第7章 逐步法——对一般动力荷载的反应

1、高等结构动力学第七章第七章高等结构动力学对一般动力荷载的反应逐步法高等结构动力学高等结构动力学 分析承受任意动力荷载的线性结构，分析承受任意动力荷载的线性结构，Duhamel积积分或频域分析，提供了最方便的解法。分或频域分析，提供了最方便的解法。 这两种方法的推导过程中都使用了叠加原理，只这两种方法的推导过程中都使用了叠加原理，只能适用于线性体系，即反应过程中体系的特性保持不能适用于线性体系，即反应过程中体系的特性保持不变。变。 另一方面，有许多种重要的结构动力学问题，体另一方面，有许多种重要的结构动力学问题，体系不能视作线性的。如：足以引起严重破坏的地震运系不能视作线性的。如：足以引起严重破

2、坏的地震运动下的建筑物反应等等。因此，还需要发展适用于非动下的建筑物反应等等。因此，还需要发展适用于非线性体系的其它分析方法。线性体系的其它分析方法。高等结构动力学动力反应分析的方法动力反应分析的方法1 、叠加法、叠加法线性体系，即反应过程中体系的特性保线性体系，即反应过程中体系的特性保持不变；持不变；2、逐步法、逐步法体系不能视作线性的，要发展适用于非体系不能视作线性的，要发展适用于非线性体系的方法。线性体系的方法。高等结构动力学高等结构动力学高等结构动力学高等结构动力学0( )pp(7-1)(7-1)0mvcvkvp(7-2)(7-2)( )( )( )hpvvv(7-3)(7-3)( )

3、exp()(cossin)hDDvAB 021( )()pacvpkk(7-4)(7-4)0123( )exp()cos exp()sinDDvAAAA (7-5)(7-5)高等结构动力学其中其中00232vA12A200AvA30221()DAvA同样地，可获得时间步长期间的速度为同样地，可获得时间步长期间的速度为13223( )() exp() cos (A+A )exp()sinDDDDvAAA (7-6)(7-6)高等结构动力学高等结构动力学图图E7-2 分段精确计算的反应分段精确计算的反应高等结构动力学高等结构动力学高等结构动力学0000mvcvkvp00001()vpcvkvm01

4、101 21 2 vvvvvvhh；1 21 2010012211()()vvvvvvvhhh（7-77-7）（7-87-8）高等结构动力学010121(2)vvvvh（7-97-9）21010002()hvvvpcvkvm2100001()2hvpcvkvvvm（7-107-10）1102vvvh1102vvhv高等结构动力学2100000()2hvvhvpcvkvm（7-117-11）10011()2vvvvh10102()vvvvh（7-127-12）高等结构动力学 另一类一般性的逐步进行动力反应分析的数值方法是，对每一时间步，从初始到最终条件应用积分前进一步。这个基本概念可用如下式子表

5、示：100100( )( )hhvvvdvvvd （7-13a7-13a）（7-13b7-13b）高等结构动力学 最终速度和位移依据这些值的初始值加一个积分表达式。速度的变化依赖于加速度历程的积分，而位移的变化依赖于相应的速度积分。 为了进行这类分析，首先需要假设在时间步的持续时间内加速度是如何变化的；加速度的假设也控制了速度的变化，因而可以由这一步向前获得下一时间步。高等结构动力学Euler-Gauss方法 最简单是假设加速度在时间步持续时间内为常数，结果是在持续时间内速度为线性，位移为二次曲线 著名的Euler-Gauss方法。高等结构动力学 列式特性的样式，假设常量加速度是由初值及步长持

6、续时间内所获得的最终加速度的平均。在此图中也显示了速度和位移的表达式，它们是对此加速度在这步持续时间内任意时刻 由逐次积分所获得的，把 代入这些表达式而获得最终速度和位移。h高等结构动力学图7-3 基于常平均加速度的运动h0t1t210001()4hvvv hvv1001()2hvvvv1v 0v 0v 0v011()2avvvv001( )()2vvvv20001( )()4vvvvvh 加速度（常数） 速度（线性） 位移（二次的）高等结构动力学为了对任意步开始这种分析，首先需要计算初始加速度0v 时刻0tt式（7-7）所示的动力平衡表达式获得。另外，最终加速度1v 需要应用隐式列式，它的值

