弹塑性力学陈明祥版的课后习题答案++PPT课件

1、弹塑性力弹塑性力学学 陈明祥中国地质大学中国地质大学 力学教研室力学教研室第一章第一章 绪绪 论论一、一、 学科分类学科分类 弹塑性力学弹塑性力学二、二、 弹塑性力学的研究对象弹塑性力学的研究对象三、三、 弹塑性力学的基本思路与研究方法弹塑性力学的基本思路与研究方法四、四、 弹塑性力学的基本任务弹塑性力学的基本任务五、五、 弹塑性力学基本假设弹塑性力学基本假设六、六、 弹塑性力学发展概况弹塑性力学发展概况七、张量概念及其基本运算七、张量概念及其基本运算一、学科分类一、学科分类 弹塑性力学弹塑性力学按运动与否分按运动与否分：静力学静力学：研究力系或物体的平衡问题，不涉及 物体运动状态的改变；如飞

2、机停在地 面或巡航。运动学运动学：研究物体如何运动，不讨论运动与受 力的关系； 如飞行轨迹、速度、 加速度。动力学：动力学：研究力与运动的关系。 如何提供加速度？ 1 1、学科分类、学科分类 按研究对象分按研究对象分： 一般力学一般力学： 研究对象是刚体研究对象是刚体。研究力及其与 运动的关系。分支学科有理论力学理论力学，分析力学分析力学等。 流体力学流体力学：研究对象是气体或液体。涉及到： 水力学、空气动力学水力学、空气动力学等学科。 固体力学固体力学：研究对象是可变形固体。研究材料 变形、流动和断裂时的力学响应。其分支学科有： 材料力学、结构力学、材料力学、结构力学、弹性力学、学、 塑性力

3、学、塑性力学、 弹塑性力学、断裂力学、流变学、疲劳等。弹塑性力学、断裂力学、流变学、疲劳等。 按研究手段分按研究手段分：（理论分析、实验和数值计算） 有实验力学、计算力学实验力学、计算力学二个方面的分支。 按应用领域分按应用领域分： 有飞行力学飞行力学、船舶结构力学船舶结构力学、岩土力学、量岩土力学、量 子力学子力学等。 2 2、弹塑性力学、弹塑性力学 弹塑性力学是固体力学的一个重要分支弹塑性力学是固体力学的一个重要分支 学科，是研究可变形固体受到外荷载或温度学科，是研究可变形固体受到外荷载或温度 变化等因素的影响而发生的应力、应变和位变化等因素的影响而发生的应力、应变和位 移及其分布规律的一

4、门科学，是研究固体在移及其分布规律的一门科学，是研究固体在 受载过程中产生的弹性变形和塑性变形阶段受载过程中产生的弹性变形和塑性变形阶段 这两个紧密相连的变形阶段力学响应的一门这两个紧密相连的变形阶段力学响应的一门 科学。科学。 二、二、 弹塑性力学的研究对象弹塑性力学的研究对象 在研究对象上，材料力学的研究对象是固体，且基本上是各种杆件，即所谓一维构件。造成两者间这种差异的根本原因是什么呢？ 弹塑性力学研究对象也是固体，是不受弹塑性力学研究对象也是固体，是不受 几何尺寸与形态限制的能适应各种工程技术几何尺寸与形态限制的能适应各种工程技术 问题需求的物体。问题需求的物体。三、弹塑性力学的基本思

5、路与研究方法三、弹塑性力学的基本思路与研究方法1 1、弹塑性力学分析问题的基本思路、弹塑性力学分析问题的基本思路 弹塑性力学与材料力学同属固体力学的 分支学科，它们在分析问题解决问题的基本 思路上都是一致的，但在研究问题的基本方 法上各不相同。其基本思路如下：(1) (1) 受力分析及静力平衡条件受力分析及静力平衡条件 ( (力的分析力的分析) ) 物体受力作用处于平衡状态，应当满足的条件 是什么？（静力平衡条件）(2) (2) 变形的几何相容条件变形的几何相容条件 ( (几何分析几何分析) )材料是均匀连续的，在受力变形后仍应是连续的。固体内既不产生“裂隙”，也不产生“重叠”，此时材料变形应

6、满足的条件是什么？（几何相容条件）(3) (3) 力与变形间的本构关系力与变形间的本构关系 ( (物理分析物理分析) ) 固体材料受力作用必然产生相应的变形。 不同的材料，不同的变形，就有相应不同的 物理关系。 弹塑性力学研究问题的基本方法弹塑性力学研究问题的基本方法以受力物以受力物体内某一体内某一点（单元点（单元体）为研体）为研究对象究对象 单元体的受力单元体的受力应力理论；应力理论； 单元体的变形单元体的变形变形几何理论；变形几何理论； 单元体受力与变形单元体受力与变形间的关系间的关系本构理本构理论；论； 建立起普建立起普遍适用的理遍适用的理论与解法。论与解法。1 1、涉及数学理论较复杂，

7、并以其理论与解、涉及数学理论较复杂，并以其理论与解 法的严密性和普遍适用性为特点；法的严密性和普遍适用性为特点；2 2、弹塑性的工程解答一般认为是精确的；、弹塑性的工程解答一般认为是精确的；3 3、可对初等力学理论解答的精确度和可靠、可对初等力学理论解答的精确度和可靠 进行度量。进行度量。四、四、 弹塑性力学的基本任务弹塑性力学的基本任务可归纳为以下几点：可归纳为以下几点： 1 1建立求解固体的应力、应变和位移分布规律的建立求解固体的应力、应变和位移分布规律的 基本方程和理论；基本方程和理论； 2 2给出初等理论无法求解的问题的理论和方法，给出初等理论无法求解的问题的理论和方法， 以及对初等理

