大学物理简谐运动

1、第十四章第十四章 机械振动机械振动14 14 1 1 简谐运动简谐运动机械振动机械振动与机械波与机械波第十四章第十四章 机械振动机械振动14 14 1 1 简谐运动简谐运动振动和波动是物质的基本运动形式，是自然界振动和波动是物质的基本运动形式，是自然界的普遍现象，在力学中有机械振动和机械波，的普遍现象，在力学中有机械振动和机械波，在电磁学中有电磁振荡和电磁波，声是机械波，在电磁学中有电磁振荡和电磁波，声是机械波，光是电磁波，近代物理研究表明，一切微观粒光是电磁波，近代物理研究表明，一切微观粒子都具有波动性子都具有波动性 尽管在物质不同的运动形式中，振尽管在物质不同的运动形式中，振动与波动的具体

2、内容不同，本质不同，但在形动与波动的具体内容不同，本质不同，但在形式上它们具有相似性，都遵循相同的运动规律，式上它们具有相似性，都遵循相同的运动规律，都能用相同的数学方法描述，这说明不同的振都能用相同的数学方法描述，这说明不同的振动与波动之间具有共同的特性。动与波动之间具有共同的特性。本篇讨论机械振动和机械波的基本规律，它是本篇讨论机械振动和机械波的基本规律，它是其它振动与波动的基础其它振动与波动的基础 第十四章第十四章 机械振动机械振动14 14 1 1 简谐运动简谐运动振动和波动振动和波动物质的基本运动形式物质的基本运动形式机械振动和机械波机械振动和机械波电磁振荡和电磁波电磁振荡和电磁波声

3、（机械波）声（机械波）光（电磁波）光（电磁波）微观粒子的波动性微观粒子的波动性机械振动：机械振动：物体在一定物体在一定的位置附近做来回往复的位置附近做来回往复的运动。的运动。振动：振动：任何一个物理量在某个确定的数值附近任何一个物理量在某个确定的数值附近作周期性的变化。作周期性的变化。波动：波动：振动状态在空间振动状态在空间的传播。的传播。第十四章第十四章 机械振动机械振动14 14 1 1 简谐运动简谐运动 任一物理量在某一定值附近往复变化任一物理量在某一定值附近往复变化 振动振动. . 机械振动：机械振动： 物体围绕一固定位置往复运动物体围绕一固定位置往复运动. . 例如一切发声体、心脏、

4、海浪起伏、地震例如一切发声体、心脏、海浪起伏、地震以及晶体中原子的振动等以及晶体中原子的振动等. . 简谐运动：简谐运动： 最简单、最基本的振动最简单、最基本的振动. .本章研究：简谐运动本章研究：简谐运动简谐运动简谐运动复杂振动复杂振动合成合成分解分解第十四章第十四章 机械振动机械振动14 14 1 1 简谐运动简谐运动3-1 3-1 简谐运动简谐运动3-1-1 3-1-1 简谐运动简谐运动一、何为简谐运动？一、何为简谐运动？如果一个物体的运动方程的形式为如果一个物体的运动方程的形式为)cos(tAx二、简谐运动的分析二、简谐运动的分析最典型的简谐运动最典型的简谐运动弹簧振子的振动弹簧振子的

5、振动kl0 xmoAA 弹簧振子的振动弹簧振子的振动00FxmakxFxxFmo1 1、受力特征、受力特征线性恢复力，谐振特征力线性恢复力，谐振特征力xmktx22ddmk2令令xtx222dd)cos(tAx2 2、动力学方程、动力学方程xmkax2)sin(ddtAtxv)cos(dd222tAtxa3 3、运动方程、运动方程)cos(tAx4 4、速度、速度5 5、加速度、加速度AvmAam26 6、运动图线、运动图线tx图图tv图图ta图图TAA2A2AxvatttAAoooTT)cos(tAx0取取2T)2cos(tA)sin(tAv)cos(2tA)cos(2tAa)cos(tAx