7、可以由迭代获得。对，这可以解1v 它的值可以由迭代获得。对开始时用任意假设的值，再用图7-3所列式（a）和（b）得到1v 和1v的值。然后，用与式（7-7）相当的表达式从动力平衡方程计算1t时刻1v 值的一个改进，由此再导得速度和1v 和1v 和位移1v 1v的改进值，最后，迭代收敛于这时间步最终加速度的一个固定的值，这个过程可以前进一步到下一时间步。高等结构动力学迭代的列式11111()vpcvkvm1v 开始时用任意假设的值 ， 再用图7-3所列式（a）210001()4hvvv hvv1001()2hvvvv高等结构动力学 常平均加速度法的主要优点：是无条件稳定的。也就是说，从一步到下一

8、步不管时间步长选得如何长，误差不会放大。因此时间步长的选择只需要考虑所定义动力激励和结构的振动反映特性。高等结构动力学Newmark法 一种更一般的逐步列式是由Newmark提出的，前面的方法可以作为它的特殊情况。但是也可以在其他一些形式下应用。在Newmark列式中，对最终速度和位移的基本积分式（7-13）如下所示：高等结构动力学1001(1)vvhvhv22100011()2vvhvh vh v（7-14a7-14a）（7-14b7-14b）由式（7-14a）显然可见，系数 提供了在初始和最终加速度改变影响之间的线性变化的权重，类似地，系数提供了在这些初始和最终加速度对位移改变贡献的权重。

9、高等结构动力学 从该列式性能的研究发现，系数控制了由这个逐步法导致的人工阻尼量；如果=1/2，方法是无人工阻尼的，因此这个值被推荐用于标准的单自由度分析。 在式（7-14a）和式（7-14b）中令系数=1/2和=1/4，此时可以看到， Newmark列式直接退化为图7-3所示最终速度和位移的表达式。因此， Newmark=1/4法也可以归诸于常平均加速度法。高等结构动力学 另一方面，如果取作1/6（用=1/2），最终速度和位移的表达式成为1001()2hvvvv221000136hhvvv hvv（7-15a7-15a）（7-15b7-15b）高等结构动力学 这些结果也可以如图7-4所示，由假

10、设在时间步持续期间加速度在 和 的初始到最后值之间线性变化来得到；因此=1/6的Newmark法也称为线加速度法。像常平均加速度法一样，此法在实际中也是广为应用的。但是与=1/4方法对比，线加速度法仅是条件稳定的。可是，与二阶中心差分法一样，在单自由度体系分析中这个限制并不重要，因为要获得动力荷载和反应的满意表示，必须取比这一限制更短的时间步长。1v 0v 高等结构动力学变换到显式公式 法的隐式列式是不方便应用的，因为每一时间步内为了确定此步终点加速度需要进行迭代。因此，通常被修改为显式形式，目的是最终加速度用其他反应量表示选择一个基本未知量（位移较好）。高等结构动力学 再代入图7-3式（a）

11、中，获得最终速度表达式为11002()vvvvh（7-16b7-16b）11000244()vvvvvhh（7-16a7-16a）根据图7-3式（b）对最终加速度求解可得高等结构动力学在t1时刻写出动力平衡方程1111mvcvkvp并将式（7-16a）和（7-16b）代入上式，则可导得仅含时间步终点未知位移v1的表达式。经适当归并同类项，此式可写为c11ck vp（7-177-17）这是一个静力平衡方程的形式，它包含等效刚度c224cmkkhh（7-17a7-17a）高等结构动力学和等效荷载0010001c2244()()vvppcvmvvhhh（7-17b7-17b）在式（7-17）里下标c

