNL cos 45 GLcos 45 /2 NL sin 45 NmgFFf FN mgmg/2对杆：对杆：对板：对板：解：向左匀速运动时解：向左匀速运动时 O F GFNfNL cos 45 GLcos 45 /2 NL sin 45 Nmg/3fFFf FN mg/3mg/6对杆：对杆：对板：对板：练习练习1：如图所示是一种钳子，：如图所示是一种钳子，O是它的转动轴，在其两手柄是它的转动轴，在其两手柄上分别加大小恒为上分别加大小恒为F、方向相反的两个作用力，使它钳住长方体、方

20、向相反的两个作用力，使它钳住长方体工件工件M，工件的重力可忽略不计，钳子对工件的压力大小为，工件的重力可忽略不计，钳子对工件的压力大小为FN，当另外用沿虚线方向的力把工件向左拉动时，钳子对工件的压力当另外用沿虚线方向的力把工件向左拉动时，钳子对工件的压力大小为大小为FN1，而另外用沿虚线方向的力把工件向右拉动时，钳子对，而另外用沿虚线方向的力把工件向右拉动时，钳子对工件的压力大小为工件的压力大小为FN2，则，则（A）FN1FNFN2，（，（B）FN1FNFN2，（C）FN1FNFN2，（，（D）FN1FN，FN2FN。FNFfFf逆逆顺顺逆逆 O F 练习练习2：如图所示，重为：如图所示，重为

21、G的物体的物体A靠在光滑竖直墙上，一端靠在光滑竖直墙上，一端用铰链铰在另一墙上的匀质棒支持物体用铰链铰在另一墙上的匀质棒支持物体A，棒重为，棒重为G，棒与竖直，棒与竖直方向的夹角为方向的夹角为 ，则（，则（）（A）物体）物体A对棒端的弹力、摩擦力的合力方向必沿棒的方向，对棒端的弹力、摩擦力的合力方向必沿棒的方向，（B）增大棒重）增大棒重G，物体，物体A对棒的摩擦力将增大，对棒的摩擦力将增大，（C）增大物重）增大物重G，且棒仍能支持，且棒仍能支持A，则，则A对棒的摩擦力将增对棒的摩擦力将增大，而弹力不变，大，而弹力不变，（D）水平向右移动铰链，使）水平向右移动铰链，使 角增大，但棒仍能支持角增大

22、，但棒仍能支持A，则，则A对棒的弹力将增大。对棒的弹力将增大。 GGFfFfFNFfGFNLN GLGFfLf例例2：如图所示，横截面为四分之一圆（半径为：如图所示，横截面为四分之一圆（半径为R）的柱体放）的柱体放在水平地面上，一根匀质木棒在水平地面上，一根匀质木棒OA长为长为3R，重为，重为G。木棒的。木棒的O端与端与地面上的铰链连接，木棒搁在柱体上，各处摩擦均不计。现用一地面上的铰链连接，木棒搁在柱体上，各处摩擦均不计。现用一水平推力水平推力F作用在柱体竖直面上，使柱体沿着水平地面向左缓慢作用在柱体竖直面上，使柱体沿着水平地面向左缓慢移动。问：移动。问：（1）当木棒与地面的夹角）当木棒与地

23、面的夹角 30 时，柱体对木棒的弹力多大？时，柱体对木棒的弹力多大？FOA GFNRG 1.5R cos FN R cot 3G/4FN G sin 23例例2：如图所示，横截面为四分之一圆（半径为：如图所示，横截面为四分之一圆（半径为R）的柱体放）的柱体放在水平地面上，一根匀质木棒在水平地面上，一根匀质木棒OA长为长为3R，重为，重为G。木棒的。木棒的O端与端与地面上的铰链连接，木棒搁在柱体上，各处摩擦均不计。现用一地面上的铰链连接，木棒搁在柱体上，各处摩擦均不计。现用一水平推力水平推力F作用在柱体竖直面上，使柱体沿着水平地面向左缓慢作用在柱体竖直面上，使柱体沿着水平地面向左缓慢移动。问：移

24、动。问：（2）此时水平推力）此时水平推力F多大？多大？FOA FNFFN sin 3G/83G/4 G sin2 23FN G sin 23例例2：如图所示，横截面为四分之一圆（半径为：如图所示，横截面为四分之一圆（半径为R）的柱体放）的柱体放在水平地面上，一根匀质木棒在水平地面上，一根匀质木棒OA长为长为3R，重为，重为G。木棒的。木棒的O端与端与地面上的铰链连接，木棒搁在柱体上，各处摩擦均不计。现用一地面上的铰链连接，木棒搁在柱体上，各处摩擦均不计。现用一水平推力水平推力F作用在柱体竖直面上，使柱体沿着水平地面向左缓慢作用在柱体竖直面上，使柱体沿着水平地面向左缓慢移动。问：移动。问：（3）

