高数大一上册总复习

1、 总复习总复习 函数与极限函数与极限（一）（一）函数函数的定义的定义（二）（二）极限极限的概念的概念（三）（三）连续连续的概念的概念主要内容主要内容函函 数数的定义的定义反函数反函数隐函数隐函数反函数与直接反函数与直接函数之间关系函数之间关系基本初等函数基本初等函数复合函数复合函数初等函数初等函数函函 数数的性质的性质单值与多值单值与多值奇偶性奇偶性单调性单调性有界性有界性周期性周期性1、求定义域的常用方法：、求定义域的常用方法：1.分式的分式的分母分母不能为零。不能为零。(分母分母 0)2.在在偶次根式偶次根式中，中，被开方式被开方式 03.对数对数函数的函数的真数真数04.若干项若干项组成

2、的函数式，它的定义域是各组成的函数式，它的定义域是各项定义域的项定义域的交集交集部分部分。自变量的取值要使自变量的取值要使左右极限左右极限两个重要两个重要极限极限求极限的常用方法求极限的常用方法无穷小无穷小的性质的性质极限存在的极限存在的充要条件充要条件数列极限数列极限函函 数数 极极 限限axnn limAxfxx )(lim0Axfx )(lim等价无穷小等价无穷小及其性质及其性质无穷小无穷小0)(lim xf两者的两者的关系关系无穷大无穷大 )(limxf2、求极限的常用方法、求极限的常用方法（1）直接代入法）直接代入法（2）极限和函数交换顺序）极限和函数交换顺序（3）洛必达法则）洛必达

3、法则（4）两个重要极限）两个重要极限（5）等价无穷小代换）等价无穷小代换（6）其他不定型）其他不定型两个重要极限两个重要极限重要极限一重要极限一 : : 1sinlim0 xxx重要极限二重要极限二 ：1)()(sinlim0)( xxx exxx 101limexxx 11limexxx )()()(11lim exxx )(10)()(1 lim 1)1(（3 3）倒数关系）倒数关系)1()2( 00当当0 x时时 ,等价无穷小等价无穷小xxsinxxtanxex1- -xx)1ln( 22xcos1x- -利用等价无穷小可以简化某些极限的运算利用等价无穷小可以简化某些极限的运算 xarc

4、tanxarcsinxx使用洛必达法则求未定型的极限时，应注意以下几点：使用洛必达法则求未定型的极限时，应注意以下几点：.00)1(未未定定型型或或是是否否属属于于每每次次使使用用法法则则，需需检检查查 (2) 如果有可约去的公因子如果有可约去的公因子, 或有非零极限的乘积因子，或有非零极限的乘积因子，可以先约去或提取出来求极限，以简化演算可以先约去或提取出来求极限，以简化演算 .时时，不不存存在在但但不不是是 )()(lim)3()(0 xgxfxxx)()(lim)(0 xgxfxxx 不不能能判判定定此时应使用其它方法求极限此时应使用其它方法求极限.,也不存在也不存在n消去零因子法消去零

5、因子法 ( (通过约分、通过约分、 通过有理化通过有理化) )n无穷小因子分出法无穷小因子分出法n利用无穷小的性质利用无穷小的性质n复合函数极限运算法则复合函数极限运算法则n无穷小和无穷大之间的关系无穷小和无穷大之间的关系解解例例.321lim221- - - -xxxx求求.,1分分母母的的极极限限都都是是零零分分子子时时x.1后再求极限后再求极限因子因子先约去不为零的无穷小先约去不为零的无穷小- -x)1)(3()1)(1(lim321lim1221- - - - - - - -xxxxxxxxx31lim1 xxx.21 )00(型型n( (消去零因子法消去零因子法) ) 通过约分通过约

6、分例例 求求22011limxxx- 22220022111111limlim11xxxxxxxx-2022lim11xxxx201lim11xx12解：解：型型00n(消去零因子法消去零因子法) 通过有理化通过有理化小结小结: :为非负整数时有为非负整数时有和和当当nmba, 0, 000 - - - , 0,lim00110110mnmnmnbabxbxbaxaxannnmmmx当当当当当当无穷小分出法无穷小分出法: :以分母中自变量的最高次幂除分以分母中自变量的最高次幂除分子子, ,分母分母, ,以分出无穷小以分出无穷小, ,然后再求极限然后再求极限. .例例.147532lim2323

