第二章 有心力.

1、第二章 有心运动 一、有心力的基本性质 1. 有心力： 运动质点受力的作用线始终通过某一定点，该力为有心力，该点叫力心。有心力的量值一般为r的函数。引力。斥力；, 0)(, 0)(rFrFrr2.平面运动因为力通过力心质点必在平面内运动。J如：月亮绕地球运动、地球绕太阳运动3. 运动微分方程(1) 直角坐标(2) 极坐标物理意义:动量矩守恒hr22 20rm rrFm rrF2210rm rrFdmrr dt2mrmririr jmrk4. 有心力为保守力判断由0FrrFr令机械能守恒定律：解决问题的基本出发点：二、轨道微分方程：比耐公式 通常求轨道：)(),(ttrr 然后消去t 后得到。但

2、在有心力中，所有对于时间的微分都可以通过 消除，从而得到关于r 与的微分方程,求解轨道微分方程可得轨道方程。2/rh 221 rm rrFrh令：- - -比耐公式用途: 1 2 rrrrFFruuuuFFr1、已知力的具体形式，求轨道运动；2、已知轨道形状，求力的具体形式复习复习1、有心力的特点、有心力的特点；4、基本方程：、基本方程： hrrFrrm 22)(5、比耐公式：、比耐公式：mFududuh 2222 2、有心力下质点必做平面运动；、有心力下质点必做平面运动；3、有心力下质点动量矩守恒、机械能守恒；、有心力下质点动量矩守恒、机械能守恒； 后面讨论的是第一类问题，我们看第二类问题的

3、例子平方反比引力行星运动引力:2GMk22rFk mu比耐公式变为22 kuh令220dd0cosA22022coskkuAhhA,0微积分常数,将极轴转动使0=0为正焦弦的一半为偏心率,由初始条件确定以太阳为焦点的圆锥曲线cos1 epre1 双曲线双曲线cos)(12222kAhkhr决定行星运动轨道决定行星运动轨道通过守恒律讨论轨道形状设无穷远处为零势能设无穷远处为零势能, 任意位置的势能为：任意位置的势能为： rrmkdrrmkV222Ermkrrm常数222221机械能守恒律写为：机械能守恒律写为：已知角动量值守恒：已知角动量值守恒：hr2结合消结合消去去t。如。如何做？何做？2dr

4、dr dh drdtddtr d 作变换作变换，代入机械能守恒律，得，代入机械能守恒律，得Ermkrhrddrrhm常常数数 222224221 222214222hdrhkm Erdrr 222222rhrkmEhrddr dhrkmErrhdr 22222 )cos(21104222 mkEhkhr决定行星轨决定行星轨道道E0 双曲线双曲线2.3 圆轨道的稳定性 在有心力势场中：设势能在有心力势场中：设势能V（r）)(2)(22rVrmhrU令：令：有效势能有效势能 满足：满足：为稳定平衡为稳定平衡( )0dU rr22( )0d U rr)(22rUrmE等效为质点在矢径方向作一维的运动

5、，等效为质点在矢径方向作一维的运动，圆轨道稳定条件：圆轨道稳定条件：ooorrFrF3)()( nrkrF2)(3n若：若：则则二维的圆运动，化为一维的静平衡二维的圆运动，化为一维的静平衡.2.4 平方反比斥力平方反比斥力质点的散射质点的散射粒子粒子(42H)散射散射:把一束具有一定能量把一束具有一定能量的的粒子碰撞靶核（用粒子碰撞靶核（用重金属及薄的箔），重金属及薄的箔），靶核金属原子核带电靶核金属原子核带电Ze.粒子所受的金属原子核的万粒子所受的金属原子核的万有引力可以认为是有引力可以认为是有心斥力：有心斥力：220222104241rkrZerQQF 0 rp 力力心心OpCx粒子具有的

6、势能：粒子具有的势能：r kdrFrdF)r(Vrr 定义定义V（）=0，则，则粒子的机械能守恒：粒子的机械能守恒： Erkrrm常常数数 21222 粒子的运动轨道：粒子的运动轨道：因因E0而为双曲线的一个分支。而为双曲线的一个分支。1 1、 散射的轨道方程散射的轨道方程用比耐公式讨论用比耐公式讨论确定确定A A、B:B:从无穷远处入射，从无穷远处入射，=，r=，即，即u=0.无穷远处，无穷远处， =，y=.222222umkmrkududuh 222mhkudud 2sincosmhkBAu 2mhkA 无穷远处，无穷远处，BBA sin)cos1 (1A，B都已确定，故都已确定，故粒子被

