第二章信号描述及其分析

1、本章学习要求本章学习要求：1.1.了解信号分类方法了解信号分类方法 2.2.掌握掌握傅里叶级数傅里叶级数及及周期信号的频谱周期信号的频谱3.3.掌握掌握傅里叶变换傅里叶变换及及非周期信号的频谱非周期信号的频谱4.4.了解数字信号的处理方法了解数字信号的处理方法 第二章第二章 信号描述及其分析信号描述及其分析 信号波形信号波形被测信号幅度随时间的变化历程称为被测信号幅度随时间的变化历程称为信号的波形。信号的波形。0At 信号波形图信号波形图以被测物理量的以被测物理量的强度强度为纵坐标，以为纵坐标，以时间时间为横坐标，记录被测物理量随时间的变化情况。为横坐标，记录被测物理量随时间的变化情况。信号分

2、析信号分析是研究信号的构成和特征。是研究信号的构成和特征。信号处理信号处理对对信号进行必要的变换以获得所需信息信号进行必要的变换以获得所需信息的过程。的过程。信号分析和处理的基本方法信号分析和处理的基本方法是将是将信号抽象为变量信号抽象为变量之间的函数关系之间的函数关系,特别是时间函数或空间函数特别是时间函数或空间函数,从数学上从数学上加以分析研究。加以分析研究。信号的频谱分析，是最重要的信号分析技术之一。信号的频谱分析，是最重要的信号分析技术之一。 第一节第一节 信号及分类信号及分类信号有各种形式，可以从不同的角度对其分类。信号有各种形式，可以从不同的角度对其分类。从不同角度观察信号，可分为

3、：从不同角度观察信号，可分为： 确定性信号确定性信号与非确定性信号与非确定性信号一、确定性信号（分为周期信号和非周期信号）一、确定性信号（分为周期信号和非周期信号）1.1.周期信号周期信号例如例如: : 余弦信号余弦信号与正弦信号只是相位相差与正弦信号只是相位相差/2，也可称为，也可称为正正弦信号。弦信号。简单周期信号简单周期信号复杂周期信号复杂周期信号2.2.非周期信号非周期信号 不具有周期重复性的信号。不具有周期重复性的信号。非周期信号中包含非周期信号中包含准周期信号准周期信号和和瞬变非周期信号瞬变非周期信号。 准周期信号准周期信号由两种以上的周期信号合成，但各周期分由两种以上的周期信号合

4、成，但各周期分量无公共周期。如：量无公共周期。如：x(t) = sin2t+sin3 t瞬变非周期信号瞬变非周期信号在一定时间区间内存在，或随着时间在一定时间区间内存在，或随着时间的增长而衰减至零。如的增长而衰减至零。如 x(t)= e-t . Asin2f t二、随机信号（非确定性信号）二、随机信号（非确定性信号） 不能准确预测未来瞬时值，也无法用数学关系不能准确预测未来瞬时值，也无法用数学关系式描述的信号。式描述的信号。 噪声信号噪声信号( (平稳平稳) )统计特性变异统计特性变异噪声信号噪声信号( (非平稳非平稳) )三、连续信号和离散信号三、连续信号和离散信号 连续信号连续信号: :独

5、立变量的取值是连续的。独立变量的取值是连续的。 根据确定性信号的数学表达式中独立变量（一般根据确定性信号的数学表达式中独立变量（一般是时间变量是时间变量t )的取值分连续和离散信号两类。的取值分连续和离散信号两类。采样信号采样信号 离散信号离散信号: :独立变量的取值是离散的。独立变量的取值是离散的。特别注意：特别注意： 连续信号的幅值可以是连续的，也可以是离散的。连续信号的幅值可以是连续的，也可以是离散的。 模拟信号、采样信号、数字信号模拟信号、采样信号、数字信号 若独立变量和幅值均取连续值，则称为若独立变量和幅值均取连续值，则称为模拟信号模拟信号。 若离散信号的幅值是连续的，则称为若离散信