12、用以标记常平均加速度法。 1v 1v 高等结构动力学11111()vpcvkvm而不是从式（7-16a）求，因而保留了平衡条件。使用这个显式公式，时间步终点位移v1可直接由式（7-17）计算，所要用到的仅是时间步开始时的数据。然后，此时刻的速度 可用式（7-16b）计算，最后，此时间步终点的加速度 由求解该时刻的动力平衡方程而得 高等结构动力学 采用同样的方法，使用图7-4中的式（a）和（b），也可以类似地将线性加速度法转换为显式形式，这些列式的位移差别就是等效刚度，等效荷载及最终速度的表达式不同。对线加速度分析来说，等效静力平衡方程为 11ddkvp（7-187-18）高等结构动力学图7-4

13、 基于线性变化加速度的运动0t1t221000136hhvvv hvv1001()2hvvvv1v 0v 0v 0v100( )()vvvvh21000( )()vvvvvhh2310000( )()26vvvvvvh 加速度（线性） 速度（二次的） 位移（三次的）h高等结构动力学001000012636(2)(2)2dvvhppmvvcvvhhh（7-18b7-18b）当位移v 1由式（7-18）计算时，同时刻的速度可由如下表达式给出相当于式（7-16b）:110003()22hvvvvvh（7-18c7-18c）其中下标d表示线加速度法。等效刚度和荷载分别为 236dcmkkhh（7-18

14、a7-18a）高等结构动力学 线加速度法仅仅是条件稳定，但如前面所述，对于单自由度体系分析，这一点并不重要。另一方面，假设每个步长持续时间内加速度线性变化，要比连续用常加速度法能获得真实特性的更好近似。 实际上，数值实验结果也证明了线加速度法结果比用常加速度步所得结果优越。基于此理由，对单自由度体系的分析推荐使用线加速度（=1/6）法。高等结构动力学高等结构动力学高等结构动力学图图 7-5 非线性动力体系的定义：非线性动力体系的定义：(a)基本单自由度结构；基本单自由度结构；(b)力的平衡；力的平衡；(c)非线性阻尼；非线性阻尼；(d)非线性刚度；非线性刚度；(e)作用荷载作用荷载(a)(b)

15、(c)(d)(e)高等结构动力学 考虑的结构为图考虑的结构为图7-5(a)所示的单自由度体系，体系的特性所示的单自由度体系，体系的特性m，k，c和和p(t)可以理解为可以理解为2-5节所讨论的广义量，而并不只局限于图节所讨论的广义量，而并不只局限于图面上所示的简单情况。作用于体系质量面上所示的简单情况。作用于体系质量m上的力如图上的力如图7-5(b)所示，所示，弹簧力和阻尼力的一般非线性性质分别绘于图弹簧力和阻尼力的一般非线性性质分别绘于图7-5(c)和和(d)中，任中，任意作用荷载则绘于图意作用荷载则绘于图7-5(e)中。中。 在任一瞬间在任一瞬间t，作用于质量，作用于质量m上的力系的平衡要

16、求：上的力系的平衡要求：)()()()(tptftftfSDI（7-19a7-19a） 而在暂短时间而在暂短时间t以后，平衡方程将为以后，平衡方程将为)()()()(ttpttfttfttfSDI（7-19b7-19b） 从方程从方程(7-19b)减去方程减去方程(7-19a)则可得时间间隔则可得时间间隔t的运动方程的增量形式：的运动方程的增量形式：（7-207-20）)()()()(tptftftfSDI高等结构动力学 这个方程中的增量力可表示如下：这个方程中的增量力可表示如下：（7-21a7-21a） 其中，质量其中，质量m不言而喻被假设为常量，而不言而喻被假设为常量，而c(t)和和k(t

17、)项则表示项则表示与时间间隔内速度和位移相应的阻尼和刚度特性，分别如图与时间间隔内速度和位移相应的阻尼和刚度特性，分别如图7-5(c)和和(d)所示。实际上，因为在时间增量末端的速度和位栘将所示。实际上，因为在时间增量末端的速度和位栘将依赖于这些特性，故所示割线斜率只能用依赖于这些特性，故所示割线斜率只能用迭迭代法进行计算。代法进行计算。因因此此，通常用时间间隔起点所定义的切线斜率来代替。，通常用时间间隔起点所定义的切线斜率来代替。（7-227-22）)()()()()()()()()()()()()()()()()(tpttptptvtktfttftftvtctfttftftvmtfttft

