第七章振动和波动.

1、第七章 振动和波动7-1 说明下列运动是否简谐振动：(1)拍皮球时球的上下运动；(2)一个小球沿着半径很大的光滑凹球面往返滚动，小球所经过的弧线很短，如题图所示；(3)竖直悬挂的轻弹簧的下端系一重物，把重物从静止位置拉下一段距离(在弹簧的弹性限度内)，然后放手任其运动 (忽略阻力影响)。解：（1）不是简谐振动 （小球在空中受力为mg）(2)可以近似看成简谐振动， 弧线很短，半径很大 如图示 小球的振动方程为：即得： 其中 此方程即为简谐振动方程（3）是简谐振动由胡克定律： 得重物在任一位置时，所受的合力为： 由牛顿第二定律 令： 则得：即得： 其中： 此方程即为简谐振动方程。7-2 一个运动质

2、点的位移与时间的关系为： ,其中的单位是，的单位是s。试求：(1)周期、角频率、频率、振幅和初相位；(2) 时质点的位移、速度和加速度。解：（1） ； ； 振幅： 初相位： （2）时： 7-3 一个质量为2.5 kg的物体系于水平放置的轻弹簧的一端，弹簧的另一端被固定。若弹簧受10 N的拉力，其伸长量为5.0 cm，求物体的振动周期。解：物体作简谐振动： 故： 7-4 求题图所示振动装置的振动频率，已知物体的质量为m，两个轻弹簧的劲度系数分别为和。解：如图： 物体在任一位置受到的弹力为： 即得： 其中 7-5 求图所示振动装置的振动频率，已知物体的质量为m，两个轻弹簧的劲度系数分别为

3、k1 和k2。解：是轴弹簧；两弹簧受到的弹力相同，均为F又：两弹簧伸长量为设：两弹簧串联后的劲度系数为k则： 又： 即得：由牛顿第二定律： 7-6 仿照式(6-15)的推导过程，导出在单摆系统中物体的速度与角位移的关系式。解： 故： 7-7 与轻弹簧的一端相接的小球沿轴作简谐振动，振幅为A，位移与时间的关系可以用余弦函数表示。若在时，小球的运动状态分别为(1)； (2)过平衡位置，向轴正方向运动；(3)过处，向轴负方向运动； (4)过处，向轴正方向运动。试确定上述各状态的初相位。解：（1） （2） （3） （4） 7-8 长度为的弹簧，上端被固定，下端挂一重物后长度变为，并仍在弹性限度之内。若

4、将重物向上托起，使弹簧缩回到原来的长度，然后放手，重物将作上下运动。(1)证明重物的运动是简谐振动；(2)求此简谐振动的振幅、角频率和频率；(3)若从放手时开始计时，求此振动的位移与时间的关系(向下为正)。解： (1) 如图，椐题意由胡克定律： 重物在任一位置时，所受的合力为： 由牛顿第二定律： 令则得： 即得 ： 其中： 即为简谐振动。（2）平衡位置为：初始状态为弹簧缩回到原来的长度： （3）据题意，如图：； 振动位移与时间的关系为：7-9 一个物体放在一块水平木板上，此板在水平方向上以频率作简谐振动。若物体与木板之间的静摩擦系数为 ，试求使物体随木板一起振动的最大振幅。解：简谐振动的最大作

5、用力为： 故：7-10 一个物体放在一块水平木板上，此板在竖直方向上以频率作简谐振动。试求物体和木板一起振动的最大振幅。解：简谐振动的最大加速度为g（据题意） 7-11 一个系统作简谐振动，周期为T，初相位为零。问在哪些时刻物体的动能与势能相等？解：据题意，简谐振动方程为： 由机械能守恒定律： 当 时： 即得： 即：7-12 质量为10 g的物体作简谐振动，其振幅为24 cm，周期为1.0 s，当t=0时，位移为+24 cm，求：(1)时物体的位置以及所受力的大小和方向；(2)由起始位置运动到x=12 cm处所需要的最少时间；(3)在x=12 cm处物体的速度、动能、势能和总能量。 解：据题意