6、号的幅值是连续的，则称为采样信号采样信号。 若离散信号的幅值也是离散的，则称为若离散信号的幅值也是离散的，则称为数字信号数字信号。采样采样信号信号四、能量信号和功率信号四、能量信号和功率信号 dttx)(2一般一般持续时间持续时间无限无限的信号都的信号都属于功率信号属于功率信号:2.2.功率信号功率信号 2211221( )( )ttttx t dtx t dt 图图2-3 2-3 信号的分类信号的分类 随时间变化的物理量可抽象为以随时间变化的物理量可抽象为以时间时间为自变量表为自变量表达的函数，称为信号的达的函数，称为信号的时域描述时域描述。 描述信号的自变量若是描述信号的自变量若是频率频率

7、，则称为信号的，则称为信号的频域频域描述描述。 以频率作为自变量建立信号与频率的函数关系，以频率作为自变量建立信号与频率的函数关系，称为称为频域分析频域分析或或频谱分析频谱分析。第二节第二节 周期信号与离散频谱周期信号与离散频谱频谱分析主要方法之一是频谱分析主要方法之一是傅里叶变换。傅里叶变换。8563ASPECTRUM ANALYZER 9 kHz - 26.5 GHz傅里叶傅里叶变换变换x(t)= sin2nf t0 t0 f信号频谱信号频谱x x( (f f) )代表了信号在代表了信号在不同频率分量成分的大小，不同频率分量成分的大小，能够提供比时域信号波形更能够提供比时域信号波形更直观，

8、丰富的信息。直观，丰富的信息。 时域时域分析与分析与频域频域分析的关系分析的关系时间时间幅值幅值频率频率时域分析时域分析频域分析频域分析时域分析时域分析只能反映信号的幅值随时间的变化情况，除只能反映信号的幅值随时间的变化情况，除单频率分量的简谐波外，很难明确揭示信号的频率组单频率分量的简谐波外，很难明确揭示信号的频率组成和各频率分量大小。成和各频率分量大小。 图例：受噪声干扰的多频率成分信号图例：受噪声干扰的多频率成分信号 大型空气压缩机传动装置故障诊断大型空气压缩机传动装置故障诊断案例：案例：在齿轮箱故障诊断在齿轮箱故障诊断通过齿轮箱振动信号频谱分析，确通过齿轮箱振动信号频谱分析，确定最大频

9、率分量，然后根据机床转定最大频率分量，然后根据机床转速和传动链，找出故障齿轮。速和传动链，找出故障齿轮。案例：案例：螺旋浆设计螺旋浆设计可以通过频谱分析确定螺旋浆可以通过频谱分析确定螺旋浆的固有频率和临界转速，确定的固有频率和临界转速，确定螺旋浆转速工作范围。螺旋浆转速工作范围。 时域时域和和频域频域的对应关系的对应关系131Hz147Hz165Hz175Hz频域参数对频域参数对应于应于设备转设备转速速、固有频固有频率率等参数，等参数，物理意义更物理意义更明确。明确。1.1.傅里叶级数的三角函数展开式傅里叶级数的三角函数展开式 一、傅里叶级数一、傅里叶级数(FSFourier Series)与

10、周期信号的频谱与周期信号的频谱, 3, 2, 1)sincos()(10ntnbtnaatxnonon/210/2/220/2/220/2( )( )cos( )sinTTTTnTTTnTTax t dtax tntdtbx tntdt22argnnnnnnAabtga b01001( )(cossin)1,2,3,sin()nononnnnx taan t bn tnaAn t周期信号的频谱周期信号的频谱:例例2-12-1 求周期方波求周期方波x（t）的频谱）的频谱-A 例例2-22-2 求图示三角波的频谱，其一个周期的表达式为求图示三角波的频谱，其一个周期的表达式为 , 5 , 3 , 1

11、cos142)5cos2513cos91(cos42)(01220002ntnnAAtttAAtxn周期信号的频谱具有以下特点：周期信号的频谱具有以下特点： 离散性离散性 频谱是离散的。频谱是离散的。(2)(2)谐波性谐波性 频谱中的谱线只出现在基频的整数倍频频谱中的谱线只出现在基频的整数倍频 率处，即各次谐波频率都是基频的整数倍。率处，即各次谐波频率都是基频的整数倍。(3)(3)收敛性收敛性 各次谐波分量随频率增加，其总的趋势是各次谐波分量随频率增加，其总的趋势是 衰减的。因此，在实际频谱分析时，可根衰减的。因此，在实际频谱分析时，可根 据精度需要决定所取谐波的次数。据精度需要决定所取谐波的