7、- - xxxxx求求解解.,分母的极限都是无穷大分母的极限都是无穷大分子分子时时 x)(型型 .,3再求极限再求极限分出无穷小分出无穷小去除分子分母去除分子分母先用先用x332323147532lim147532limxxxxxxxxxx- - - - .72 n(无穷小因子分出法无穷小因子分出法)小结小结常见极限类型求解方法：常见极限类型求解方法：型型 1型型01型型10型：型：00型：型： 0 0 分子、分母同时除以最高次方分子、分母同时除以最高次方消去分子或分母趋于零的因式消去分子或分母趋于零的因式0 型型0 -型型通分进行求解通分进行求解 连续与可导连续与可导1、连续与可导、连续与可

8、导的的某某个个邻邻域域内内有有定定义义，在在点点设设函函数数0)(xxf)()(lim00 xfxfxx=如果如果则称函数则称函数)(xfy=在在0 x 点点连续连续.)(0的的连连续续点点称称为为xfx【注【注】)()(lim00 xfxfxx - - , )()(lim00 xfxfxx 连续连续.)()(lim000hxfhxfh- - .)()(lim000 xxxfxfxx- - - xxfxxfxyyxxxx - - )()(limlim00000 或或 0|xxy )(0 xf 0 xxdxdy 或或0)(xxdxxdf 或或导数导数2.2.右导数右导数: :单侧导数单侧导数1.

9、1.左导数左导数: :;)()(lim)()(lim)(0000000 xxfxxfxxxfxfxfxxx - - - - - - - - - -;)()(lim)()(lim)(0000000 xxfxxfxxxfxfxfxxx - - - - - 2、间断点分类、间断点分类：（一）第一类间断点（一）第一类间断点(左、右极限均存在左、右极限均存在)但不相等但不相等;2.跳跃间断点跳跃间断点1.可去间断点可去间断点00+-均存在均存在与与,)(lim)(limxfxfxxxx存在存在 ,)(lim0 xfxx（二）第二类间断点（二）第二类间断点( 左、右极限至少有一个不存在左、右极限至少有一个

10、不存在 );()(lim00 xfxfxx 但但;)()(lim00处无定义处无定义在在存在，但存在，但或或xxfxfxx振荡间断点振荡间断点无穷型间断点、无穷型间断点、 导数与微分导数与微分求求 导导 法法 则则基本公式基本公式导导 数数xyx 0lim微微 分分xydy 关关 系系)( xodyydxydyydxdy 高阶导数高阶导数切线方程为切线方程为法线方程为法线方程为).)(000 xxxfyy- - - -).()(1000 xxxfyy- - - - - -)0)(0 xf0)(0 xf若若处处的的在在点点则则曲曲线线)(,()(00 xfxMxfy 切切线线方方程程为为法法线线

11、方方程程为为0 xx 0yy )(0 xf若若处处的的在在点点则则曲曲线线)(,()(00 xfxMxfy 切切线线方方程程为为法法线线方方程程为为0 xx 0yy 1 1、求导法则、求导法则(1) (1) 函数的和、差、积、商的求导法则函数的和、差、积、商的求导法则(2) (2) 反函数的求导法则反函数的求导法则.)(1)(),()(xxfxfyyx 则有则有的反函数为的反函数为如果函数如果函数(3) 复合函数的求导法则复合函数的求导法则).()()()()(),(xufxydxdududydxdyxfyxuufy 或或的导数为的导数为则复合函数则复合函数而而设设(4) 对数求导法对数求导法

