信号与系统第3章-new

1、 第第3章章 离散傅里叶变换离散傅里叶变换2主要内容:p离散傅里叶级数（离散傅里叶级数（DFSDFS）p离散傅里叶变换（离散傅里叶变换（DFTDFT）p抽样抽样z z变换变换频域抽样理论频域抽样理论33.2 傅里叶变换的几种形式傅里叶变换的几种形式 傅里叶变换是建立以傅里叶变换是建立以时间时间t 为自变量的为自变量的“信号信号”与以与以频率频率f 为自变量的为自变量的“频率函数频率函数”（频谱）之间（频谱）之间 的某种变换关系的某种变换关系 。时间时间t频率频率f连续连续 离散离散 连续连续 离散离散 四种不同形式四种不同形式 4四种形式的傅里叶变换四种形式的傅里叶变换（一）针对连续信号（一）

2、针对连续信号 （1）非周期信号非周期信号的傅里叶变换（的傅里叶变换（FT） （2）周期信号周期信号的傅里叶级数（的傅里叶级数（FS）（二）针对离散信号（二）针对离散信号 （3）非周期信号非周期信号的序列的傅里叶变换（的序列的傅里叶变换（DTFT） （4）周期信号周期信号的离散傅里叶级数（的离散傅里叶级数（DFSDFT）5一一、非周期信号的傅里叶变换（、非周期信号的傅里叶变换（FT） dtetxjXtj)()( dejXtxtj)(21)( )( jX时域连续函数造成频域是非周期的谱，时域连续函数造成频域是非周期的谱，时域的非周期造成频域是连续的谱。时域的非周期造成频域是连续的谱。 6二、周期信

3、号的傅里叶级数（二、周期信号的傅里叶级数（FS）TF 220 k 22001/)()(ppTTtjkpdtetxTjkX ktjkejkXtx00)()(时域的连续函数造成频域是非周期的频谱函数，时域的连续函数造成频域是非周期的频谱函数，频域的离散频谱就与时域的周期时间函数相对应。频域的离散频谱就与时域的周期时间函数相对应。 t0k8三、三、非周期信号的非周期信号的序列的傅里叶变换序列的傅里叶变换(DTFT) nnjjenxeX )()( deeXnxnjj)(21)(时域时域频域频域FT连续连续，非周期非周期非周期非周期，连续连续FS连续连续，周期，周期非周期非周期，离散，离散DTFT离散，

4、离散，非周期非周期周期，周期，连续连续三种傅里叶变换的比较：三种傅里叶变换的比较：9 上面讨论的三种傅里叶变换对，都不适用在计上面讨论的三种傅里叶变换对，都不适用在计算机上运算。我们算机上运算。我们感兴趣的是时域及频域都是离散感兴趣的是时域及频域都是离散的情况的情况，这就是离散傅里叶级数（变换）。，这就是离散傅里叶级数（变换）。 根据以上讨论：根据以上讨论： 时域：离散时域：离散 频谱：周期频谱：周期 频域：离散频域：离散 时域：周期时域：周期 因此，因此，DFS必是一种必是一种时域、频谱均为时域、频谱均为离散离散和和周周期期的一种傅里叶变换。的一种傅里叶变换。四、离散傅里叶级数（四、离散傅里

5、叶级数（DFSDFT） 10 四种形式的傅里叶变换对示意图四种形式的傅里叶变换对示意图 113.3 离散傅里叶级数（离散傅里叶级数（DFS）一、一、 DFS的定义的定义 设设 为周期为为周期为N的周期序列，则其离散傅里的周期序列，则其离散傅里叶级数（叶级数（DFS）变换对为）变换对为:)(nx 10102)()()()(NnnkNNnnkNjWnxenxnxDFSkX 10102)(1)(1)()(NknkNNknkNjWkXNekXNkXIDFSnxNjNeW 2 旋转因子旋转因子12一个周期为一个周期为N的周期序列的周期序列可表示为：可表示为：离散周期序列也用离散傅里叶级数表示离散周期序列

6、也用离散傅里叶级数表示，也就是，也就是用周期为用周期为N的复指数序列来表示。的复指数序列来表示。 周期为周期为N的复指数序列的的复指数序列的基频序列基频序列为为 k次谐波次谐波为：为：其其k次谐波也是周期为次谐波也是周期为N的序列：的序列：nNjnjeene)2(10)( knNjkene 2)(knNjnNkNjNkkeenene 2)(2)()()()(kNnxnx k为任意整数为任意整数)(nxtjnnneAtx0)( tje0 基波基波13 离散傅里叶级数，只取下标从离散傅里叶级数，只取下标从0到到N-1的的N个谐波分量个谐波分量就足以表示原来的信号。就足以表示原来的信号。 为为k次谐