18、fSSSDDDIII tDvddftc)(tSdvdftk)(（7-21b7-21b）（7-21c7-21c）（7-21d7-21d）高等结构动力学 将方程将方程(7-21)代入方程代入方程(7-20)，可导得时间，可导得时间t的增量平衡方程的增量平衡方程的最终形式为：的最终形式为：（7-237-23） 在这种类型的分析中，所讨论的材料特性可以包括任何的非在这种类型的分析中，所讨论的材料特性可以包括任何的非线性形式。因此，没有必要规定弹簧力线性形式。因此，没有必要规定弹簧力fs像非线性弹性材那样像非线性弹性材那样仅仅依赖于位移。同样也可以很好地说明非线性滞变材料，在仅仅依赖于位移。同样也可以很

19、好地说明非线性滞变材料，在这种材料中，力依赖于变形的过去时程以及位移的当前值，唯这种材料中，力依赖于变形的过去时程以及位移的当前值，唯一的要求是刚度特性必须完全由变形的过去和目前状态所确定。一的要求是刚度特性必须完全由变形的过去和目前状态所确定。此外，隐含的质量不变的假定显然是可以改动的：质量也可以此外，隐含的质量不变的假定显然是可以改动的：质量也可以表示为随时间变化的量。表示为随时间变化的量。)()()()()()(tptvtktvtctvm 高等结构动力学 有很多方法可以用来进行方程有很多方法可以用来进行方程(7-23)的数值积分。的数值积分。 引入假定：在每个时间增量内加速度线性变化，而

20、引入假定：在每个时间增量内加速度线性变化，而且体系的特性在这个间隔内保持为常量。且体系的特性在这个间隔内保持为常量。 质量在时间间隔内的运动用图形的形式绘于图质量在时间间隔内的运动用图形的形式绘于图7-6中，与所中，与所假定的加速度为线性变化的方程一起，图中还分别绘出了相应假定的加速度为线性变化的方程一起，图中还分别绘出了相应的速度二次变化、位移三次变化的图形。计算在间隔终点的速度二次变化、位移三次变化的图形。计算在间隔终点(t)时后的值，导得速度和位移的增量方程如下：时后的值，导得速度和位移的增量方程如下：（7-6a7-6a* *）2)()(ttvtvtv 6)(2)()(22ttvttvt

21、vtv （7-6b7-6b* *）高等结构动力学图图 7-6 基于线性变化加速基于线性变化加速 度的增量运动度的增量运动高等结构动力学高等结构动力学 ()2()23()( )( )( )2( )26iiiiiiiiitttttttttv tvvtv tvvvtv tvvvvt高等结构动力学222( )( )( )2( )( )( )2( )( )( )26v ttv tv ttttv tv ttv tttv tv tv tv t t 取高等结构动力学 位移增量作为分析的基本变量，解式位移增量作为分析的基本变量，解式(7-6a*)可得加速度增量，并将这个可得加速度增量，并将这个表达式代入方程表达

22、式代入方程(7-6b*)，得：，得：（7-7a7-7a* *）（7-7b7-7b* *）)(3)(6)(6)(2tvtvttvttv )(2)(3)(3)(tvttvtvttv 获得了用位移增量表达的速度和加速度增量。获得了用位移增量表达的速度和加速度增量。把方程把方程(7-7*)代入方程代入方程(7-23),可导得下列的运动方程：可导得下列的运动方程：2663( )( )3 ( )( )( )3 ( )( )( )( )( )2tmv tv tv tc tv tv tv tk tv tp tttt （7-87-8* *）高等结构动力学最终把所有含已知初始条件的各项移到右边，给出最终把所有含已