12、先在方程两边取对数先在方程两边取对数,然后利用隐函数的求导方法然后利用隐函数的求导方法求出导数求出导数.适用范围适用范围:.)()(的情形的情形数数多个函数相乘和幂指函多个函数相乘和幂指函xvxu(5) 隐函数求导法则隐函数求导法则复合函数求导法则复合函数求导法则直接对方程两边求导和直接对方程两边求导和对数求导法则对数求导法则,)()(间的函数关系间的函数关系与与确定确定若参数方程若参数方程xytytx ;)()(ttdtdxdtdydxdy .)()()()()(322tttttdxyd - - (6) 参变量函数的求导法则参变量函数的求导法则2、导数与微分的关系、导数与微分的关系).(,)

13、()(000 xfAxxfxxf 且且处可导处可导在点在点可微的充要条件是函数可微的充要条件是函数在点在点函数函数3、 微分的求法微分的求法dxxfdy)( 求法求法:计算函数的导数计算函数的导数,乘以自变量的微分乘以自变量的微分. 函数和、差、积、商的微分法则函数和、差、积、商的微分法则2)()()()(vudvvduvududvvduuvdCduCuddvduvud- - 4、 微分的基本法则微分的基本法则基本初等函数的微分公式基本初等函数的微分公式xdxxxdxdxxxdxdxxdxdxxdxdxxdxdxxddxxxdCdcotcsc)(csctansec)(seccsc)(cotse

14、c)(tansin)(coscos)(sin)(0)(221- - - - - - - - dxxxarcddxxxddxxxddxxxddxxxddxaxxddxeedadxaadaxxxx222211)cot(11)(arctan11)(arccos11)(arcsin1)(lnln1)(log)(ln)( - - - - - - - 微分中值定理1、罗尔定理、罗尔定理 如果函数如果函数 )(xf满足条件：满足条件：（1）在闭区间）在闭区间 ,ba上上连续连续, （2）在开区间）在开区间 内内可导可导, ),( ba),()()3(bfaf ,),( 内内至至少少存存在在一一点点那那末末在

15、在ba使使得得0)( fxyabo)(xfy AB罗尔定理的几何解释：罗尔定理的几何解释：1 2 C;,)()1(上上是是一一条条连连续续曲曲线线在在baxfy ;),()2(轴轴的的切切线线内内处处处处有有不不垂垂直直于于曲曲线线在在xba;)3(度度相相同同曲曲线线在在两两个个端端点点处处的的高高.是是水水平平的的，上上至至少少有有一一点点在在曲曲线线弧弧CAB在在该该点点处处的的切切线线如图所示如图所示:2、拉格朗日中值定理、拉格朗日中值定理)()()(abfafbf- - - - 如果函数如果函数 )(xf满足条件：满足条件：（1）在闭区间）在闭区间 ,ba上上连续连续, （2）在开区

16、间）在开区间 内内可导可导, ),( ba那末至少有一点那末至少有一点),(ba 使得使得).()()( fabafbf - - -或或拉格朗日中值定理拉格朗日中值定理几何解释几何解释:.,ABCAB平平行行于于弦弦在在该该点点处处的的切切线线上上至至少少有有一一点点在在曲曲线线弧弧ABxoy)(xfy ba1 2 1C 2C 例例上上满满足足在在区区间间验验证证函函数数 2, 0cos)( xxf拉格拉格 朗日中值定理朗日中值定理.解解 ,2, 0cos)(上上连连续续在在区区间间因因为为函函数数 xxf内内可可导导，在在)2,0( 满满足足拉拉格格朗朗日日中中值值定定理理故故)(xf.的条

17、件的条件xxfsin)(- - 而而02)0()2(- - - ff)0cos2(cos2- - 2- - ，由由 2sin- - - - 2arcsin 解得解得)2, 0( )()()( fabafbf - - -. 并求并求函数的单调性、最值和极值、凸凹性1、函数的单调性、函数的单调性定理定理.,)(0)(),(2,)(0)(),(1.),(,)(00上单调减少上单调减少在在，那末函数，那末函数内内如果在如果在上单调增加；上单调增加；在在，那末函数，那末函数内内如果在如果在可导可导内内上连续，在上连续，在在在设函数设函数baxfyxfbabaxfyxfbababaxfy (1) 函数单调

