周衍柏《理论力学教程(第三版)》电子教案 第一章1-3质点力学.

1、第一章第一章 质点力学质点力学质点运动学质点动力学质点运动学质点动力学研究物体运动的几何性质运动学所涉及的研究内容包括：运动学所涉及的研究内容包括：1 1、建立物体的运动方程、建立物体的运动方程2 2、分析运动的速度、加速度、角速度、角、分析运动的速度、加速度、角速度、角加速度等加速度等3 3、研究运动的分解与合成规律、研究运动的分解与合成规律运动学的主要内容运动学的主要内容质点运动学导读质点运动学导读 质点、参照系、坐标系、质点位矢质点、参照系、坐标系、质点位矢 运动学方程、轨道运动学方程、轨道 位移、速度、加速度位移、速度、加速度 自然坐标系，切向、法向加速度自然坐标系，切向、法向加速度

2、相对运动相对运动, 绝对绝对(加加)速度、相对速度、相对(加加)速速度、牵连度、牵连(加加)速度速度.1 1 质点质点具有一定质量的几何点具有一定质量的几何点自由质点自由质点：可以在空间自由移动的质点可以在空间自由移动的质点. . 确确定它在空间的位置需要三个独立变量定它在空间的位置需要三个独立变量. .2 2 参考系参考系 坐标系坐标系参考系：参考系：为描述物体的运动而选取的参考物体为描述物体的运动而选取的参考物体用以标定物体的空间位置而设置的坐用以标定物体的空间位置而设置的坐标系统标系统坐标系：坐标系：1.1 1.1 运动的描述运动的描述3 3 位置矢量与运动方程位置矢量与运动方程位置矢量

3、（位矢）位置矢量（位矢）从坐标原点o出发，指向质点所在位置P的一有向线段位矢用坐标值表示为位矢用坐标值表示为：k zj yi xr位矢的大小为：位矢的大小为：222zyxr位矢的方向：位矢的方向：coscoscosxyzrrrP(x,y,z)rzyxOktzjtyitxr)()()(运动方程运动方程参数形式参数形式)()()(tzztyytxx轨道方程轨道方程0),(zyxF4 4 位移位移设质点作曲线运动设质点作曲线运动t时刻位于时刻位于A点，位矢点，位矢t+ t时刻位于时刻位于B点，位矢点，位矢ArBr 在在 t时间内，位矢的变化量（即时间内，位矢的变化量（即A到到B的有向线段）称为的有向

4、线段）称为位移位移。zyxoBA5 5 速度速度速度是反映质点运动的快慢和方向的物理量速度是反映质点运动的快慢和方向的物理量单位时间内质点所发生的位移单位时间内质点所发生的位移(1)(1)平均速度平均速度BAozyx(2) (2) 瞬时速度瞬时速度10limsmdtrdtrvt速度的方向为轨道上质点所在处的切线方向。速度的方向为轨道上质点所在处的切线方向。kvjvivvzyx222zyxvvvvv(3) (3) 速率速率一般情况：一般情况：当当 t0时：时： srBA6 6 加速度加速度加速度是反映速度变化的物理量加速度是反映速度变化的物理量xozy1v2v1v2vvkdtdvjdtdvidt

5、dvdtvdazyxkajaiazyxkdtzdjdtydidtxd222222222zyxaaaa1.2 1.2 速度、加速度的分量表示式速度、加速度的分量表示式1 直角坐标系直角坐标系kzj yi xrkzj yi xdtrdvkzj yi xdtvda 1、已知运动方程，求质点任意时刻的位置、速、已知运动方程，求质点任意时刻的位置、速度以及加速度度以及加速度2、已知运动质点的速度函数（或加速度函数）、已知运动质点的速度函数（或加速度函数）以及初始条件求质点的运动方程、轨道方程以及初始条件求质点的运动方程、轨道方程 已知质点的运动方程已知质点的运动方程jti tr221921 1）轨道方程

