高二数学-椭圆的定义及其标准方程

1、 高二 年级 数学 科辅导讲义（第 讲）学生姓名： 授课教师： 授课时间： 12.21 专 题椭圆及其标准方程目 标掌握椭圆的定义和标准方程重 难 点待定系数法求椭圆的标准方程常 考 点待定系数法求椭圆的标准方程；点差法求直线的斜率椭圆及其标准方程第一部分：基础知识梳理 知识点一 椭圆的定义 平面内到两个定点的距离之和等于常数（大于）的点的集合叫做椭圆。两个定点叫做椭圆的焦点，两焦点间的距离叫做椭圆的焦距。根据椭圆的定义可知：椭圆上的点M满足集合，且都为常数。当即时，集合P为椭圆。当即时，集合P为线段。当即时，集合P为空集。知识点二 椭圆的标准方程 （1），焦点在轴上时，焦点为，焦点。 （2）

2、，焦点在轴上时，焦点为，焦点。知识点三 椭圆方程的一般式 这种形式的方程在课本中虽然没有明确给出，但在应用中有时比较方便，在此提供出来，作为参考：（其中为同号且不为零的常数，），它包含焦点在轴或轴上两种情形。方程可变形为。当时，椭圆的焦点在轴上；当时，椭圆的焦点在轴上。 一般式，通常也设为，应特别注意均大于0，标准方程为。知识点四 椭圆标准方程的求法 1. 定义法 椭圆标准方程可由定义直接求得，这是求椭圆方程中很重要的方法之一,当问题是以实际问题给出时，一定要注意使实际问题有意义，因此要恰当地表示椭圆的范围。例1、 在ABC中，A、B、C所对三边分别为，且B（-1,0）C（1,0），求满足，且

3、成等差数列时，顶点A的曲线方程。变式练习 1.在ABC中，点B（-6,0）、C（0,8），且成等差数列。 （1）求证：顶点A在一个椭圆上运动。 （2）指出这个椭圆的焦点坐标以及焦距。 2. 待定系数法首先确定标准方程的类型，并将其用有关参数表示出来，然后结合问题的条件，建立参数满足的等式，求得的值，再代入所设方程，即一定性，二定量，最后写方程。例2、 已知椭圆的中心在原点，且经过点P（3,0），=3b，求椭圆的标准方程。例3、 已知椭圆的中心在原点，以坐标轴为对称轴，且经过两点，求椭圆方程。变式练习 2.求适合下列条件的椭圆的方程;(1)两个焦点分别是（-3,0），（3,0）且经过点（5,0）

4、.（2）两焦点在坐标轴上，两焦点的中点为坐标原点，焦距为8，椭圆上一点到两焦点的距离之和为12.3.已知椭圆经过点和点，求椭圆的标准方程。4.求中心在原点，焦点在坐标轴上，且经过两点的椭圆标准方程。知识点五 共焦点的椭圆方程的求解 一般地，与椭圆共焦点的椭圆可设其方程为。例4、 过点（-3,2）且与有相同焦点的椭圆的方程为（ ）A. B. C. D. 变式练习 5.求经过点（2，-3）且椭圆有共同焦点的椭圆方程。知识点六 与椭圆有关的轨迹问题的求解方法 与椭圆有关的轨迹方程的求解是一种很重要的题型，教材中的例题就是利用代入求球轨。迹，其基本思路是设出轨迹上一点和已知曲线上一点，建立其关系，再代

5、入。例5、已知圆，从这个圆上任意一点向轴作垂线段,点在上，并且,求点的轨迹。知识点七 与弦的中点有关问题的求解方法 直线与椭圆相交于两点、,称线段为椭圆的相交弦。与这个弦中点有点的轨迹问题是一类综合性很强的题目，因此解此类问题必须选择一个合理的方法，如“设而不求”法，其主要特点是巧代线段的斜率。其方程具体是：设直线与椭圆相交于两点，坐标分别为、，线段的中点为，则有 式-式，得，即 通常将此方程用于求弦中点的轨迹方程。例6.已知：椭圆，求： （1）以P（2，-1）为中点的弦所在直线的方程； （2）斜率为2的相交弦中点的轨迹方程； （3）过Q（8,2）的直线被椭圆截得的弦中点的轨迹方程。第二部分：巩固练习 1. 设为椭圆的焦点，P为椭圆上一点，则的周长是（ ） A. 16 B. 8 C. D. 无法确定 2. 椭圆的两个焦点之间的距离为（ ） A. 12 B. 4 C. 3 D. 2 3. 椭圆的一个焦点是（0,2），那么等于（ ） A. -1 B. 1 C. D. - 4. 已知椭圆的焦点是，P是椭圆上的一个动点，如果延长到,使得,那么动点的轨迹是