7、波的系数。次谐波的系数。 将上式两边同乘将上式两边同乘 ，并从，并从n=0到到N-1求和，得求和，得到：到： 10)2()(1)(NknkNjekXNnx )(kXrnNje 2 1010)(210)2()(1)(NnNkrknNjNnrnNjekXNenx 1010)(21)(NkNnrknNjeNkX ( )( )X rX k为求解这个系数要利用以下性质，即为求解这个系数要利用以下性质，即 其其它它为为整整数数, 0, 1110)2(mmNreNNnrnNj 14 由此得到周期序列的离散傅里叶级数表达式由此得到周期序列的离散傅里叶级数表达式 令令 ，则得到周期序列的离散傅里叶级数，则得到周

8、期序列的离散傅里叶级数（DFS）变换对）变换对 kenxkXNnnkNj102)()( nekXNnxNknkNj102)(1)( 10)()()(NnnkNWnxnxDFSkX 10)(1)()(NknkNWkXNkXIDFSnxNjNeW/2 正变换正变换反变换反变换152 2、移位特性、移位特性2 ()( )( )jmkmkNNDFS x nmWX keX k10 ()()NnkNnDFS x nmx nm W证：1()( )Nmk i mNimx i W inm令10( )( )NmkkimkNNNiWx i WWX k1 1、线性、线性二、二、DFS的性质的性质163 3、周期卷积、

9、周期卷积1210( )()Nmx m x nm12( )( )( )Y kX kXk若若1120( ) ( )( )()Nmy nIDFS Y kx m x nm则则讨论讨论: : 周期卷积与线性卷积周期卷积与线性卷积的区别在于：周期卷积求和的区别在于：周期卷积求和只在一周期内进行。只在一周期内进行。( (注意周期信号的线性卷积不存在注意周期信号的线性卷积不存在) )式中的卷积称为式中的卷积称为周期卷积周期卷积1712( )( )( )y nIDFS X kXk证： 11201( )( )NknNkX k Xk WN1112001( )( )NNmkknNNkmx m WXk WN 11()1

10、2001( )( )NNn m kNmkx mXk WN1120( )()Nmx m x nm18142512( )( ) ( )(1)( )6( )( )x nR nxnnR nx nxn例：已知序列，分别将序列以周期为 周期延拓成周期序列和，求两个周期序列的周期卷积和。1120( )( )()Nmy nx m x nm解： 5120( )()mx m x nm1920213.3 离散傅里叶变换离散傅里叶变换DFTp在进行在进行DFSDFS分析时，时域、频域序列都是无限分析时，时域、频域序列都是无限长的周期序列长的周期序列p周期序列实际上只有有限个序列值有意义周期序列实际上只有有限个序列值有

11、意义p长度为长度为N N的有限长序列可以看成周期为的有限长序列可以看成周期为N N的周期的周期序列的一个周期（主值序列）序列的一个周期（主值序列）p借助借助DFSDFS变换对，取时域、频域的主值序列可变换对，取时域、频域的主值序列可以得到一个新的变换以得到一个新的变换DFTDFT，即，即有限长序列的有限长序列的离散傅里叶变换离散傅里叶变换22 其其它它, 010),()(Nnnxnx)()()(nRnxnxN 或或 rrNnxnx)()(n=0到到N-1的范围称为的范围称为主值区间主值区间。上述两式可分别表示为上述两式可分别表示为 )()()()()(nRnxnxnxnxNN )(nx的第一个

12、周期，即的第一个周期，即n=0到到N-1的序列称为的序列称为主值序列主值序列，有限长序列和周期序列的关系有限长序列和周期序列的关系 符号符号(n)N表示表示n对对N取余数取余数，或，或n对对N取模值取模值。23例如例如， 是周期为是周期为N8的序列，求的序列，求n=19和和n=-2两两数对数对N的余数。的余数。因为因为)(nx82319 n3198 )(8162 )(n6)2(8)3()19()19(8xx)6()2()2(8xx因此因此 m为整数为整数 mNnn1101Nn24 同理，可以认为周期序列同理，可以认为周期序列 的的DFS系数系数 是有限长序列是有限长序列X(k)周期延拓的结果，

13、而周期延拓的结果，而 X(k)是是 的主值序列。的主值序列。 即即 )(nx)(kX)(kX)()()()()(kRkXkXkXkXNN 252.有限长序列的离散傅里叶变换有限长序列的离散傅里叶变换 从从DFS和和IDFS的定义可以看出，求和运算只限定在的定义可以看出，求和运算只限定在0到到N-1的的主值区间主值区间内进行，因而完全适用于主值序列内进行，因而完全适用于主值序列x(n) 与与X(k) 。因此我们得到一个新的定义，这就是有限长序列的离。因此我们得到一个新的定义，这就是有限长序列的离散傅里叶变换定义：散傅里叶变换定义：注意：注意： 在离散傅里叶变换关系中，在离散傅里叶变换关系中，有限

14、长序列有限长序列都作为周期序列都作为周期序列的一个周期来表示，的一个周期来表示，都隐含有都隐含有周期性周期性意义意义。 10102)()()(NnnkNNnnkNjWnxenxkX 10102)(1)(1)(NknkNNknkNjWkXNekXNnx26在一般情况下，在一般情况下，X(k)是一个复量，可表示为是一个复量，可表示为或或例例3.2 求有限长序列的求有限长序列的DFT，其中，其中a=0.8，N=8。 )()()(kjXkXkXIR )()()(kjekXkX 其其它它,010,)(Nnanxn70,11)()()(7048827082708 kaeaaeeaWnxkXnkjnkjnn