6、物体的振动方程为： （1）（2） 当x=12cm时： (3) 7-13 质量为0.10 kg的物体以的振幅作简谐振动，其最大加速度为，求：(1)振动周期；(2)通过平衡位置的动能；(3)总能量。解：（1）令振动方程为： 则： （2）通过平衡位置的动能为： （3）总能量为：7-14 一个质点同时参与两个在同一直线上的简谐振动：和 (式中的单位是，的单位是s)，求合振动的振幅和初相位。解： 另解： 7-15 有两个在同一直线上的简谐振动：和，试问：(1)它们合振动的振幅和初相位各为多大？(2)若另有一简谐振动，分别与上两个振动叠加，为何值时，的振幅为最大？为何值时，的振幅为最小？解：（1） 合振动

7、的振幅为0.01m。初相位为。（2） 当7-16 在同一直线上的两个同频率的简谐振动的振幅分别为0.04 m和0.03 m，当它们的合振动振幅为0.06 m时，两个分振动的相位差为多大？解： 7-17 一个质量为5.00 kg的物体悬挂在弹簧下端让它在竖直方向上自由振动。在无阻尼的情况下，其振动周期为；在阻尼振动的情况下，其振动周期为。求阻力系数。解：无阻尼 有阻尼 7-18 试证明受迫振动的共振频率和共振时振幅的峰值分别为： 式中是振动系统的固有角频率，是阻尼常量解：受迫振动达到稳定状态时的解为： 而受迫振动的微分方程为： 其中， 比较系数得： 由（2）式得： 得： 当最小时最大。发生共振。

8、 得： 即：代入：得：=证毕7-19 波动与振动有何区别和联系？答：波动是振动在弹性介质中的传播。 以谐振动和简谐波为例进行比较：一、方程谐振动简谐波形式：描述一个质点的振动规律（少体）描述一条波线上各点的振动规律（多体）方程：a. (回复力) b.特征量:A. . A、由初始条件决定也可由旋转矢量法或振动曲线确定位相： 、为初相。运动的时间周期性：t=T同位相：反位相：方程：a.由波线上已知点的振动方程和波速建立波动方程.A:P: b.已知一点的振动曲线和波速,求波动方程. c.已知某时刻波形曲线和波速求波动方程.位相：时间周期性：T.波形重复出现空间周期性:.位相重复出现位相是x、t的函数

9、.位相传播二、图像获取:A、T（或、）振动方程： （1） 当x=常数 y=y（t）振动图当t=常数 y=y（x）波形图获取A、（或T、）波动方程：三、能量=常量守 恒、位相差不同步调不守恒同步调变化四、叠加（合成）（1）同向同频谐振动叠加 其中：当 当 （2） 同向近频谐振动叠加拍：拍频：（1） 相干波叠加干涉现象相干条件：振动方向、频率、相位干涉加强减弱条件：相位差恒定当：时：加强当：时：减弱若：则 当 加强当减弱（2）驻波： 为波腹 为波节I=0 7-20 机械波形成的条件是什么？答：（1）波源（振源）；（2）弹性介质7-21 某一声波在空气中的波长为0.30 m，波速为。当它进入第二种介

10、质后，波长变为0.81 m。求它在第二种介质中的波速。已知： 求：解： 7-22 在同一种介质中传播着两列不同频率的简谐波，它们的波长是否可能相等？为什么？如果这两列波分别在两种介质中传播，它们的波长是否可能相等？为什么？答：同一种介质中传播着两列不同频率的简谐波，它们的波长不可能相等，因为： 而：（或）只取决介质的性质，所以：当时，。而这两列波分别在两种介质中传播时，它们的波长可能相等。（ ）7-23 已知平面简谐波的角频率为，振幅为，波长为，求波速u，并写出此波的波函数。已知：平面简谐波：；求：；并写出波函数解：波函数为： （其中为波源的初相角）7-24 一平面简谐波沿轴的负方向行进，其振

