自动控制原理+课后答案

1、精品自控原理课后习题精选2-5 试分别列写图2-3 中各无源网络的微分方程（设电容 C 上的电压为 uc (t) ，电容 C1 上的电压为 uc1 (t ) ，以此类推）。+ uc(t) +R1(t) + uc1(t) uCR1C1R1RRCCic1 c2(t) +iR2+ u(t)uuouiuC2uo uR2uouc2(t)(a)(b)(c)图 2-3习题 2-5无源网络示意图解：（ a）设电容 C 上电压为 uc (t ) ，由基尔霍夫定律可写出回路方程为uc (t )ui (t)uo (t)duc (t )uc (t )uo (t )CdtR1R2整理得输入输出关系的微分方程为C duo

2、 (t)( 11 )uo (t)C dui (t) ui (t)dtR1R2dtR1（ b ）设电容 C1 、 C 2 上电压为 uc1(t), uc2(t ) ，由基尔霍夫定律可写出回路方程为uc1 (t)ui (t)uo (t )ui (t )uc 2 (t)uo (t) uc2 (t)C2duc2 (t)RRdtuo (t)uc2 (t)RC1duc1 (t )dt整理得输入输出关系的微分方程为RC1C 2 d 2uo (t)( 2C1C 2 ) duo (t ) uo (t )RC1C2d 2 ui (t )2C1dui (t)ui (t)dt 2dtRdt 2dtR（ c）设电阻 R

3、2 上电压为 uR2 (t ) ，两电容上电压为uc1 (t), uc2 (t )，由基尔霍夫定律可写出回路方程为uc1 (t ) ui (t) uR2 (t)（1 ）uc2 (t )uo (t ) uR2 (t)（2 ）感谢下载载精品C duc1 (t)C duc 2 (t)uR 2 (t)（ 3）dtdtR2ui (t ) uo (t )C duc 2 (t )（ 4）R1dt（ 2 ）代入（ 4 ）并整理得duR2 (t)duo (t )ui (t ) uo (t )dtdt（5 ）R1C（ 1 ）、（ 2）代入（ 3 ）并整理得C dui (t )C duo (t )2C du R2

4、(t )uR 2 (t)dtdtdtR2两端取微分，并将（5 ）代入，整理得输入输出关系的微分方程为d 2uo (t)1duo (t )uo (t)d 2ui (t)1 dui (t)ui (t )R2 C2(1)R1CR2 C2R1C dtR1CdtR1Cdtdt2-6求图 2-4中各无源网络的传递函数。c+ Uc1(s)+ U (s) CC1R1+ Uc1(s) Uc2(s)+R1Ui (s)RRUo(s)Ui (s)C +C+UR2(s)Uo(s)U i(s)R2Uo(s)U c2(s)C2R2(a)(b)(c)图 2-4 习题 2-6 示意图解：（ a）由图得CsU CU C (s)

5、U o ( s)）( s)（1R1R2U C (s) U i (s) U o ( s)（2 ）（ 2 ）代入（ 1 ），整理得传递函数为感谢下载载精品Cs1U o (s)R1R1R2Cs R2U i (s)11R1R2Cs R1 R2CsR2R1（ b ）由图得U C1( s) U i (s) U o (s)U i ( s)U C2 (s) U o (s)U C 2(s)(s)RRC2 sU C2RC1sU C1 (s) U o (s)U C2 (s)整理得传递函数为1U o (s)RC1s2R2C1C2 s22RC1 s 1RC2 sU i (s)RC2 s1R2C1C2 s2Rs( 2C1

6、 C2 ) 1RC1s2RC2 s（ c）由图得U C 1 (s)U i (s)U R2 ( s)U C 2 (s)U o ( s) U R2 (s)CsU C 1(s)CsU C 2 ( s)U R2 ( s)R2U i (s) U o (s)( s)R1CsU C 2整理得传递函数为1U o (s)CsR1 R2 C 2 s2R1CsR2U i (s)211R1R2C 2s2( R12R2 )Cs 1CsR2R1R2CsR12-8 试简化图2-6 中所示系统结构图，并求传递函数C (s) / R(s) 和 C (s) / N (s) 。解：（ a）求传递函数C ( s) / R(s) ，按