15、kjnnnk 解解 X(0)=4.16114 X(1)=0.71063-j0.92558 X(2)=0.50746-j0.40597 X(3)=0.47017-j0.16987X(4)=0.46235 X(5)= 0.47017+j0.16987 X(6)=0.50746+j0.40597 X(7)=0.71063+j0.92558 27二、二、DFT和和Z变换的关系变换的关系可见，可见，X(k)是是Z变换在单位圆变换在单位圆上的上的N点等间隔采样值。点等间隔采样值。 进行进行对比对比kNWzzXkX )()( 10)()()(NnnznxnxZTzX10)()()(10 NkWnxnxDFT

16、kXNnnkN28DFT与序列傅里叶变换的关系与序列傅里叶变换的关系 X(k)是序列傅里叶变换是序列傅里叶变换 在区间在区间0,2上的等间隔上的等间隔采样值。采样值。 当当N足够大时，足够大时， 的包络可逼近的包络可逼近 曲线。曲线。kNjeXkX 2| )()( )( jeX进行进行对比对比 10)()()(NnnjjenxnxDTFTeX 10)()()(10 NkWnxnxDFTkXNnnkN| )(|kX| )(| jeX29注意：关于离散傅里叶变换注意：关于离散傅里叶变换(DFT)(DFT) 1）序列序列x(n)在时域是有限长的（长度为在时域是有限长的（长度为N），它的离散），它的离

17、散傅里叶变换傅里叶变换X(k)也是离散、有限长的（长度也为也是离散、有限长的（长度也为N）。）。n为时域变量，为时域变量，k为频域变量。为频域变量。 2）离散傅里叶变换与离散傅里叶级数没有本质区别离散傅里叶变换与离散傅里叶级数没有本质区别，DFT实际上是离散傅里叶级数的主值，实际上是离散傅里叶级数的主值，DFT隐含有周期性。隐含有周期性。 3）离散傅里叶变换（离散傅里叶变换（DFT）具有唯一性）具有唯一性。 4)4)DFTDFT的物理意义：序列的物理意义：序列x(n)x(n)的的Z Z变换在单位圆上的等角变换在单位圆上的等角距取样。距取样。301 1、线性、线性, a b为任意常数这里，序列长

18、度及这里，序列长度及DFT点数均为点数均为N若不等，分别为若不等，分别为N1，N2，则需补零使两序列长度，则需补零使两序列长度相等，均为相等，均为N，且，且12max,NN N11( ) ( )X kDFT x n22( )( )XkDFT x n若若1212( )( )( )( )DFT ax nbx naX kbXk则则三、三、DFTDFT的性质的性质312圆周移位性质圆周移位性质（1）序列的圆周移位）序列的圆周移位 一个长度为一个长度为N的序列的序列x(n)的的圆周圆周(循环循环)移位移位定义为定义为循环移位分循环移位分3步计算：步计算：（1）将）将 延拓延拓成周期为成周期为N的周期序列

19、的周期序列 ； （2）将）将 移位移位得得 或或（3）对）对 取主值取主值得得)()()(nRmnxnyNN )(nx)(nx)(nx)(mnx Nmnx)( Nmnx)( )()(nRmnxNN q从图中两虚线之间的从图中两虚线之间的主值序列的移位情况可主值序列的移位情况可以看出：以看出：q当主值序列左移当主值序列左移m m个个样本时，从右边会同时样本时，从右边会同时移进移进m m个样本个样本q好像是刚向左边移出好像是刚向左边移出的那些样本又从右边循的那些样本又从右边循环移了进来环移了进来q因此取名因此取名“循环移循环移位位”。q显然，循环移位不同显然，循环移位不同于线性移位于线性移位 33

20、 （2）时域循环移位定理）时域循环移位定理 （3）频域循环移位定理）频域循环移位定理 若若则则)()()()(kXWnRmnxDFTkYmkNNN )()()(kRlkXkYNN )()()()(2nxenxWkRlkXIDFTnlNjnlNNN 34 3圆周卷积圆周卷积 设设 ，则，则 由上式表示的卷积称为由上式表示的卷积称为圆周卷积圆周卷积或或循环卷积循环卷积。 计算过程分计算过程分5步：步： （1）周期延拓周期延拓 （2）折叠）折叠 （3）移位）移位和和取主值取主值 （4）相乘）相乘 （5）相加）相加)()()(21kXkXkY )()()()()()()()(21102121nxnxn

21、RmnxmxkXkXIDFTnyNNmN 图图3-7 圆周卷积过程示意图（圆周卷积过程示意图（N=7）36 线性卷积线性卷积不受主值区间限制不受主值区间限制 圆周卷积圆周卷积是是周期卷积周期卷积取主值，在一定条件取主值，在一定条件 下与线性卷积相等。下与线性卷积相等。 圆周卷积长度：圆周卷积长度：N（参与圆周卷积序列长度相同）（参与圆周卷积序列长度相同） 线性卷积长度：线性卷积长度：2N-1。注意：注意：线线性性卷卷积积圆圆周周卷卷积积374共轭对称性共轭对称性 对称性是指关于对称性是指关于N/2点的对称性。点的对称性。（1）圆周共轭对称和圆周共轭反对称）圆周共轭对称和圆周共轭反对称（2）（3