8、论可靠性与精确度的度量；以及对初等理论可靠性与精确度的度量； 3 3确定和充分发挥一般工程结构物的承载能力，确定和充分发挥一般工程结构物的承载能力， 提高经济效益；提高经济效益； 4 4为进一步研究工程结构物的强度、振动、稳定为进一步研究工程结构物的强度、振动、稳定 性、断裂等力学问题，奠定必要的理论基础。性、断裂等力学问题，奠定必要的理论基础。五、五、 弹塑性力学的基本假设弹塑性力学的基本假设（1 1）连续性假设：假定物质充满了物体所）连续性假设：假定物质充满了物体所 占有的全部空间，不留下任何空隙。占有的全部空间，不留下任何空隙。 （2 2）均匀性与各向同性的假设：假定物体内）均匀性与各向

9、同性的假设：假定物体内 部各点处，以及每一点处各个方向上的部各点处，以及每一点处各个方向上的 物理性质相同。物理性质相同。 （3 3）力学模型的简化假设：）力学模型的简化假设： （A A）完全弹性假设）完全弹性假设 ； （B B）弹塑性假设。）弹塑性假设。 几何假设几何假设小变形条件小变形条件 （A A）在弹塑性体产生变形后建立平衡方程时，可以）在弹塑性体产生变形后建立平衡方程时，可以 不考虑因变形而引起的力作用线方向的改变；不考虑因变形而引起的力作用线方向的改变；从而使得平衡条件与几何变形条件线性化。从而使得平衡条件与几何变形条件线性化。 （B B）在研究问题的过程中可以略去相关的二次及二）

10、在研究问题的过程中可以略去相关的二次及二 次以上的高阶微量；次以上的高阶微量； 假定物体在受力以后，体内的位移和变形是微小假定物体在受力以后，体内的位移和变形是微小 的，即体内各点位移都远远小于物体的原始尺寸，而的，即体内各点位移都远远小于物体的原始尺寸，而 且应变且应变( ( 包括线应变与角应变包括线应变与角应变 ) )均远远小于均远远小于1 1。根据。根据 这一假定：这一假定： 六、六、弹塑性力学发展概况弹塑性力学发展概况 1678 1678年年英国科学家虎克英国科学家虎克(R.Hooke)(R.Hooke)提出提出 了固体材了固体材 料的弹性变形与所受外力成正比料的弹性变形与所受外力成正

11、比虎克定律。虎克定律。 1919世纪世纪2020年代，法国科学家纳维叶年代，法国科学家纳维叶 ( C.L.M.H.Navier )( C.L.M.H.Navier )、柯西、柯西 ( A.L.Cauchy )( A.L.Cauchy )和和 圣文南圣文南 ( A.J.C.B.Saint Venant ) ( A.J.C.B.Saint Venant ) 等建立了等建立了 弹性力学的理论基础。弹性力学的理论基础。 法国科学家库伦(C.A.Corlomb1773年）、 屈雷斯卡(H.Tresca1864年）、 圣文南和莱 ( M.Levy ) 波兰力学家胡勃(M.T.Houber 1904年）、

12、米塞斯(R.von Mises1913年）、 普朗特(L.Prandtl 1924) 罗伊斯(A.Reuss 1930)、享奇 （H.Hencky)、 纳戴(A.L.Nadai) 、伊留申(A.A.) 阐明了应力、应变的概念和理论；阐明了应力、应变的概念和理论； 弹性力学和弹塑性力学的基本理论框弹性力学和弹塑性力学的基本理论框架得以确立架得以确立。七、张量概念及其基本运算七、张量概念及其基本运算（附录一）附录一） 1、张量概念、张量概念 张量分析是研究固体力学、流体力学及连续介张量分析是研究固体力学、流体力学及连续介 质力学的重要数学工具质力学的重要数学工具 。 张量分析具有高度概括、形式简洁

13、的特点。张量分析具有高度概括、形式简洁的特点。 任一物理现象都是按照一定的客观规律进行的，任一物理现象都是按照一定的客观规律进行的， 它们是不以人们的意志为转移的。它们是不以人们的意志为转移的。 分析研究物理现象的方法和工具的选用与人们分析研究物理现象的方法和工具的选用与人们 当时对客观事物的认识水平有关，会影响问题当时对客观事物的认识水平有关，会影响问题 的求解与表述。的求解与表述。 所有与坐标系选取无关的量，统称为所有与坐标系选取无关的量，统称为物理恒量物理恒量。 在一定单位制下，只需指明其大小即足以被说明在一定单位制下，只需指明其大小即足以被说明 的物理量，统称为的物理量，统称为标量标量

14、。例如温度、质量、功等。例如温度、质量、功等。 在一定单位制下，除指明其大小还应指出其方向在一定单位制下，除指明其大小还应指出其方向 的物理量，称为的物理量，称为矢量矢量。例如速度、加速度等。例如速度、加速度等。 绝对标量只需一个量就可确定，而绝对矢量则需绝对标量只需一个量就可确定，而绝对矢量则需 三个分量来确定。三个分量来确定。 若我们以若我们以r r表示维度，以表示维度，以n n表示幂次，则关于三维表示幂次，则关于三维 空间，描述一切物理恒量的分量数目可统一地表空间，描述一切物理恒量的分量数目可统一地表 示成：示成：nrM （1 1） 现令现令n n为这些物理量的阶次，并统一称这些物为这些