7、下列步骤简化结构图：（ 1）（ 2）（ 1）（ 2）（ 3 ）（ 4 ）感谢下载载精品图 2-6习题 2-8系统结构图示意图 令 N ( s)0 ，利用反馈运算简化如图2-8a所示R(S)G1G2C(S)1 G1H11 G2H2H3图 2-8a串联等效如图2-8b所示R(S)G1G2C(S)1G1H1 1G2H2H 3图 2-8b根据反馈运算可得传递函数G1G2C ( s)1 G1H1 1G2H2G1G2R( s)G1G2(1G1H 1 )(1 G2H 2 ) G1G2H 31H 31 G1H1 1G2H 2G1G21 G1H1G2H 2G1H 1G2H 2G1G2 H 3求传递函数C (s)

8、 / N (s) ，按下列步骤简化结构图：令 R( s)0 ，重画系统结构图如图2-8c 所示感谢下载载精品H 2N(S)+ +C(S)H 1G2G1H3图 2-8c将 H 3 输出端的端子前移，并将反馈运算合并如图2-8d所示N(S)+C(S)-H1G2G1G2H2+1H3/H1图 2-9d G1 和H 1 串联合并，并将单位比较点前移如图2-8e 所示-1/G 1H1N(S)2C(S)-G1H1GG2H 2+1H3/H1图 2-8e串并联合并如图2-8f所示N(S)1G1G2H 1C(S)11 G2HG1H 1+231H /H图 2-8f根据反馈和串联运算，得传递函数感谢下载载精品G1G2

9、 H1C (s)(111G2H 2N (s)H 3G1H1G1G2 H11G2H 2H 11G1H11G1G2 H1G1H 11 G2H2G1G2H 3G2G1G2H 11 G2H2G1G2 H 3（ b ）求传递函数C (s) / R(s) ，按下列步骤简化结构图：将 H 2 的引出端前移如图2-8g所示H 21/G 3R(S)C(S)G3G1G2H 1H3图 2-8g合并反馈、串联如图2-8h所示H 2/G3R(S)G2G3C(S)G1G3H31H1图 2-8h将 H 1 的引出端前移如图2-8i 所示感谢下载载精品H2/G3R(S)G2G3C(S)G11 G3H31G3H 3H1G2G3

10、图 2-8i 合并反馈及串联如图 2-8j 所示R(S)G1G2G3C(S)1G2H2 G3H31 G3H3H 1G2 G3图 2-8j根据反馈运算得传递函数G1G2G3C ( s)1 G2H2G3H 3R( s)G1G2G31 G3H3H 11G2G31 G2H2 G3H3G1G2G31 G1H G2H 2G3H 3G1H 1G3 H 32-10根据图 2-6 给出的系统结构图，画出该系统的信号流图，并用梅森公式求系统传递函数C ( s) / R(s)和 C (s) / N ( s) 。解：（a ）根据结构图与信号流图的对应关系，用节点代替结构图中信号线上传递的信号，用标有传递函数的之路代替

11、结构图中的方框，可以绘出系统对应的信号流图。如图2-10a所示。感谢下载载精品-H 1N(S)H 2R(S)1G11G21C(S)-H 3图 2-10a（ 1 ）令 N ( s)0 ，求系统传递函数C ( s) / R(s)由信号流图2-10a可见，从源节点R(s) 到阱节点 C (s) 之间，有一条前向通路，其增益为p1G1G2有三个相互接触的单独回路，其回路增益分别为L1G1H1 ， L2G2 H 2 ， L3G1G2H 3L1与 L2 互不接触L12G1H1G2 H 2流图特征式1(L1L2L3 )L121G1H1G2H 2G1G2H 3G1G2 H1H 2由于前向通路与所有单独回路都接

12、触，所以余因子式1 1根据梅森增益公式，得系统闭环传递函数为C ( s)p1 1G1G2R( s)1 G1H 1 G2H 2 G1G2 H 3 G1G2 H1H 2（ 2 ）令 R( s)0 ，求系统传递函数C ( s) / N (s)由信号流图 2-10a可见，从源节点N (s) 到阱节点 C ( s) 之间，有两条前向通路，其增益为p1 G2 ， p2G1G2 H1有两个相互接触的单独回路，其回路增益分别为感谢下载载精品L1G2H 2 ， L2G1G2H 3没有互不接触的回路，所以流图特征式为1( L1L2)1G2H 2G1G2H 3由于前向通路与所有单独回路都接触，所以余因子式11，21