22、）)()(21)(*epnNxnxnx )()(21)(*opnNxnxnx 圆周共轭对称分量圆周共轭对称分量 圆周共轭反对称分量圆周共轭反对称分量 10, )()()(opep Nnnxnxnx)(Im)(Re)(kXjkXkX 10,)(Im)(Re)( Nnnxjnxnx)()()(opepkXkXkX )(*)(epepnNxnx )(*)(opopnNxnx 38 10*10)()()()(*)(*NnNNnnkNNnkNkRWnxkRWnxnxDFT)()()()(*10)(kRWnxkRkXNNnnkNNNN )(*)()(*kNXkRkNXNN 利用：利用：复共扼序列的复共扼序

23、列的DFT推导过程和思路推导过程和思路 )()(*kNXnxDFT )0()(XNX 且且 同理可证同理可证)()(*kXnNxDFT 39(1) (1) 和和 的对称性的对称性)(kXep)(kXop)()(21)(*nNxnxnxep )()(21)(*nNxnxnxop 定义定义 圆周共轭对称分量圆周共轭对称分量 圆周共轭反对称分量圆周共轭反对称分量 两者满足两者满足 )()(*nNxnxepep )()(*nNxnxopop 4010, )()()( Nnnxnxnxopep )()(21)(*nNxnxDFTnxDFTep)(21)(21*nNxDFTnxDFT )(Re)()(21

24、)(*kXkXkXnxDFTep )(Im)()(21)(*kXjkXkXnxDFTop 41 设复序列设复序列x(n)的实部的实部Rex(n)和虚部和虚部jImx(n)的的DFT分别为分别为)()(21)(*nxnxnxr )()(21)(nxnxnjxi )()()(njxnxnxir （2） 序列的实部和虚部的序列的实部和虚部的DFT式中：式中： 42)()()(21)(*kXkNXkXnxDFTepr )()()(21)(*kXkNXkXnjxDFTopi X(k)的共轭对称分量的共轭对称分量)()()(kXkXkXopep X(k)的共轭反对称分量的共轭反对称分量43设设x(n)是一

25、个长度为是一个长度为N的实序列，即的实序列，即x(n)= xr(n) ，则则 X(k)只有只有共轭对称分量共轭对称分量，即，即 X(k)= Xep(k)(3) 实序列和纯虚序列的实序列和纯虚序列的DFT)(*)(kNXkX 设设x(n)是一个长度为是一个长度为N的纯虚序列，即的纯虚序列，即 x(n)=jxi(n) ，则则 X(k)只有只有共轭反对称分量共轭反对称分量，即，即 X(k)= Xop(k) )(*)(kNXkX 结论：结论： 这两种情况，只要知道一半数目的这两种情况，只要知道一半数目的X(k)就可以了，就可以了，另一半可利用对称性求得。另一半可利用对称性求得。4445四、四、MATL

26、AB实现实现 例例3-4 x(n)是一是一4点序列：点序列： （1）计算离散时间傅立叶变换（）计算离散时间傅立叶变换（DTFT），并且画出），并且画出它的幅度和相位。它的幅度和相位。 （2）计算）计算 x(n) 的的4点点DFT。 其其它它,030,1)(nnx46 例例3-5 在上题的基础上，如何得到其它的样本？在上题的基础上，如何得到其它的样本？ 解：解：补零运算补零运算 ，得到较，得到较密的频谱。密的频谱。 8点序列的点序列的DFT的的频率分辨率频率分辨率为为 0 , 0 , 0 , 0 , 1 , 1 , 1 , 1)( nxnknWnxkX8708)()( 4/8/2/2 N7.,1

27、 , 0 k47结论：结论： （1）补零是给原始序列填零的运算。这导致较长的）补零是给原始序列填零的运算。这导致较长的DFT，它使得采样点更密，但频谱包络不变它使得采样点更密，但频谱包络不变。在。在MATLAB中，用中，用zeros函数实现补零运算。函数实现补零运算。 （2）补零补零运算给我们提供了一个较密的频谱和较好的运算给我们提供了一个较密的频谱和较好的图示形式。但因为在信号中只是附加了零，而没有增加任何图示形式。但因为在信号中只是附加了零，而没有增加任何新的信息，因此它新的信息，因此它不能提供高分辨率的频谱不能提供高分辨率的频谱。 （3）为得到高分辨率的频谱，人们得从实验或观察中）为得到