6、一一 振幅振幅maxxA 二二 周期、频率周期、频率2T 周期周期)(cosTtAtx图图AAxT2Tto3-1-2 3-1-2 简谐运动的特征量简谐运动的特征量)cos(2tAkmT2弹簧振子周期弹簧振子周期2Tmk2)cos(tAx周期和频率仅与振动周期和频率仅与振动系统系统本身本身的物理性质的物理性质有关有关注意注意21T 频率频率T22 圆频率圆频率“固有周期固有周期”“固有频率固有频率”1 1） 存在一一对应的关系存在一一对应的关系; ;),(vxt202 2）相位在相位在 内变化，质点内变化，质点无相同无相同的的运动状态；运动状态； 三三 相位相位t3 3）初）初相位相位 描述质点

7、描述质点初始初始时刻的时刻的运动状态运动状态. . )0( t)sin(tAv)cos(tAxt 相位一定，振动状态唯一确定相位一定，振动状态唯一确定tx图图AAxT2Ttovvv22020vxA00tanxv四四 常数常数 和和 的确定的确定A000vv xxt初始条件初始条件cos0Ax sin0Av 对给定振动系统，周期由系统本身性质对给定振动系统，周期由系统本身性质决定，振幅和初相由初始条件决定决定，振幅和初相由初始条件决定.)sin(tAv)cos(tAxcos0A2 0sin0Av2 0sin取取0, 0, 0vxt已知已知 求求讨论讨论xvo)2 cos(tAxAAxT2Tto)

8、cos(tAx3-1-3 3-1-3 旋转矢量法旋转矢量法 以以 为为原点旋转矢原点旋转矢量量 的端点的端点在在 轴上的轴上的投影点的运投影点的运动为简谐运动为简谐运动动. .xAoxoA当当 时时0t0 x)cos(tAx 以以 为为原点旋转矢原点旋转矢量量 的端点的端点在在 轴上的轴上的投影点的运投影点的运动为简谐运动为简谐运动动. .xAoxoAtt t)cos(tAx时时)cos(tAx 旋转旋转矢量矢量 的的端点在端点在 轴上的投轴上的投影点的运影点的运动为简谐动为简谐运动运动. .xAxy0At)cos(tAx例题例题14 14 3 3 旋转矢量旋转矢量例例.一弹簧振子作简谐振动，

9、振幅为一弹簧振子作简谐振动，振幅为A，周期为，周期为T，其运动方程用余弦函数表示若其运动方程用余弦函数表示若t = 0时，时， (1) 振子在负的最大位移处，则初相为振子在负的最大位移处，则初相为_； (2) 振子在平衡位置向正方向运动，则初相为振子在平衡位置向正方向运动，则初相为_；(3)振子在位移为振子在位移为A/2处，且向负方向运动，则初处，且向负方向运动，则初相为相为_ (4)振子在位移为振子在位移为-A/2处，且向正方向运动，则处，且向正方向运动，则初相为初相为_ (5)写出以上四种情况的运动方程写出以上四种情况的运动方程6.214 14 3 3 旋转矢量旋转矢量xoA)tTcos(

10、Ax232-34433232)2)1 或或）或或 )114 14 3 3 旋转矢量旋转矢量例例2 2 一质量为一质量为 的物体作简谐运动，振幅的物体作简谐运动，振幅为为 ，周期为，周期为 ，起始时刻物体在，起始时刻物体在kg01. 0m08. 0s4xm04. 0 处，向处，向 轴负方向运动（如图）轴负方向运动（如图）. .试求试求 Ox（1 1） 时，物体所处的位置和所受的力时，物体所处的位置和所受的力 s0 . 1t （2 2）由起始位置运动到由起始位置运动到 处所需处所需要的最短时间要的最短时间. .m04. 0 xo08. 004. 004. 008. 0m/xv例例2 2 一质量为一

11、质量为 的物体作简谐运动，振幅的物体作简谐运动，振幅为为 ，周期为，周期为 ，起始时刻物体在，起始时刻物体在kg01. 0m08. 0s4xm04. 0 处，向处，向 轴负方向运动（如图）轴负方向运动（如图）. .试求试求 Ox（1 1） 时，物体所处的位置和所受的力时，物体所处的位置和所受的力 s0 . 1to08. 004. 004. 008. 0m/xv解解（1）先求运动方程先求运动方程 m08. 0 A1s22T设设)cos(tAxo08. 004. 004. 008. 0m/x300vm04. 0, 0 xt3tcos).(x32080m08. 0A1s22TAo08. 004. 0