13、根据梅森增益公式，得系统闭环传递函数为C ( s)1 2G2 G1G2 H1R( s)piiG1G2H 3i 11 G2H2（ b ）根据结构图与信号流图的对应关系，用节点代替结构图中信号线上传递的信号，用标有传递函数的之路代替结构图中的方框，可以绘出系统对应的信号流图。如图2-10b所示。-H 2R(S)1G11G21G31C(S)-H1-H 3图 2-10b求系统传递函数C (s) / R( s)由信号流图2-10b可见，从源节点R(s) 到阱节点 C (s) 之间，有一条前向通路，其增益为p1G1G2G3有三个相互接触的单独回路，其回路增益分别为L1G1H1 ， L2G2H 2 ， L3

14、G3H 3L1 与 L3 互不接触L13G1G3 H1H 3流图特征式为感谢下载载精品1( L1L2L3)L131G1H1G2H 2G3H 3G1G3H1H 3由于前向通路与所有单独回路都接触，所以余因子式1 1根据梅森增益公式，得系统闭环传递函数为C (s) p1 1G1G2G3R(s)1 G1H1 G2H 2 G3H 3 G1G3H1H 33-3 已知二阶系统的单位阶跃响应为h(t) 10 12.5e 1.2t sin(1.6t 53.1o) ，试求系统的超调量% ，峰值时间 t p 和调节时间 ts 。解：h(t) 10 12.5e 1.2 t sin(1.6t53.1o) 101 1.

15、25e 1.2 t sin(1.6t53.1o )由上式可知，此二阶系统的放大系数是10 ，但放大系数并不影响系统的动态性能指标。由于标准的二阶系统单位阶跃响应表达式为h(t) 11en t sin( n 12 t)12n 1.2所以有1121.25n121.60.6解上述方程组，得n 2所以，此系统为欠阻尼二阶系统，其动态性能指标如下120.6 1.25超调量% e100% e100% 9.5%峰值时间t p21.96sn 12 0.83.53.52.92调节时间t s2 0.6n感谢下载载精品0.4s13-4设单位负反馈系统的开环传递函数为G (s)，试求系统在单位阶跃输入下的动态性能。s

16、(s0.6)解题过程：由题意可得系统得闭环传递函数为G(s)0.4s12sa( s)n1G(s)2s1as22 dn s2sn其中 a 2,n1, dn0.5, z2.5 。这是一个比例微分控制二阶系统。2z比例微分控制二阶系统的单位阶跃响应为h(t )1red n t sin(n1d2t)z22 d22故显然有rnnz 123dn 1212arctan(d )arctand1.686zd nd12d1.047darctan3d此系统得动态性能指标为峰值时间t pd3.15512nd% r12d t p1216.2%超调量nd e31 ln( z22 nnn2 ) ln z1 ln(1d2 )

17、调节时间ts225.134dn3-7 设单位负反馈系统的开环传递函数为G (s)K，试应用劳斯稳定判据确定(s 2)( s 4)( s26s 25)义为多大值时，特使系统振荡，并求出振荡频率。解：感谢下载载精品由题得，特征方程是s412 s369s2198s200K0列劳斯表s4169200+Ks312198s252.5200+Ks17995-12Ks0200+K由题意，令s1 所在行为零得K666.25由 s2 行得52.5 s2200666.250解之得s4.062i ，所以振荡角频率为4.062rad / sK (0.5 s1)K 值范3-8 已知单位负反馈系统的开环传递函数为G ( s

18、)，试确定系统稳定时的s(s 1)(0.5s2s 1)围。解：由题可知系统的特征方程为D ( s) s43s34s2(2 K )s 2K 0列劳斯表如下s414s332+Ks210-K2K3(10-K)(2+K)6K13s10-K3s02K由劳斯稳定判据可得感谢下载载10K精品03(10K )(2K ) /36K0(10K)/32K0解上述方程组可得0K1.705K，定义误差 e(t )r (t) c(t) ，3-9 系统结构如图 3-1 所示， G(s)s(Ts 1)(1) 若希望图 a 中，系统所有的特征根位于s 平面上 s 2的左侧，且阻尼比为0.5 ，求满足条件的K , T 的取值范围

19、。(2) 求图 a 系统的单位斜坡输入下的稳态误差。(3) 为了使稳态误差为零，让斜坡输入先通过一个比例微分环节，如图b 所示，试求出合适的K 0 值。(a)(b)图 3-1 习题 3-9 示意图解：（ 1）闭环传递函数为(s)KK / Ts K1KTs2s2sTT即 nK ,2n1 ,0.5n1 , K1TTTTD (s)Ts 2sK , 令 s's2 ，代入上式得，D ' (s)T( s' 2) 2s' 2KTs'2( 4T1)s' 4T1/ T20列出劳斯表，感谢下载载精品s2T4T+1 T2s11-4Ts04T+1 T2T0,14T0,4