28、高分辨率的频谱，人们得从实验或观察中取得更多的数据。取得更多的数据。483.5 频域采样理论频域采样理论抽样抽样Z变换变换一、频域采样一、频域采样（1）问题引入）问题引入 由由Z变换与变换与DFT的关系的关系 表明实现了频域的抽样，便于计算机计算。表明实现了频域的抽样，便于计算机计算。 能否由用频域抽样来恢复原来的信号能否由用频域抽样来恢复原来的信号x（n）或频或频 率函数）？率函数）？其限制条件是什么其限制条件是什么?内插公式又是什么？内插公式又是什么？2z( )(z)jkNeX kX49（2）分析）分析 因为因为 采样后所获得的有限长序列采样后所获得的有限长序列xN(n)能否代表原序列能否

29、代表原序列x(n)？为了弄清这个问题，我们从周期序列为了弄清这个问题，我们从周期序列 开始：开始： nnkNWWnxXkXkN)(| )z()(z 1010)(1)(1)()(NknkNNknkNNWkXNWkXNkXIDFSnx1)()(110)(10 NkknmNmNknkNmmkNWNmxWWmxN mrrNnmWNNkknmN其它其它为任意整数为任意整数, 0, 1110)( rNrNnxnx)()()()(kXIDFTnxN )(nxN50 即即 是原非周期序列是原非周期序列x(n)的的周期延拓周期延拓序列，序列，其其时域周期为频域采样点数时域周期为频域采样点数N。 在第一章我们看到

30、，时域的采样造成频域的周在第一章我们看到，时域的采样造成频域的周期延拓，同样，期延拓，同样，频域采样同样造成时域的周期延频域采样同样造成时域的周期延拓。拓。 )(nxN rNrNnxnx)()(51（3）结论）结论 如果如果x(n)是是长度为长度为M的有限长序列，频域抽样的有限长序列，频域抽样不失真的条件不失真的条件： 频域抽样点数频域抽样点数N要大于或等于序列长度要大于或等于序列长度M，即，即满足满足NM。此时可得到此时可得到 表明长度为表明长度为N（或小于（或小于N）的有限长序列可用它）的有限长序列可用它的的Z变换在单位圆上的变换在单位圆上的N个均分点上的抽样值精确个均分点上的抽样值精确地

31、表示。地表示。 若不满足若不满足NM，则产生时域混叠现象。，则产生时域混叠现象。)()()()()()(nxnRrNnxnRnxnxNrNNN 52注意：注意： 如果如果x(n)是是无限长序列，则时域周期延拓后，必然造成无限长序列，则时域周期延拓后，必然造成混叠现象，因而一定会产生误差；当混叠现象，因而一定会产生误差；当n增加时信号衰减得越增加时信号衰减得越快，或频域采样越密（即采样点数快，或频域采样越密（即采样点数N越大），则误差越小。越大），则误差越小。 53 例例3-8 一个长度一个长度M=5的矩形序列，若在频域上进行抽样的矩形序列，若在频域上进行抽样处理，使其频域也离散化，试比较抽样点

32、数分别取处理，使其频域也离散化，试比较抽样点数分别取5和和4时的时的结果。结果。54p频域抽样，按频域抽样，按N=5点，频域抽样，时域延拓相加点，频域抽样，时域延拓相加,时域时域延拓的周期个数等于频域的抽样点数延拓的周期个数等于频域的抽样点数N=5，由于，由于N=M，所以时域延拓恰好无混叠现象。所以时域延拓恰好无混叠现象。解：解：55p按按N=4时进行抽样，由于时进行抽样，由于N=4，而序列长度为而序列长度为M=5，NM,时时域延拓后产生混叠现象。域延拓后产生混叠现象。（原信号为红色原信号为红色，延拓取主值区间延拓取主值区间后的恢复信号为兰色。后的恢复信号为兰色。）56二、频域恢复二、频域恢复

33、频域内插公式频域内插公式 从频域抽样不失真条件可以知道：从频域抽样不失真条件可以知道： N个频域抽样个频域抽样X(k)能不失真的还原出长度为能不失真的还原出长度为N的有限长序列的有限长序列x(n)。 那么那么用用N个个X(k)也一定能完整地表示出也一定能完整地表示出X(z)以以及频率响应及频率响应 即单位圆上的即单位圆上的X(z)。 过程很简单过程很简单,先把先把N个个X(k)作作IDFT得到得到x(n),再再把把x(n)作作Z变换便得到变换便得到X(z)。)( jeX57 10)()(NnnznxzX 10)(1)(NknkNWkXNnx由于由于 代入，得代入，得 )(1)(1)(10101

34、010 NnnnkNNkNnnNknkNzWkXNzWkXNzX 1011011)(111)(1NkkNNNkkNNNkNzWkXNzzWzWkXN这就是用这就是用N个频域采样来恢复个频域采样来恢复X(z)的内插公式的内插公式 58（1）X(z)的内插公式的内插公式称称为为内内插插函函数数其其中中)()()()(10zzkXzXkkNk 1111)( zWzNzkNNk内插函数内插函数内插函数只在本内插函数只在本采样点处不为零采样点处不为零kNje)/2( 59（2）频域响应的内插公式）频域响应的内插公式)2()()10kNkXeXezzNkjj （代替便得到代替便得到用用把把 )21()2s