15、物理量的阶次，并统一称这些物 理量为张量。理量为张量。 二阶以上的张量已不可能在三维空间有明显直二阶以上的张量已不可能在三维空间有明显直 观的几何意义，但它做为物理恒量，其分量间观的几何意义，但它做为物理恒量，其分量间 可由坐标变换关系式来解决定义。可由坐标变换关系式来解决定义。当当n=0n=0时，零阶张量，时，零阶张量，M=1M=1，标量；，标量；当当n=1n=1时，一阶张量，时，一阶张量，M=3M=3，矢量；，矢量； 、 、 、当取当取n n时，时，n n阶张量，阶张量，M=3M=3n n。 在张量的讨论中，都采用下标字母符号，来表在张量的讨论中，都采用下标字母符号，来表 示和区别该张量的

16、所有分量。示和区别该张量的所有分量。 不重复出现的下标符号称为自由标号。自由标不重复出现的下标符号称为自由标号。自由标 号在其方程内只罗列不求和。以自由标号的数号在其方程内只罗列不求和。以自由标号的数 量确定张量的阶次。量确定张量的阶次。 重复出现，且只能重复出现一次的下标符号称重复出现，且只能重复出现一次的下标符号称 为哑标号或假标号。哑标号在其方程内先罗列，为哑标号或假标号。哑标号在其方程内先罗列， 再不求和。再不求和。2.2.下标记号法下标记号法 本教程张量下标符号的变程，仅限于三维空间，本教程张量下标符号的变程，仅限于三维空间， 即变程为即变程为3 3。3.3.求和约定求和约定 关于哑

17、标号应理解为取其变程关于哑标号应理解为取其变程N N内所有数值，内所有数值， 然后再求和，这就叫做求和约定。然后再求和，这就叫做求和约定。 例如：例如： 31332211iiiiibababababa（I-2I-2）31332211jiiijijjijbababababa（I-4I-4）3131ijjiijjiijcbacba311321121111cbacbacba323322221221cbacbacba333323321331cbacbacba（I-5I-5） 关于求和标号，即哑标有：关于求和标号，即哑标有： 求和标号可任意变换字母求和标号可任意变换字母表示。表示。 求和约定只适用于字母

18、标号，不适用于数字标号。求和约定只适用于字母标号，不适用于数字标号。 在运算中，括号内的求和标号应在进行其它运算前在运算中，括号内的求和标号应在进行其它运算前 优先求和。例：优先求和。例： 2332222112aaaaii（I-12I-12）23322112)()(aaaaii（I-13I-13） 关于自由标号：关于自由标号： 在同一方程式中，各张量的自由标号相同，在同一方程式中，各张量的自由标号相同，即同阶且标号字母相同。即同阶且标号字母相同。 自由标号的数量确定了张量的阶次。自由标号的数量确定了张量的阶次。 关于关于Kronecker deltaKronecker delta（ ）符号：）

19、符号： ij 是张量分析中的一个基本符号称为是张量分析中的一个基本符号称为柯氏符号柯氏符号（或（或柯罗尼克尔符号柯罗尼克尔符号），亦称），亦称单位张量单位张量。其定义为：。其定义为： ij100010001 , 0 , 1 ijijjiji或：时；当时；当（I-17I-17）4.4.张量的基本运算张量的基本运算 A A、张量的加减：张量的加减： 张量可以用矩阵表示，称为张量可以用矩阵表示，称为张量矩阵张量矩阵，如：，如： 凡是同阶的两个或几个张量可以相加凡是同阶的两个或几个张量可以相加( (或相减或相减) )，并得到同阶的张量，它的分量等于原来张量中标号并得到同阶的张量，它的分量等于原来张量中

20、标号相同的诸分量之代数和。相同的诸分量之代数和。 即：即：其中各分量（元素）为：其中各分量（元素）为：ijijijcba333231232221131211aaaaaaaaaaij（I-19I-19） ijijijcba（I-20I-20）B B、张量的乘积张量的乘积 对于任何阶的诸张量都可进行乘法运算。对于任何阶的诸张量都可进行乘法运算。 两个任意阶张量的乘法定义为：第一个张量的两个任意阶张量的乘法定义为：第一个张量的 每一个分量乘以第二个张量中的每一个分量，每一个分量乘以第二个张量中的每一个分量， 它们所组成的集合仍然是一个张量，称为第一它们所组成的集合仍然是一个张量，称为第一 个张量乘以

21、第二个张量的乘积，即积张量。积个张量乘以第二个张量的乘积，即积张量。积 张量的阶数等于因子张量阶数之和。例如：张量的阶数等于因子张量阶数之和。例如： 张量乘法不服从交换律，但张量乘法服从分配张量乘法不服从交换律，但张量乘法服从分配 律和结合律。例如：律和结合律。例如： ijkjkicba（I-21I-21）)()( )(mkijmkijkijkijkijijcbacbacbcacba或；（I-22I-22）C C、张量函数的求导：张量函数的求导： 一个张量是坐标函数，则该张量的每个分量都一个张量是坐标函数，则该张量的每个分量都 是坐标参数是坐标参数 x xi i 的函数。的函数。 对张量求导，