12、次数。 )5sin513sin31(sin4)(000tttAtx信号的合成与分解信号的合成与分解方波方波手机和弦铃声手机和弦铃声的合成的合成2、傅里叶级数的复指数函数展开式、傅里叶级数的复指数函数展开式cosrx sinry )sin(cosjrzjyxz.向量表示法向量表示法:三角函数表示法三角函数表示法:sincosjejt欧拉公式欧拉公式:jrez 指数表示法指数表示法:复数复数: 根据欧拉公式，可得根据欧拉公式，可得:1cos()21sin()2j tj tj tj tteetjee)(21)(21)(0010tjnnntjnnnnejbaejbaatx令令00aC )(21nnnj

13、baC)(21nnnjbaC则则2200220220)sin)(cos(1sin)(2cos)(221)(21TTTTTTnnndttnjtntxTtdtntxTjtdtntxTjbaC式中式中:因此因此:2200220220)sin)(cos(1sin)(2cos)(221)(21TTTTTTnnndttnjtntxTtdtntxTjtdtntxTjbaC式中式中:因此因此:njnnInRneCjCCC| 22|nnRnInInnRCCCCarctgC其中其中:以以|Cn|、n为纵坐标为纵坐标,为横坐为横坐标作图标作图，可得到可得到复指数形式复指数形式傅里叶级数展开式傅里叶级数展开式的的幅频

14、图幅频图和和相频图相频图。以以CnI、CnR为纵坐为纵坐标标,为横坐标作图为横坐标作图，可得到可得到实频图实频图和和虚频图虚频图。例例2-3 2-3 求下周期信号的求下周期信号的复指数形式的傅立叶级数展开式复指数形式的傅立叶级数展开式。解：解：, 4, 2, 00, 5, 3, 12) 1( 22 2cos22 2)(2 122020020000nnnAjnjAnnjAeeTjnAdtAedteATCnTjnTjnTtjntjnTnX(t)X(t)的复指数傅里叶展开式为的复指数傅里叶展开式为：00(21)21( )21jntjktnnkAx tC ejek 其中：其中： , 2, 1, 0,

15、12kkn2arctan2nnInnRACnCCnnAC21|00|aC 周期信号的频谱描述工具是周期信号的频谱描述工具是傅立叶级数展开式傅立叶级数展开式，它，它的两种展开形式有以下联系：复指数形式的频谱为的两种展开形式有以下联系：复指数形式的频谱为双边双边谱谱，三角函数形式的频谱为，三角函数形式的频谱为单边谱单边谱。两种频谱各谐波幅。两种频谱各谐波幅值的关系为值的关系为: 双边幅频谱是双边幅频谱是的的偶函数偶函数；双边相频谱为；双边相频谱为的的奇函数奇函数。在工程应用中，常采用简明的单边谱。在工程应用中，常采用简明的单边谱。例例: :求求周期矩形脉冲周期矩形脉冲的频谱，设周期矩形脉冲的周期为

16、的频谱，设周期矩形脉冲的周期为T T，脉冲宽度为脉冲宽度为，如图，如图2.162.16所示。所示。解：解：000/2/2/2/2/2/2000001( )11sinsin22220, 1, 2,TjntnTjntjntCx t edtTedtTeTjnnnnTnTn 周期矩形脉冲的频谱周期矩形脉冲的频谱（T=4） 通常将0 2/这段频率范围称周期矩形脉冲信号的带宽。考虑周期矩形脉冲信号的脉宽改变时频谱变化的情形。信号的脉冲宽度相同而周期不同时，其频谱变化情形 ：2 第三节第三节 傅里叶变换及非周期信号的频谱傅里叶变换及非周期信号的频谱一傅里叶变换一傅里叶变换（FTFourier Transfo