20、T1/ T200T1/ 4或 T0,14T0,4T 1/ T20无解0T1/ 4,4K(2)R(t)t ，系统为 I 型系统 ess1/ K(3)G' (s)( K 0 s1)KKK 0 sKs(Ts1)KTs2sKE(s)R( s)C( s)R(s)1G' (s)1 Ts2(1KK 0 ) sTs 1KK 0s2Ts2s Ks(Ts2s K )令 esslim sE( s)limTs1KK 01KK 00K0 1/KTs 2sKKs0s 0K 0 并没有改变系统的稳定性。3-10已知单位反馈系统的开环传递函数：50（ 2 ） G (s)s(0.1s1)(s5)试求输入分别为r

21、 (t )2t 和 r (t)22tt 2 时，系统的稳态误差。解：（ 2 ） G ( s)50101)(s 5)s(0.1s 1)(0.2s 1)s(0.1s由上式可知，该系统是型系统，且 K10 。型系统在 1(t ), t,1 t 2 信号作用下的稳态误差分别为： 0, 1 , 。根据线性叠加原理有该系统在输入为2Kr (t)2t时 的 稳 态 误 差 为 ess22 ? 10.2 ， 该 系 统 在 输 入 为 r (t)2 2t t 2 时 的 稳 态 误 差 为Kess22012K感谢下载载精品4-2已知单位反馈控制系统的前向通道传递函数为：K (s1)(4)G (s)s(s1)(

22、 s24s16)K 0 ，画出各系统的根轨迹图。解：（ 4 ）按下列步骤绘制根轨迹：系统开环有限零点为z11；开环有限极点为p1 0 ， p21 ， p3, 4 2 j 2 3实轴上根轨迹区间为(, 1, 0,1根轨迹的渐近线条数为nm3 ，a260 ,180 , 60， a3分离点方程为11111d d 1d 2 j 2 3 d 2 j 2 3d 1解得分离点 d12.26, d 2 0.45根轨迹如下图4-2d 所示：j-101图 4-2d4-6已知单位反馈系统的开环传递函数为：K (s22s4)0G(s), Ks(s 4)( s 6)( s21.4s 1)试画出系统的根轨迹图，并分析系统

23、的稳定时K 的取值范围。感谢下载载精品解：由题得开环极点： 0,4,6 和 0.7 j 0.714开环零点：1j1.7321分离、会合点：从s 平面的零点、极点分布可知在区间内( 4,0) 可能有分离、会合点。记A(s)s( s4)( s6)(s2 1.4s 1) s5 11.4s439s343.6s224sB(s)s22s4由 A'(s) B(s) A( s) B '(s) ，可得(5s445.6s3117s287.2s 24)(s22s 4)(s511.4s439s343.6s224s)(2 s2)经整理后得到3s630.8s5127.4s4338.4s3531.2s234

24、8.8s960用试探法或程序算得区间( 4,0) 内的一个根为2.3557，它就是实轴上的分离点。根轨迹自复数极点的出射角：m54.88o根轨迹趋向复数零点的入射角：m102.52o根轨迹与虚轴的交点：闭环特征方程为f (s)s511.4 s439 s3(43.6k)s2(242K )s 4K 0令 sj，可得11.44(43.6K )24K0439 3(242K )0由第二式得 K0.5419.5212 ，代入第一式，得620.2492.92960解得11.2115,22.1545,33.7537根据以上数据画根轨迹图，如图4-6a 所示。感谢下载载精品图 4-6a 根轨迹图再分析系统得稳定

25、情况：根轨迹与虚轴第一个交点的频率为1 1.2115 ，利用幅值条件可以计算出对应的增益Ks(s 4)( s6)( s21.4s1) |s j1.211515.56s22s4同样可以算得与2 2.1545 和3 3.7537对应的增益 K264.74, K3163.43参看根轨迹图可知：系统稳定时K 的取值范围为： K 15.54或 64.74K 163.435-2若系统阶跃响应为：h(t)1 1.8e 4t0.8e 9t试确定系统频率特性解：1单位阶跃输入信号的拉氏变换为R(s)s系统单位阶跃响应的拉氏变换为H ( s)11.80.836s s 4 s 9s( s 4)( s 9)系统的闭环