22、就是把张量的每个分量都对坐标参数对张量求导，就是把张量的每个分量都对坐标参数 求导数。求导数。 对张量的坐标参数求导数时，采用在张量下标对张量的坐标参数求导数时，采用在张量下标 符号前上方加符号前上方加“ ”的方式来表示。的方式来表示。例如：例如： ， 就表示对一阶张量就表示对一阶张量 的每一个分量对坐标参数的每一个分量对坐标参数 x xi i 求导。求导。 jiAiAjiAiA 对张量的坐标参数求导数时，采用在张量下标对张量的坐标参数求导数时，采用在张量下标 符号前上方加符号前上方加“ ”的方式来表示。的方式来表示。例如：例如： ， 就表示对一阶张量就表示对一阶张量 的每一个分量对坐标参数的

23、每一个分量对坐标参数 x xi i 求导。求导。 jiAiA 如果在微商中下标符号如果在微商中下标符号 i i 是一个自由下标，则是一个自由下标，则 算子算子 作用的结果，将产生一个新的升高一阶作用的结果，将产生一个新的升高一阶 的张量；的张量； 如果在微商中，下标符号是一个哑标号，则算子如果在微商中，下标符号是一个哑标号，则算子 作用的结果将产生一个新的降低一阶的张量。作用的结果将产生一个新的降低一阶的张量。 例如：例如： i321 , , xxxxii（I-23I-23）332211 xuxuxuxuuiiii（I-24I-24）kjzkjykjxkiijkixxuxxuxxuxxuu22

24、22 , , （I-25I-25）kjzkjykjxkiijkixxuxxuxxuxxuu2222 , , （I-25I-25）iii 如果在微商中下标符号如果在微商中下标符号 i i 是一个自由下标，则是一个自由下标，则 算子算子 作用的结果，将产生一个新的升高一阶作用的结果，将产生一个新的升高一阶 的张量；的张量； 如果在微商中，下标符号是一个哑标号，则算子如果在微商中，下标符号是一个哑标号，则算子 作用的结果将产生一个新的降低一阶的张量。作用的结果将产生一个新的降低一阶的张量。 例如：例如： ii4.4.张量的分解张量的分解张量一般是非对称的。若张量张量一般是非对称的。若张量 的分量满足

25、的分量满足 ija则称为则称为反对称张量反对称张量。显然反对称张量中标号重复的。显然反对称张量中标号重复的分量分量( (也即主对角元素也即主对角元素) )为零，即为零，即 。 0332211aaa则则 称为称为对称张量对称张量。 如果如果 的分量满足的分量满足ijaijajiijaa（I-27I-27）jiijaa（I-28I-28）第二章第二章 应力理论应力理论一、应力的概念一、应力的概念应力状态的概念应力状态的概念二、应力分量转换方程二、应力分量转换方程三、主应力三、主应力应力主方向应力主方向应力张量不变量应力张量不变量四、最大四、最大( (最小最小) )剪应力剪应力五、空间应力圆五、空间

26、应力圆. .应力椭球应力椭球 六、应力张量的分解六、应力张量的分解七、偏斜应力张量七、偏斜应力张量 . .主偏应力主偏应力. .应力偏量不变量应力偏量不变量八、八面体应力八、八面体应力等效应力等效应力九、平衡（或运动）微分方程九、平衡（或运动）微分方程一、应力的概念一、应力的概念 应力状态的概念应力状态的概念 ddlimddlim00ntnnAnnnAAFAFAFAF 应力：应力：受力物体受力物体 内某点某截面上内内某点某截面上内 力的分布集度。力的分布集度。 1 1、应力的概念、应力的概念2 2、应力状态的概念：、应力状态的概念：受力物体内某点处所取受力物体内某点处所取 无限多截面上的应力情

27、况的总和，就显示和表无限多截面上的应力情况的总和，就显示和表 明了该点的应力状态明了该点的应力状态应力应力正应力正应力剪应力剪应力必须指明两点：必须指明两点：1.1.是哪一点的应力；是哪一点的应力；2.2.是该点哪个微截面的应力。是该点哪个微截面的应力。 表示表示应力的及符号规则：应力的及符号规则：正应力：正应力：剪应力：剪应力：xyxxx 第一个字母表明该应力作第一个字母表明该应力作用截面的外法线方向同哪一用截面的外法线方向同哪一个坐标轴相平行。个坐标轴相平行。 第二个字母表明该应力的第二个字母表明该应力的指向同哪个坐标轴相平行。指向同哪个坐标轴相平行。 应力的正负号规则：应力的正负号规则：

28、3.3.应力张量应力张量 数学上，在坐标变换时，服从一定坐标变换式数学上，在坐标变换时，服从一定坐标变换式的九个数所定义的量，叫做二阶张量。根据这一定的九个数所定义的量，叫做二阶张量。根据这一定义，物体内一点处的应力状态可用二阶张量的形式义，物体内一点处的应力状态可用二阶张量的形式来表示，并称为应力张量，而各应力分量即为应力来表示，并称为应力张量，而各应力分量即为应力张量的元素，且由剪应力等定理知，应力张量应是张量的元素，且由剪应力等定理知，应力张量应是一个对称的二阶张量，简称为一个对称的二阶张量，简称为应力张量应力张量。zzyzxyzyyxxzxyxij zyzxzzyyxyzxyxxj i

