（整理版）第五讲一元一次方程

1、第五讲 一元一次方程根底知识 一. 一元一次方程:只含有一个未知数,而且这个未知数的最高次数是一次的方程叫做一元一次方程. 二. 应用题中常见类型及关系式: 1. 行程问题: 距离 = 速度时间; 2. 工程问题: 工作总量 = 工作效率工作时间; 3. 浓度问题: 溶质量 = 浓度溶液量; 4. 复制和百分率问题: 增量 = 根本量增长率; 5. 分解与合成问题: 含量 = 含有率体积; 6. 质量问题: 质量 = 密度体积;7. 作功问题: 功 = 功率时间;例题精析 例1. 解方程 解: 1. 当 是方程唯一的解. 2. 当 (1) 当 一切实数都是方程的解.(2) 当, 方程无解.例2

2、. 解方程解: 先求使绝对值为零的值,它们是它们将轴分成三个区间:1. 当是方程的解.2. 当,一切满足的实数都是方程的解.3. 当条件矛盾,所以方程无解.综上所述:满足-31的一切实数都是方程的解.例3. 一个人在河中划船,在标有A游标处遗失了携带的救生圈,他继续逆流划行了20分钟后,发现救生圈失落,于是倒转船头寻找,结果在B处找到,如果AB的距离2千米,那么河水的速度是多少?解: 设船速米/分,河水速度为米/分.依题意: 所以,水流速度是50米/分.例4. 某人沿着电车路旁行走,留心到每隔6分钟,有一辆电车从他身后开到前面去,每隔两分钟,一辆电车由他对面开过来.假设该的电车的速度始终是均匀

3、的,问每隔几分钟电车起点站开出一辆电车?解1: 设每隔分钟从电车站开过一辆电车,那么人走6分钟,追来的电车比人晚分钟,追来的电车走分钟,人走了2分钟,迎面开来的电车走了分钟,人行速度与电车的速度比为: 所以,每隔3分钟从电车起点站发一辆电车.解2:设每分钟从电车站发一辆车,又设电车速度为,人行速度为,那么有:(1) - (2) ,代入(1)得.所以,每隔3分钟发一辆电车.例5, 一个工人加工一批零件,限期完成,假设每小时做10个,就可以超过任务3个,假设每小时加工11 个,就可以提前1小时完成,他的任务是加工多少个零件?限多少小时?解:设他的任务是加工个零件,那么有 所以,他的任务是加工77个

4、零件,限制8小时.例6. 甲,乙两台打麦机,甲机工作效率是乙机的2倍,先用甲机打完麦子的,然后用乙机全部打完,所需的时间比同时用两台机器全部打完麦子所需时间多11天,问分别用一台机器打完全部麦子各需多少天?解1: 分析, 如以时间为基准找等量关系,可用 “全量=局部量之和或其推论.设甲打完全部麦子用天,那么乙打完全部麦子用天.设全部工作量为1, 那么甲打完全部麦子的所用的时间为.乙打其余的麦子所用的时间为,而甲,乙两台机器同时打完全部麦子所用的时间为,所以有:解得(天),即甲机打完全部麦子需用15天,乙机需用(天).解2: 如以甲,乙两机工作效率为基准找等量关系,可设为甲机打完全部麦子所需要天

5、数,那么乙打完全部麦子所需天数为.是甲机的工作效率,为乙机工作的效率,是甲,乙两机同时工作的效率.如果再能把到两机同时工作的效率表示出来,那么方程也就列出来了.依照题意知,甲,乙两机同时工作打完全部麦子所用的时间为所以甲,乙共同工作的效率为由此可列方程为,解得(天),即甲机打完全部麦子需15天,乙机打完全部麦子用天.例7. 甲容器中有纯酒精11 千克,乙容器中有水15千克.先将甲容器中一局部纯酒精倒入乙容器,使酒精溶于水中,第二次将乙容器中一局部溶液倒入甲容器,这样甲容器中纯酒精含量为62.5%,乙容器中纯酒精含量为25%.问第二次从乙容器倒入甲容器的溶液多少千克?解:分析 要求出第二次从乙容