26、传递函数为G ( s)H ( s)36R( s) ( s4)(s 9)将 s j代入传递函数 G(s) 可得G ( j)364)( j9)( j感谢下载载精品5-4 已知系统开环传递函数G( s) H ( s)K ( s1)；K,T 0s2 (Ts 1)试分析并绘制T 和 T情况下的概略幅相曲线。解：由题可知，系统的频率特性如下K (j1)K ( j1)G ( j )H ( j )2 (Tj1)2 (Tj1)( j )由于系统2 ，所以开环幅相曲线要用虚线补画180o的半径为无穷大的圆弧当0时， G( j 0)H ( j 0)K (j 01),(0 )180o0 2 (Tj 01)当时， G

27、( j)H ( j)K (j1)0,()180o2 (Tj1)又由于 G ( j) H ( j )K (j1)K ( T21)jK(T ) ，所以有2 (Tj1)2(T221)当T 时，开环幅相曲线始终处于第三象限，如图5-4a所示；当 T时，开环幅相曲线始终处于第二象限，如图5-4b所示。图 5-4a 开环幅相曲线图 5-4b 开环幅相曲线5-5已知系统开环传递函数1G( s) H ( s)s (s1)(s2)感谢下载载精品试分别绘制1,2,3,4 时系统的概略开环幅相曲线。解：由题目可知，系统的频率特性如下G()H()1( j ) ( j1)( j2)当1 时，开环幅相曲线要用虚线补画 9

28、0o 的半径为无穷大的圆弧。若0 ，则 G ( j 0 ) H ( j 0 )(0 )1 (01, (0 )90o1)(02)若，则 G( j )H ( j )10, ( )270o()1 (1)(2)由以上分析可知，系统概略开环幅相曲线如图5-5a所示。当2 时，开环幅相曲线要用虚线补画 180o的半径为无穷大的圆弧。若0 ，则 G ( j 0) H ( j 0 )2 (01,(0)180o(01)(02)若，则 G( j)H ( j )12)0, ()360o( )2(1)(由以上分析可知，系统概略开环幅相曲线如图5-5a所示。当3 时，开环幅相曲线要用虚线补画 270o 的半径为无穷大的

29、圆弧。若0 ，则 G ( j 0) H ( j 0 )3 (01,(0)270 o(01)(02)若，则 G( j)H ( j )10, ()420o( )3(1)(2)由以上分析可知，系统概略开环幅相曲线如图5-5a所示。当4 时，开环幅相曲线要用虚线补画 360o 的半径为无穷大的圆弧。若0 ，则 G ( j 0) H ( j 0 )4 (01,(0)360o(01)(02)若，则 G( j)H ( j )10, ()540o( )4 (1)(2)感谢下载载精品由以上分析可知，系统概略开环幅相曲线如图5-5a 所示。图 5-5a 系统开环幅相曲线5-8已知系统开环传递函数G( s)K1)s

30、(s 5 1)(s 200试绘制 K 10的对数频率特性曲线，并算出截止频率c 。解：由题可得 G ( j)K1)( j 200 1)j ( j 5则2121G( j) 101 (1)2 (12) 225200()arctan5arctan220022因此 20ln G ( j )20 20ln10ln(125) 10ln(12002 )对数频率特性曲线如图5-8a所示感谢下载载精品图 5-8a 对数频率特性曲线2121又 20ln G( j )0 ，可得 G( j )1，即 101(1) 2(12002 ) 2125计算可得crad/s505-9已知系统开环传递函数为：G (s) H ( s

31、)50( s2)211s10sa 计算截止频率c 。b 确定对数幅频渐进特性曲线的低频渐进线的斜率。c 绘制对数幅频特性曲线。50(s2)50(s2)解： G ( s) H (s)11s10(s1)(s10)s2G ( j ) H ( j)50( j2)1)( j10)( j111G(j)H(j)50(42)2(12 )2(1002 )211120lnG(j)H(j) 20ln(50(42 ) 2(12 ) 2(1002) 2)20ln 5010ln(42 ) 10ln(12 )10ln(1002 ) 0感谢下载载精品计算可得c49rad / s当1时，斜率为 0 ；当 12 时，斜率为-20dB/d ；当 210时，斜率为0 ；当10 时，斜率为 -20