29、或或（2 23 3） 据剪应力互等定理据剪应力互等定理 , ,应力张量应是应力张量应是一个对称的二阶张量。一个对称的二阶张量。 )(jijiij二二. .应力分量转换方程应力分量转换方程 zxyzxy、1、任意斜截面上的应力、任意斜截面上的应力 已知已知 ： 求：求：P PP Px x 、P Py y 、 P Pz z zyx、nn斜截面外法线为斜截面外法线为 n n，方向余弦分别为方向余弦分别为 L L1 1 、L L2 2 、 L L3 3；面积：面积： S SABCABC=1=1；S SOBCOBC= = L L1 1，S SOACOAC= = L L2 2， S SOABOAB= =

30、L L3 3。则由单元体力系平衡条件：则由单元体力系平衡条件： 、 、 得：得：0 xF0yF0zF 321321321lllPlllPlllPzzyzxzyzyyxyxzxyxx) , , ,( zyxjinPjijilPlPlPzyxxn2121222/12222)()(nnzyxnPPPP2222zyxPPPP（2 24 4） （2 25 5） （26） （2 27 7） （2 28 8） 2 2、应力分量转换方程、应力分量转换方程 ),cos(11xxl),cos(12yxl),cos(13zxl),cos(21xyl),cos(22yyl),cos(23zyl),cos(31xzl)

31、,cos(32yzl),cos(33zzl标坐轴标坐轴xyzxyz),cos(11xxl),cos(21xyl),cos(31xzl),cos(12yxl),cos(22yyl),cos(32yzl),cos(13zxl),cos(23zyl),cos(33zzl表表2 21 1 )()( )( )()( )( )()( )( 222 222 222 133111331233133211321231133312321131332131233223332231223221332332223121231121132213231221122211231322122111313333323231233

32、232231212323222221223222221111313121211213212211lllllllllllllllllllllllllllllllllllllllllllllllllllllllllllllllllllllllllllllllllzxyzxyzyxxzzxyzxyzyxzyzxyzxyzyxyxzxyzxyzyxzzxyzxyzyxyzxyzxyzyxxj ji iijj ill （2 21010） 3 3、平面应力状态、平面应力状态 注意：材力与弹塑性力学中关于应力符号的差异。注意：材力与弹塑性力学中关于应力符号的差异。22minmax22xyyxyx（2 222

33、22） yxxy22tg0（2 22121） 02cos2sin2 cossin)()sin(cos2sin2cos22 cossin2sincos2222zxxyyxxyxyyxxyyxyxxyyxx（2 21111） 三三. . 主应力主应力 应力主方向应力主方向 应力张量不变量应力张量不变量 主平面：一点应力状态剪应力等于零的截面称为主平面；主平面：一点应力状态剪应力等于零的截面称为主平面； 主应力主应力 ：主平面上的正应力称为该点的主应力；：主平面上的正应力称为该点的主应力； 主方向主方向 ：主平面的法线方向即为主方向；：主平面的法线方向即为主方向；主单元体：由主平面截取的单元体称为主

34、单元体。主单元体：由主平面截取的单元体称为主单元体。设斜截面设斜截面ABCABC为主平面，则：为主平面，则：1lPnx2lPny3lPnz则由则由2-42-4得：得： 0)(0)(0)(321321321lllllllllnzzyzxyznyyxxzxynx（2 21212） nijij0jl （2 21313） 032213IIInnn（2 21818） 理论上可证明：当一点的应力状态确定时，理论上可证明：当一点的应力状态确定时，由式由式2-182-18必可求出三个实根，即为主应力，且必可求出三个实根，即为主应力，且 。主应力彼此正交。主应力彼此正交。321 2 )(21 222322221

35、ijxyzzxyyzxzxyzxyzyxzzyzxyzyyxxzxyxjiijjjiizxyzxyxzzyyxiizyxIII(2(219)19) 321313322123211 III（2 22020） 正应力的极值就是主应力正应力的极值就是主应力 233222211321llllPlPlPzyxn（2 22424） 2222nzyxnPPP)()()()(233222211233222211llllll（2 22525）由由2-242-24及及1232221lll得：得：322322131233222121233122211)()( )()()()(llllllnnn 对上式取极值求出方向

36、余弦式，再对上式取极值求出方向余弦式，再代回式代回式2-252-25得：得： ，即正应力取，即正应力取极值截面上的剪应力为零，此正应力极值截面上的剪应力为零，此正应力即为主应力。主方向彼此正交。即为主应力。主方向彼此正交。0n四四. .最大最大( (最小最小) )剪应力剪应力 0)(21)()()( 0)(21)()()(31223221313223122322131311llllll由由2-252-25及及1232221lll求出：求出： 22222nzyxnPPP)()()()(233222211233222211llllll232232213123222322212321)()()()(

37、 llll讨论式（讨论式（b b），可得其解如表），可得其解如表- -所示：所示：表表2 23 30010010010000001l2l3l2n2/ 12322/ )(2132/ )(2212/ )(2/ 12/ 12/ 12/ 12/ 1 主剪应力主剪应力为：为：231132322322112 最大（最小）剪应力最大（最小）剪应力为：为：231minmax（2 22727） 最大（最小）剪应力作用截面上一般正应最大（最小）剪应力作用截面上一般正应 力不为零，即：力不为零，即：231132322322112（2 22828） 五五. .空间应力圆空间应力圆 应力椭球应力椭球一点应力状态一点应力