35、in()2sin(1)(NjkeNN频域响应的内插函数频域响应的内插函数其中其中60频域内插函数的幅度特性和相位特性频域内插函数的幅度特性和相位特性 可以看出，当可以看出，当0时，时， 当当 =(2/N) i (i=1,2,N-1)时，时， 因而有因而有1)( kiiNkNkN,2, 02, 1)2( 0)( 61(3)结论结论公式中看出公式中看出: 在每个抽样点上在每个抽样点上X(ejw)就精确地等于就精确地等于X(k)(因为因为其他的内插函数在这一点上的值为零其他的内插函数在这一点上的值为零,无影响无影响), 即即 各抽样点之间的各抽样点之间的X(ejw)值值,则由各抽样点的加权则由各抽样

36、点的加权内插函数在所求点上的值的叠加而得到内插函数在所求点上的值的叠加而得到。 频率响应的内插函数频率响应的内插函数 具有线性相位。具有线性相位。 1,.1 ,0),()2 NkkXeXkNj（)( 10)2()()(NkjkNkXeX62图图3-15 由内插函数求频率响应的示意图由内插函数求频率响应的示意图 63 DFT(FFT)在数字滤波、功率谱分析、仿真、系统分析、在数字滤波、功率谱分析、仿真、系统分析、通信理论方面有广泛的应用。通信理论方面有广泛的应用。归结起来归结起来,有两个大方面有两个大方面: 一是计算线性卷积、线性相关；一是计算线性卷积、线性相关； 二是用二是用DFT(FFT)作

37、为连续傅里叶变换的近似作为连续傅里叶变换的近似.3.6 用用DFT计算线性卷积计算线性卷积3.7 用用DFT进行频谱分析进行频谱分析 DFT的应用的应用643.6 用用DFT计算线性卷积计算线性卷积 1.引入引入 实际问题实际问题 即信号通过线性时不变系统即信号通过线性时不变系统h(n)后的响应后的响应y(n)是是线性卷线性卷积积运算。运算。 若做卷积的两序列都是有限长序列，能否用它们的若做卷积的两序列都是有限长序列，能否用它们的圆周圆周卷积卷积结果代替它们的线性卷积结果呢结果代替它们的线性卷积结果呢? 圆周卷积与线性卷积的关系是什么圆周卷积与线性卷积的关系是什么?线线 性性时不变系统时不变系

38、统h(n)y(n)=x(n)*h(n)x(n)652.用圆周卷积计算线性卷积的条件用圆周卷积计算线性卷积的条件 设有限长序列设有限长序列x1(n) (0nN1-1)，x2(n) (0nN2-1) 1）线性卷积线性卷积 长度：长度： 2）圆周卷积）圆周卷积 把把x1(n)、x2(n)补零点至补零点至L 点点, L max(N1, N2)，即，即 1021211)()()()()(Nmmlmnxmxmnxmxny121 NNN 1010),()(1111LnNNnnxnx 1010),()(2222LnNNnnxnx66 L点圆周卷积点圆周卷积yc(n)是线性卷积是线性卷积yl(n)以以L为周期的

39、周期延拓为周期的周期延拓序列的主值序列。序列的主值序列。 )()()()(1021nRmnxmxnyLLmLc rLrLnxnxnx)()()(222)( )()()(1021nRmrLnxmxnyLLmrc )( )()(1021nRmrLnxmxLrLm )( )(nRrLnyLrl 67)()()(nRrLnynyLrlc 结论：结论：当当L N1+N2-1时，时，圆周卷积可以代替线性卷积圆周卷积可以代替线性卷积68图图3-16 有限长序列的线性卷积与圆周卷积有限长序列的线性卷积与圆周卷积 69)()()(nRrLnynyLrlc L=6N1+N2-1L=8=N1+N2-1703.用圆周

40、卷积计算线性卷积的方法用圆周卷积计算线性卷积的方法 取取LN1+N2-1，圆周卷积代替线性卷积的框图为，圆周卷积代替线性卷积的框图为 图中图中DFT与与IDFT子程序可以共用，而且通常用快速子程序可以共用，而且通常用快速算法（算法（FFT）来实现，故圆周卷积也称为）来实现，故圆周卷积也称为快速卷积快速卷积。 y(n)L点点DFT补补L-N1个零个零L点点DFTL点点IDFTx1(n)补补L-N2个零个零x2(n)713.7 用用DFT进行频谱分析进行频谱分析 DFT的最初引入就是为了使数字计算机能够帮助分析连的最初引入就是为了使数字计算机能够帮助分析连续时间信号的频谱。续时间信号的频谱。 DF

41、T的快速算法的快速算法快速傅里叶变换（快速傅里叶变换（FFT）的出现使）的出现使得得DFT这这种分析方法具有实用价值和重要性。种分析方法具有实用价值和重要性。图图3-18 时域连续信号时域连续信号DFT分析的基本步骤分析的基本步骤721. 分析分析p 设设:对连续非周期信号进行时域抽样，抽样间隔为对连续非周期信号进行时域抽样，抽样间隔为T(时时域域);对其连续非周期性的频谱函数进行频域抽样对其连续非周期性的频谱函数进行频域抽样, 频域频域抽样间隔为抽样间隔为 F(频域频域)；p时域抽样，频域必然周期延拓时域抽样，频域必然周期延拓；且延拓周期为时域抽；且延拓周期为时域抽样的频率值样的频率值,即即