12、04. 008. 0m/xv32cos)08.0( txs0 . 1t代入上式得代入上式得m069.0 xxmkxF2)069.0()2)(01.0(2 N1070. 13kg01. 0mo08. 004. 004. 008. 0m/xv （2 2）由起始位置运动到由起始位置运动到 处所需处所需要的最短时间要的最短时间. .m04. 0 x 法一法一 设由起始位置运动到设由起始位置运动到 处所处所需要的最短时间为需要的最短时间为m04. 0 xttcos).(.32080m040s23)21(arccosts667. 0s32o08. 004. 004. 008. 0m/x解法二，由解法二，由

13、旋转矢量判断旋转矢量判断 33起始时刻起始时刻 时刻时刻tt3ts667. 0s32t1s2 例例1 1 如图，一轻弹簧连着一物体，弹簧的劲如图，一轻弹簧连着一物体，弹簧的劲度系数度系数 ，物体的质量，物体的质量 . . （1 1）把物体从平衡位置拉到把物体从平衡位置拉到 处停处停下再释放，求简谐运动方程；下再释放，求简谐运动方程； 1mN72. 0kg20mm05. 0 x10sm30.0vm05.0 x（3 3）如果物体在如果物体在 处时速度不等于处时速度不等于零，而是具有向右的初速度零，而是具有向右的初速度 ，求其运动方程求其运动方程. .2A （2 2）求物体从初位置运动到第一次经过求

14、物体从初位置运动到第一次经过 处时的速度；处时的速度；m/ xo0.05ox解解 （1）1s0 . 602. 072. 0 mk m05. 0022020 xxAvA由旋转矢量图可知由旋转矢量图可知 0)cos(tAx)m)(t.cos(.06500)cos(tAxoxA2A解解 )cos(tAx)cos(tA2Ax A3t由旋转矢量图可知由旋转矢量图可知tAsinv1sm26. 0（负号表示速度沿（负号表示速度沿 轴负方向）轴负方向）Ox2A（2 2）求物体从初位置运动到第一次经过求物体从初位置运动到第一次经过 处时处时的速度；的速度；)sin(ddtAtxv解解 m0707. 022020

15、vxAoxA4)cos(tAx)SI(4t0 . 6cos)0707. 0( m05. 0 x10sm30. 0v（3 3）如果物体在如果物体在 处时速度不等于处时速度不等于零，而是具有向右的初速度零，而是具有向右的初速度 ，求，求其运动方程其运动方程. .因为因为 ，由旋转矢量图可知，由旋转矢量图可知400v 对给定振动系统，周期由系统本身性质对给定振动系统，周期由系统本身性质决定，振幅和初相由初始条件决定决定，振幅和初相由初始条件决定. 相位差：两个简谐运动的相位之差相位差：两个简谐运动的相位之差 . .对于两个对于两个同同频率频率的简谐运动，相位差表示它们的简谐运动，相位差表示它们步调步

16、调上的上的差异差异. .)cos(111tAx)cos(222tAx)()(12tt120 xto同步同步txo反相反相xto为其它为其它超前超前落后落后14 14 3 3 旋转矢量旋转矢量精析精析6.8 已知两个简谐振动曲线如图所示已知两个简谐振动曲线如图所示x1的相位比的相位比x2的相位超前的相位超前_ Oxx1tx2/2O -AA12例例，两个质点各自作简谐振动，它们的振幅相同、，两个质点各自作简谐振动，它们的振幅相同、周期相同第一个质点的振动方程为周期相同第一个质点的振动方程为x1 = Acos( t + a a)当第一个质点从正位移处回到当第一个质点从正位移处回到平衡位置时，第二个质

17、点正在最大正位移处求平衡位置时，第二个质点正在最大正位移处求第二个质点的振动方程第二个质点的振动方程 )21cos(2atAx精析精析6.114 14 3 3 旋转矢量旋转矢量)312cos(1042txs81s61s41s31s21精析精析 6.66.6一质点沿一质点沿x x轴作简谐振动，振动方程为轴作简谐振动，振动方程为 (SI)(SI) 从从t t = 0= 0时刻起，到质点位置在时刻起，到质点位置在x x = -2 cm = -2 cm处，且向处，且向x x轴正方向运动的最短时间间隔为轴正方向运动的最短时间间隔为 例例，两个弹簧振子的周期都是两个弹簧振子的周期都是0.4 s， 设开始时