7、散射的粒子被散射的轨道方程轨道方程为：为： sin1)cos1 (2 mhku因因ury sinsin 故故 sin1uy 代入代入2sincosmhkBAu BABAmhkBAy sin)cos1 (sinsin)cos1 (sinsincos121B2 2、偏转角、偏转角粒子远离力心后粒子远离力心后r=，u=0,=，代入，代入 sin1)cos1 (2 mhku sin1)cos1 (02 mhksin)cos1 (2kmh 22khmctg 用方便测量的量代替。？用方便测量的量代替。？mhmrmrrvmrJ 2)(任任意意 vmvmrJ JJ任任意意 vh 偏转角偏转角可见，只要瞄准距离

8、可见，只要瞄准距离足够小，就可能出现大足够小，就可能出现大角度的反弹。这正可以解释卢瑟福的角度的反弹。这正可以解释卢瑟福的散射实散射实验出现的大角度散射现象。验出现的大角度散射现象。22kvmctg 补充例题补充例题例1. 一质量为m的小环在半径为r 的水平圆环上，设小环的初速度为 ，小环与圆环的摩擦系数为 ，求小环经过多少弧长后停止运动。0nb解：1. 研究对象：小环 2. 参考系：地面 坐标系：自然坐标系mg3. 受力分析： nbRRR nR bmg4. 列运动微分方程: 2 1 2 0 3 nbdmRdtmRrRmg22 + nbRNRR 联立方程(1)、(2)和(3)得222dmddd

9、sdmmgdtrdtds dtds ，其中222dmmmgdsr 分离变量得：222222ddsrg r 两边求定积分2020202222sddsrg r 得242200ln2g rrsgrFR3. 受力分析 xyyk rFF iF jr rRR j oxyoAB解法一: 1. 研究对象：质点2. 参考系：地面，坐标系: 直角坐标系4. 列运动微分方程222- -sin0 kxxmxhxkkhyRRrr方向：方向：例2. 质量为m 的质点，沿半径为R的圆上的光滑AB弦运动，次质点受一指向圆心o的引力作用，引力大小与质点到o点的距离成反比，开始时质点静止于A处，求质点通过 点的速度，已知1ooo

10、h 22dddxdkxmmmdtdx dtdxhx 分离变量得22222d xhmdkxh两边求定积分122222220ohRd xhmkxh得012lnkRmh解法二：质点机械能守恒(有心力为保守力，R不作功)(1) 求势能函数lnlnBBBABAAAkVVF drdrkrkrr 选势能零点1Ar lnBVkr(2) 用机械能守恒列方程 211ln0ln2omkhkR得012lnkRmh例3. 一质点穿在一光滑抛物线轴线上方h处，并从此处无初速地滑下，抛物线的方程为 ，p为常数。问滑至何处，曲线对质点的反作用力将改变符号？22ypxAoxyn解：1.研究对象：质点2. 参考系：地面 坐标系：

11、自然坐标系mgR3. 受力分析 , mgR4.列质点运动微分方程 2sin 1cos 2 dddsdmmmmgdtds dtdsmmgR(5) 解方程由(1)得0dy sin =-dsyhdgdy 22g hy在N=0处，反作用力将改号，由(2)得 2cos 3mmgcos求 和223 2pyyypxpyy 3/23/222221pyyyp222211cos11ytgypy(3) 式变为：23/222222g hy pymmgpypy整理得 322320 4yp yp h即改号处得y 为方程(4)的根。例4.光滑滑道AB的后部是半径为a的圆环，重为P的物体由静止自高度h沿AB下滑。求：使物体通过圆环顶点不脱落的h最小值；若圆环上部形成一 角的缺口，欲使物体越过缺口仍能通过圆环，h应该多大；欲使h为最小， 为？2CDEoB零势能nPA解：物体在重力场中沿滑道滑到E点的过程中， 不作功，只有重力做功，机械能守恒nRR n 2102 12EPPhPag同时，物体在E点的法向运动微分方程为 2 2EPPNg a在E点，R=0时，h为最小，min52ha 物体从A到C的过程中，机械能守恒 2