38、状态用解析法研究用解析法研究用几何法研究用几何法研究解析理论解析理论莫尔应力圆莫尔应力圆 若三个坐标轴的方向都恰取为应力主方向，则由若三个坐标轴的方向都恰取为应力主方向，则由式式(2(224)24)或或(2(215)15)可求出用，外法线为可求出用，外法线为n n的斜截面的斜截面上的正应力上的正应力其表达式为其表达式为: :1、空间应力圆、空间应力圆，和、表示的和、232221321lllnn)()( )()()()(231321232312321322223121322121nnnnnnnnnlll0)(231nnn23122n2312n在式（在式（c c）中，设）中，设 永远是正值，所以式

39、（永远是正值，所以式（c c）中右端的分子和分母应有相）中右端的分子和分母应有相同的正、负号。同的正、负号。232221321,lll和、由于在式（在式（c c）中，设）中，设 永远是正值，所以式（永远是正值，所以式（c c）中右端的分子和分母应有相）中右端的分子和分母应有相同的正、负号。同的正、负号。232221321,lll和、由于 六、六、应力张量的分解应力张量的分解mzzyzxyzmyyxxzxymxmmm000000+ +ijmijijS+ +（2 23030） 通常对于金属材料有：通常对于金属材料有： 通常将通常将应力张量进行分解应力张量进行分解，更有利于研究固，更有利于研究固 体

40、材料的塑性变形行为。体材料的塑性变形行为。 岩土材料在球应力张量作用下，一般也会出岩土材料在球应力张量作用下，一般也会出 现塑性体变，从而出现奇异屈服面。现塑性体变，从而出现奇异屈服面。球应力张量球应力张量体变：只是弹性变形体变：只是弹性变形畸变：首先产生弹性畸变，畸变：首先产生弹性畸变，当应力达到一定的极值时，当应力达到一定的极值时，将产生塑性的畸变。将产生塑性的畸变。偏斜应力张量偏斜应力张量七、偏斜应力张量七、偏斜应力张量 .主偏应力主偏应力.应力偏量不变应力偏量不变量量1 1、偏斜应力张量偏斜应力张量. .主偏应力主偏应力mzzyzxyzmyyxxzxymxzzyzxyzyyxxzxyx

41、SSSSSSSSSijS= =zzyzxyzyyzxzxyxSSS331000000SSS3200032000322131323212 2、应力偏量不变量、应力偏量不变量2223222222222222222212 )(6)()()(61 )(21 0)()()( xyzzxyyzxzxyzxyzyxzxyzxyxzzyyxzxyzxyzyxzxyzxyxzZyyxmzmymxzyxSSSSSSSSSSSSJSSSSSSSSSSSSSSSJSSSJ321321323222113322123222123211 )()()(61 )(21 0 SSSJSSSSSSSSSJSSSJ01iiSJiji

42、jSSJ212ijSJ 3m)(313218211332212322218)(2)( 23121213232221)()()(31 212222228)(6)()()(31zxyzxyxzzyyx232J= = 作用八面体产生畸变，是塑性力学中的重要力作用八面体产生畸变，是塑性力学中的重要力 学参量。学参量。84454cos310321lll八、八、8 8 面体应力面体应力 等效应力等效应力 2 2、等效应力、等效应力28323J（2-432-43） 材料处于单向拉伸应力状态时，材料处于单向拉伸应力状态时， ， ；1032 应力状态应力状态 确定了，确定了， 值就确定了，与坐标轴的值就确定了，

43、与坐标轴的 选择无关；选择无关；ij 等效应力等效应力 与球应力状态无关，是塑性力学中的重与球应力状态无关，是塑性力学中的重 要力学参量。计算中是使用要力学参量。计算中是使用 的绝对值。的绝对值。 等效应力又称为有效应力或应力强度，等效应力又称为有效应力或应力强度， 用用 表示表示. .九、九、平衡（或运动）微分方程平衡（或运动）微分方程 平衡微分方程平衡微分方程： 一个客观的弹性力学问题，在物体体内任意一点一个客观的弹性力学问题，在物体体内任意一点 的应力分量和体力分量必定满足这组方程。的应力分量和体力分量必定满足这组方程。 求解应力场的问题是一个静不定问题。求解应力场的问题是一个静不定问题

44、。 体力分量指向同坐标轴正向一致取正，反之负体力分量指向同坐标轴正向一致取正，反之负。 0 0 0 222222twFzyxtvFzyxtuFzyxzzyzxzyzyyxyxzxyxx（2-442-44）0ijijF（2-452-45）十、十、静力边界条件静力边界条件 一个客观的弹塑性力学问题，在物体边界上任意一个客观的弹塑性力学问题，在物体边界上任意 一点的应力分量和面力分量必定满足这组方程。一点的应力分量和面力分量必定满足这组方程。 面力分量指向同坐标轴正向一致取正，反之取负。面力分量指向同坐标轴正向一致取正，反之取负。 321321321lllFlllFlllFzzyzxzyzyyxyx

45、zxyxx（2-462-46）jjiilF （2-472-47） 当边界面与某一坐标轴相垂直时，应力分量与相当边界面与某一坐标轴相垂直时，应力分量与相 应的面力分量直接对应相等。应的面力分量直接对应相等。 关于平面问题的应力边界条件（关于平面问题的应力边界条件（xoyxoy平面）：平面）： 2121yyyxxxyxFllFll（2-492-49）xxFyxyFzxzF例例2-72-7： 图图216所示为一变截面薄板梁，所示为一变截面薄板梁， 板的厚度为单位板的厚度为单位 1，跨度为。梁上表面，跨度为。梁上表面 承受三角形分布载荷作用，下斜表面承承受三角形分布载荷作用，下斜表面承 受均布切向面力