25、在柱体向左缓慢移动过程中，柱体对木棒的弹力及水平）在柱体向左缓慢移动过程中，柱体对木棒的弹力及水平推力推力F分别如何变化？分别如何变化？ FOA 增大增大增大增大F G sin2 23FN G sin 23练习练习1：如图所示，均匀板质量为：如图所示，均匀板质量为m/2，放在水平地，放在水平地面上，可绕过面上，可绕过B端的水平轴自由转动，质量为端的水平轴自由转动，质量为m的人站的人站在板的正中，通过跨过光滑滑轮的绳子拉板的在板的正中，通过跨过光滑滑轮的绳子拉板的A端，两端，两边绳子都恰竖直，要使板的边绳子都恰竖直，要使板的A端离地，人对绳的最小拉端离地，人对绳的最小拉力为多大？力为多大？ B

26、A 解法一解法一：隔离法：隔离法mgFNFTFTFNmg/2FTFNmgFTLmgL/4 FNL/2 B A B A 解法二解法二：整体法：整体法FTFT3mg/2FTLFTL/2 3mgL/4FTmg/22如图所示，两根质量相等的均匀重杆如图所示，两根质量相等的均匀重杆OA和和AB，O与与A处均为无摩擦铰链连接，且处均为无摩擦铰链连接，且OAAB，为使系统静止，为使系统静止在图示位置，则在在图示位置，则在B端需加的力应端需加的力应（）（A）在）在BA外侧，斜向上，外侧，斜向上，（B）可沿）可沿BA方向，方向，（C）只能在）只能在OBA之内斜向上，之内斜向上，（D）可沿）可沿BO方向。方向。O

27、AB2如图所示，两根质量相等的均匀重杆如图所示，两根质量相等的均匀重杆OA和和AB，O与与A处均为无摩擦铰链连接，且处均为无摩擦铰链连接，且OAAB，为使系统静，为使系统静止在图示位置，则在止在图示位置，则在B端需加的力应（端需加的力应（）（A）在）在BA外侧，斜向上，外侧，斜向上，（B）可沿）可沿BA方向，方向，（C）只能在）只能在OBA之内斜向上，之内斜向上，（D）可沿）可沿BO方向。方向。OAB A B C 3如图所示，均匀细杆如图所示，均匀细杆AB质量为质量为M，A端装有转轴，端装有转轴，B端连接细线通过光滑滑轮和质量为端连接细线通过光滑滑轮和质量为m的重物的重物C相连，若相连，若杆杆

28、AB呈水平，细线与水平方向夹角为呈水平，细线与水平方向夹角为 时恰能保持静止，时恰能保持静止，则则M与与m的关系是的关系是_，杆对轴，杆对轴A的作用力大小的作用力大小为为_。 MgmgMgL/2mgL sin M2m sin FyFxFymg sin MgFxmgcos A B C 3如图所示，均匀细杆如图所示，均匀细杆AB质量为质量为M，A端装有转轴，端装有转轴，B端连接细线通过光滑滑轮和质量为端连接细线通过光滑滑轮和质量为m的重物的重物C相连，若相连，若杆杆AB呈水平，细线与水平方向夹角为呈水平，细线与水平方向夹角为 时恰能保持静止，时恰能保持静止，则则M与与m的关系是的关系是_，杆对轴，

29、杆对轴A的作用力大小的作用力大小为为_。 MgmgMgL/2mgL sin M2m sin FFmg例例3：如图所示，杆：如图所示，杆AB均匀，长均匀，长30 cm重重20 N，B端端挂一重为挂一重为G10 N的物体，的物体，A端铰于墙上，轻杆端铰于墙上，轻杆CD为半为半径径10 cm的四分之一圆弧，的四分之一圆弧，D端铰于墙上，端铰于墙上，C端铰于杆端铰于杆AB上，求杆上，求杆CD对杆对杆AB的作用力。的作用力。A C B D G A C B D G 解：解：GFGGL/2GLFR sin 45 1如图所示，长均为如图所示，长均为L，质量均为，质量均为m的两根均匀直的两根均匀直杆杆A、B，它

30、们的上端用光滑铰链铰接，悬挂于天花板，它们的上端用光滑铰链铰接，悬挂于天花板上，在距离两杆下端点均为上，在距离两杆下端点均为L/3处，用光滑铰链处，用光滑铰链M、N与与轻弯杆轻弯杆C铰接，铰接，A、B两杆被弯杆两杆被弯杆C撑开的角度为撑开的角度为2 ，则，则可知弯杆可知弯杆C对杆对杆A的作用力的方向为的作用力的方向为_，大小，大小为为F_。 A B 2 M N C 1如图所示，长均为如图所示，长均为L，质量均为，质量均为m的两根均匀直的两根均匀直杆杆A、B，它们的上端用光滑铰链铰接，悬挂于天花板，它们的上端用光滑铰链铰接，悬挂于天花板上，在距离两杆下端点均为上，在距离两杆下端点均为L/3处，用光滑铰链处，用光滑铰链M、N与轻弯杆与轻弯杆C铰接，铰接，A、B两杆被弯杆两杆被弯杆C撑开的角度为撑开的角度为2 ，则可知弯杆则可知弯杆C对杆对杆A的作用力的方向为的作用力的方向为_，大，大小为小为F_。 A B 2 M N C mgFmg sin L2F cos 2L3F mg tan