17、rm）tjnnTTtjnedtetxTtx0022)(1)(nCdedtetxedtetxdtxtjtjtjtj)(21()(2)(220)(1TTtjnndtetxTC( )( )1( )( )2j tj tXx t edtx tXed以上两式也可以写为：以上两式也可以写为：22( )( )( )( )jftjftX fx t edtx tX f edf)(tx( )( )1( )( )2j tj tXx t edtx tXed2021)(TtTttw 式中，式中，T为时间宽度，称为窗宽。为时间宽度，称为窗宽。例例2-4 求如图所示矩形窗函数（矩形脉冲函数）的频求如图所示矩形窗函数（矩形脉冲

18、函数）的频谱，该函数为谱，该函数为2222( )( )1()2jftTjftTjfTjfTX fx t edtedteejf)(sinsin)(fTcTfTfTTfX与周期信号不同的是，非周期信号的谱线出现在与周期信号不同的是，非周期信号的谱线出现在0fmax的各连的各连续频率值上，这种频谱称为续频率值上，这种频谱称为连续谱连续谱。小结：小结：100)sin()(nnntnAatx22nnnbaAnnnbatg1.1.傅里叶级数的三角函数展开式傅里叶级数的三角函数展开式2.2.傅里叶级数的复指数函数展开式傅里叶级数的复指数函数展开式0( )0,1,2,jntnnx tC ennjnnInRne

19、CjCCC| 3.傅里叶变换傅里叶变换22( )( )( )( )21( )( )( )( )2j tjftj tjftXx t edtX fx t edtfx tXedx tX f edf 二二 .傅里叶变换的性质及应用傅里叶变换的性质及应用1.线性叠加性线性叠加性 )(Im)(Re)()(2fXjfXdtetxfXftj其中实部：其中实部：ftdttxfX2cos)()(ReftdttxfX2sin)()(Im虚部：虚部： 由此可见，若由此可见，若a1，时域波形在时间轴上被压缩，时域波形在时间轴上被压缩a倍，导致频域波形在频率轴上被扩展倍，导致频域波形在频率轴上被扩展a倍；若倍；若a1，时

20、，时域波形在时间轴上被扩展域波形在时间轴上被扩展1/a倍，导致频域波形在频率倍，导致频域波形在频率轴上被压缩轴上被压缩1/a倍。倍。 nnndffXdtxtj)()()2(在频域中也存在类似的性质，即在频域中也存在类似的性质，即 )()()()()(0000txdttttxdttttx函数的采样性质是对连续信号进行离散采样的理论依据。函数的采样性质是对连续信号进行离散采样的理论依据。)0()()0()()(xdttxdtttx)()()()()(000ttxdttxtttx)()()()()()()(txdtxdtxttx)()(tt1)()(02edtetfftj信号的频谱由傅里叶变换求出：

21、信号的频谱由傅里叶变换求出：dfetftj21)(根据傅里叶变换的性质，可得到如下傅里叶变换对根据傅里叶变换的性质，可得到如下傅里叶变换对:dfetftj21)(0000( ) ()( ) ()( )x ttt dtx ttt dtx t, 2, 1, 0)()(),(nnTttTtcombnsTsktkfjkTseCt2)( 222222111ssssssTjkf tkTTsTjkf tTsSCt edtTt edtTTktkfjSTseTt21)(根据时延特性根据时延特性 020)()(ftjefXttxtfje020ff 有有kssktkfjSTkffTeFTfs)(11)(2 将其进行

22、傅里叶变换得将其进行傅里叶变换得)(212sin00220tfjtfjeejtf)(212cos00220tfjtfjeetf0.2jf te0ff 根据傅里叶变换的频移特性：根据傅里叶变换的频移特性：可得正、余弦函数的傅里叶变换为可得正、余弦函数的傅里叶变换为)()(212cos000fffftf)()(212sin000ffffjtfntfjnneCtx02)(dtetxTCtfjnTTn0222)(1nnntfjnnntfjnnnffCeFCeCFtxFfX)()()(02200第四节第四节 数字信号处理数字信号处理 这一过程中涉及这一过程中涉及采样间隔与频率混淆采样间隔与频率混淆、采样