6、器倒入甲容器有多少千克,只须求出第一次从甲容器倒入乙容器的纯酒精数即可.设第一次由甲容器倒入乙容器千克酒精,第二次由乙容器倒入甲容器千克溶液.由得: (千克)同时甲容器情况,得:于是有: (千克)所以,第二次从乙容器中倒入甲容器6千克溶液.例8. 从两个重量分别为千克和千克.且含铜百分数不同的合金上,切下重量相等的两块.把所切下的每块与另一种剩余的合金加在一起熔炼后,两者含铜百分数相同,问切下的重量是多少千克?解:设切下千克,又设重千克的铜合金中含铜百分数为,重千克的铜合金含铜百分数为,依题意有:解得: (千克)即切下的重量为千克.例9. 一队旅客乘坐汽车,要求每辆汽车的乘客人数相等.起初每辆

7、汽车乘22个人,结果剩下一个人未上车;如果有一辆汽车空车开走,那么所有乘客正好能平均分乘到其它各车上.每辆汽车最多只能容纳32个人,求起初有多少辆汽车?有多少名旅客?解: 设起初有汽车辆,开走一辆空车后,平均每辆车所乘的旅客为名.由于,依题意有: 因为为自然数,所以.当不合题意,舍去.当这时旅客人数为 (人)答:起初有汽车24辆,有乘客529人.例10. 假设进货价降低8%,而售出价不变,那么利润(按进货价而定)可由目前的%,增加到.解: 设原进货价为,那么下降8%后的进货价为, 由售价不变,列方程: 去得: 解得.练习 1. 解关于的方程: (1) (2) 2. 设3. 假设为定值,关于的一

8、次方程 无论取何值,它的根总是1, 求的值.4. 一列火车通过长1500米的大桥需要36秒,它通过桥头的哨兵需要4秒,求火车的长度?5. 在环行公路上有一公共汽车站,每隔一定时间向两个方向同时发出一辆车,某人在环行公路上行走,每隔3分钟就有一辆公共汽车与他迎面相遇,每隔6分钟就有一辆公共汽车从他背后越过,问车站每隔几分钟向各个方向发一辆车?6. 在甲,乙两个容器中分别装有20升和16升浓度不同的盐水,如果先从甲,乙容器各倒出升盐水,再分别倒入对方的容器内搅匀,结果两容器的盐水浓度相同,求的值.7. 现在是10点11点之间的某一时刻,在这之后6分钟分针的位置与在这之前3分钟时针的位置反向成一直线

9、,求现在时刻?8. 甲,乙两人今年年龄之和为63, 当甲的年龄是乙现在年龄的一半时,乙恰是甲现在的年龄,求甲,乙两人今年各多少岁?9. 一小船由A港到B港顺流需行6小时,由B港到A港逆流需行8小时.(1)假设小船按水流速度由A港漂流到B港需要多少小时?(2)当小船到B港时,发现一救生圈在途中掉落在水中,立即返回,1小时后找到救生圈,问救生圈是何时掉入水中的?10. 某厂去年总产值比总支出多500万元, 而今年方案的总产值比总支出多950万元.今年方案总产值比去年增加15%,而方案总支出比去年减少10%,求今年方案的总产值和总支出?练习解答 1. 解. (1) 当时,方程有唯一解; 当时,一切实

10、数都是方程的解,(2) 当是方程唯一的解; 当时,一切实数是方程的解.2. 解 由知: , 所以 3. 解:总是方程的根,将代入原方程得: 因为对于一切方程总有根1, 所以有 4. 解: 设火车长为米,依题意列方程: (米)答: 火车长为.5. 解1： 设某人行走速度为米/分,汽车的速度为米/分,每隔分钟各发一辆车.依题意列方程: 解得,代入(1)得.答: 汽车站每4分钟发一辆车.解2： 设每隔分钟车站发一辆车,那么人走6分钟,从后边越过的汽车走了分钟;人走3分钟,从前面开来的汽车走了分钟,人与汽车速度之比为; 答: 车站每隔4分钟发一辆车.6. 解. 设甲容器中盐水浓度为,乙容器中盐水的浓度为,那么 7. 解:设现在时刻为10点分,再过6分钟是10点分.因为分种每走1小格(1分),时针走小格,10 - 12 之间共10小格,在这个时间3分钟前,时针到12之间共有小格,而时针与分针反向成一条直线,它们之间共30小格(30分钟),所以有 答:现在是10点15分.8. 解 设甲今年为岁,那么乙今年为岁，并由题意知：当甲为岁时,乙正好为岁,以年龄差为等量关系,列方程为 答:甲今年27岁,乙今年36岁.9. 解 (1) 设小船由