23、知初始条件的各项移到右边，给出（7-9a7-9a* *）（7-9b7-9b* *） 方程方程(7-8*)相当于静力增量平衡关系，即可将荷载增量除以相当于静力增量平衡关系，即可将荷载增量除以刚度求得位移增量。在等效荷载和刚度项中包含惯性和阻尼的刚度求得位移增量。在等效荷载和刚度项中包含惯性和阻尼的项反映了动力特性。解方程（项反映了动力特性。解方程（7-8*），得出位移增量后，将此值），得出位移增量后，将此值代入方程代入方程(7-7b*)即可获得速度增量。即可获得速度增量。 下一时段的初始条件由该时段起点速度和位移值加上这些增下一时段的初始条件由该时段起点速度和位移值加上这些增量值得到。量值得到。

24、)()()(tptvtk（7-87-8* *）其中：其中：236( )( )( )k tk tc tmtt)(2)(3)()(3)(6)()(tvttvtctvtvtmtptp 高等结构动力学 分析包含两个重要假定：分析包含两个重要假定： (1)加速度为线性变化；加速度为线性变化； (2)质量、阻尼和刚度特性在时间步长内保持常量。质量、阻尼和刚度特性在时间步长内保持常量。 虽然时间步长很短时误差甚小，但这两个假定都不是完全虽然时间步长很短时误差甚小，但这两个假定都不是完全正确的。因此，误差在增量平衡关系中出现，并积累。为了避正确的。因此，误差在增量平衡关系中出现，并积累。为了避免误差的积累，在

25、分析的每一步中利用总的平衡条件消除误差。免误差的积累，在分析的每一步中利用总的平衡条件消除误差。 只要从总外荷载中减去总阻尼力和弹性力以表示时间步长只要从总外荷载中减去总阻尼力和弹性力以表示时间步长起点的加速度就行了。起点的加速度就行了。)()()(1)(tftftpmtvSD 高等结构动力学 对任一给定的时间增量，按如下程序进行运算：对任一给定的时间增量，按如下程序进行运算： (1)初始速度和位移值是已知的。它们或是前一增量的终点初始速度和位移值是已知的。它们或是前一增量的终点值或是问题的初始条件值；值或是问题的初始条件值； (2)利用这些值及结构特定的非线性特性，可找出时间间隔利用这些值及

26、结构特定的非线性特性，可找出时间间隔内的阻尼内的阻尼c(t)、刚度、刚度k(t)以及阻尼力以及阻尼力fD(t)和弹性力和弹性力fS(t)的当前值，的当前值，例如图例如图7-5(c)和和7-5(d)中所示；中所示； (3)初始加速度由下式给出：初始加速度由下式给出：（7-257-25）)()()(1)(tftftpmtvSD 时间时间t时平衡方程的重新排列；时平衡方程的重新排列； (4)等效荷载增量等效荷载增量 和等效刚度和等效刚度 按方程按方程(7-9*)计算；计算；)(tp)(tk高等结构动力学 (5)由方程（由方程（7-8*）可求得位移增量，从而由方程）可求得位移增量，从而由方程(7-7b

27、*)可求可求得速度增量；得速度增量； (6)最后，获得时段终点速度和位移：最后，获得时段终点速度和位移：（7-26a7-26a）)()()()()()(tvtvttvtvtvttv（7-26b7-26b）高等结构动力学 当第当第6步运算完成时，这个时段的分析结束；下一个时段的步运算完成时，这个时段的分析结束；下一个时段的分析，只需将上述整个程序重复进行即可。显然，连续进行上分析，只需将上述整个程序重复进行即可。显然，连续进行上述运算，就可进行任意多个时间增量的分析，这样就能算出具述运算，就可进行任意多个时间增量的分析，这样就能算出具有任何非线性性质的单自由度体系的全部反应时程。线性体系有任何非