46、作用，左端面上作用的受均布切向面力作用，左端面上作用的 面力详细分布情况不清，但分布面力的面力详细分布情况不清，但分布面力的 合力为切向集中力合力为切向集中力P，合力偶的力偶矩，合力偶的力偶矩 为为M。试确定此问题上述三边界上的应。试确定此问题上述三边界上的应 力边界条件。力边界条件。例例2-72-7：解：解：左边界：左边界：下边界：据圣文南原理和平衡的原理得：下边界：据圣文南原理和平衡的原理得：上边界：上边界：lqxy/0yx（1 1）hhhhyhhxMyyMPyFyF 0d , 00d , 00d , 0 x0 xyxhhxhhxyhhxMyyPyy dd 0d （2 2） sincoss

47、in coscossin00qqyxyxyx tg)( tg )( 0y0 xqcqxyxy（3 3）第三章第三章 变形几何理论变形几何理论一、位移、应变、几何方程、一、位移、应变、几何方程、 应变状态、应变张量应变状态、应变张量三、应变分量转换方程三、应变分量转换方程四、主应变、最大四、主应变、最大( (最小最小) )剪应变、体积应变剪应变、体积应变七、应变速度、应变增量、应变莫尔圆七、应变速度、应变增量、应变莫尔圆六、应变协调方程六、应变协调方程五、应变张量的分解、等效应变五、应变张量的分解、等效应变二、位移边界条件二、位移边界条件一、位移、应变、应变状态、几何方程、应变张量一、位移、应变

48、、应变状态、几何方程、应变张量), , ( ), , ( ), , ( zyxwwzyxvvzyxuu；1 1、位移分量和相对位移分量、位移分量和相对位移分量位移位移刚性位移：反映物体整体位置的变动刚性位移：反映物体整体位置的变动变形位移：反映物体的形状和尺寸发生变化变形位移：反映物体的形状和尺寸发生变化 研究物体在外力作用下的变形规律，只需研究物体内各点的研究物体在外力作用下的变形规律，只需研究物体内各点的相对位置变动情况，即研究变形位移。相对位置变动情况，即研究变形位移。 通常物体内各点通常物体内各点的位移应是点的位的位移应是点的位置坐标函数，参照置坐标函数，参照oxyzoxyz坐标即为：

49、坐标即为：（3-1） 位移函数应是位置坐标的单值连续函数。位移函数应是位置坐标的单值连续函数。 位移分量函数不能直接表明物体各点处材料变形的剧烈程位移分量函数不能直接表明物体各点处材料变形的剧烈程 度，还需要研究物体内各点的相对位移。度，还需要研究物体内各点的相对位移。2 2、应变的概念、应变的概念 、几何方程、几何方程 在物体内任一点在物体内任一点 M M 处截取一单元体，处截取一单元体，考察其变形（由平考察其变形（由平面推广到空间）。面推广到空间）。 在小变形的前在小变形的前提下建立应变的概提下建立应变的概念和几何方程。念和几何方程。 应变的概念应变的概念 考察单元体在考察单元体在xyxy

50、平面上投影平面上投影ABCDABCD的变形。的变形。 当微分体变形并出现位移后，其在当微分体变形并出现位移后，其在xoyxoy平面上的投平面上的投 影影ABCD ABCD 就移至新的位置就移至新的位置 ，如图所示。，如图所示。 DCBA 应变的概念应变的概念 应变的概念应变的概念ABx沿沿x x方向棱边方向棱边 的线应变的线应变 ，据定义有：，据定义有：dxdxBAx 也即：也即：dxBAx) 1(22222xvxuxuxx （略去高阶微量得：）（略去高阶微量得：）yvxuyx ；A A点点x x，y y方向所夹直角的改变量，即剪应变（角应变）：方向所夹直角的改变量，即剪应变（角应变）：xyx

51、vyuxy 也即：也即： 应变的概念应变的概念线应变线应变角应变角应变应变的符号规则：应变的符号规则： 表征某点某方向伸长变形的线应变取正，反表征某点某方向伸长变形的线应变取正，反之取负；之取负； 表征某点两坐标轴正方向所夹直角减少的角表征某点两坐标轴正方向所夹直角减少的角应变取正，反之取负。显然：应变取正，反之取负。显然：xy=xy=yxyx。1.1.涉及受力物体涉及受力物体内某点；内某点；2.2.涉及该点的某涉及该点的某一方向；一方向；3.3.是一个无量纲是一个无量纲的物理量。的物理量。1 1、涉及受力物、涉及受力物体内某一点；体内某一点；2 2、涉及过该点、涉及过该点的某两相垂直的某两相

52、垂直方向；方向；3 3、是一个有单、是一个有单位，无量纲的位，无量纲的物理量。物理量。 几何方程：几何方程：zuxwzwywvyvxvyuxuzxzyzyxyx z ；),()(21zyxjiuui jj iij（3-2） 该式表明了一点处的位移分量和应变分量所应满该式表明了一点处的位移分量和应变分量所应满足的关系，称为几何方程，也称为柯西足的关系，称为几何方程，也称为柯西(Augustin-(Augustin-Louis Cauchy)Louis Cauchy)几何关系。其缩写式为：几何关系。其缩写式为： （3-7）3 3、应变状态、应变张量、应变状态、应变张量zwywzvyvxwzuxvy