6、；（）轨道方程；（2 2）t=2t=2秒时质点的位置、速度以秒时质点的位置、速度以及加速度；（及加速度；（3 3）什么时候位矢恰好与速度矢垂直？）什么时候位矢恰好与速度矢垂直？（1）消去时间参数消去时间参数（2）方向沿方向沿y轴的负方向轴的负方向（3）两矢量垂直两矢量垂直例例2 2 路灯距地面高度为路灯距地面高度为h，身高为，身高为l 的人以速度的人以速度v0 0在在路上匀速行走。求：（路上匀速行走。求：（1 1）人影头部的移动速度；）人影头部的移动速度；（2 2）影长增长的速率。）影长增长的速率。Ox2xx1hl （1）hxlxx21212)(hxxlh两边求导：两边求导：txhtxlhdd

7、dd)(12012,vvtxtxdddd其中：lhh0vv（2）令令 为影长为影长12xxb2xhlb txhltbdddd2 v以以 代入代入lhhtx02ddv得得lhl0vv 例例3 3、设椭圆规尺、设椭圆规尺ABAB的端点的端点A A和和B B沿直线导槽沿直线导槽O Ox x及及O Oy y滑滑动，而动，而B B以匀速度以匀速度c c运动。求尺规上运动。求尺规上M M点的轨道方程，速点的轨道方程，速度及加速度。设度及加速度。设 MAMAa， MBMBb b，角，角OBAOBA为为 OAxByyMxba由图知，由图知，M点的坐标为点的坐标为cos,sinaybx 消去消去 ，得轨道方程，

8、得轨道方程12222aybx速度分量为速度分量为sin ,cosaybx因因B点坐标为点坐标为cos)(, 011bayx cbayvBsin)(1sin1bac故故M点速度分量点速度分量 baacybabcx,ctg故故M点加速度分量点加速度分量0csccsc2243222yxbacbbabcbabcx 1- - 3 例例4、当猴子从最高点自由下落时，射手当猴子从最高点自由下落时，射手瞄准射击，问能否击中目标？瞄准射击，问能否击中目标？分析：猴子和子弹都有重力加速度分析：猴子和子弹都有重力加速度. 可以用二维空间描述位置可以用二维空间描述位置.解解: 取枪口作参照点取枪口作参照点,猴子初始猴

9、子初始位矢位矢r0, 子弹初速度为子弹初速度为v0. 则则时刻时刻t猴子和子弹的位矢为猴子和子弹的位矢为22110022, cbtttggrrrv击中的条件击中的条件tbc00vr ,rrdh0r0v0odh0r0v0o222200200 0c02, 10g hddhvh vthhtbc00vr ,rr这说明只要开始瞄准就可以打这说明只要开始瞄准就可以打上猴子上猴子. 但是但是有没有限制条件有没有限制条件?分析击中需要的时间和击中时的竖直位置分析击中需要的时间和击中时的竖直位置显然只有显然只有0220220hdhgv 时才可能击中时才可能击中2 极坐标系极坐标系极坐标系：空间极坐标系：空间p的

10、位置（的位置（r， ）irrocrpijv极轴极轴当当p沿着曲线运动，速度沿轨道沿着曲线运动，速度沿轨道的切线的切线. 沿矢径方向沿矢径方向 iiirvrrrttdddd当当d 趋向趋向0时时, i, i, di 组成的等腰组成的等腰三角形两个底角接近直角三角形两个底角接近直角, 所以所以jji,id dddddj,i ocr1pij极轴r2Qiijjdidjddd从而从而ijjjiittttddddddddddddjivrr i r jr 为径向速度为径向速度, 为横向速度为横向速度dOQPjjiiii dd jivartrttdddddd ijjjjjjjiiii2dddddddddddd

11、dd rrrtrtrtrrtrrtrtrrt加速度加速度jijia 2rtrrrrrrrdd1222jivrr i r jr 为径向速度为径向速度, 为横向速度为横向速度 jivartrttdddddd2 rrar 2rtrrrdd12a小结：小结： 在质点的运动轨迹上，任在质点的运动轨迹上，任 取一点取一点O作为坐标的作为坐标的原点。从原点原点。从原点O到轨迹曲线上任意一点到轨迹曲线上任意一点P的弧长定义的弧长定义为为P点的坐标点的坐标 s 。3 3 自然坐标中的速度和加速度自然坐标中的速度和加速度sOP切向坐标轴沿质点前进方向的切向为正，单位矢量为切向坐标轴沿质点前进方向的切向为正，单位矢