18、性的判定法函数单调性的判定法(2)单调区间求法单调区间求法导数等于零导数等于零的点和的点和不可导点不可导点，可能是单调区间，可能是单调区间的的分界点分界点方法方法:.,)()(0)(数的符号数的符号然后判断区间内导然后判断区间内导的定义区间的定义区间来划分函数来划分函数不存在的点不存在的点的根及的根及用方程用方程xfxfxf 指出：利用函数单调性的判定可以指出：利用函数单调性的判定可以证明某些不等式证明某些不等式. .例例证证.tan,20 xxx 试证试证时时当当 .tan)(xxxf- - 设设,2,0)(连连续续在在显显然然 xf内内可可导导，在在 2,0 1sec2- -x )(xfx

19、2tan 0 .2,0)(上上单单调调增增加加在在故故 xf,20时时当当 x)0()(fxf 0 .tanxx 时时，当当即即20 x2、函数极值的求法、函数极值的求法定理定理1 1( (必要条件必要条件) )注意注意：逆定理不成立逆定理不成立. .例如例如0)0(03 yxxy处处在在.03的的极极值值点点不不是是函函数数但但xyx o3xy 说明：说明： 对于连续函数对于连续函数,导数不存在的点也可能是函数导数不存在的点也可能是函数yxo| xy 例如，例如，.0|处处有有极极小小值值在在函函数数 xxy.0处处不不可可导导但但在在 x称称为为的的点点使使00)(xxf .驻点驻点函数在

20、定义域中的驻点及不可导点统称为函数在定义域中的驻点及不可导点统称为 极值可疑点极值可疑点.指出：指出： 连续函数仅在极值可疑点上可能取得极值连续函数仅在极值可疑点上可能取得极值.的极值点的极值点. 定理定理2(2(第一充分条件第一充分条件) )xyoxyo0 x0 x - - - ( (是极值点情形是极值点情形) )xyoxyo0 x0 x - - - (不是极值点情形不是极值点情形)求极值的步骤求极值的步骤: :);()()1(xfxf 的的定定义义域域，求求导导数数确确定定函函数数的的极极值值可可疑疑点点；求求出出函函数数)()2(xf极极值值，在在极极值值可可疑疑点点处处是是否否有有，确

21、确定定按按定定理理)(2)4(xf分分成成若若干干个个部部分分区区间间，用用极极值值可可疑疑点点将将定定义义域域）（3号号；在在每每个个部部分分区区间间上上的的符符并并确确定定)(xf 定理定理3(3(第二充分条件第二充分条件) )求极值的步骤求极值的步骤: :);()1(xf 求导数求导数;0)()2(的根的根求驻点，即方程求驻点，即方程 xf;,)()()3(判断极值点判断极值点该点的符号该点的符号在在在驻点左右的正负号或在驻点左右的正负号或检查检查xfxf .)4(求极值求极值步骤步骤:1.求驻点和不可导点求驻点和不可导点;2.求区间端点及驻点和不可导点的函数值求区间端点及驻点和不可导点

22、的函数值,比比较大小较大小,那个大那个就是最大值那个大那个就是最大值,那个小那个就那个小那个就是最小值是最小值;注意注意:如果区间内只有一个极值如果区间内只有一个极值,则这个极值就则这个极值就是最值是最值.(最大值或最小值最大值或最小值)3 最大值、最小值问题最大值、最小值问题实际问题求最值应注意实际问题求最值应注意:1)建立目标函数建立目标函数;2)求最值求最值;（或最小）值（或最小）值函数值即为所求的最大函数值即为所求的最大点，则该点的点，则该点的若目标函数只有唯一驻若目标函数只有唯一驻定理定理1 1;,)(, 0)()2(;,)(, 0)()1(),(,),(,)(上的图形是凸的上的图形

23、是凸的在在则则上的图形是凹的上的图形是凹的在在则则内内若在若在导数导数内具有二阶内具有二阶在在上连续上连续在在如果如果baxfxfbaxfxfbababaxf 4、函数的凸凹性、函数的凸凹性方法方法1:, 0)(,)(00 xfxxf且且的邻域内二阶可导的邻域内二阶可导在在设函数设函数;)(,(,)()1(000即为拐点即为拐点点点变号变号两近旁两近旁xfxxfx .)(,(,)()2(000不是拐点不是拐点点点不变号不变号两近旁两近旁xfxxfx 方法方法2:.)()(,(, 0)(, 0)(,)(00000的拐点的拐点曲线曲线是是那末那末而而且且的邻域内三阶可导的邻域内三阶可导在在设函数设