28、线性性质的单自由度体系的全部反应时程。线性体系自然也可以用同样的方法进行处理。此时阻尼和刚度特性保持自然也可以用同样的方法进行处理。此时阻尼和刚度特性保持不变，因此分析的过程将稍为简单一些。不变，因此分析的过程将稍为简单一些。高等结构动力学 逐步积分法的精度，依赖于时间增量逐步积分法的精度，依赖于时间增量t的长的长度，选取时注意三个因素：度，选取时注意三个因素： (1)作用荷载作用荷载p(t)的变化速率；的变化速率； (2)非线性阻尼和刚度特性的复杂性；非线性阻尼和刚度特性的复杂性； (3)结构振动周期结构振动周期T。 高等结构动力学 为可靠地反映这些因素，时间增量必须足为可靠地反映这些因素，

29、时间增量必须足够的短，其中最后一个因素是和体系的自由振够的短，其中最后一个因素是和体系的自由振动特性联系在一起的。一般来说，材料特性的动特性联系在一起的。一般来说，材料特性的变化不是关键性的因素，如果发生一个重大的变化不是关键性的因素，如果发生一个重大的突然变化，例如一个弹塑性弹簧的屈服，这时突然变化，例如一个弹塑性弹簧的屈服，这时可以引入一个特殊再细分的时间增量来精确地可以引入一个特殊再细分的时间增量来精确地处理这个影响。同时，要估算能恰当地模拟动处理这个影响。同时，要估算能恰当地模拟动力荷载主要形状的时间增量也并不困难。力荷载主要形状的时间增量也并不困难。高等结构动力学 因此，如果加载过程

30、比较简单，时间间隔的选取主要依赖于因此，如果加载过程比较简单，时间间隔的选取主要依赖于结构的振动周期。这个线性加速度方法只是有条件稳定的，如结构的振动周期。这个线性加速度方法只是有条件稳定的，如果时间增量大于振动周期的一半左右，则将给出扩散的解。但果时间增量大于振动周期的一半左右，则将给出扩散的解。但是，为了提供适当的精度，时间增量必须比这个短的多，因此是，为了提供适当的精度，时间增量必须比这个短的多，因此不稳定是不会成为问题的。一般来说，按照经验，如果增量不稳定是不会成为问题的。一般来说，按照经验，如果增量一一周期比周期比t/T1/10，则可获得可靠的结果。如果对于得出的则可获得可靠的结果。

31、如果对于得出的解有任何怀疑，则第二次分析时取时间增值的一半进行，解有任何怀疑，则第二次分析时取时间增值的一半进行，如如果在第二次分析中反应没有明显的变化，果在第二次分析中反应没有明显的变化，则可以认为数值积分所产生的误差是可以忽略不计的。则可以认为数值积分所产生的误差是可以忽略不计的。高等结构动力学例题例题 E7-2 为了说明应用上述线性加速度逐步积分法的手算方法为了说明应用上述线性加速度逐步积分法的手算方法,我们我们来计算图来计算图E7-3所给出的弹塑性单自由度刚架在所给的加荷过程下的反应所给出的弹塑性单自由度刚架在所给的加荷过程下的反应.在分析中在分析中,时间步长取为时间步长取为0.1秒秒

32、,它比要得到精度较高的结果所需的步长较它比要得到精度较高的结果所需的步长较长一些长一些,但为了说明这个手算方法但为了说明这个手算方法,这个步长已经足够了这个步长已经足够了. 在这个结构里在这个结构里,假定阻尼系数保持常量假定阻尼系数保持常量,因此非线性影响仅由于发因此非线性影响仅由于发生屈服时刚度将改变才发生的生屈服时刚度将改变才发生的.此时等效刚度可以被表达为此时等效刚度可以被表达为参见方程参见方程(8-9c) 263660.10.1kktmckt其中其中k(t)或是或是5千磅千磅/英寸或是零英寸或是零,它们分别相应于刚架的弹性和屈服阶段它们分别相应于刚架的弹性和屈服阶段,等效增量荷载由下式给出等效增量荷载由下式给出参见方程参见方程(7-9b*): 60.131mp tp tcvmcvp tvv 由方程由方程(7-7b*)给出的速度增量成为给出的速度增量成为:高等结构动力学3030.05vvvv便于手算的表格示于表便于手算的表格示于表E7-1图图 E7-3 弹塑性刚架和动力