12、量为法向坐标轴沿轨迹的法向凹侧为正，单位矢量为法向坐标轴沿轨迹的法向凹侧为正，单位矢量为n 坐标轴的方向分别取切线和法线两正交方向。坐标轴的方向分别取切线和法线两正交方向。自然坐标之差自然坐标之差enesOPQ sneetstddddrvtsvdd加速度：加速度：PQvv svvvnvvnvvv一质点沿半径为一质点沿半径为R的圆周运动，其路程的圆周运动，其路程s随时随时间间t的变化规律为的变化规律为 ，式中，式中b，c为大于零的为大于零的常数，且常数，且 。求（。求（1）质点的切向加速度和法向）质点的切向加速度和法向加速度。（加速度。（2）经过多长时间，切向加速度等于法向加）经过多长时间，切向

13、加速度等于法向加速度。速度。221ctbtsRcb 2ctbdtdsvcdtdvaRctbRvan22)( naa cRcbtxyy S vPSx OO rr0rrrr01.3 1.3 平动参照系平动参照系（相对运动）相对运动）(b) 车做匀速直线运动时，车做匀速直线运动时，地面上的人观察到石子做地面上的人观察到石子做抛物线运动。抛物线运动。vv(a) 车做匀速运动时车上车做匀速运动时车上的人观察到石子做直线的人观察到石子做直线运动。运动。vvvyxxySSr0rrrrr0trtrtrdddddd0两边求导两边求导trddv物体相对与物体相对与 系的速度系的速度Strdd00v 系相对与系相对

14、与 系的速度系的速度SStrdd v相对速度：相对速度：物体相对与物体相对与 系的速度系的速度Sdtrddtrddtrd0vuvdtvddtuddtvdaaa0 xbaxabvvvxyy S vPSx OO rr0r 某人骑自行车以速率某人骑自行车以速率v v向东行驶。今有风以向东行驶。今有风以同样的速率由北偏西同样的速率由北偏西3030方向吹来。问：人感到风是方向吹来。问：人感到风是从那个方向吹来？从那个方向吹来？0vvv0vvv例例7 7 求抛体轨道顶点的曲率半径求抛体轨道顶点的曲率半径gnammnyxvav8coscos22020g解解: 在抛物线的顶端在抛物线的顶端处处, 速度只有水平

15、分速度只有水平分量量v0cos , 加速度加速度g是是沿法向的沿法向的. 所以所以曲率半径为曲率半径为式中式中xm和和ym分别是射程和射高分别是射程和射高.cos0v0vg例例8 8 已知：小船已知：小船M M看成质点，被水冲走，用绳拉回看成质点，被水冲走，用绳拉回A A点。点。设水流速度设水流速度c c1 1，拉回速度，拉回速度c c2 2。求：小船的轨迹。求：小船的轨迹)90cos(01cdtdrdccrdrcsc12径向横向解微分方程：两式相除2cdtdr分析：注意分析：注意c1、 c2都是绝对速度都是绝对速度解：解：采用极坐标采用极坐标1c1cA2cMr积分：ctgccr2lnln12

16、212 ，kcc000，rrt00kkctgtgrr令：设初始条件：得轨道方程： 例例9 9 当人站在岸上以速度当人站在岸上以速度v v匀速拉动河中小船时，匀速拉动河中小船时，求小船的运动速度和加速度求小船的运动速度和加速度vhLxuX222hlx22hlxi vhllu22ixhvdtuda322idtdllhlidtdxu2)(212122解：1 直角坐标系直角坐标系kzj yi xrkzj yi xdtrdvkzj yi xdtvda 小小 结结 质点、参照系、坐标系、质点位矢质点、参照系、坐标系、质点位矢 运动学方程、轨道运动学方程、轨道 位移、速度、加速度位移、速度、加速度jivrr i r jr 为径向