11、幅为1.00 cm，频率为550 Hz，波速为 ，求波长，并写出此波的波函数。已知：平面简谐波沿轴负方向行进：；求：；并写出波函数解： 因为波沿轴负方向行进，所以，波函数为：7-25 在平面简谐波传播的波线上有相距3.5 cm的A、B两点，B点的相位比A点落后45°。已知波速为，试求波的频率和波长。已知：；求：，解： 7-26 证明 可写成下列形式：；，以及证： 证毕7-27 波源作简谐振动，位移与时间的关系为 ，它所激发的波以 的速率沿一直线传播。求波的周期和波长，并写出波函数。解： 波函数为：7-28 为什么在振动过程中振动物体在平衡位置时动能最大，而势能为零；在最大位移处动能为

12、零。而势能最大？为什么在波动过程中参与波动的质点在振动时，却是在平衡位置动能和势能同时达到最大值，在最大位移处又同时为零？答：在振动系统中，总能量是恒定的（机械能守恒），振动过程中动能与势能相互转化，在平衡位置时，质点运动速度最大，所以动能最大。此时，势能为零，而在最大位移处，质点速度为零，所以动能为零，此时势能最大。 而在行波传播过程中，介质中给定质点的总能量不是常量（），它是随时间作周期性变化的变量，因为介质中所有参与波动的质点都在不断地接受来自波源的能量，又不断把能量释放出去。参与波动的质点在振动时，动能和势能是同步的。7-29 沿绳子行进的横波波函数为，式中长度的单位是cm，时间的单位

13、是s。试求：(1)波的振幅、频率、传播速率和波长；(2)绳上某质点的最大横向振动速率。已知：求：（1），；（2）解：（1） （2） 7-30 证明公式。证： 证毕7-31 用横波的波动方程和纵波的波动方程证明横波的波速和纵波的波速分别为和。证： 对于纵波波动方程： 得：同理，对于横波： 证毕7-32 在某温度下测得水中的声速为，求水的体变模量。已知：求：B解：7-33 频率为300 Hz、波速为的平面简谐声波在直径为16.0 cm的管道中传播，能流密度为。求：(1)平均能量密度；(2)最大能量密度；(3)两相邻同相位波面之间的总能量。已知：求：解： 7-34 P和Q是两个以相同相位、相同频率和

14、相同振幅在振动并处于同一介质中的相干波源，其频率为、波长为，P和Q相距。R为P、Q连线延长线上的任意一点，试求：(1)自P发出的波在R点引起的振动与自Q发出的波在R点引起的振动的相位差；(2)  R点的合振动的振幅。已知： 如图P、Q是两个相干波源，R为P、Q连线延长线上的任意一点求：（1） （2）R点的合振动的振幅解：设P点为坐标原点，P点波源振动为： 则：P点在R点产生的波为：同样得Q点在R产生的波为：（1）（2）7-35 弦线上的驻波相邻波节的距离为65 cm，弦的振动频率为，求波的传播速率和波长。已知：驻波相邻波节的距离为65cm，求：传播速率和波长解：7-36 在某一参考系中，波源和观察者都是静止的，但传播波的介质相对于参考系是运动的。假设发生了多普勒效应，问接收到的波长和频率如何变化？答：因为波源和观察者都是相对静止的，所以接受到的波长和频率都不变化，即不发生多普勒效应。7-37 火车汽笛的频率为，当火车以速率V通过车站上的静止观察者身边时，观察者所接收到的笛声频率的变化为多大？已知声速为u。答：火车远去时，观察者所接收到的笛声频率为：火车迎面驶来时，观察者所接收到的笛声频率为：观察者所接收到的笛声频率的变化为：7-38 道路交通管理条例中规定，在城市街道上