53、uxu)(212121对称zyzyxzxyx)(212121对称zyzyxzxyxij)(对称=（3-6） 受力物体内某点处线应变和剪应变的总和，反映和表征受力物体内某点处线应变和剪应变的总和，反映和表征了该点的变形程度了该点的变形程度( (状态状态) )，称之为应变状态。，称之为应变状态。 一点的应变状态可用二阶张量的形式来表示，称为应变一点的应变状态可用二阶张量的形式来表示，称为应变张量，用张量，用 表示，即：表示，即：ij 由几何方程式可以看出，当物体内一点的位移由几何方程式可以看出，当物体内一点的位移 分量完全确定时，则应变分量亦已完全确定，分量完全确定时，则应变分量亦已完全确定， 因

54、为应变是位移的微分形式。但是当应变分量因为应变是位移的微分形式。但是当应变分量 完全确定时，位移分量则不一定能求解出来，完全确定时，位移分量则不一定能求解出来， 这是由于物体的位移除了包含有纯变形位移这是由于物体的位移除了包含有纯变形位移 外，还可能包括有刚性位移。外，还可能包括有刚性位移。 三、应变分量转换方程三、应变分量转换方程 任意方向上的线应变计算：任意方向上的线应变计算： 应变分量转换方程应变分量转换方程一点的应变状态是一个二阶对称张量，则其分量转换方程为：一点的应变状态是一个二阶对称张量，则其分量转换方程为：)()()()(2)()()()(2)()()()(21331113312

55、33133211321231133312321131332131233223332231223221332332223121231121132213231221122211231322122111313333323231233232231212323222221223222221111313121211213212211lllllllllllllllllllllllllllllllllllllllllllllllllllllllllllllllllllllllllllllllllzxyzxyzyxxzzxyzxyzyxzyzxyzxyzyxyxzxyzxyzyxzzxyzxyzyxyzxyzx

56、yzyxx(3-12)jjiiijjill(3-13) 应变状态与应力状态都是二阶对称张量，应变状态与应力状态都是二阶对称张量， 因此在数学上两者所遵循的坐标变换法则是因此在数学上两者所遵循的坐标变换法则是 相同的。比较公式相同的。比较公式3-12和和29，知其分量，知其分量间对应关系为：间对应关系为：ijij2ijijji 但且 由于由于应变张量与应力张量两者在数学上遵应变张量与应力张量两者在数学上遵 循相同的坐标变换法则，所以可知主应变、循相同的坐标变换法则，所以可知主应变、 应变主方向、最大（最小）剪应力、应变张应变主方向、最大（最小）剪应力、应变张 量分解、量分解、等等对应关系式均可直

57、接导出。对应关系式均可直接导出。四、主应变、应变主方向、最大（最小）剪应变四、主应变、应变主方向、最大（最小）剪应变 过物体内任一点，一定存在着三个互相垂直的平面过物体内任一点，一定存在着三个互相垂直的平面, ,在这在这 些平面间剪应变为零，将其称之为些平面间剪应变为零，将其称之为应变主平面应变主平面。 应变主平面的外法线方向称为应变主平面的外法线方向称为应变主方向或应变主轴应变主方向或应变主轴。应。应 变主轴彼此正交。变主轴彼此正交。 应变主方向上的线应应变主方向上的线应变就是变就是主应变主应变。一点应变。一点应变状态的主应变有三个即：状态的主应变有三个即：321 当一点应变状态确定是，当一

58、点应变状态确定是， 其主应变、应变主方向由其主应变、应变主方向由 下式确定：下式确定： 主应变、应变主方向主应变、应变主方向0d)(dd0dd)(d0ddd)(znzyzyxzxzyzynyxyxzxzyxyxnxsssssssss（3-18）0d)(jnijijs（3-19）032213IIInnn（3-22） 应变不变量：应变不变量：ijxyzzxyyzxzxyzxyzyxzzyzxyzyyxxzxyxjiijjjiizxyzxyxzzyyxiizyxIII)(2)(21222322221（3-23） 理论上可证明：三个应变主轴是彼此垂直的。理论上可证明：三个应变主轴是彼此垂直的。 理论上

59、一般认为：应力主方向与应变主方向彼此理论上一般认为：应力主方向与应变主方向彼此 对应相同。通常简称为主方向。对应相同。通常简称为主方向。(2)(2)、最大（最小）剪应变、最大（最小）剪应变 理论上可证明：当一点应变状态确定时，该点的理论上可证明：当一点应变状态确定时，该点的 三个主应变一定也是三个实数根。并且按代数值三个主应变一定也是三个实数根。并且按代数值 排列：排列：321)(;)(;)(213132321（3-24）31minmax（3-25）五、应变张量的分解、八面体应变、等效应变五、应变张量的分解、八面体应变、等效应变应变张量也可分解为应变球张量和应变偏张量，即：应变张量也可分解为应

60、变球张量和应变偏张量，即：mzzyzxyzmyyxxzxymxmmmzzyzxyzyyxxzxyzij212121212121000000（3-27）)(31)(31321zyxm（3-28）ijijmije（3-27） 应变张量的分解应变张量的分解 偏斜应变张量偏斜应变张量. .应变偏量不变量应变偏量不变量 应变偏张量为：应变偏张量为： 相应的应变偏量不变量为：相应的应变偏量不变量为：ijxyzzxyyzxzxyzxyzyxijijzxyzxyxzzyyxzxyzxyxzzyyxiizyxeeeeeeeeeeeeeJeeeeeeeeeeeJeeeeJ222322222222222221221