42、频域周期频域周期 fs = 1/ T;p频域抽样频域抽样，对应，对应时域时域按频域抽样间隔的倒数按频域抽样间隔的倒数周期延拓周期延拓, 即即 Tp = 1/F；p对无限长的信号，计算机是不能处理的对无限长的信号，计算机是不能处理的, 必须对必须对时域与时域与频域做截断频域做截断,若时域取若时域取N点点,则频域至少也要取则频域至少也要取N点。点。 (参参见频域抽样不失真条件见频域抽样不失真条件)。 73图图3-22 用用DFT方法分析连续信号频谱的原理示意图方法分析连续信号频谱的原理示意图74二、用二、用DFT进行谱分析的误差问题进行谱分析的误差问题 1.混叠效应混叠效应 利用利用DFT逼近连续

43、时间信号的傅里叶变换，为避免逼近连续时间信号的傅里叶变换，为避免混叠混叠失真失真，按照抽样定理的要求，采样频率至少是信号最高频率按照抽样定理的要求，采样频率至少是信号最高频率的两倍。的两倍。 解决混叠问题的唯一方法是解决混叠问题的唯一方法是保证采样频率足够高保证采样频率足够高。 用用DFT逼近连续非周期信号的傅里叶变换过程中除了逼近连续非周期信号的傅里叶变换过程中除了对幅度的线性加权外对幅度的线性加权外,由于用到了抽样与截断的方法由于用到了抽样与截断的方法,因此因此也会带来一些可能产生的问题，使谱分析产生误差。也会带来一些可能产生的问题，使谱分析产生误差。 如如:混叠效应混叠效应,截断效应截断

44、效应,栅栏效应栅栏效应等等. 75频谱分析宽度频谱分析宽度与与频率分辨率频率分辨率 抽样间隔抽样间隔F（频率分辨力）频率分辨力）是记录长度的倒数，即是记录长度的倒数，即 若抽样点数为若抽样点数为N，则频率分辨率，则频率分辨率F与与fs的关系为的关系为 在在N给定给定时，为避免混叠失真而一味提高抽样频率，必时，为避免混叠失真而一味提高抽样频率，必然导致然导致F增加，即频率分辨力下降；增加，即频率分辨力下降； 反之，若要提高频率分辨力即减小反之，若要提高频率分辨力即减小F，则导致减小，则导致减小fs，最终必须减小能分析的信号带宽。最终必须减小能分析的信号带宽。 在在fc 与与F参数中，保持其中一个

45、不变而使另一个性能得参数中，保持其中一个不变而使另一个性能得以提高的以提高的唯一办法，就是增加记录长度内的点数唯一办法，就是增加记录长度内的点数N 。NfNfFcs2 p/1 TF 76 例例3-9对实信号进行谱分析，要求谱分辨率对实信号进行谱分析，要求谱分辨率F10Hz，信，信号最高频率号最高频率fc=2.5 kHz， 试确定最小记录时间试确定最小记录时间Tpmin， 最大的最大的采样间隔采样间隔Tmax，最少的采样点数，最少的采样点数Nmin。 如果如果fc不变，不变， 要求要求谱谱分辨率增加一倍分辨率增加一倍，最少的采样点数和记录时间是多少，最少的采样点数和记录时间是多少? 解：解：因此

46、因此Tpmin=0.1 s， 因为要求因为要求fs2fc， 所以所以3maxmin110.2 1022 250022 250050010ccTsffNFs 1 . 01011pFT77minmin 522 250010005110.25cpFHzfNFTsF分辨率提高一倍782.截断效应（截断效应（频谱泄露频谱泄露） 在实际中，要把观测的信号在实际中，要把观测的信号x(n)限制在一定的时间间隔限制在一定的时间间隔之内，即采取之内，即采取截断数据截断数据的过程；的过程； 时域的截断在数学上的意义为原连续时间信号时域的截断在数学上的意义为原连续时间信号乘上一个乘上一个窗函数窗函数（通常，简单的截取

47、信号就相当于乘的是矩形窗）（通常，简单的截取信号就相当于乘的是矩形窗）； 根据傅里叶变换的卷积定理，根据傅里叶变换的卷积定理，信号加窗后的频谱相当于信号加窗后的频谱相当于原信号频谱与窗函数的频谱在频域作卷积。原信号频谱与窗函数的频谱在频域作卷积。显然，这种卷积显然，这种卷积过程将造成信号频谱的失真。过程将造成信号频谱的失真。 如果信号所乘的是矩形窗函数，失真频谱将产生如果信号所乘的是矩形窗函数，失真频谱将产生“拖拖尾尾”（频谱延伸扩展）现象（频谱延伸扩展）现象原有受限的频谱图形原有受限的频谱图形“扩扩展展”开来，这就称之为频谱泄漏。开来，这就称之为频谱泄漏。 79分析分析 设设原信号原信号为为