23、长度与频采样长度与频率分辨率率分辨率、量化与量化误差量化与量化误差、泄漏与窗函数泄漏与窗函数等诸多方等诸多方面。面。采样采样：利用采样脉冲序列，从信号中抽取一系列离散：利用采样脉冲序列，从信号中抽取一系列离散 值，使之成为采样信号值，使之成为采样信号x(nTs)的过程。的过程。 量化量化：把采样信号经过舍入变为只有有限个有效数字的：把采样信号经过舍入变为只有有限个有效数字的 数，这一过程称为量化。数，这一过程称为量化。3.3.模数模数(A/D)(A/D)和数模和数模(D/A)(D/A) （1 1）A/DA/D转换转换 模拟信号的输入范围模拟信号的输入范围 如，如，5V5V， +/-5V+/-5

24、V，10V10V，+/-10V+/-10V等。等。 分辨率分辨率 用输出二进制数码的位数表示。位数越用输出二进制数码的位数表示。位数越 多，量化误差多，量化误差越小，分辨力越高。常用有越小，分辨力越高。常用有8 8位、位、1010位、位、1212位、位、1616位等。位等。转换速度转换速度 指完成一次转换所用的时间，如指完成一次转换所用的时间，如:1ms(1KHz):1ms(1KHz)； 10us(100kHz)10us(100kHz) D/A D/A转换器把数字信号转换为电压或电流信号。转换器把数字信号转换为电压或电流信号。D/A转换器的技术指标：转换器的技术指标：分辨率分辨率 转换速度转换

25、速度 模拟信号的输出范围模拟信号的输出范围对于无限连续信号的傅里叶变换共有四种情况对于无限连续信号的傅里叶变换共有四种情况 ：对于非周期连续信号对于非周期连续信号x(t)x(t)，频谱，频谱X(f)X(f)是连续谱；是连续谱；对于周期连续信号，傅里叶变换转变为傅里叶级数，对于周期连续信号，傅里叶变换转变为傅里叶级数，因而其频谱是离散的；因而其频谱是离散的；对于非周期离散信号，其傅里叶变换是一个周期性对于非周期离散信号，其傅里叶变换是一个周期性的连续频谱；的连续频谱；对于周期离散的时间序列，其频谱也是周期离散的。对于周期离散的时间序列，其频谱也是周期离散的。0.0.离散傅里叶变换的过程离散傅里叶

26、变换的过程11ssfTftTN tfN f 1, 2 , 1 , 012NkenxkXNonnkNj 1, 2 , 1 , 0112NnekXNnxNoKnkNj离散傅立叶变换的图解过程离散傅立叶变换的图解过程 是指将连续的时域信号转变为离散的时间序列的过程。是指将连续的时域信号转变为离散的时间序列的过程。采样在理论上是将模拟信号与时间间隔为采样在理论上是将模拟信号与时间间隔为Ts的周期单位的周期单位脉冲序列函数相乘。脉冲序列函数相乘。（3）频率混叠）频率混叠由于采样频率选取不当而出现高、低频率成分发生混由于采样频率选取不当而出现高、低频率成分发生混淆的一种现象，如图所示。淆的一种现象，如图所

27、示。方法方法1：提高采样频率以满足采样定理，一般工程中取提高采样频率以满足采样定理，一般工程中取 fs (34)fc。 方法方法2：用低通滤波器滤掉不必要的高频成分以防止用低通滤波器滤掉不必要的高频成分以防止频率混叠的产生，此时的低通滤波器也称为频率混叠的产生，此时的低通滤波器也称为抗混叠滤抗混叠滤波器波器。A/DA/D采样前的抗混迭滤波：采样前的抗混迭滤波： 物理信号物理信号对象对象传传感感器器电信号电信号放放大大调调制制电信号电信号A/D转换转换数字信号数字信号低通滤波低通滤波放大放大 例如，若例如，若 fs = 2560Hz；当；当N = 1024时，时，f = 2.5Hz； 当当N =