24、函数xfyxfxxfxfxxf 不定积分积分法积分法原原 函函 数数选选择择u u有有效效方方法法基基本本积积分分表表第一换元法第一换元法 第二换元法第二换元法直接直接积分法积分法分部分部积分法积分法不不 定定 积积 分分几种特殊类型几种特殊类型函数的积分函数的积分1、原函数、原函数定义定义原函数存在定理原函数存在定理2、不定积分、不定积分(1) 定义定义CxFdxxf )()(2) 微分运算与求不定积分的运算是微分运算与求不定积分的运算是的的. )()(xfdxxfdxd dxxfdxxfd)()( CxFdxxF)()( CxFxdF)()( dxxgxf)()(10 dxxgdxxf)(

25、)( dxxkf)(20 dxxfk)(（k是是常常数数，)0 k(3) 不定积分的性质不定积分的性质(4)、基本积分表、基本积分表 kCkxkdx()1(是常数是常数)1(1)2(1- - Cxdxx Cxxdxln)3( dxx211)4(Carctgx - - dxx211)5(Cx arcsin xdxcos)6(Cx sin xdxsin)7(Cx - -cos dxex)10(Cex xdx2cos)8( xdx2secCtgx xdx2sin)9( xdx2cscCctgx - - dxax)11(Caax lnCaxarctgadxxa 11)12(22Cxaxaadxxa -

26、 - - - ln211)14(22Caxdxxa - - arcsin1)15(22Caxaxadxax - - - - ln211)13(224、第一类换元法、第一类换元法3、直接积分法、直接积分法由定义直接利用基本积分表与积分的性质求不由定义直接利用基本积分表与积分的性质求不定积分的方法定积分的方法.常见凑微分公式常见凑微分公式 ：(2) xdxdxcossin- - (3) xdxdxsincos (5) |ln1xddxx (6) )(1baxdadx (1) )(212baxdaxdx )(d11bxndxxnn - -(4) xxdsec)7(2xdtan例例. 求求.dtan

27、xx解解: xxxdcossin - - xxcoscosdCx - - |cos|ln?dcot xx xxxsindcosCx sinln xxsinsind xxdtan类似类似.)12(: dxxtan求求思考思考5、第二类换元法、第二类换元法. 1nbax 被积函数含有根式被积函数含有根式nux 可采用令可采用令当被积函数含有两种或两种以上根式当被积函数含有两种或两种以上根式 时，时，. 2lkxx,为各根指数的最小公倍数）为各根指数的最小公倍数） （其中（其中n2222. 3axxa - -或或被积函数含有根式被积函数含有根式.1. 4tx 采用倒代法，令采用倒代法，令当分母的阶较

28、高时，可当分母的阶较高时，可不定积分的分部积分公式：不定积分的分部积分公式：uvvuvudd - - 1. 适用被积函数为：适用被积函数为：两类函数相乘两类函数相乘；6、分部积分法、分部积分法2. “(反对反对)幂幂(指三指三)” ，前为，前为 u定积分定积分说明：说明： badxxf)( badttf)( baduuf)(即即2. 规定规定 - - baabdxxfdxxf.)()()1( aadxxf0)()2(3. 可积的充分条件可积的充分条件：,)(. 1 badxxf是一个数是一个数定积分定积分它只取决于积分区间它只取决于积分区间和被积函数，和被积函数， 而与积分变量用什么字母表示无关而与积分变量用什么字母表示无关.上上连连续续在在当当,)(baxf断点，断点，或只有有限个第一类间或只有有限个第一类间 如果如果 f (x) 在在a,b上连续，则上连续，则积分上限函数积分上限函数 dttfxxa )()(在在a,b上具有导数，且它的导数上具有导数，且它的导数 dttfxxa)()()(xf 1