48、x(n) 截断后的序列截断后的序列其中其中截断截断RN(n) )( jeX)( jNeR)( jeYy(n)= x(n)RN(n) )()(21)()( jNjjeReXnyFTeY )(21)()2sin()2sin()()( jNNjNjNeRNenRFTeR 80 为方便起见，定义主瓣的宽度为：为方便起见，定义主瓣的宽度为：NBW 4 )2sin()2sin()( NRN 81 例例3-10 x(n)=cos(0n)，比较截断前后的频谱。比较截断前后的频谱。 解：解：截断前序列的频谱截断前序列的频谱为为截断后序列的频谱为截断后序列的频谱为 mjmmeX)24()24()( )()(21)

49、( jNjjeReXeY （1 1）频谱泄漏频谱泄漏：截断后，使原来的：截断后，使原来的离散谱线向附近展宽；离散谱线向附近展宽；（2 2）谱间干扰谱间干扰：主谱线两端形成的：主谱线两端形成的许多旁瓣，引起不同频率分量间的许多旁瓣，引起不同频率分量间的干扰。干扰。4082加窗对序列频谱的影响加窗对序列频谱的影响 谐波分量在频率轴上越靠近越不易分辨谐波分量在频率轴上越靠近越不易分辨 可分辨的相距最近的谐波分量可分辨的相距最近的谐波分量（DTFT的频率分辨率的频率分辨率）1 2 1 2 min 83结论：结论： 泄露使频谱变模糊，使谱分辨率降低泄露使频谱变模糊，使谱分辨率降低； 泄露现象是由截断造成

50、的，但是靠泄露现象是由截断造成的，但是靠增加增加N并并不能减少泄露不能减少泄露。 改善泄露的办法是采用其他形式改善泄露的办法是采用其他形式的窗函数的窗函数，如汉明窗，汉宁窗等。，如汉明窗，汉宁窗等。843.栅栏效应栅栏效应 序列序列x(n)的频谱是连续的，而的频谱是连续的，而DFT是这个连续谱的均匀是这个连续谱的均匀抽样。抽样。 如果用如果用X(k)去近似，就一定意义上来讲，去近似，就一定意义上来讲，好象是在栅栏好象是在栅栏的一边通过栅栏的缝隙（对应离散点）去观看另一边的景象的一边通过栅栏的缝隙（对应离散点）去观看另一边的景象（对应连续频谱），（对应连续频谱），只能在离散点的地方看到真实的景象

51、只能在离散点的地方看到真实的景象。 因此，那些被栅栏挡住的（频谱）部分是看不到的，这因此，那些被栅栏挡住的（频谱）部分是看不到的，这就有可能就有可能漏掉一些较大频率分量漏掉一些较大频率分量。我们称这种现象为。我们称这种现象为“栅栏栅栏效应效应”。85 减小栅栏效应方法：减小栅栏效应方法：末尾补零，即改变末尾补零，即改变N的值。的值。 补零的目的：补零的目的： 1）使数据）使数据N为为2的整数次幂的整数次幂，以便于用快速傅里叶变换，以便于用快速傅里叶变换算法（算法（FFT）；）； 2）补零可以补零可以对补零前的对补零前的DFT频谱做插值频谱做插值，从而克服栅，从而克服栅栏效应，使频谱的外观更加光

52、滑。栏效应，使频谱的外观更加光滑。 说明：说明： 如由如由DTFT所得的连续谱存在严重混叠所得的连续谱存在严重混叠，从而造成频谱模，从而造成频谱模糊。对这种模糊不清的连续谱进行抽样糊。对这种模糊不清的连续谱进行抽样计算序列的计算序列的DFT，得，得到的结果是不可能准确的到的结果是不可能准确的，即便增加，即便增加DFT的点数的点数N，也只是使抽，也只是使抽样的频谱线变密，看到更多模糊值而已，样的频谱线变密，看到更多模糊值而已，并不能从根本上提高谱并不能从根本上提高谱值的准确度！值的准确度！86三、用三、用DFT进行谱分析的参数考虑进行谱分析的参数考虑pDTFT的频率分辨率的频率分辨率物理分辨率物理分辨率n根据离散序列求其连续谱时，两个谐波分量之间最小根据离散序列求其连续谱时，两个谐波分量之间最小可分辨的频率间隔可分辨的频率间隔 pDFT的频率分辨率的频率分辨率计算分辨率计算分辨率nDFT对对DTFT频谱的抽样间隔频谱的抽样间隔 补零提高了补零提高了计算分辨率计算分辨率，得到的是，得到的是高密度频谱高密度频谱; ; 增加数据的记录长度，提高了增加数据的记录长度，提高了物理分辨率物理分辨率，得到的是，得到的是高高分辨率谱分辨率谱。NfFs pTF1 psTNTNfF11 频率分辨率：频率分辨率：87DFT参数选择的一般原则参数选择的一般原则 确定信号的最高频率确定信号的最高频