28、 2048时，时， f = 1.25Hz。栅栏效应栅栏效应 如果信号中的频率分量与频率取样点不重合，则只能如果信号中的频率分量与频率取样点不重合，则只能按四舍五入的原则，取相邻的频率取样点谱线值代替。按四舍五入的原则，取相邻的频率取样点谱线值代替。 （1）泄漏现象）泄漏现象 数字信号处理只能对有限长的信号进行分析运算，因此数字信号处理只能对有限长的信号进行分析运算，因此需要取合理的采样长度需要取合理的采样长度T对信号进行截断。对信号进行截断。T 截断是在时域将该信号函数与一个截断是在时域将该信号函数与一个窗函数相乘窗函数相乘。相应。相应地，在频域中则是两函数的傅里叶变换相地，在频域中则是两函数

29、的傅里叶变换相卷积卷积。因为窗。因为窗函数的带宽是无限的，所以卷积后将使原带限频谱扩展函数的带宽是无限的，所以卷积后将使原带限频谱扩展开来而占据无限频带。开来而占据无限频带。这种由于截断而造成的谱峰下降、频谱扩展的现象称为这种由于截断而造成的谱峰下降、频谱扩展的现象称为频谱泄漏频谱泄漏。当截断后的信号再被采样，由于泄漏就会造。当截断后的信号再被采样，由于泄漏就会造成频谱混叠。因此泄漏是影响频谱分析精度的重要因素成频谱混叠。因此泄漏是影响频谱分析精度的重要因素之一。之一。 工程测试中常用的窗函数工程测试中常用的窗函数 三角窗三角窗 汉宁窗（汉宁窗（Hanning）加矩形窗加矩形窗加汉宁窗加汉宁窗

30、 TtTtTtTtw0)cos4 . 054. 0(1)(常用窗函数常用窗函数关于窗函数的选择关于窗函数的选择: :应考虑被分析信号的性质与处理要求。在需要获得精应考虑被分析信号的性质与处理要求。在需要获得精确频谱主峰频率，而对幅值精度要求不高，则可选用确频谱主峰频率，而对幅值精度要求不高，则可选用主瓣宽度比较窄而便于分辨的矩形窗，例如测量物体主瓣宽度比较窄而便于分辨的矩形窗，例如测量物体的自振频率等；如果分析窄带信号，且有较强的干扰、的自振频率等；如果分析窄带信号，且有较强的干扰、噪声，则应选用旁瓣幅度小的窗函数，如汉宁窗、三噪声，则应选用旁瓣幅度小的窗函数，如汉宁窗、三角窗等；对于随时间按

31、指数衰减的函数，可采用指数角窗等；对于随时间按指数衰减的函数，可采用指数窗来提高信噪比。窗来提高信噪比。 例如，余弦信号的频谱为线谱。当信号频率与频谱例如，余弦信号的频谱为线谱。当信号频率与频谱离散取样点不等时，栅栏效应的误差为无穷大。离散取样点不等时，栅栏效应的误差为无穷大。 实际应用中，由于信号截断的原因，产生了能量实际应用中，由于信号截断的原因，产生了能量泄漏，即使信号频率与频谱离散取样点不相等，也能泄漏，即使信号频率与频谱离散取样点不相等，也能得到该频率分量的一个近似值。得到该频率分量的一个近似值。 从这个意义上说，能量泄漏误差不完全是有害的。如果从这个意义上说，能量泄漏误差不完全是有

32、害的。如果没有信号截断产生的能量泄漏，频谱离散取样造成的栅没有信号截断产生的能量泄漏，频谱离散取样造成的栅栏效应误差将是不能接受的。栏效应误差将是不能接受的。 能量泄漏分主瓣泄漏和旁瓣泄漏，主瓣泄漏可以能量泄漏分主瓣泄漏和旁瓣泄漏，主瓣泄漏可以减小因栅栏效应带来的谱峰幅值估计误差，有其好的减小因栅栏效应带来的谱峰幅值估计误差，有其好的一面，而旁瓣泄漏则是完全有害的。一面，而旁瓣泄漏则是完全有害的。 周期延拓后的信号与真实信号是不同的，下面我们周期延拓后的信号与真实信号是不同的，下面我们就从数学的角度来看这种处理带来的误差情况。就从数学的角度来看这种处理带来的误差情况。 周期延拓信号与真实信号是不同的：