18、设开始时第一个振子从平衡位置向负方向运动，经过第一个振子从平衡位置向负方向运动，经过0.5 s 后，第二个振子才从正方向的端点开始运动，后，第二个振子才从正方向的端点开始运动，则这两振动的相位差为则这两振动的相位差为_ 14 14 3 3 旋转矢量旋转矢量)(sin21212222ktAmmEv)(cos2121222ptkAkxE线性回复力是线性回复力是保守力保守力，作，作简谐简谐运动的系统运动的系统机械能机械能守恒守恒 以弹簧振子为例以弹簧振子为例)sin()cos(tAtAxvkxF22pk21AkAEEEmk /2（振幅的动力学意义）（振幅的动力学意义）3-1-4 简谐运动的能量简谐运

19、动的能量简简 谐谐 运运 动动 能能 量量 图图txtv221kAE 0tAxcostAsinvv, xtoT4T2T43T能量能量oTttkAE22pcos21tAmE222ksin21简谐运动势能曲线简谐运动势能曲线简谐运动能量守恒，振幅不变简谐运动能量守恒，振幅不变kEpEx221kAE EBCAApExO例例 质量为质量为 的物体，以振幅的物体，以振幅 作简谐运动，其最大加速度为作简谐运动，其最大加速度为 ，求求：kg10. 0m100 . 122sm0 . 4（1）振动的周期；振动的周期； （2）通过平衡位置的动能；通过平衡位置的动能；（3）总能量；总能量；（4）物体在何处其动能和势

20、能相等？物体在何处其动能和势能相等？解解 （1）2maxAaAamax1s20s314. 02T（2）J100 . 23222maxmax,k2121AmmEv（3）max, kEE J100 . 23（4）pkEE 时，时，J100 . 13pE由由222p2121xmkxE2p22mEx 24m105 . 0cm707. 0 x第十四章第十四章 机械振动机械振动14 14 5 5 简谐运动的能量简谐运动的能量第十四章第十四章 机械振动机械振动例例1、底面积为底面积为 S 的长方形木块，浮于水面，水的长方形木块，浮于水面，水下部分高度为下部分高度为 a，用手按下用手按下 b b 后后释放，释

21、放，1 1）证明若不计阻力，木块的运动为简谐振动）证明若不计阻力，木块的运动为简谐振动2 2）求振动周期。）求振动周期。 一个物体的运动形式是由它的受力决定一个物体的运动形式是由它的受力决定的，关键是看它的受力是否是简谐振动的特征的，关键是看它的受力是否是简谐振动的特征力即线性恢复力。力即线性恢复力。kxFab分析：分析：如何判断一个物如何判断一个物体是否做简谐振动？体是否做简谐振动？第十四章第十四章 机械振动机械振动对物体进行受力分析，若符合对物体进行受力分析，若符合线性恢复力线性恢复力的形式，则物体一定做简谐振动的形式，则物体一定做简谐振动以物体的平衡位置为坐标原点，沿运动方以物体的平衡位

22、置为坐标原点，沿运动方向建立坐标向建立坐标列出动力学方程，求出通解列出动力学方程，求出通解 x根据根据 ，确定，确定和和T，根据初始条，根据初始条件确定件确定A和和，最终确定运动方程，最终确定运动方程mk2a1 1）证明：证明：平衡时平衡时浮FmggaS 任意位置任意位置x 处处，合力，合力浮浮FmgFxogSxagaS)( gxSkx以平衡位置为坐标原点建坐标以平衡位置为坐标原点建坐标木块运动为谐振动木块运动为谐振动x第十四章第十四章 机械振动机械振动maFmgF浮浮kx2 2）木块的运动微分方程为）木块的运动微分方程为 gxSgxSdtxdm22agmgSmk2gaT2xdtxd222一质点按如下规律沿一质点按如下规律沿x轴作简谐振动：轴作简谐振动： (SI) 求此振动的周期、振幅、初相